Grupo3 - Ondas2 - Histórico de revisão

Lucasdoria: /* Scripts para a simulação dos resultados apresentados: */

2018-01-26T19:30:07Z

Scripts para a simulação dos resultados apresentados:

← Edição anterior		Edição das 19h30min de 26 de janeiro de 2018
Linha 319:		Linha 319:

	[[Programa baseado no método de Leapfrog para a simulação de uma corda real]]		[[Programa baseado no método de Leapfrog para a simulação de uma corda real]]

	~~[[Script para criar .gif com os resultados]]~~

	== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==		== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==

Lucasdoria: /* Scripts para a simulação dos resultados apresentados: */

2018-01-26T19:05:36Z

Scripts para a simulação dos resultados apresentados:

← Edição anterior		Edição das 19h05min de 26 de janeiro de 2018
Linha 317:		Linha 317:

	[[Programa baseado no método de Leapfrog para a simulação de uma corda ideal]]		[[Programa baseado no método de Leapfrog para a simulação de uma corda ideal]]

			[[Programa baseado no método de Leapfrog para a simulação de uma corda real]]

			[[Script para criar .gif com os resultados]]

	== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==		== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==

Lucasdoria: /* Análise e Discussão dos Resultados */

2018-01-26T19:03:42Z

Análise e Discussão dos Resultados

← Edição anterior		Edição das 19h03min de 26 de janeiro de 2018
Linha 314:		Linha 314:
	É possível observar que o tempo necessário para que, devido a fricção, os movimentos na corda diferenciem-se cada vez mais da solução para a corda ideal é menor para um tamanho de corda menor, ou seja, a fricção acaba sendo mais relevante mais rapidamente em cordas mais curtas. Isso significa que deixamos de ter apenas dois pulsos propagando-se em sentidos opostos para termos ou mais pulsos de amplitudes menores, ou a soma de pulsos de diferentes amplitudes.		É possível observar que o tempo necessário para que, devido a fricção, os movimentos na corda diferenciem-se cada vez mais da solução para a corda ideal é menor para um tamanho de corda menor, ou seja, a fricção acaba sendo mais relevante mais rapidamente em cordas mais curtas. Isso significa que deixamos de ter apenas dois pulsos propagando-se em sentidos opostos para termos ou mais pulsos de amplitudes menores, ou a soma de pulsos de diferentes amplitudes.

	Scripts para a simulação dos resultados apresentados:		=== Scripts para a simulação dos resultados apresentados: ===

	[[~~Script~~]]		[[Programa baseado no método de Leapfrog para a simulação de uma corda ideal]]

	== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==		== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==

Lucasdoria: /* Análise e Discussão dos Resultados */

2018-01-26T18:41:47Z

Análise e Discussão dos Resultados

← Edição anterior		Edição das 18h41min de 26 de janeiro de 2018
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	É possível observar que o tempo necessário para que, devido a fricção, os movimentos na corda diferenciem-se cada vez mais da solução para a corda ideal é menor para um tamanho de corda menor, ou seja, a fricção acaba sendo mais relevante mais rapidamente em cordas mais curtas. Isso significa que deixamos de ter apenas dois pulsos propagando-se em sentidos opostos para termos ou mais pulsos de amplitudes menores, ou a soma de pulsos de diferentes amplitudes.		É possível observar que o tempo necessário para que, devido a fricção, os movimentos na corda diferenciem-se cada vez mais da solução para a corda ideal é menor para um tamanho de corda menor, ou seja, a fricção acaba sendo mais relevante mais rapidamente em cordas mais curtas. Isso significa que deixamos de ter apenas dois pulsos propagando-se em sentidos opostos para termos ou mais pulsos de amplitudes menores, ou a soma de pulsos de diferentes amplitudes.

			Scripts para a simulação dos resultados apresentados:

			[[Script]]

	== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==		== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==

Lucasdoria: /* Análise e Discussão dos Resultados */

2018-01-24T23:39:36Z

Análise e Discussão dos Resultados

← Edição anterior		Edição das 23h39min de 24 de janeiro de 2018
Linha 223:		Linha 223:

	== Análise e Discussão dos Resultados ==		== Análise e Discussão dos Resultados ==
	Escolhemos para simular ~~[[teste]]~~ quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7, que são cordas dó de um piano <ref>Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.</ref> e uma corda qualquer baseada nos dados encontrados no livro "''Computational Physics''" <ref name=giordano/>. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo, onde iremos definir para cada corda o comprimento, a massa, a tensão aplicada elas, o número de divisões existentes, amostragem de sinal (que é um parâmetro obtido experimentalmente)e o parâmetro de fricção.		Escolhemos para simular quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7, que são cordas dó de um piano <ref>Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.</ref> e uma corda qualquer baseada nos dados encontrados no livro "''Computational Physics''" <ref name=giordano/>. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo, onde iremos definir para cada corda o comprimento, a massa, a tensão aplicada elas, o número de divisões existentes, amostragem de sinal (que é um parâmetro obtido experimentalmente)e o parâmetro de fricção.

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"

Lucasdoria: /* Análise e Discussão dos Resultados */

2018-01-24T23:39:23Z

Análise e Discussão dos Resultados

← Edição anterior		Edição das 23h39min de 24 de janeiro de 2018
Linha 223:		Linha 223:

	== Análise e Discussão dos Resultados ==		== Análise e Discussão dos Resultados ==
	Escolhemos para simular [teste] quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7, que são cordas dó de um piano <ref>Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.</ref> e uma corda qualquer baseada nos dados encontrados no livro "''Computational Physics''" <ref name=giordano/>. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo, onde iremos definir para cada corda o comprimento, a massa, a tensão aplicada elas, o número de divisões existentes, amostragem de sinal (que é um parâmetro obtido experimentalmente)e o parâmetro de fricção.		Escolhemos para simular [[teste]] quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7, que são cordas dó de um piano <ref>Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.</ref> e uma corda qualquer baseada nos dados encontrados no livro "''Computational Physics''" <ref name=giordano/>. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo, onde iremos definir para cada corda o comprimento, a massa, a tensão aplicada elas, o número de divisões existentes, amostragem de sinal (que é um parâmetro obtido experimentalmente)e o parâmetro de fricção.

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"

Lucasdoria: /* Análise e Discussão dos Resultados */

2018-01-24T23:39:07Z

Análise e Discussão dos Resultados

← Edição anterior		Edição das 23h39min de 24 de janeiro de 2018
Linha 223:		Linha 223:

	== Análise e Discussão dos Resultados ==		== Análise e Discussão dos Resultados ==
	Escolhemos para simular quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7, que são cordas dó de um piano <ref>Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.</ref> e uma corda qualquer baseada nos dados encontrados no livro "''Computational Physics''" <ref name=giordano/>. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo, onde iremos definir para cada corda o comprimento, a massa, a tensão aplicada elas, o número de divisões existentes, amostragem de sinal (que é um parâmetro obtido experimentalmente)e o parâmetro de fricção.		Escolhemos para simular [teste] quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7, que são cordas dó de um piano <ref>Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.</ref> e uma corda qualquer baseada nos dados encontrados no livro "''Computational Physics''" <ref name=giordano/>. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo, onde iremos definir para cada corda o comprimento, a massa, a tensão aplicada elas, o número de divisões existentes, amostragem de sinal (que é um parâmetro obtido experimentalmente)e o parâmetro de fricção.

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"

Asorander: /* Análise e Discussão dos Resultados */

2018-01-24T17:35:21Z

Análise e Discussão dos Resultados

← Edição anterior		Edição das 17h35min de 24 de janeiro de 2018
Linha 223:		Linha 223:

	== Análise e Discussão dos Resultados ==		== Análise e Discussão dos Resultados ==
	Escolhemos para simular quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7 de um piano <ref>Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.</ref> e uma corda qualquer baseada nos dados encontrados no livro "''Computational Physics''" <ref name=giordano/>. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo, onde iremos definir para cada corda o comprimento, a massa, a tensão aplicada elas, o número de divisões existentes, amostragem de sinal (que é um parâmetro obtido experimentalmente)e o parâmetro de fricção.		Escolhemos para simular quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7, que são cordas dó de um piano <ref>Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.</ref> e uma corda qualquer baseada nos dados encontrados no livro "''Computational Physics''" <ref name=giordano/>. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo, onde iremos definir para cada corda o comprimento, a massa, a tensão aplicada elas, o número de divisões existentes, amostragem de sinal (que é um parâmetro obtido experimentalmente)e o parâmetro de fricção.

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"

Asorander: /* Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos */

2018-01-24T17:33:47Z

Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos

← Edição anterior		Edição das 17h33min de 24 de janeiro de 2018
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	</math>		</math>

	O Teorema de Nyquist diz que a frequência superior no espectro deve ser menor do que <math>\frac{f_e}{2}</math> para evitar serrilhamento e para garantir uma reconstrução única e contínua. Logo, no caso ideal quando as autofrequências da corda são igualmente espaçadas (<math>\Delta f = f_1</math>), a condição de Nyquist indica que o número máximo de frequências no espectro é <math>K</math>. Isso significa que essa condição pode ser usada para selecionar o número apropriado de pontos espaciais <math>K</math> para a corda. Entretanto, como <math>K</math> é um inteiro, apenas valores discretos da frequência natural podem ser obtidos sem erros de trucamento, ou seja, usando <math>r = 1</math>. Como ~~series~~ discretas não costumam ser utilizadas, precisamos aceitar pequenos erros de truncamento para ajustar <math>f_1</math>, ou seja, utilizando <math>r < 1</math>. No caso de uma onda com fricção, temos que <math>r=\frac{1}{4}</math> é um valor de boa estabilidade.		O[https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem Teorema de Nyquist-Shannon] diz que a frequência superior no espectro deve ser menor do que <math>\frac{f_e}{2}</math> para evitar serrilhamento e para garantir uma reconstrução única e contínua. Logo, no caso ideal quando as autofrequências da corda são igualmente espaçadas (<math>\Delta f = f_1</math>), a condição de Nyquist indica que o número máximo de frequências no espectro é <math>K</math>. Isso significa que essa condição pode ser usada para selecionar o número apropriado de pontos espaciais <math>K</math> para a corda. Entretanto, como <math>K</math> é um inteiro, apenas valores discretos da frequência natural podem ser obtidos sem erros de trucamento, ou seja, usando <math>r = 1</math>. Como séries discretas não costumam ser utilizadas, precisamos aceitar pequenos erros de truncamento para ajustar <math>f_1</math>, ou seja, utilizando <math>r < 1</math>. No caso de uma onda com fricção, temos que <math>r=\frac{1}{4}</math> é um valor de boa estabilidade.

	== Referências Bibliográficas==		== Referências Bibliográficas==
	<references/>		<references/>

Asorander: /* Análise e Discussão dos Resultados */

2018-01-24T17:28:25Z

Análise e Discussão dos Resultados

← Edição anterior		Edição das 17h28min de 24 de janeiro de 2018
Linha 223:		Linha 223:

	== Análise e Discussão dos Resultados ==		== Análise e Discussão dos Resultados ==
	Escolhemos para simular quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7 de um piano <ref>Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.</ref> e uma corda ~~com~~ dados ~~pré-estabelecidos~~ encontrados em <ref name=giordano/>. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo, onde iremos definir para cada corda o comprimento, a massa, a tensão aplicada elas, o número de divisões existentes, amostragem de sinal (que é um parâmetro obtido experimentalmente)e o parâmetro de fricção.		Escolhemos para simular quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7 de um piano <ref>Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.</ref> e uma corda qualquer baseada nos dados encontrados no livro "''Computational Physics''" <ref name=giordano/>. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo, onde iremos definir para cada corda o comprimento, a massa, a tensão aplicada elas, o número de divisões existentes, amostragem de sinal (que é um parâmetro obtido experimentalmente)e o parâmetro de fricção.

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
Linha 283:		Linha 283:
	Os dados obtidos a partir de todas essas equações são calculados pelo programa com base dos dados da tabela.		Os dados obtidos a partir de todas essas equações são calculados pelo programa com base dos dados da tabela.

	Para a ~~corda com~~ dados ~~pré-estabelecidos~~, utilizamos uma corda com 2 metros de comprimento, com velocidade de propagação da onda sendo 300<math>m/s</math>, <math>\Delta x</math> de 0.01<math>m</math>, <math>\Delta t = \frac{\Delta x }{4v}</math> e parâmetro de fricção de <math>7.5\times10^{-6}</math>.		Para a simulação baseada nos dados retirados do livro ''"Computational Physics"''<ref name=giordano/>, utilizamos uma corda com 2 metros de comprimento, com velocidade de propagação transversal da onda sendo 300<math>m/s</math>, <math>\Delta x</math> de 0.01<math>m</math>, <math>\Delta t = \frac{\Delta x }{4v}</math> e parâmetro de fricção de <math>7.5\times10^{-6}</math>.
	Supondo a corda inicialmente em repouso, temos que em <math>t = 0</math> a corda ~~recebe~~ em seu centro o equivalente à batida do martelo do piano. Supomos que esse estímulo possuía o formato aproximado de uma Gaussiana com amplitude de <math>\frac{1}{4}</math> do comprimento de cada corda. Então, com o estado inicial sendo um pulso com o formato de um pacote gaussiano e os dados da tabela, ~~simulamos~~ a propagação de ondas ~~em cada uma das cordas~~.
			Supondo uma corda inicialmente em repouso, temos que em <math>t = 0</math> a corda irá receber em seu centro o equivalente à batida do martelo de um piano. Supomos que esse estímulo da batida do martelo possuía o formato aproximado de uma Gaussiana com amplitude de <math>\frac{1}{4}</math> do comprimento de cada corda.

			Então, com o estado inicial da simulação sendo um pulso com o formato de um pacote gaussiano, utilizando condições de contorno fixas, ou seja, mantendo as extremidades da corda paradas e utilizando os dados da tabela para simularmos cada uma das cordas, começamos a simular a propagação de ondas.

	Utilizando o método de Leapfrog, foi realizada uma primeira simulação para uma onda ideal em uma corda:		Utilizando o método de Leapfrog, foi realizada uma primeira simulação para uma onda ideal em uma corda:

	[[File:ideal.gif\|frame\|none\|alt=Alt text\|Simulação de uma onda em uma corda ideal. A corda simulada possuía comprimento de 2 metros e a amplitude inicial do pulso gaussiano tinha amplitude de 0.5 metros. Foi utilizado uma velocidade de propagação de 300 m/s, <math>\Delta x = 0.01</math> e <math>\Delta t = \frac{\Delta x }{4v}</math>.]]		[[File:ideal.gif\|frame\|none\|alt=Alt text\|Simulação de uma onda em uma corda ideal com condições de contorno u(0,t) = 0 e u(L,t) = 0. A corda simulada possuía comprimento de 2 metros e a amplitude inicial do pulso gaussiano tinha amplitude de 0.5 metros. Foi utilizado uma velocidade de propagação de 300 m/s, <math>\Delta x = 0.01</math> e <math>\Delta t = \frac{\Delta x }{4v}</math>.]]

	'''Corda C2:'''		'''Corda C2:'''
Linha 304:		Linha 307:
	[[Arquivo:C7foto.png\|frame\|none\|alt=Alt text\|Estado da corda C7 em diferentes instantes de tempo.]]		[[Arquivo:C7foto.png\|frame\|none\|alt=Alt text\|Estado da corda C7 em diferentes instantes de tempo.]]

	'''Corda com as definições do ~~Giordano~~:'''		'''Corda com as definições do livro "''Computational Physics''"<ref name=giordano/>:'''

	[[Arquivo:Giordano.gif\|frame\|none\|alt=Alt text\|Simulação da corda exemplificada no livro ''Computational Physics'' ~~[1]~~. Os parâmetros utilizados estão descritos no texto.]]		[[Arquivo:Giordano.gif\|frame\|none\|alt=Alt text\|Simulação da corda exemplificada no livro ''Computational Physics'' <ref name=giordano/>. Os parâmetros utilizados estão descritos no texto.]]
	[[Arquivo:Giordanofoto.png\|frame\|none\|alt=Alt text\|Estado da corda usada como exemplo pelo autor Giordano em diferentes instantes de tempo.]]		[[Arquivo:Giordanofoto.png\|frame\|none\|alt=Alt text\|Estado da corda usada como exemplo pelo autor Giordano <ref name=giordano/> em diferentes instantes de tempo.]]

	É possível observar que o tempo necessário para que, devido a fricção, os movimentos na corda diferenciem-se cada vez mais da solução para a corda ideal é menor para um tamanho de corda menor, ou seja, a fricção acaba sendo mais relevante mais rapidamente em cordas mais curtas.		É possível observar que o tempo necessário para que, devido a fricção, os movimentos na corda diferenciem-se cada vez mais da solução para a corda ideal é menor para um tamanho de corda menor, ou seja, a fricção acaba sendo mais relevante mais rapidamente em cordas mais curtas. Isso significa que deixamos de ter apenas dois pulsos propagando-se em sentidos opostos para termos ou mais pulsos de amplitudes menores, ou a soma de pulsos de diferentes amplitudes.

	== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==		== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==