Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática - Histórico de revisão

Gustavobopsin: /* Caixa com carga pontual */

2023-02-06T03:16:55Z

Caixa com carga pontual

← Edição anterior		Edição das 03h16min de 6 de fevereiro de 2023
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	=== Caixa com carga pontual ===		=== Caixa com carga pontual ===

	[[Arquivo:caixa_poisson1.png\|thumb\|right\|Campo elétrico para a carga pontual.\|300px]]		[[Arquivo:caixa_poisson1.png\|thumb\|right\|Campo elétrico para a carga pontual. Giordano e Nakanishi.\|300px]]

	Este é o primeiro problema em que cargas elétricas estão envolvidas, ou seja, temos que resolver numericamente a equação de Poisson ao invés da equação de Laplace. Vamos considerar uma caixa tridimensional (um cubo) de lado 2 e colocar a carga elétrica no centro desse cubo, conforme a Figura ao lado. Vamos fixar o potencial da caixa em V = 0 e calcular o potencial elétrico e o campo elétrico dessa carga. Devemos nos lembrar que a solução analítica para este problema, ou seja, o potencial elétrico para uma carga pontual é		Este é o primeiro problema em que cargas elétricas estão envolvidas, ou seja, temos que resolver numericamente a equação de Poisson ao invés da equação de Laplace. Vamos considerar uma caixa tridimensional (um cubo) de lado 2 e colocar a carga elétrica no centro desse cubo, conforme a Figura ao lado. Vamos fixar o potencial da caixa em V = 0 e calcular o potencial elétrico e o campo elétrico dessa carga. Devemos nos lembrar que a solução analítica para este problema, ou seja, o potencial elétrico para uma carga pontual é

Gustavobopsin: /* Cálculo do campo elétrico */

2023-02-06T03:12:57Z

Cálculo do campo elétrico

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	Vimos anteriormente que para encontrarmos o campo elétrio a partir do potencial, era necessário calcular um gradiente. Vamos então calcular a componente <math>x</math> do campo elétrico, uma vez que para as outras componentes, o cálculo é análogo. Podemos esolher entre as derivadas centrada, para frente ou para trás		Vimos anteriormente que para encontrarmos o campo elétrio a partir do potencial, era necessário calcular um gradiente. Vamos então calcular a componente <math>x</math> do campo elétrico, uma vez que para as outras componentes, o cálculo é análogo. Podemos esolher entre as derivadas centrada, para frente ou para trás

	<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i+1,j,k) - V(i-1,j,k)}{2 \Delta x} </math></center>		<center><math> E_x(i,j) \approx - \frac{V(i+1,j) - V(i-1,j)}{2 \Delta x} </math></center>


	<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i+1,j,k) - V(i,j,k)}{\Delta x} </math></center>		<center><math> E_x(i,j) \approx - \frac{V(i+1,j) - V(i,j)}{\Delta x} </math></center>


	<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i,j,k) - V(i-1,j,k)}{\Delta x} </math></center>		<center><math> E_x(i,j) \approx - \frac{V(i,j) - V(i-1,j)}{\Delta x} </math>.</center>

			A escolha do tipo de derivada numérica será devido à localização do potencial em que estivermos. Se estivermos nas bordas do contorno, então precisamos de uma derivada para a direita ou para esquerda, enquanto que se estivermos dentro do contorno, uma derivada centrada seria a melhor opção por ser mais simétrica.

	== Exemplos ==		== Exemplos ==

Gustavobopsin: /* Cálculo do campo elétrico */

2023-02-06T02:59:59Z

Cálculo do campo elétrico

← Edição anterior		Edição das 02h59min de 6 de fevereiro de 2023
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	<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i+1,j,k) - V(i-1,j,k)}{2 \Delta x} </math></center>		<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i+1,j,k) - V(i-1,j,k)}{2 \Delta x} </math></center>


	<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i+1,j,k) - V(i,j,k)}{\Delta x} </math></center>		<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i+1,j,k) - V(i,j,k)}{\Delta x} </math></center>


	<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i,j,k) - V(i-1,j,k)}{\Delta x} </math></center>		<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i,j,k) - V(i-1,j,k)}{\Delta x} </math></center>

Gustavobopsin: /* Cálculo do campo elétrico */

2023-02-06T02:59:45Z

Cálculo do campo elétrico

← Edição anterior		Edição das 02h59min de 6 de fevereiro de 2023
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	Vimos anteriormente que para encontrarmos o campo elétrio a partir do potencial, era necessário calcular um gradiente. Vamos então calcular a componente <math>x</math> do campo elétrico, uma vez que para as outras componentes, o cálculo é análogo. Podemos esolher entre as derivadas centrada, para frente ou para trás		Vimos anteriormente que para encontrarmos o campo elétrio a partir do potencial, era necessário calcular um gradiente. Vamos então calcular a componente <math>x</math> do campo elétrico, uma vez que para as outras componentes, o cálculo é análogo. Podemos esolher entre as derivadas centrada, para frente ou para trás

			<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i+1,j,k) - V(i-1,j,k)}{2 \Delta x} </math></center>

			<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i+1,j,k) - V(i,j,k)}{\Delta x} </math></center>

			<center><math> E_x(i,j,k) \approx - \frac{V(i,j,k) - V(i-1,j,k)}{\Delta x} </math></center>

	== Exemplos ==		== Exemplos ==

Gustavobopsin: /* Métodos númericos */

2023-02-06T02:55:38Z

Métodos númericos

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	Conforme poderá ser visualizado pelos gráficos, não conseguimos distinguir uma diferença entre os resultados de ambos os métodos, pois são muito semelhantes. A principal vantagem do algoritmo de Gauss-Siedel reside no menor número de chamadas (atualizações) necessárias para que o sistema convirja para a tolerância escolhida. Com isso, ganhamos muito em tempo e gasto computacional.		Conforme poderá ser visualizado pelos gráficos, não conseguimos distinguir uma diferença entre os resultados de ambos os métodos, pois são muito semelhantes. A principal vantagem do algoritmo de Gauss-Siedel reside no menor número de chamadas (atualizações) necessárias para que o sistema convirja para a tolerância escolhida. Com isso, ganhamos muito em tempo e gasto computacional.

			=== Cálculo do campo elétrico ===

			Já vimos como podemos calcular o potencial utilizando as equaçãoes de Laplace e de Poisson. Vamos agora calcular o campo elétrico a partir do potencial.

			Vimos anteriormente que para encontrarmos o campo elétrio a partir do potencial, era necessário calcular um gradiente. Vamos então calcular a componente <math>x</math> do campo elétrico, uma vez que para as outras componentes, o cálculo é análogo. Podemos esolher entre as derivadas centrada, para frente ou para trás

	== Exemplos ==		== Exemplos ==

Gustavobopsin: /* Códigos */

2023-02-06T02:42:02Z

Códigos

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	== Códigos ==		== Códigos ==

	Todos os códigos foram escritos em FORTRAN e podem ser acessados aqui.		Todos os códigos foram escritos em FORTRAN e podem ser acessados aqui. Cada link é direcionado à dois links diferentes, um com o código e outro com os comandos utilizandos para construir os gráficos no gnuplot.

	[[ Exemplo 1 - Caixa com bordas carregadas ]]		[[ Exemplo 1 - Caixa com bordas carregadas ]]

Gustavobopsin: /* Resultado numérico */

2023-02-06T01:52:57Z

Resultado numérico

← Edição anterior		Edição das 01h52min de 6 de fevereiro de 2023
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	\|}		\|}

			No gráfico do campo elétrico, os vetores foram diminuídos em 10 vezes para que a visibilidade ficasse boa. Vamos lembrar que a direção e sentido dos vetores e a diferença de tamanho entre eles que é o fator relevante, não necessariamente seu módulo verdadeiro.

	O número de atualizações para o algoritmo de Jacobi foi '''225''' enquanto que para o método de Gauss-Siedel foi de '''127'''.		O número de atualizações para o algoritmo de Jacobi foi '''225''' enquanto que para o método de Gauss-Siedel foi de '''127'''.

Gustavobopsin: /* Resultado numérico */

2023-02-06T01:49:56Z

Resultado numérico

← Edição anterior		Edição das 01h49min de 6 de fevereiro de 2023
Linha 189:		Linha 189:
	\|[[Arquivo:potencial_poisson.png\|thumb\|upright=1.1\|center\|Campo elétrico para a carga pontual.\|500px]]		\|[[Arquivo:potencial_poisson.png\|thumb\|upright=1.1\|center\|Campo elétrico para a carga pontual.\|500px]]
	\|}		\|}


			O número de atualizações para o algoritmo de Jacobi foi '''225''' enquanto que para o método de Gauss-Siedel foi de '''127'''.

	== Códigos ==		== Códigos ==

Gustavobopsin: /* Resultado numérico */

2023-02-06T01:48:50Z

Resultado numérico

← Edição anterior		Edição das 01h48min de 6 de fevereiro de 2023
Linha 169:		Linha 169:
	No gráfico do campo elétrico, plotamos somente um oitavo dos pontos e duplicamos os vetores para que ficasse uma boa visibilidade.		No gráfico do campo elétrico, plotamos somente um oitavo dos pontos e duplicamos os vetores para que ficasse uma boa visibilidade.

	O número de atualizações para o algoritmo de Jacobi foi 2146 enquanto que para o método de Gauss-Siedel foi de 1440.		O número de atualizações para o algoritmo de Jacobi foi '''2146''' enquanto que para o método de Gauss-Siedel foi de '''1440'''.

	=== Caixa com carga pontual ===		=== Caixa com carga pontual ===

Gustavobopsin: /* Resultado numérico */

2023-02-06T01:48:23Z

Resultado numérico

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	\|}		\|}

	O número de atualizações para o algoritmo de Jacobi foi 2721 enquanto que para o método de Gauss-Siedel foi de 1760.		O número de atualizações para o algoritmo de Jacobi foi '''2721''' enquanto que para o método de Gauss-Siedel foi de '''1760'''.

	=== Capacitores paralelos ===		=== Capacitores paralelos ===