Equações de Lotka-Volterra Estocásticas - Histórico de revisão

Lucasassmann4: /* Código */

2024-08-27T18:26:05Z

Código

Lucasassmann4: /* Itô */

2024-08-27T18:17:22Z

Itô

← Edição anterior		Edição das 18h17min de 27 de agosto de 2024
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	<center>		<center>
	[[Arquivo:Serie1.png]]		[[Arquivo:Serie1.png\|1000px]]
	</center>		</center>

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	<center>		<center>
	[[Arquivo:Serie4.png]]		[[Arquivo:Serie4.png\|1000px]]
	</center>		</center>

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	<center>		<center>
	[[Arquivo:Serie a1.png]]		[[Arquivo:Serie a1.png\|1000px]]
	</center>		</center>

	<center>		<center>
	[[Arquivo:Serie a2.png]]		[[Arquivo:Serie a2.png\|1000px]]
	</center>		</center>

	<center>		<center>
	[[Arquivo:Serie a3.png]]		[[Arquivo:Serie a3.png\|1000px]]
	</center>		</center>

	Nota-se que os períodos e as amplitudes diminuem conforme <math>a</math> aumenta. Os ruídos se tornaram mais presentes com grandes variâncias nas simulações com <math>a</math> pequeno. Outra tendência observada foi de que o regime ruidoso parece ocorrer mais tarde para valores de <math>a</math> maiores, o que provavelmente está associado ao fato de o ruído se tornar mais presente para pequenas oscilações temporais do número de presas, o que ocorre na região próxima do ponto fixo.		Nota-se que os períodos e as amplitudes diminuem conforme <math>a</math> aumenta. Os ruídos se tornaram mais presentes com grandes variâncias nas simulações com <math>a</math> pequeno. Outra tendência observada foi de que o regime ruidoso parece ocorrer mais tarde para valores de <math>a</math> maiores, o que provavelmente está associado ao fato de o ruído se tornar mais presente para pequenas oscilações temporais do número de presas, o que ocorre na região próxima do ponto fixo.


	===Stratonovich===		===Stratonovich===

Lucasassmann4: /* Ruído externo */

2024-08-27T18:13:45Z

Ruído externo

← Edição anterior		Edição das 18h13min de 27 de agosto de 2024
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	[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo40.0_yo60.0_N50.png\|800px\|thumb\|~~left~~\|Espaço de fases para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (40.0,60.0)</math>]]		[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo40.0_yo60.0_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Espaço de fases para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (40.0,60.0)</math>]]
	[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo2.5_yo20.0_N50.png\|800px\|thumb\|~~right~~\|Espaço de fases para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (2.5,20.0)</math>]]		[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo2.5_yo20.0_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Espaço de fases para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (2.5,20.0)</math>]]


	[[Arquivo:SLV_Stats_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo40.0_yo60.0_N50.png\|800px\|thumb\|~~left~~\|Séries temporais para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (40.0,60.0)</math>]]		[[Arquivo:SLV_Stats_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo40.0_yo60.0_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Séries temporais para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (40.0,60.0)</math>]]
	[[Arquivo:SLV_Stats_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo2.5_yo20.0_N50.png\|800px\|thumb\|~~right~~\|Séries temporais para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (2.5,20.0)</math>]]		[[Arquivo:SLV_Stats_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo2.5_yo20.0_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Séries temporais para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (2.5,20.0)</math>]]


	Desses resultados, percebe-se que o sistema estocástico não tem mais órbitas fechadas, e o ponto de equilíbrio se torna um atrator. Isso fica muito claro ~~nos gráficos da esquerda~~, onde a trajetória do sistema até o ponto fixo é bastante direta e pouco ruidosa. Por outro lado, é interessante notar que o ponto de equilíbrio se torna instável, como visto nos gráficos da direita: ao começar em cima do ponto fixo, o ruído leva o sistema para uma "órbita" em torno dele. Observando as séries temporais, percebe-se que a média do sistema fica em torno do ponto de equilíbrio mas com uma variância alta, evidenciando o efeito do ruído sobre a estabilidade do sistema.		Desses resultados, percebe-se que o sistema estocástico não tem mais órbitas fechadas, e o ponto de equilíbrio se torna um atrator. Isso fica muito claro no primeiro mapa de fase, onde a trajetória do sistema até o ponto fixo é bastante direta e pouco ruidosa. Por outro lado, é interessante notar que o ponto de equilíbrio se torna instável, como visto nos gráficos da direita: ao começar em cima do ponto fixo, o ruído leva o sistema para uma "órbita" em torno dele. Observando as séries temporais, percebe-se que a média do sistema fica em torno do ponto de equilíbrio mas com uma variância alta, evidenciando o efeito do ruído sobre a estabilidade do sistema.


Linha 214:		Linha 214:
	Passamos, então, ao estudo do ruído no sistema. Para tanto, fixamos os parâmetros e as condições iniciais e variamos a intensidade do ruído. Os resultados estão representados abaixo:		Passamos, então, ao estudo do ruído no sistema. Para tanto, fixamos os parâmetros e as condições iniciais e variamos a intensidade do ruído. Os resultados estão representados abaixo:

	[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|~~left~~\|Espaço de fases para o ruído <math>\epsilon_x = 0.01, \ \epsilon_y = 0.02</math>]]		[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Espaço de fases para o ruído <math>\epsilon_x = 0.01, \ \epsilon_y = 0.02</math>]]
	[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.1_ey0.2_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|~~right~~\|Espaço de fases para o ruído <math>\epsilon_x = 0.1, \ \epsilon_y = 0.2</math>]]		[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.1_ey0.2_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Espaço de fases para o ruído <math>\epsilon_x = 0.1, \ \epsilon_y = 0.2</math>]]


	[[Arquivo:SLV_Stats_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|~~left~~\|Séries temporais para o ruído <math>\epsilon_x = 0.01, \ \epsilon_y = 0.02</math>]]		[[Arquivo:SLV_Stats_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Séries temporais para o ruído <math>\epsilon_x = 0.01, \ \epsilon_y = 0.02</math>]]
	[[Arquivo:SLV_Stats_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.1_ey0.2_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|~~right~~\|Séries temporais para o ruído <math>\epsilon_x = 0.1, \ \epsilon_y = 0.2</math>]]		[[Arquivo:SLV_Stats_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.1_ey0.2_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Séries temporais para o ruído <math>\epsilon_x = 0.1, \ \epsilon_y = 0.2</math>]]

Lucasassmann4 em 18h05min de 27 de agosto de 2024

2024-08-27T18:05:19Z

← Edição anterior		Edição das 18h05min de 27 de agosto de 2024
Linha 45:		Linha 45:
	onde os <math>\xi_i</math> são os ruídos brancos de cada variável, e <math>\epsilon_i</math>, a intensidade dos mesmos.		onde os <math>\xi_i</math> são os ruídos brancos de cada variável, e <math>\epsilon_i</math>, a intensidade dos mesmos.

	~~Ao escrever o diferencial total, obtemos~~

	~~<math>~~
	~~\begin{cases}~~

	~~dX = X(a - bY)dt + \epsilon_x X \bullet dW_x \\~~
	~~dY = Y(-c + fX)dt + \epsilon_y Y \bullet dW_y~~

	~~\end{cases}~~
	~~</math>~~

	===Itô===		===Itô===
	~~Transformando~~ as ~~equações acima para~~ equações diferenciais estocásticas no sentido de Itô~~, obtemos~~		Executando um processo análogo ao realizado na seção seguinte obtém-se as equações diferenciais estocásticas no sentido de Itô:

	<math>		<math>
	\begin{cases}		\begin{cases}

	dX = X(a - bY + \frac{1}{2} {\epsilon_x}^2)dt + \epsilon_x X dW_x \\		dX = X(a - bY + \frac{1}{2} {\epsilon_x}^2)dt + \epsilon_x X \bullet dW_x \\
	dY = Y(-c + fX + \frac{1}{2} {\epsilon_y}^2)dt + \epsilon_y Y dW_y \\		dY = Y(-c + fX + \frac{1}{2} {\epsilon_y}^2)dt + \epsilon_y Y \bullet dW_y \\

	\end{cases}		\end{cases}

Vinibaynem: /* Ruído nos parâmetros */ organizei o texto

2024-08-27T14:10:30Z

Ruído nos parâmetros: organizei o texto

← Edição anterior		Edição das 14h10min de 27 de agosto de 2024
Linha 237:		Linha 237:

	==Ruído nos parâmetros==		==Ruído nos parâmetros==
			O modelo com os parâmetros estocásticos foi analisado no sentido de Itô e no sentido de Stratonovich, conforme a dedução anterior.

	===Itô===		===Itô===
	Primeiramente realizou-se simulações variando o número de presas iniciais para um número fixo de predadores, representando-o em um mapa de fase da média de 50 realizações:		Primeiramente realizou-se simulações variando o número de presas iniciais para um número fixo de predadores, representando o sistema em um mapa de fase da média de 50 realizações:

	<center>		<center>
Linha 262:		Linha 263:
	</center>		</center>

	Mostrando, portanto, que o sistema estocástico se reduz ao determinístico no limite em que o ruído é muito pequeno, dado que ~~observa-~~se órbitas fechadas. Espera-se que a variância seja nula em um sistema determinístico, porém numericamente obteve-se oscilações que são da ordem do ruído ou menor, corroborando para a convergência do sistema estocástico ~~para o~~ determinístico ~~para~~ pequenos ruídos.		Mostrando, portanto, que o sistema estocástico se reduz ao determinístico no limite em que o ruído é muito pequeno, dado que se observam órbitas fechadas. Espera-se que a variância seja nula em um sistema determinístico, porém numericamente obteve-se oscilações que são da ordem do ruído ou menor, corroborando para a convergência do sistema estocástico ao determinístico com pequenos ruídos.

	Ao realizar as simulações notou-se que o sistema é bastante sensível ao ruído, convergindo para valores bem estritos ~~para os~~ parâmetros, ruído e condição inicial. ~~Mostrando~~, ~~portanto, que~~ embora esse sistema modele uma interação entre dois níveis da cadeia alimentar, ele possui alguns graves problemas, como a fácil divergência, devido, provavelmente, aos termos cúbicos das equações. Porém também houve resultados interessantes como os atratores, que podem representar uma espécie de equilíbrio ecológico, onde não há extinções com o passar do tempo. Um dos problemas mais sérios com relação ao modelo é que mesmo na ausência de presas a população de predadores pode crescer indefinidamente, o que não condiz com a realidade.		Ao realizar as simulações notou-se que o sistema é bastante sensível ao ruído, convergindo para valores bem estritos de parâmetros, ruído e condição inicial. Portanto, embora esse sistema modele uma interação entre dois níveis da cadeia alimentar, ele possui alguns graves problemas, como a fácil divergência -- devido, provavelmente, aos termos cúbicos das equações. Porém, também houve resultados interessantes como os atratores, que podem representar uma espécie de equilíbrio ecológico, onde não há extinções com o passar do tempo. Um dos problemas mais sérios com relação ao modelo é que mesmo na ausência de presas a população de predadores pode crescer indefinidamente, o que não condiz com a realidade.

	As simulações realizadas variando os parâmetros trouxeram pequenas modificações no comportamento do sistema, como a alteração do período, a quantidade de órbitas bem definidas e suas amplitudes.		As simulações realizadas variando os parâmetros trouxeram pequenas modificações no comportamento do sistema, como a alteração do período, a quantidade de órbitas bem definidas e suas amplitudes.
Linha 281:		Linha 282:
	</center>		</center>

	Nota-se que os períodos ~~vão diminuindo~~ conforme <math>a</math> aumenta ~~enquanto as amplitudes tendem a diminuir~~. Os ruídos se tornaram mais presentes com grandes variâncias nas simulações com <math>a</math> ~~pequenos~~. Outra tendência observada foi de que o regime ~~ruídoso~~ parece ocorrer mais tarde para valores de <math>a</math> maiores~~. O~~ que provavelmente está associado ~~com o~~ fato de o ruído se tornar mais presente para pequenas oscilações temporais do número de presas, o que ocorre na região próxima do ponto fixo.		Nota-se que os períodos e as amplitudes diminuem conforme <math>a</math> aumenta. Os ruídos se tornaram mais presentes com grandes variâncias nas simulações com <math>a</math> pequeno. Outra tendência observada foi de que o regime ruidoso parece ocorrer mais tarde para valores de <math>a</math> maiores, o que provavelmente está associado ao fato de o ruído se tornar mais presente para pequenas oscilações temporais do número de presas, o que ocorre na região próxima do ponto fixo.


Linha 291:		Linha 292:
	</center>		</center>

	Percebe-se que as órbitas se distribuem de forma menos espaçada radialmente em relação a simulação de Itô e possuem trajetórias menos ruidosas. Em seguida, fez-se o gráfico do comportamento da média e variância das densidades populacionais. Pode-se observar que os valores médios convergem para os valores do ponto fixo e continuam variando em torno dele numa forma de batimento. A amplitude das variações da variância não se estabilizou.		Percebe-se que as órbitas se distribuem de forma menos espaçada radialmente em relação à simulação de Itô e possuem trajetórias menos ruidosas.

			Em seguida, fez-se o gráfico do comportamento da média e variância das densidades populacionais. Pode-se observar que os valores médios convergem para os valores do ponto fixo e continuam variando em torno dele numa forma de batimento. A amplitude das variações da variância não se estabilizou.

	<center>		<center>
Linha 297:		Linha 300:
	</center>		</center>

	No próximo teste, variou-se o valor do ruído procurando um ~~valo~~ máximo para a simulação não divergir. Encontrou-se o valor <math> \epsilon = 0.00046 </math>, porém os sistema pode não convergir ~~pra valores~~ de ~~tempo máximo~~ muito grandes. Observou-se que isso independe da condição inicial.		No próximo teste, variou-se o valor do ruído procurando um valor máximo para a simulação não divergir. Encontrou-se o valor <math> \epsilon = 0.00046 </math>, porém os sistema pode não convergir para tempos de integração muito grandes. Observou-se que isso independe da condição inicial.

	<center>		<center>
Linha 303:		Linha 306:
	</center>		</center>

	Por fim, a variação dos parâmetros <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math> d </math> pode comprometer a convergência da simulação, como por exemplo para taxa de crescimento do predador muito alta. Simulou-se as equações ~~como~~ parâmetros distintos para evidenciar o comportamento bastante convergente do método em condições iniciais extremas:		Por fim, a variação dos parâmetros <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math> d </math> pode comprometer a convergência da simulação, como, por exemplo, para os casos de taxa de crescimento do predador muito alta. Simulou-se as equações com parâmetros distintos para evidenciar o comportamento bastante convergente do método em condições iniciais extremas:

	<center>		<center>

Vinibaynem: /* Ruído externo */

2024-08-27T13:49:37Z

Ruído externo

← Edição anterior		Edição das 13h49min de 27 de agosto de 2024
Linha 204:		Linha 204:

	==Ruído externo==		==Ruído externo==
	O modelo com ruído externo foi tratado apenas no sentido de Itô. As simulações foram feitas com o intuito de observar o efeito das condições iniciais~~, dos parâmetros~~ e da intensidade do ruído.		O modelo com ruído externo foi tratado apenas no sentido de Itô. As simulações foram feitas com o intuito de observar o efeito das condições iniciais e da intensidade do ruído.

	===Condições iniciais===		===Condições iniciais===
Linha 220:		Linha 220:
	Desses resultados, percebe-se que o sistema estocástico não tem mais órbitas fechadas, e o ponto de equilíbrio se torna um atrator. Isso fica muito claro nos gráficos da esquerda, onde a trajetória do sistema até o ponto fixo é bastante direta e pouco ruidosa. Por outro lado, é interessante notar que o ponto de equilíbrio se torna instável, como visto nos gráficos da direita: ao começar em cima do ponto fixo, o ruído leva o sistema para uma "órbita" em torno dele. Observando as séries temporais, percebe-se que a média do sistema fica em torno do ponto de equilíbrio mas com uma variância alta, evidenciando o efeito do ruído sobre a estabilidade do sistema.		Desses resultados, percebe-se que o sistema estocástico não tem mais órbitas fechadas, e o ponto de equilíbrio se torna um atrator. Isso fica muito claro nos gráficos da esquerda, onde a trajetória do sistema até o ponto fixo é bastante direta e pouco ruidosa. Por outro lado, é interessante notar que o ponto de equilíbrio se torna instável, como visto nos gráficos da direita: ao começar em cima do ponto fixo, o ruído leva o sistema para uma "órbita" em torno dele. Observando as séries temporais, percebe-se que a média do sistema fica em torno do ponto de equilíbrio mas com uma variância alta, evidenciando o efeito do ruído sobre a estabilidade do sistema.

	===~~Parâmetros~~===
			===Intensidade do ruído===
			Passamos, então, ao estudo do ruído no sistema. Para tanto, fixamos os parâmetros e as condições iniciais e variamos a intensidade do ruído. Os resultados estão representados abaixo:

			[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|left\|Espaço de fases para o ruído <math>\epsilon_x = 0.01, \ \epsilon_y = 0.02</math>]]
			[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.1_ey0.2_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|right\|Espaço de fases para o ruído <math>\epsilon_x = 0.1, \ \epsilon_y = 0.2</math>]]


	===~~Intensidade~~ do ruído~~===~~		[[Arquivo:SLV_Stats_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|left\|Séries temporais para o ruído <math>\epsilon_x = 0.01, \ \epsilon_y = 0.02</math>]]
			[[Arquivo:SLV_Stats_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.1_ey0.2_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|right\|Séries temporais para o ruído <math>\epsilon_x = 0.1, \ \epsilon_y = 0.2</math>]]


			Observamos que o sistema se comporta relativamente bem com um ruído da ordem de <math>10^{-2}</math>, de acordo com as análises feitas anteriormente. Contudo, ao aumentar o ruído por um fator de <math>10^{1}</math>, a variância do sistema alcança valores maiores por um fator de <math>10^{3}</math>. O sistema ainda parece ter sua média em torno do ponto de equilíbrio, mas a variância é tão grande que o comportamento dele quase não é ditado por esse ponto.

			Outro fator importante de se ressaltar é o fato de que <math>X</math> e <math>Y</math> não podem ser negativos. O ruído, sendo um processo de Wiener, é simétrico em torno do zero, portanto o sistema poderia divergir para <math>\pm\infty</math>. Porém, devido à condição <math>X, Y \geq 0</math>, que foi imposta sobre a integração numérica, o sistema dificilmente fica equilibrado em torno de zero, pois qualquer ruído negativo será descartado. Assim, para valores pequenos do ponto de equilíbrio, a média do sistema tem um comportamento assimétrico em torno dele. Quanto aos pontos de equilíbrio, isso significa que, enquanto o ponto fixo não trivial se torna uma espécie de ciclo limite, o ponto fixo trivial <math>(0,0)</math> deixa de ser uma solução de equilíbrio.

	==Ruído nos parâmetros==		==Ruído nos parâmetros==

Vinibaynem: /* Condições iniciais */

2024-08-27T13:23:11Z

Condições iniciais

← Edição anterior		Edição das 13h23min de 27 de agosto de 2024
Linha 207:		Linha 207:

	===Condições iniciais===		===Condições iniciais===
			Foram escolhidas algumas condições iniciais diferentes, com os mesmos parâmetros e ruído, a fim de observar o comportamento do sistema quanto ao ponto fixo. O espaço de fases e as séries temporais estão representados abaixo:


			[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo40.0_yo60.0_N50.png\|800px\|thumb\|left\|Espaço de fases para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (40.0,60.0)</math>]]
			[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo2.5_yo20.0_N50.png\|800px\|thumb\|right\|Espaço de fases para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (2.5,20.0)</math>]]


			[[Arquivo:SLV_Stats_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo40.0_yo60.0_N50.png\|800px\|thumb\|left\|Séries temporais para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (40.0,60.0)</math>]]
			[[Arquivo:SLV_Stats_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo2.5_yo20.0_N50.png\|800px\|thumb\|right\|Séries temporais para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (2.5,20.0)</math>]]


			Desses resultados, percebe-se que o sistema estocástico não tem mais órbitas fechadas, e o ponto de equilíbrio se torna um atrator. Isso fica muito claro nos gráficos da esquerda, onde a trajetória do sistema até o ponto fixo é bastante direta e pouco ruidosa. Por outro lado, é interessante notar que o ponto de equilíbrio se torna instável, como visto nos gráficos da direita: ao começar em cima do ponto fixo, o ruído leva o sistema para uma "órbita" em torno dele. Observando as séries temporais, percebe-se que a média do sistema fica em torno do ponto de equilíbrio mas com uma variância alta, evidenciando o efeito do ruído sobre a estabilidade do sistema.

	===Parâmetros===		===Parâmetros===

Andredv: /* Stratonovich */

2024-08-27T13:09:59Z

Stratonovich

← Edição anterior		Edição das 13h09min de 27 de agosto de 2024
Linha 269:		Linha 269:
	</center>		</center>

	Percebe-se que as órbitas se distribuem de forma menos espaçada radialmente em relação a simulação de Itô e ~~possui~~ trajetórias menos ruidosas. Em seguida, fez-se o gráfico do comportamento da média e variância das densidades populacionais. Pode-se observar que os valores médios convergem para os valores do ponto fixo e continuam variando em ~~trono~~ dele numa forma de batimento. A amplitude das variações da variância não se estabilizou.		Percebe-se que as órbitas se distribuem de forma menos espaçada radialmente em relação a simulação de Itô e possuem trajetórias menos ruidosas. Em seguida, fez-se o gráfico do comportamento da média e variância das densidades populacionais. Pode-se observar que os valores médios convergem para os valores do ponto fixo e continuam variando em torno dele numa forma de batimento. A amplitude das variações da variância não se estabilizou.

	<center>		<center>

Andredv: /* Stratonovich */

2024-08-27T13:08:12Z

Stratonovich

← Edição anterior		Edição das 13h08min de 27 de agosto de 2024
Linha 264:		Linha 264:
	===Stratonovich===		===Stratonovich===

	Com o objetivo de comparar a influência de diferentes ruídos com mesmos parâmetros, foi realizado o gráfico com 5 condições iniciais iguais ao exemplo de Itô.		Com o objetivo de comparar a influência de diferentes ruídos com mesmos parâmetros, foi realizado o gráfico com condições iniciais iguais ao exemplo de Itô.
	<center>		<center>
	[[Arquivo:strato_mapa_vci.png]]		[[Arquivo:strato_mapa_vci.png]]

Andredv: /* Stratonovich */

2024-08-27T13:07:27Z

Stratonovich

← Edição anterior		Edição das 13h07min de 27 de agosto de 2024
Linha 138:		Linha 138:

	===Stratonovich===		===Stratonovich===
	O ruído também pode ser adicionado nos parâmetros <math> b </math> e <math> d </math>, de forma que <math> b \to b + \epsilon_x \xi_x(t))</math> e <math> d \to d + \epsilon_y \xi_y(t))</math>, onde ~~agora~~ o ruído segue a forma de Stratonovich. Essa mudança pode ser interpretada como a predação de diferentes predadores sobre uma mesma presa, considerando que não há competição entre as diferentes espécies. Esse ruído também pode ser pensado como uma variação do efeito da caça de um mesmo predador, ocasionado, por exemplo, a um certo número de presas escaparem à caça.		O ruído também pode ser adicionado nos parâmetros <math> b </math> e <math> d </math>, de forma que <math> b \to b + \epsilon_x \xi_x(t)</math> e <math> d \to d + \epsilon_y \xi_y(t)</math>, onde o ruído segue a forma de Stratonovich. Essa mudança pode ser interpretada como a predação de diferentes predadores sobre uma mesma presa, considerando que não há competição entre as diferentes espécies. Esse ruído também pode ser pensado como uma variação do efeito da caça de um mesmo predador, ocasionado, por exemplo, a um certo número de presas escaparem à caça.

	Dessa forma, a dinâmica populacional se comporta como:		Dessa forma, a dinâmica populacional se comporta como:

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	[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo40.0_yo60.0_N50.png\|800px\|thumb\|~~left~~\|Espaço de fases para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (40.0,60.0)</math>]]		[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo40.0_yo60.0_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Espaço de fases para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (40.0,60.0)</math>]]
	[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo2.5_yo20.0_N50.png\|800px\|thumb\|~~right~~\|Espaço de fases para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (2.5,20.0)</math>]]		[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo2.5_yo20.0_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Espaço de fases para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (2.5,20.0)</math>]]


	[[Arquivo:SLV_Stats_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo40.0_yo60.0_N50.png\|800px\|thumb\|~~left~~\|Séries temporais para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (40.0,60.0)</math>]]		[[Arquivo:SLV_Stats_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo40.0_yo60.0_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Séries temporais para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (40.0,60.0)</math>]]
	[[Arquivo:SLV_Stats_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo2.5_yo20.0_N50.png\|800px\|thumb\|~~right~~\|Séries temporais para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (2.5,20.0)</math>]]		[[Arquivo:SLV_Stats_a2.0_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo2.5_yo20.0_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Séries temporais para a condição inicial <math>(x^\ast,y^\ast) = (2.5,20.0)</math>]]


	Desses resultados, percebe-se que o sistema estocástico não tem mais órbitas fechadas, e o ponto de equilíbrio se torna um atrator. Isso fica muito claro ~~nos gráficos da esquerda~~, onde a trajetória do sistema até o ponto fixo é bastante direta e pouco ruidosa. Por outro lado, é interessante notar que o ponto de equilíbrio se torna instável, como visto nos gráficos da direita: ao começar em cima do ponto fixo, o ruído leva o sistema para uma "órbita" em torno dele. Observando as séries temporais, percebe-se que a média do sistema fica em torno do ponto de equilíbrio mas com uma variância alta, evidenciando o efeito do ruído sobre a estabilidade do sistema.		Desses resultados, percebe-se que o sistema estocástico não tem mais órbitas fechadas, e o ponto de equilíbrio se torna um atrator. Isso fica muito claro no primeiro mapa de fase, onde a trajetória do sistema até o ponto fixo é bastante direta e pouco ruidosa. Por outro lado, é interessante notar que o ponto de equilíbrio se torna instável, como visto nos gráficos da direita: ao começar em cima do ponto fixo, o ruído leva o sistema para uma "órbita" em torno dele. Observando as séries temporais, percebe-se que a média do sistema fica em torno do ponto de equilíbrio mas com uma variância alta, evidenciando o efeito do ruído sobre a estabilidade do sistema.


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	Passamos, então, ao estudo do ruído no sistema. Para tanto, fixamos os parâmetros e as condições iniciais e variamos a intensidade do ruído. Os resultados estão representados abaixo:		Passamos, então, ao estudo do ruído no sistema. Para tanto, fixamos os parâmetros e as condições iniciais e variamos a intensidade do ruído. Os resultados estão representados abaixo:

	[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|~~left~~\|Espaço de fases para o ruído <math>\epsilon_x = 0.01, \ \epsilon_y = 0.02</math>]]		[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Espaço de fases para o ruído <math>\epsilon_x = 0.01, \ \epsilon_y = 0.02</math>]]
	[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.1_ey0.2_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|~~right~~\|Espaço de fases para o ruído <math>\epsilon_x = 0.1, \ \epsilon_y = 0.2</math>]]		[[Arquivo:SLV_PhaseSpace_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.1_ey0.2_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Espaço de fases para o ruído <math>\epsilon_x = 0.1, \ \epsilon_y = 0.2</math>]]


	[[Arquivo:SLV_Stats_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|~~left~~\|Séries temporais para o ruído <math>\epsilon_x = 0.01, \ \epsilon_y = 0.02</math>]]		[[Arquivo:SLV_Stats_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.01_ey0.02_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Séries temporais para o ruído <math>\epsilon_x = 0.01, \ \epsilon_y = 0.02</math>]]
	[[Arquivo:SLV_Stats_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.1_ey0.2_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|~~right~~\|Séries temporais para o ruído <math>\epsilon_x = 0.1, \ \epsilon_y = 0.2</math>]]		[[Arquivo:SLV_Stats_a1.5_b0.1_c0.25_f0.1_ex0.1_ey0.2_xo20_yo10_N50.png\|800px\|thumb\|center\|Séries temporais para o ruído <math>\epsilon_x = 0.1, \ \epsilon_y = 0.2</math>]]