Grupo1 - Dif em 2D - Histórico de revisão

Pedrow7: /* Método da Super Relaxação */

2017-12-02T16:18:45Z

Método da Super Relaxação

← Edição anterior		Edição das 13h18min de 2 de dezembro de 2017
Linha 181:		Linha 181:
	<math> v^{k} = \frac{1}{8} (u_{2 2} + u_{2 (N+1)} + u_{(N+1) 2} + 4u_{\frac{(N+2)}{2} \frac{(N+2)}{2}}+u_{(N+1) (N+1)}) </math>		<math> v^{k} = \frac{1}{8} (u_{2 2} + u_{2 (N+1)} + u_{(N+1) 2} + 4u_{\frac{(N+2)}{2} \frac{(N+2)}{2}}+u_{(N+1) (N+1)}) </math>

	=== Método da Super Relaxação ===		=== Método da Super Relaxação (SOR) ===

	Podemos também realizar uma média entre os valores já calculados e os ainda não calculados na iteração, o método da Super Relaxação ou Sobrerrelaxação (SOR) é da seguinte forma:		Podemos também realizar uma média entre os valores já calculados e os ainda não calculados na iteração, o método da Super Relaxação ou Sobrerrelaxação (SOR) é da seguinte forma:

Pedrow7 em 01h22min de 31 de outubro de 2017

2017-10-31T01:22:10Z

← Edição anterior		Edição das 22h22min de 30 de outubro de 2017
Linha 684:		Linha 684:
	#[[http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/iedp.pdf]] Biezuner, Rodney Josué,''Introdução às Equações Diferenciais Parciais'' (UFMG, 2007)		#[[http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/iedp.pdf]] Biezuner, Rodney Josué,''Introdução às Equações Diferenciais Parciais'' (UFMG, 2007)
	#Jianping Zhu, ''Solving Partial Differential Equations on Parallel Computers'' (World Scientific, 1994)		#Jianping Zhu, ''Solving Partial Differential Equations on Parallel Computers'' (World Scientific, 1994)

			Grupo: Pedro Barbisan Widniczck

Pedrow7: /* Exemplo 1 */

2017-10-26T06:58:28Z

Exemplo 1

← Edição anterior		Edição das 03h58min de 26 de outubro de 2017
Linha 256:		Linha 256:
	<math> u(x, y) = \frac{4L}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{sen(\frac{(2n+1) \pi x}{L})}{2n+1} \frac{senh\Big(\frac{(2n+1) \pi (L-y)}{L}\Big)}{ senh((2n+1)\pi)} </math>		<math> u(x, y) = \frac{4L}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{sen(\frac{(2n+1) \pi x}{L})}{2n+1} \frac{senh\Big(\frac{(2n+1) \pi (L-y)}{L}\Big)}{ senh((2n+1)\pi)} </math>

	Foi possível obter o gráfico da função analítica aproximada com os 110 primeiros termos parciais e estimar o erro entre a solução numérica e a solução analítica.		Foi possível obter o gráfico da função analítica aproximada com os 110 primeiros termos parciais e estimar o erro entre a solução numérica e a solução analítica, que foi alto devido ao truncamento da série que forma a solução analítica.

	[[Arquivo:solucaoanalitica1.png\|450px\|thumb\|Solução analítica do Problema de Contorno 1]]		[[Arquivo:solucaoanalitica1.png\|450px\|thumb\|Solução analítica do Problema de Contorno 1]]

Pedrow7: /* Exemplo 3 */

2017-10-26T06:55:24Z

Exemplo 3

← Edição anterior		Edição das 03h55min de 26 de outubro de 2017
Linha 288:		Linha 288:
	==== Exemplo 3 ====		==== Exemplo 3 ====

	O primeiro problema sobre a equação de Poisson , possui contornos fixos e uma gaussiana, pode ser considerado um problema de eletrostática com distribuição de carga <math> \frac{\rho}{\epsilon_{0}} = xy e^{-(x^2+ y^2)} </math> é descrito pela seguinte expressão, para o domínio <math> \Omega = (0;L) \times (0;L) </math>:		O primeiro problema sobre a equação de Poisson , possui contornos fixos e uma gaussiana, pode ser considerado um problema de eletrostática com distribuição de carga <math> \frac{\rho}{\epsilon_{0}} = xy e^{-(x^2+ y^2)} </math> . Tal problema é descrito pela seguinte expressão, para o domínio <math> \Omega = (0;L) \times (0;L) </math>:

	<math>		<math>

Pedrow7: /* Exemplo 3 */

2017-10-26T06:54:19Z

Exemplo 3

← Edição anterior		Edição das 03h54min de 26 de outubro de 2017
Linha 288:		Linha 288:
	==== Exemplo 3 ====		==== Exemplo 3 ====

	O primeiro problema sobre a equação de Poisson ~~não poderia~~ ser ~~diferente, que~~ é descrito pela seguinte expressão, para o domínio <math> \Omega = (0;L) \times (0;L) </math>:		O primeiro problema sobre a equação de Poisson , possui contornos fixos e uma gaussiana, pode ser considerado um problema de eletrostática com distribuição de carga <math> \frac{\rho}{\epsilon_{0}} = xy e^{-(x^2+ y^2)} </math> é descrito pela seguinte expressão, para o domínio <math> \Omega = (0;L) \times (0;L) </math>:

	<math>		<math>
Linha 304:		Linha 304:
	[[Arquivo:poisson0.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação]]		[[Arquivo:poisson0.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação]]
	[[Arquivo:overrP0.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação]]		[[Arquivo:overrP0.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação]]


	==== Exemplo 4 ====		==== Exemplo 4 ====

Pedrow7: /* Exemplo 1 */

2017-10-26T06:42:43Z

Exemplo 1

← Edição anterior		Edição das 03h42min de 26 de outubro de 2017
Linha 262:		Linha 262:
	[[Arquivo:erroanalitico1.png\|450px\|thumb\|Erro entre solução numérica e solução analítica em função do número de iterações]]		[[Arquivo:erroanalitico1.png\|450px\|thumb\|Erro entre solução numérica e solução analítica em função do número de iterações]]

	Foram obtidas as soluções mostradas nos gráficos a seguir, através do algoritmo de Gauss-Seidel.		Foram obtidas as soluções mostradas nos gráficos a seguir, através do algoritmo de Gauss-Seidel, no caso da relaxação foram necessárias 1471 iterações para a solução convergir, já SOR levou 1000.

	[[Arquivo:relaxacao1k1471.png\|450px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)]]		[[Arquivo:relaxacao1k1471.png\|450px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)]]

Pedrow7: /* Exemplo 1 */

2017-10-26T06:39:59Z

Exemplo 1

← Edição anterior		Edição das 03h39min de 26 de outubro de 2017
Linha 264:		Linha 264:
	Foram obtidas as soluções mostradas nos gráficos a seguir, através do algoritmo de Gauss-Seidel.		Foram obtidas as soluções mostradas nos gráficos a seguir, através do algoritmo de Gauss-Seidel.

	[[Arquivo:~~gaussseidel1~~.png\|450px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)]]		[[Arquivo:relaxacao1k1471.png\|450px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)]]
	[[Arquivo:~~overr~~.png\|450px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)]]		[[Arquivo:sol1k1001.png\|450px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)]]

	==== Exemplo 2 ====		==== Exemplo 2 ====

Pedrow7: /* Exemplo 2 */

2017-10-26T06:38:57Z

Exemplo 2

← Edição anterior		Edição das 03h38min de 26 de outubro de 2017
Linha 283:		Linha 283:
	Foram obtidas as seguintes soluções mostradas nos gráficos, através do algoritmo de Gauss-Seidel.		Foram obtidas as seguintes soluções mostradas nos gráficos, através do algoritmo de Gauss-Seidel.

	[[Arquivo:~~gaussseidel2~~.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)]]		[[Arquivo:relaxacao2k2122.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)]]
	[[Arquivo:~~overr2~~.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)]]		[[Arquivo:relaxacao2k1001.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)]]


	==== Exemplo 3 ====		==== Exemplo 3 ====

Pedrow7: /* Exemplo 5 */

2017-10-26T06:37:51Z

Exemplo 5

← Edição anterior		Edição das 03h37min de 26 de outubro de 2017
Linha 343:		Linha 343:


	[[Arquivo:~~poisson2~~.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação]]		[[Arquivo:poisson2r.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação]]
	[[Arquivo:~~overrP2~~.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação]]		[[Arquivo:poisson2sor.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação]]

	O programa utilizado para gerar as soluçoes e erros foi o seguir (ou com pequenas alteraçoes):		O programa utilizado para gerar as soluçoes e erros foi o seguir (ou com pequenas alteraçoes):


	==== Programa ====		==== Programa ====

Pedrow7: /* Exemplo 4 */

2017-10-26T06:34:32Z

Exemplo 4

← Edição anterior		Edição das 03h34min de 26 de outubro de 2017
Linha 323:		Linha 323:
	Foram obtidas as soluções mostradas nos gráficos a seguir, através do algoritmo de Gauss-Seidel.		Foram obtidas as soluções mostradas nos gráficos a seguir, através do algoritmo de Gauss-Seidel.

	[[Arquivo:~~poisson1~~.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação]]		[[Arquivo:poisson1r.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação]]
	[[Arquivo:~~overrP1~~.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação]]		[[Arquivo:poisson1sor.png\|300px\|Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação]]

	==== Exemplo 5 ====		==== Exemplo 5 ====