Grupo4 - FFT - Histórico de revisão

Gabrgiov em 02h35min de 29 de janeiro de 2018

2018-01-29T02:35:38Z

← Edição anterior		Edição das 02h35min de 29 de janeiro de 2018
Linha 102:		Linha 102:
	<math>n = n_1 \cdot r_2 + n_0 ~~~~~~~~ n_0 = 0,1,...,r_2-1 ~~~~~~~~ n_1 = 0,1,...,r_1-1</math>		<math>n = n_1 \cdot r_2 + n_0 ~~~~~~~~ n_0 = 0,1,...,r_2-1 ~~~~~~~~ n_1 = 0,1,...,r_1-1</math>

	assim a transformada que antes necessitava de N ~~calculos~~, agora pode ser vista como <math>r_1 + r_2</math> ~~calculos~~.		assim a transformada que antes necessitava de N cálculos, agora pode ser vista como <math>r_1 + r_2</math> cálculos.

			Uma outra alternativa para o calculo da FFT é adicionar pontos 0 no fim da sequência. Por exemplo, para uma FFT de 5 pontos, basta adicionar 3 pontos 0 e calcular uma FFT pelos métodos já mostrados. Uma dificuldade dessa alternativa é que a transformada terá também 8 pontos, e apesar de corresponder ao mesmo formato da função original, está amostrada numa frequência diferente.

	=== Algorítmo (usando recursão) ===		=== Algorítmo (usando recursão) ===

Dfriggo em 23h10min de 29 de outubro de 2017

2017-10-29T23:10:10Z

← Edição anterior		Edição das 23h10min de 29 de outubro de 2017
Linha 253:		Linha 253:
	A transformada rápida é muito utilizada no tratamento de imagens. Software como ImageJ ou Matlab possuem muitas ferramentas que fazem uso da técnica. Uma aplicação específica da FFT é na análise de imagens de partículas nanométricas obtidas por um microscópio eletrônico de transmissão. Esse equipamento produz um interferograma que (a menos de correções) representa a imagem real do que se está observando mas também produz uma segunda imagem, localizada no ponto focal da lente, que é o padrão de difração da imagem real. Essa imagem é uma visualização do espaço recíproco, ou seja, da transformada do espaço real.		A transformada rápida é muito utilizada no tratamento de imagens. Software como ImageJ ou Matlab possuem muitas ferramentas que fazem uso da técnica. Uma aplicação específica da FFT é na análise de imagens de partículas nanométricas obtidas por um microscópio eletrônico de transmissão. Esse equipamento produz um interferograma que (a menos de correções) representa a imagem real do que se está observando mas também produz uma segunda imagem, localizada no ponto focal da lente, que é o padrão de difração da imagem real. Essa imagem é uma visualização do espaço recíproco, ou seja, da transformada do espaço real.

	Abaixo está uma imagem de um plano de átomos de ouro obtida por um microscópio de transmissão eletrônica com uma escala de 2 nanômetros. A imagem em si é representada por uma matrix 800x800 onde cada elemento da matrix é um valor de intensidade sendo 0 para totalmente escuro e 255 para totalmente claro.		Abaixo está uma imagem de um plano de átomos de ouro obtida por um microscópio de transmissão eletrônica com uma escala de 2 nanômetros na qual destacamos uma região (quadrado vermelho) na qual tomaremos a transformada de fourier. A imagem em si é representada por uma matrix 800x800 onde cada elemento da matrix é um valor de intensidade sendo 0 para totalmente escuro e 255 para totalmente claro.

	[[Arquivo:Region.png\|600px]]		[[Arquivo:Region.png\|600px]]
Linha 282:		Linha 282:

	[[Arquivo:Inverse fft.png\|900px]]		[[Arquivo:Inverse fft.png\|900px]]

			Como mencionado se selecionarmos todos os pontos e tomarmos a transformada inversa obteremos a imagem original, no entanto, removendo boa parte dos ruídos - a parte que deixamos de fora da máscara.

	[[Arquivo:Full mask.png\|900px]]		[[Arquivo:Full mask.png\|900px]]

			[[Arquivo:Removed all noise.png\|900px]]

			Se quisermos ver a composição do ruído podemos tomar a máscara inversa e aplicar a transformada inversa, obtendo:

	[[Arquivo:Negative mask.png\|900px]]		[[Arquivo:Negative mask.png\|900px]]

	~~[[Arquivo:Removed all noise.png\|900px]]~~

	[[Arquivo:Noise.png\|900px]]		[[Arquivo:Noise.png\|900px]]

Dfriggo em 23h05min de 29 de outubro de 2017

2017-10-29T23:05:50Z

← Edição anterior		Edição das 23h05min de 29 de outubro de 2017
Linha 253:		Linha 253:
	A transformada rápida é muito utilizada no tratamento de imagens. Software como ImageJ ou Matlab possuem muitas ferramentas que fazem uso da técnica. Uma aplicação específica da FFT é na análise de imagens de partículas nanométricas obtidas por um microscópio eletrônico de transmissão. Esse equipamento produz um interferograma que (a menos de correções) representa a imagem real do que se está observando mas também produz uma segunda imagem, localizada no ponto focal da lente, que é o padrão de difração da imagem real. Essa imagem é uma visualização do espaço recíproco, ou seja, da transformada do espaço real.		A transformada rápida é muito utilizada no tratamento de imagens. Software como ImageJ ou Matlab possuem muitas ferramentas que fazem uso da técnica. Uma aplicação específica da FFT é na análise de imagens de partículas nanométricas obtidas por um microscópio eletrônico de transmissão. Esse equipamento produz um interferograma que (a menos de correções) representa a imagem real do que se está observando mas também produz uma segunda imagem, localizada no ponto focal da lente, que é o padrão de difração da imagem real. Essa imagem é uma visualização do espaço recíproco, ou seja, da transformada do espaço real.

	Abaixo está uma imagem de um plano de átomos de ouro obtida por um microscópio de transmissão eletrônica. A imagem em si é representada por uma matrix 800x800 onde cada elemento da matrix é um valor de intensidade sendo 0 para totalmente escuro e 255 para totalmente claro.		Abaixo está uma imagem de um plano de átomos de ouro obtida por um microscópio de transmissão eletrônica com uma escala de 2 nanômetros. A imagem em si é representada por uma matrix 800x800 onde cada elemento da matrix é um valor de intensidade sendo 0 para totalmente escuro e 255 para totalmente claro.

	[[Arquivo:Region.png\|600px]]		[[Arquivo:Region.png\|600px]]

	Utilizando, por exemplo o software Matlab podemos tomar a transformada inversa dessa imagem. A transformada de fourier produz o padrão de difração que revela a periodicidade da imagem.		Utilizando, por exemplo o software Matlab podemos tomar a transformada inversa dessa imagem. A transformada de fourier produz o padrão de difração que revela a periodicidade da imagem.
			O código em Matlab é bem simples:

			<source lang="python" line='line'>
			function imagefft(I)
			F = fft2(I);
			F = fftshift(F); % centraliza a FFT
			F = abs(F); % obtem a magnitude (desnecessário, nossa imagem varia de 0 a 255)
			F = log(F+1); % escala logaritmica, +1 por que log(0) é indefinido
			F = mat2gray(F); % renormaliza a imagem de 0-255 para 0-1
			imshow(F,[]) % exibe o resultado
			end
			</source>

	[[Arquivo:Matlab fft.png\|600px]]		[[Arquivo:Matlab fft.png\|600px]]

			Cada par de pontos simétricos em relação ao ponto central representa um conjunto de planos paralelos no espaço real, sendo a imagem real o conjunto de todos os planos representados por todos os pontos somado ao ruído da imagem. Observe que a imagem original, além de ruído, apresenta três planos diferentes como pode-se notar pela orientação dos átomos. Isso explica a presença de linhas claras ao redor dos pontos de difração. Um cristal perfeito, por outro lado, possuiria um padrão de difração de pontos localizados e não discos com linhas como vemos num cristal real.

			A seguir vejamos como decompor essas informações. Aplicando uma máscara sobre a imagem podemos selecionar apenas um par de pontos e ver a qual conjunto de planos do espaço real ele está relacionado:

	[[Arquivo:Applied mask.png\|900px]]		[[Arquivo:Applied mask.png\|900px]]

			Para descobrir qual é o conjunto de planos tomamos a transformada inversa:

	[[Arquivo:Inverse fft.png\|900px]]		[[Arquivo:Inverse fft.png\|900px]]

Dfriggo em 22h53min de 29 de outubro de 2017

2017-10-29T22:53:07Z

@@ Linha 253: / Linha 253: @@
 A transformada rápida é muito utilizada no tratamento de imagens. Software como ImageJ ou Matlab possuem muitas ferramentas que fazem uso da técnica. Uma aplicação específica da FFT é na análise de imagens de partículas nanométricas obtidas por um microscópio eletrônico de transmissão. Esse equipamento produz um interferograma que (a menos de correções) representa a imagem real do que se está observando mas também produz uma segunda imagem, localizada no ponto focal da lente, que é o padrão de difração da imagem real. Essa imagem é uma visualização do espaço recíproco, ou seja, da transformada do espaço real.
-Abaixo está uma imagem nanométrico de átomos de ouro obtida por um microscópio de transmissão eletrônica.
+Abaixo está uma imagem de um plano de átomos de ouro obtida por um microscópio de transmissão eletrônica. A imagem em si é representada por uma matrix 800x800 onde cada elemento da matrix é um valor de intensidade sendo 0 para totalmente escuro e 255 para totalmente claro.
 == Referências Bibliográficas==

Dfriggo em 22h36min de 29 de outubro de 2017

2017-10-29T22:36:51Z

← Edição anterior		Edição das 22h36min de 29 de outubro de 2017
Linha 250:		Linha 250:

	=== Padrões de Difração ===		=== Padrões de Difração ===

			A transformada rápida é muito utilizada no tratamento de imagens. Software como ImageJ ou Matlab possuem muitas ferramentas que fazem uso da técnica. Uma aplicação específica da FFT é na análise de imagens de partículas nanométricas obtidas por um microscópio eletrônico de transmissão. Esse equipamento produz um interferograma que (a menos de correções) representa a imagem real do que se está observando mas também produz uma segunda imagem, localizada no ponto focal da lente, que é o padrão de difração da imagem real. Essa imagem é uma visualização do espaço recíproco, ou seja, da transformada do espaço real.

			Abaixo está uma imagem nanométrico de átomos de ouro obtida por um microscópio de transmissão eletrônica.

			Utilizando, por exemplo o software Matlab podemos tomar a transformada inversa dessa imagem. A imagem em si é representada por um vetor de onda cada elemento da matrix é um valor de intensidade sendo 0 para totalmente escuro e 1 para totalmente claro. A transformada de fourier produz o padrão de difração que revela a periodicidade da imagem

	== Referências Bibliográficas==		== Referências Bibliográficas==

Dfriggo em 22h26min de 29 de outubro de 2017

2017-10-29T22:26:13Z

← Edição anterior		Edição das 22h26min de 29 de outubro de 2017
Linha 250:		Linha 250:

	=== Padrões de Difração ===		=== Padrões de Difração ===

			== Referências Bibliográficas==

			[1] [https://web.stanford.edu/class/cme324/classics/cooley-tukey.pdf An Algorithm for the Machine Calculation of. Complex Fourier Series. By James W. Cooley and John W. Turkey].

			[2] Kreyszig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. Wiley, 2011.

			[3] Scherer, Claudio. Métodos Computacionais da Física.

			[4] Richard; Faires, Douglas. Numerical Analysis, 2011

Dfriggo em 21h47min de 29 de outubro de 2017

2017-10-29T21:47:32Z

← Edição anterior		Edição das 21h47min de 29 de outubro de 2017
Linha 209:		Linha 209:
	=== Equação de Schrödinger: propagação de onda de probabilidade ===		=== Equação de Schrödinger: propagação de onda de probabilidade ===

	O cálculo da evolução temporal da equação de schrödinger é computacionalmente exigente. A cada passo de tempo é necessário recalcular a posição da onda de probabilidade que representa a partícula em cada ponto do domínio. Portanto, torna-se vantajoso o uso da transformada de fourier rápida. Além disso a própria transformada faz parte da solução, pois também deseja-se obter a sua evolução temporal no espaço de momento. O código foi desenvolvido por [https://jakevdp.github.io/blog/2012/09/05/quantum-python/ Jake Vanderplas, no entanto, sob extensas modificações foi possível entender o código e modifica-lo para representar situações diferentes das propostas pelo autor. ~~Em seu~~ site o autor ~~explica~~ a teoria por trás do problema e também ~~como funciona seu~~ algoritmo. A seguir exploramos a interação de uma onda de probabilidade com potenciais de diferentes ~~formatos~~.		O cálculo da evolução temporal da equação de schrödinger é computacionalmente exigente. A cada passo de tempo é necessário recalcular a posição da onda de probabilidade que representa a partícula em cada ponto do domínio. Portanto, torna-se vantajoso o uso da transformada de fourier rápida. Além disso a própria transformada faz parte da solução, pois também deseja-se obter a sua evolução temporal no espaço de momento. O código foi desenvolvido em python por [https://jakevdp.github.io/blog/2012/09/05/quantum-python/ Jake Vanderplas], no entanto, sob extensas modificações foi possível não apenas entender o código mas também modifica-lo para representar situações diferentes das propostas pelo autor. No site do autor encontra-se a explicação da teoria por trás do problema e também o funcionamento do algoritmo. A seguir exploramos a interação de uma onda de probabilidade com potenciais de diferentes formas.

	A parte principal do código modificado é exibida abaixo. Nota-se que o autor utilizou o método Leapfrog para integrar as equações de movimento fazendo a seguinte sequência de operações: dar um meio passo no espaço real, tomar a transformada, dar um passo no espaço de momento, tomar a transformada inversa e finalmente dar um passo completo no espaço real.		A parte principal do código modificado é exibida abaixo. Nota-se que o autor utilizou o método Leapfrog para integrar as equações de movimento fazendo a seguinte sequência de operações: dar um meio passo no espaço real, tomar a transformada, dar um passo no espaço de momento, tomar a transformada inversa e finalmente dar um passo completo no espaço real.

Dfriggo em 21h43min de 29 de outubro de 2017

2017-10-29T21:43:05Z

← Edição anterior		Edição das 21h43min de 29 de outubro de 2017
Linha 180:		Linha 180:
	Aplicando a transformada de fourier na curva gaussiana obtem-se outra gaussiana.		Aplicando a transformada de fourier na curva gaussiana obtem-se outra gaussiana.

	[[Arquivo:gaussian1.png\|~~600px~~]]		[[Arquivo:gaussian1.png\|700px]]

	Observa-se que uma curva larga no espaço real corresponde a uma curva estreita no espaço de fourier e vice-versa. Esse é um fato matemático amplamente conhecido e se exprime também na física pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg.		Observa-se que uma curva larga no espaço real corresponde a uma curva estreita no espaço de fourier e vice-versa. Esse é um fato matemático amplamente conhecido e se exprime também na física pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg.
	Abaixo uma curva gaussiana mais larga que a anterior e sua transformada correspondentemente mais estreita.		Abaixo uma curva gaussiana mais larga que a anterior e sua transformada correspondentemente mais estreita.

	[[Arquivo:gaussian2.png\|~~600px~~]]		[[Arquivo:gaussian2.png\|700px]]

	Uma função par em relação à origem possui uma expansão em fourier com termos ímpares nulos, no entanto, deslocando a gaussiana um pouco para a direita e, portanto, quebrando sua simetria, vemos que a sua transformada possui uma parte complexa:		Uma função par em relação à origem possui uma expansão em fourier com termos ímpares nulos, no entanto, deslocando a gaussiana um pouco para a direita e, portanto, quebrando sua simetria, vemos que a sua transformada possui uma parte complexa:

	[[Arquivo:gaussian3.png\|~~600px~~]]		[[Arquivo:gaussian3.png\|700px]]

	=== Oscilador Harmônico Amortecido ===		=== Oscilador Harmônico Amortecido ===
Linha 211:		Linha 211:
	O cálculo da evolução temporal da equação de schrödinger é computacionalmente exigente. A cada passo de tempo é necessário recalcular a posição da onda de probabilidade que representa a partícula em cada ponto do domínio. Portanto, torna-se vantajoso o uso da transformada de fourier rápida. Além disso a própria transformada faz parte da solução, pois também deseja-se obter a sua evolução temporal no espaço de momento. O código foi desenvolvido por [https://jakevdp.github.io/blog/2012/09/05/quantum-python/ Jake Vanderplas, no entanto, sob extensas modificações foi possível entender o código e modifica-lo para representar situações diferentes das propostas pelo autor. Em seu site o autor explica a teoria por trás do problema e também como funciona seu algoritmo. A seguir exploramos a interação de uma onda de probabilidade com potenciais de diferentes formatos.		O cálculo da evolução temporal da equação de schrödinger é computacionalmente exigente. A cada passo de tempo é necessário recalcular a posição da onda de probabilidade que representa a partícula em cada ponto do domínio. Portanto, torna-se vantajoso o uso da transformada de fourier rápida. Além disso a própria transformada faz parte da solução, pois também deseja-se obter a sua evolução temporal no espaço de momento. O código foi desenvolvido por [https://jakevdp.github.io/blog/2012/09/05/quantum-python/ Jake Vanderplas, no entanto, sob extensas modificações foi possível entender o código e modifica-lo para representar situações diferentes das propostas pelo autor. Em seu site o autor explica a teoria por trás do problema e também como funciona seu algoritmo. A seguir exploramos a interação de uma onda de probabilidade com potenciais de diferentes formatos.

	A parte principal do código modificado é ~~exibidade~~ abaixo:		A parte principal do código modificado é exibida abaixo. Nota-se que o autor utilizou o método Leapfrog para integrar as equações de movimento fazendo a seguinte sequência de operações: dar um meio passo no espaço real, tomar a transformada, dar um passo no espaço de momento, tomar a transformada inversa e finalmente dar um passo completo no espaço real.

	<source lang="python" line='line'>		<source lang="python" line='line'>
			def time_step():
			global t, psi_mod_x, psi_mod_k, t_max
			psi_mod_x *= x_evolve_half
			for i in range(N_steps):
			psi_mod_k = fft(psi_mod_x)
			psi_mod_k *= k_evolve
			psi_mod_x = ifft(psi_mod_k)
			psi_mod_x = x_evolve_halfx_evolve_half
			psi_mod_k = fft(psi_mod_x)
			t += dt * N_steps
			t_max = t_max - 1
			</source>

	~~</source>~~		O restante do código ocupa-se somente de inicialização de valores, definição do potencial e escrita dos resultados.

	==== Potencial Quadrado ====		==== Potencial Quadrado ====

	[[Square.gif]]		O potencial quadrado foi o exemplo escolhido pelo autor do código. Nesse exemplo fica visível que uma porção da onda de probabilidade atravessa o potencial embora classicamente não tenha energia suficiente para tal feito. Essa é uma demonstração numérica do efeito de tunelamento.

			[[Arquivo:Square.gif]]

	==== Potencial Triangular ====		==== Potencial Triangular ====

	[[c:Arquivo:Triangular.gif]]		O potencial triangular, por ter uma base mais larga, coíbe o efeito de tunelamento, no entanto, uma pequena porção da onda incidente ainda consegue transpor a barreira.

			[[Arquivo:Triangular.gif]]

	==== Potencial Batman ====		==== Potencial Batman ====

	[[Batman.gif]]		Em cursos básicos de quântica normalmente resolve-se apenas o potencial quadrado, às vezes, excepcionalmente, apresenta-se o potencial triangular. Isso se deve a dificuldade em tratar casos de potenciais irregulares analiticamente. Mas em casos reais os potenciais são extremamente irregulares. A solução numérica trata tais casos com naturalidade e sem qualquer alteração. Em particular, um potencial tipo batman é encarado sem problemas:

			[[Arquivo:Batman.gif]]

			A parte superior da curva é apenas ilustrativa (pois não faz sentido matemático nem físico)

	=== Padrões de Difração ===		=== Padrões de Difração ===

Dfriggo em 21h25min de 29 de outubro de 2017

2017-10-29T21:25:55Z

← Edição anterior		Edição das 21h25min de 29 de outubro de 2017
Linha 208:		Linha 208:

	=== Equação de Schrödinger: propagação de onda de probabilidade ===		=== Equação de Schrödinger: propagação de onda de probabilidade ===

			O cálculo da evolução temporal da equação de schrödinger é computacionalmente exigente. A cada passo de tempo é necessário recalcular a posição da onda de probabilidade que representa a partícula em cada ponto do domínio. Portanto, torna-se vantajoso o uso da transformada de fourier rápida. Além disso a própria transformada faz parte da solução, pois também deseja-se obter a sua evolução temporal no espaço de momento. O código foi desenvolvido por [https://jakevdp.github.io/blog/2012/09/05/quantum-python/ Jake Vanderplas, no entanto, sob extensas modificações foi possível entender o código e modifica-lo para representar situações diferentes das propostas pelo autor. Em seu site o autor explica a teoria por trás do problema e também como funciona seu algoritmo. A seguir exploramos a interação de uma onda de probabilidade com potenciais de diferentes formatos.

			A parte principal do código modificado é exibidade abaixo:

			<source lang="python" line='line'>

			</source>

	==== Potencial Quadrado ====		==== Potencial Quadrado ====

			[[Square.gif]]

	==== Potencial Triangular ====		==== Potencial Triangular ====

			[[c:Arquivo:Triangular.gif]]

	==== Potencial Batman ====		==== Potencial Batman ====

			[[Batman.gif]]

	=== Padrões de Difração ===		=== Padrões de Difração ===

Dfriggo em 19h51min de 29 de outubro de 2017

2017-10-29T19:51:59Z

@@ Linha 173: / Linha 173: @@
 == Exemplos ==
-Alguns exemplos básicos da transformada de fourier utilizando o código acima:
+Abaixo encontra-se alguns exemplos básicos da transformada de fourier com base no código acima porém com modificações para lidar com o caso em que o intervalo de amostragem é diferente de <math>[0, 2\pi]</math> e cuja taxa de amostragem é qualquer (diferente de <math>\frac{2\pi k}{N}</math> como assumido acima)
 === Gaussiana ===
-[[Arquivo:gaussian1.png]]
+A menos de uma normalização a função gaussiana é definida por: <math>f(x) = e^{-\frac{(x - <x>)^2}{2 \sigma^2}}</math>
-[[Arquivo:gaussian2.png]]
+Aplicando a transformada de fourier na curva gaussiana obtem-se outra gaussiana.
 [[Arquivo:gaussian3.png]]
-[[Arquivo:osch.jpg]]
+[[Arquivo:gaussian1.png|600px]]
 [[Arquivo:oschim.png]]
-[[Arquivo:oschre.png]]
+Observa-se que uma curva larga no espaço real corresponde a uma curva estreita no espaço de fourier e vice-versa. Esse é um fato matemático amplamente conhecido e se exprime também na física pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg.