Equações de Laplace e Poisson - Histórico de revisão

Padovani: /* Método SOR (Simultaneous Overrelaxation) */

2021-04-06T16:31:31Z

Método SOR (Simultaneous Overrelaxation)

← Edição anterior		Edição das 13h31min de 6 de abril de 2021
Linha 291:		Linha 291:
	No gráfico abaixo observamos o fato do erro apresentar valores menores para um número de iterações menores, porém para o método de SOR aconteceu um valor de passos muito menor do que para o método de Gauss-Seidel, abaixo de 50 iterações já notamos que convergimos à solução da Equação de Laplace.		No gráfico abaixo observamos o fato do erro apresentar valores menores para um número de iterações menores, porém para o método de SOR aconteceu um valor de passos muito menor do que para o método de Gauss-Seidel, abaixo de 50 iterações já notamos que convergimos à solução da Equação de Laplace.

	[[Arquivo:Erro sor 02.png\|center\|thumb\|500px\|Erro relativo médio para a solução de SOR variando o y fixando x.]]		[[Arquivo:Erro sor 01.png\|center\|thumb\|500px\|Erro relativo médio para a solução de SOR variando o y fixando x.]]

	Abaixo temos a comparação entre a solução numérica e analítica:		Abaixo temos a comparação entre a solução numérica e analítica:

Padovani: /* Problema da Borda Carregada */

2021-04-06T16:06:29Z

Problema da Borda Carregada

← Edição anterior		Edição das 13h06min de 6 de abril de 2021
Linha 338:		Linha 338:

	[[Arquivo:Erro todos 01.png\|center\|thumb\|500px\|Erro médio por método, ao longo do eixo X. Todos os três métodos foram comparados com 1500 iterações.]]		[[Arquivo:Erro todos 01.png\|center\|thumb\|500px\|Erro médio por método, ao longo do eixo X. Todos os três métodos foram comparados com 1500 iterações.]]

			Uma observação importante é que por mais que para interações menores alguns métodos ficaram com um erro menor comparado a analítica, decidimos comparar os métodos com uma interação grande (1500) pois quando estes forem usados para resolver um problema sem solução, não vamos ter essa possibilidade de comparar com a analítica para saber qual é interação ideal para parar a simulação. Assim temos uma noção geral de quão próximo da solução real está cada método.

	=== Problema do Dipolo Elétrico ===		=== Problema do Dipolo Elétrico ===

Padovani: /* Resultados e Discussões do problema da Borda Carregada */

2021-04-06T15:59:12Z

Resultados e Discussões do problema da Borda Carregada

← Edição anterior		Edição das 12h59min de 6 de abril de 2021
Linha 246:		Linha 246:

	Na região que apresenta mais erro (mais distante da borda carregada), analisamos este comportamento da solução apresentar mais erro em relação à equação analítica, porém este comportamento não identificamos como sendo uma observação geral, acreditamos que seja devido à geometria do problema específico mesmo, pois como será apresentado nos resultados do dipolo elétrico, o maior erro foi onde tinha as cargas, e não longe delas, diferente do verificado neste problema.		Na região que apresenta mais erro (mais distante da borda carregada), analisamos este comportamento da solução apresentar mais erro em relação à equação analítica, porém este comportamento não identificamos como sendo uma observação geral, acreditamos que seja devido à geometria do problema específico mesmo, pois como será apresentado nos resultados do dipolo elétrico, o maior erro foi onde tinha as cargas, e não longe delas, diferente do verificado neste problema.

			Abaixo temos a comparação entre a solução numérica e analítica:

			[[Arquivo:erro 3d jacobi.png\|center\|thumb\|600px\|Erro relativo entre a solução de Jacobi e a solução analítica para 1500 interações.]]


	=== Método de Gauss-Seidel ===		=== Método de Gauss-Seidel ===
Linha 261:		Linha 266:
	<center><div><ul>		<center><div><ul>
	<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Erro gauss 01.png\|thumb\|center\|500px\|Erro relativo médio para a solução de Gauss-Seidel para várias iterações.]] </li>		<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Erro gauss 01.png\|thumb\|center\|500px\|Erro relativo médio para a solução de Gauss-Seidel para várias iterações.]] </li>
	~~<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Erro gauss 02.png\|thumb\|center\|500px\|Erro relativo médio para a solução de Gauss-Seidel acima de 1000 passos.]] </li>~~
	</ul></div></center>		</ul></div></center>

	Os gráficos acima representam o mesmo cálculo de erro médio percentual absoluto utilizado para comparar o Método de Jacobi. Porém para este método ressaltamos o resultado das soluções acima de 1000 passos (gráfico da direita). Verificamos que para o número de iterações menores o erro foi ligeiramente menor, o que não era esperado.		Os gráficos acima representam o mesmo cálculo de erro médio percentual absoluto utilizado para comparar o Método de Jacobi. Porém para este método ressaltamos o resultado das soluções acima de 1000 passos (gráfico da direita). Verificamos que para o número de iterações menores o erro foi ligeiramente menor, o que não era esperado.

			Abaixo temos a comparação entre a solução numérica e analítica:

			[[Arquivo:erro 3d gauss.png\|center\|thumb\|600px\|Erro relativo entre a solução de Gauss-Seidel e a solução analítica para 1500 interações.]]


	=== Método SOR (Simultaneous Overrelaxation) ===		=== Método SOR (Simultaneous Overrelaxation) ===
Linha 283:		Linha 292:

	[[Arquivo:Erro sor 02.png\|center\|thumb\|500px\|Erro relativo médio para a solução de SOR variando o y fixando x.]]		[[Arquivo:Erro sor 02.png\|center\|thumb\|500px\|Erro relativo médio para a solução de SOR variando o y fixando x.]]

			Abaixo temos a comparação entre a solução numérica e analítica:

			[[Arquivo:erro 3d sor.png\|center\|thumb\|600px\|Erro relativo entre a solução de SOR e a solução analítica para 1500 interações.]]

	== Resultados e Discussões do problema do Dipolo Elétrico ==		== Resultados e Discussões do problema do Dipolo Elétrico ==

Padovani: /* Resultados e Discussões do problema do Dipolo Elétrico */

2021-04-06T01:22:33Z

Resultados e Discussões do problema do Dipolo Elétrico

← Edição anterior		Edição das 22h22min de 5 de abril de 2021
Linha 287:		Linha 287:

	Para o Problema do Dipolo Elétrico (através da Equação de Poisson) compararmos e analisarmos a implementação dos métodos focando no erro proporcionado pelos métodos numéricos.		Para o Problema do Dipolo Elétrico (através da Equação de Poisson) compararmos e analisarmos a implementação dos métodos focando no erro proporcionado pelos métodos numéricos.

			Uma observação importante é que é esperado que seja infinito o valor do potencial eletríco exatamente nos pontos onde fica as cargas, porém, para os gráficos desse trabalho, colocamos um valor médio nesses pontos somento para representação. O que analisamos para os erros foi a partir dos valores vizinhos.

	=== Método de Gauss-Seidel ===		=== Método de Gauss-Seidel ===

Augustog: /* Problemas propostos */

2021-04-05T23:27:44Z

Problemas propostos

← Edição anterior		Edição das 20h27min de 5 de abril de 2021
Linha 146:		Linha 146:
	Para a solução analítica do problema temos que:		Para a solução analítica do problema temos que:

	<math>\Phi(x,y) = \Phi_{0} \sum^{\infty}_{i=1,2,3,...}\frac{4}{\pi n} \left( \frac{n\pi x}{L} \right) \frac{\sinh(n\pi y/L)}{\sinh(n\pi)} </math>		<math>\Phi(x,y) = \Phi_{0} \sum^{\infty}_{i=1,3,5,...}\frac{4}{\pi n} \left( \frac{n\pi x}{L} \right) \frac{\sinh(n\pi y/L)}{\sinh(n\pi)} </math>

	<br />		<br />

Augustog: /* Método de Relaxação */

2021-04-05T00:54:51Z

Método de Relaxação

← Edição anterior		Edição das 21h54min de 4 de abril de 2021
Linha 35:		Linha 35:

	Com isso: <math>\frac{\partial f}{\partial t} = 0</math>, assim temos a Equação de Laplace e também possibilitando chegar na discretização da Equação de Poisson da mesma maneira. Então basicamente, utiliza-se da mesma discretização de uma equação de difusão, a evolução temporal vai servir para convergirmos à solução dos problemas envolvendo a Equação de Laplace e de Poisson que propomos.		Com isso: <math>\frac{\partial f}{\partial t} = 0</math>, assim temos a Equação de Laplace e também possibilitando chegar na discretização da Equação de Poisson da mesma maneira. Então basicamente, utiliza-se da mesma discretização de uma equação de difusão, a evolução temporal vai servir para convergirmos à solução dos problemas envolvendo a Equação de Laplace e de Poisson que propomos.
	Os métodos de Jacobi, Gauss-Seidel e SOR são considerados '''Métodos de Relaxação''', .		Os métodos de Jacobi, Gauss-Seidel e SOR são considerados '''Métodos de Relaxação'''.

	== Métodos Numéricos ==		== Métodos Numéricos ==

Augustog: /* Problema da Borda Carregada */

2021-04-05T00:36:01Z

Problema da Borda Carregada

← Edição anterior		Edição das 21h36min de 4 de abril de 2021
Linha 320:		Linha 320:
	As discussões de cada implementação foram descritas em suas devidas seções em '''Resultados'''.		As discussões de cada implementação foram descritas em suas devidas seções em '''Resultados'''.

	Por fim, analisamos a precisão de cada método e é possível observar que o Método de Gauss-Seidel apresentou os menores erros, porém necessita mais iterações comparado ao método SOR, que tem um erro ligeiramente maior, porém é cerca de 20 vezes mais rápido..		Por fim, analisamos a precisão de cada método e é possível observar que o Método de Gauss-Seidel apresentou os menores erros, porém necessita mais iterações comparado ao método SOR, que tem um erro ligeiramente maior, porém é cerca de 20 vezes mais rápido.

	[[Arquivo:Erro todos 01.png\|center\|thumb\|500px\|Erro médio por método, ao longo do eixo X. Todos os três métodos foram comparados com 1500 iterações.]]		[[Arquivo:Erro todos 01.png\|center\|thumb\|500px\|Erro médio por método, ao longo do eixo X. Todos os três métodos foram comparados com 1500 iterações.]]


	=== Problema do Dipolo Elétrico ===		=== Problema do Dipolo Elétrico ===

Augustog em 00h35min de 5 de abril de 2021

2021-04-05T00:35:04Z

← Edição anterior		Edição das 21h35min de 4 de abril de 2021
Linha 165:		Linha 165:
	\rho(x = L/2,y = L/4) = 1 \\		\rho(x = L/2,y = L/4) = 1 \\
	\rho(x = L/2,y = 3L/4) = -1\\		\rho(x = L/2,y = 3L/4) = -1\\
	\Phi(x = 0,y) = \Phi(x = L,y) = \Phi(x,y = 0) \Phi(x,y = L) = 0\\		\Phi(x = 0,y) = \Phi(x = L,y) = \Phi(x,y = 0) = \Phi(x,y = L) = 0\\
	\end{cases}		\end{cases}
	</math>		</math>
Linha 282:		Linha 282:
	No gráfico abaixo observamos o fato do erro apresentar valores menores para um número de iterações menores, porém para o método de SOR aconteceu um valor de passos muito menor do que para o método de Gauss-Seidel, abaixo de 50 iterações já notamos que convergimos à solução da Equação de Laplace.		No gráfico abaixo observamos o fato do erro apresentar valores menores para um número de iterações menores, porém para o método de SOR aconteceu um valor de passos muito menor do que para o método de Gauss-Seidel, abaixo de 50 iterações já notamos que convergimos à solução da Equação de Laplace.

	~~<center><div><ul>~~		[[Arquivo:Erro sor 02.png\|center\|thumb\|500px\|Erro relativo médio para a solução de SOR variando o y fixando x.]]
	~~<li style="display: inline-block; vertical-align: top;">~~ [[Arquivo:Erro sor 02.png\|thumb\|500px\|Erro relativo médio para a solução de SOR variando o y fixando x.]] ~~</li>~~
	~~</ul></div></center>~~



	== Resultados e Discussões do problema do Dipolo Elétrico ==		== Resultados e Discussões do problema do Dipolo Elétrico ==

Augustog em 00h22min de 5 de abril de 2021

2021-04-05T00:22:53Z

← Edição anterior		Edição das 21h22min de 4 de abril de 2021
Linha 297:		Linha 297:

	<center><div><ul>		<center><div><ul>
	<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Dipolo gauss 01.png\|thumb\|~~400px~~\|Solução para o potencial elétrico do dipolo com o método de Gauss-Seidel.]] </li>		<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Dipolo gauss 01.png\|thumb\|500px\|Solução para o potencial elétrico do dipolo com o método de Gauss-Seidel.]] </li>
	<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Dipolo gauss 02.png\|thumb\|~~400px~~\|Solução para o potencial elétrico do dipolo com o método de Gauss-Seidel.]] </li>		<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Dipolo gauss 02.png\|thumb\|500px\|Solução para o potencial elétrico do dipolo com o método de Gauss-Seidel.]] </li>
	</ul></div></center>		</ul></div></center>

Linha 306:		Linha 306:

	<center><div><ul>		<center><div><ul>
	<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Dipolo sor 01.png\|thumb\|~~400px~~\|Solução para o potencial elétrico do dipolo com o método de superrelaxamento.]] </li>		<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Dipolo sor 01.png\|thumb\|500px\|Solução para o potencial elétrico do dipolo com o método de superrelaxamento.]] </li>
	<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Dipolo sor 02.png\|thumb\|~~400px~~\|Solução para o potencial elétrico do dipolo com o método de superrelaxamento.]] </li>		<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:Dipolo sor 02.png\|thumb\|500px\|Solução para o potencial elétrico do dipolo com o método de superrelaxamento.]] </li>
	</ul></div></center>		</ul></div></center>

Linha 320:		Linha 320:
	=== Problema da Borda Carregada ===		=== Problema da Borda Carregada ===

	Primeiro começamos a ~~implemtentação~~ pelo Método de Jacobi, modelando um problema conhecido para compararmos a precisão de nossos algoritmos com a solução analítica. Ao resolver o potencial elétrico nas condições do problema da borda carregada obtivemos o comportamento da curva igual ao esperado analiticamente, porém com certo erro, conforme foi apresentado anteriormente.		Primeiro começamos a implementação pelo Método de Jacobi, modelando um problema conhecido para compararmos a precisão de nossos algoritmos com a solução analítica. Ao resolver o potencial elétrico nas condições do problema da borda carregada obtivemos o comportamento da curva igual ao esperado analiticamente, porém com certo erro, conforme foi apresentado anteriormente.

	As discussões de cada implementação foram descritas em suas devidas seções em '''Resultados'''.		As discussões de cada implementação foram descritas em suas devidas seções em '''Resultados'''.
Linha 331:		Linha 331:
	=== Problema do Dipolo Elétrico ===		=== Problema do Dipolo Elétrico ===

			Analisamos a precisão de cada método implementado, não foi observado diferenças significativas entre os métodos. Observa-se que para este problema tivemos mais erros onde se localizam as cargas, diferente dos maiores erros encontrados no problema da borda carregada.

	[[Arquivo:Erro todos.png\|center\|thumb\|500px\|Erro médio relativo dos dois métodos implementados ao longo do eixo Y.]]		[[Arquivo:Erro todos.png\|center\|thumb\|500px\|Erro médio relativo dos dois métodos implementados ao longo do eixo Y.]]

Augustog em 00h09min de 5 de abril de 2021

2021-04-05T00:09:52Z

← Edição anterior		Edição das 21h09min de 4 de abril de 2021
Linha 219:		Linha 219:

	Comparamos esta diferença '''''diff''''' para o mesmo número de iterações no tempo utilizando os três métodos (Jacobi, Gauss-Seidel e SOR), e assim analisamos quais métodos apresentavam valores menores em relação aos outros. No exemplo de implementação acima <math>Q_{i,j}=P^{n+1}_{i,j}</math>.		Comparamos esta diferença '''''diff''''' para o mesmo número de iterações no tempo utilizando os três métodos (Jacobi, Gauss-Seidel e SOR), e assim analisamos quais métodos apresentavam valores menores em relação aos outros. No exemplo de implementação acima <math>Q_{i,j}=P^{n+1}_{i,j}</math>.






Linha 292:		Linha 288:


	== Resultados do problema do Dipolo Elétrico ==		== Resultados e Discussões do problema do Dipolo Elétrico ==

	Para o Problema do Dipolo Elétrico (através da Equação de Poisson) compararmos e analisarmos a implementação dos métodos focando no erro proporcionado pelos métodos numéricos.		Para o Problema do Dipolo Elétrico (através da Equação de Poisson) compararmos e analisarmos a implementação dos métodos focando no erro proporcionado pelos métodos numéricos.
Linha 314:		Linha 310:
	</ul></div></center>		</ul></div></center>

			Observando os gráficos acima é possível concluir que os métodos implementados atingiram o mesmo comportamento da solução analítica.

			[[Arquivo:Erro todos corte.png\|center\|thumb\|500px\|Comparação entre os métodos numéricos e a solução analítica.]]

			Porém, também observamos que apesar de alcançar a solução estacionária, a equação de iteração não consegue alcançar com precisão a equação analítica. A divergência da solução analítica é representada corretamente (a plotagem no gráfico na verdade representa a divergência daquela maneira). Porém para os métodos analíticos precisamos selecionar um valor de carga pontual como densidade de carga, por isso não é tratada como uma divergência.

	== Considerações Finais ==		== Considerações Finais ==
Linha 331:		Linha 331:
	=== Problema do Dipolo Elétrico ===		=== Problema do Dipolo Elétrico ===

	~~Observando os gráficos dos '''resultados''' acima é possível concluir que os métodos implementados atingiram o mesmo comportamento da solução analítica.~~

	~~[[Arquivo:Erro todos corte.png\|center\|thumb\|500px\|Comparação entre os métodos numéricos e a solução analítica.]]~~

	~~No gráfico acima observamos que apesar de alcançar a solução estacionária, a equação de iteração não consegue alcança com precisão a equação analítica.~~

	[[Arquivo:Erro todos.png\|center\|thumb\|500px\|Erro médio relativo dos dois métodos implementados ao longo do eixo Y.]]		[[Arquivo:Erro todos.png\|center\|thumb\|500px\|Erro médio relativo dos dois métodos implementados ao longo do eixo Y.]]