Equação de Swift-Hohenberg 2D - Histórico de revisão

Arturuf: /* Resultados */

2022-10-04T18:15:29Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 18h15min de 4 de outubro de 2022
Linha 138:		Linha 138:
	=== Resultados ===		=== Resultados ===

	Foi realizada a integração com diferentes valores de r para testar as características vistas em uma dimensão, abaixo está o resultado de uma integração usando um r<0:		Foi realizada a integração com diferentes valores de <math>r</math> para testar as características vistas em uma dimensão, abaixo está o resultado de uma integração usando um <math>r</math><0:

	[[Arquivo:SH-plot.png\|500px\|thumb\|center\|Integração de Swift-Hohenberg em 2D utilizando r=-0.25]]		[[Arquivo:SH-plot.png\|500px\|thumb\|center\|Integração de Swift-Hohenberg em 2D utilizando r=-0.25]]
Linha 144:		Linha 144:
	Parece uma imagem chata e sem graça mas o que ela nos mostra é que o estado evoluiu para uma solução estável em 0, assim como encontrado em 1 dimensão anteriormente.		Parece uma imagem chata e sem graça mas o que ela nos mostra é que o estado evoluiu para uma solução estável em 0, assim como encontrado em 1 dimensão anteriormente.

	Realizando a integração com um valor de r>0 obtemos o seguinte:		Realizando a integração com um valor de <math>r</math>>0 obtemos o seguinte:

	[[Arquivo:SH-OFplot.png\|500px\|thumb\|center\|Integração de Swift-Hohenberg em 2D utilizando r=0.25 e dt=0.0001]]		[[Arquivo:SH-OFplot.png\|500px\|thumb\|center\|Integração de Swift-Hohenberg em 2D utilizando r=0.25 e dt=0.0001]]

	Podemos ver que para um r>0 o estado não atinge o equilíbrio e evolui constantemente, exemplificando mais uma vez o resultado obtido em 1D.		Podemos ver que para um <math>r</math>>0 o estado não atinge o equilíbrio e evolui constantemente, exemplificando mais uma vez o resultado obtido em 1D.

	Outra característica interessante de se notar em 2D se chama "coarsening" que pode ser traduzida como "engrossamento". Esse é o efeito que vemos na evolução do padrão no qual ele vai aumentando as áreas de domínio das suas faixas.		Outra característica interessante de se notar em 2D se chama "coarsening" que pode ser traduzida como "engrossamento". Esse é o efeito que vemos na evolução do padrão no qual ele vai aumentando as áreas de domínio das suas faixas.

Arturuf: /* Integração em 2D */

2022-10-02T00:58:37Z

Integração em 2D

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Linha 75:		Linha 75:
	</source>		</source>

	Em seguida está a função que utiliza a FFT para calcular o lado direito da equação. Com os métodos da biblioteca Scipy o campo escalar inicial será transformado e com ele serão aplicadas as propriedades das transformadas de Fourier para as derivadas da seguinte maneira.		Em seguida está a função que utiliza a FFT para calcular o lado direito da equação de Swift-Hohenberg apresentada na introdução. Com os métodos da biblioteca Scipy o campo escalar inicial será transformado e com ele serão aplicadas as propriedades das transformadas de Fourier para as derivadas da seguinte maneira.

	Dado que:		Dado que:

	<math> \mathcal{F}\{u(x,y,t)\}=\hat{u}(kx,ky,t) </math>		<math> \mathcal{F}\{u(x,y,t)\}=\hat{u}(k_{x},k_{y},t) </math>

	<math> \mathcal{F}\{\partial^{n}u\} = (ik)^{n}\hat{u} </math>		<math> \mathcal{F}\{\partial^{n}u\} = (ik)^{n}\hat{u} </math>
Linha 85:		Linha 85:
	O lado direito da equação transformado então fica assim:		O lado direito da equação transformado então fica assim:

	<math> \mathcal{F}\{\partial_{t}u\} = (r-1)\hat{u} + ~~2kx~~^{2}\hat{u} + ~~2ky~~^{2}\hat{u} - kx^{4}\hat{u} - ky^{4}\hat{u} - ~~2kx~~^{2}ky^{2}\hat{u} - \hat{(u^{3})} </math>		<math> \mathcal{F}\{\partial_{t}u\} = (r-1)\hat{u} + 2k_{x}^{2}\hat{u} + 2k_{y}^{2}\hat{u} - k_{x}^{4}\hat{u} - k_{y}^{4}\hat{u} - 2k_{x}^{2}k_{y}^{2}\hat{u} - \hat{(u^{3})} </math>

	Todo esses termos ao lado direito foram chamados de RHS (Right Hand Side) e calculados na função seguinte.		Todo esses termos ao lado direito foram chamados de RHS (Right Hand Side) e calculados na função seguinte.
Linha 112:		Linha 112:
	</source>		</source>

	Como essa função retorna nosso vetor de estado no espaço cartesiano isso possibilita a realização da evolução temporal da equação utilizando o método de Euler explícito, a partir da criação de um estado inicial (um campo escalar que nesse caso foi inicializado utilizando uma distribuição uniforme de números aleatórios).		Como essa função retorna nosso vetor de estado no espaço cartesiano isso possibilita a realização da evolução temporal da equação utilizando o método de Euler explícito, a partir da criação de um estado inicial (um campo escalar que nesse caso foi inicializado utilizando uma distribuição uniforme de números aleatórios, todas as imagens geradas nesse trabalho usaram 666 como semente dos números aleatórios).

Arturuf: /* Integração em 1D */

2022-10-02T00:52:52Z

Integração em 1D

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Linha 45:		Linha 45:
	[[Arquivo:newplot-1D-SH.png\|1000px\|thumb\|center\|Diferentes integrações da Equação de Swift-Hohenberg em uma dimensão usando r=-0.1 (azul) e r=0.1 (vermelho)]]		[[Arquivo:newplot-1D-SH.png\|1000px\|thumb\|center\|Diferentes integrações da Equação de Swift-Hohenberg em uma dimensão usando r=-0.1 (azul) e r=0.1 (vermelho)]]

	Pode-se notar que para <math>r</math><0 a solução se torna estável, estabiliza no 0, e para <math>r</math>>0 o estado é instável e se mantém em constante movimento mas com as "ondas" de magnitude constante.		Pode-se notar que para <math>r</math><0 a solução homogênea se torna estável, estabiliza no 0, e para <math>r</math>>0 o estado é instável e se mantém em constante movimento mas com as "ondas" de magnitude constante.

	Com esses resultados podemos ir para a integração em duas dimensões.		Com esses resultados podemos ir para a integração em duas dimensões.

Arturuf: /* Integração em 1D */

2022-10-02T00:50:41Z

Integração em 1D

← Edição anterior		Edição das 00h50min de 2 de outubro de 2022
Linha 41:		Linha 41:
	O código é análogo ao que será apresentado posteriormente em duas dimensões então somente os resultados serão mostrados aqui (todos os códigos se encontram no link para o GitHub <ref> Link para o GitHub com todos os códigos: [https://github.com/Artur-UF/MetComp/tree/main/MetCompC/trabalho1 Repositório no GitHub] </ref>)		O código é análogo ao que será apresentado posteriormente em duas dimensões então somente os resultados serão mostrados aqui (todos os códigos se encontram no link para o GitHub <ref> Link para o GitHub com todos os códigos: [https://github.com/Artur-UF/MetComp/tree/main/MetCompC/trabalho1 Repositório no GitHub] </ref>)

	Para testar o comportamento da equação perante diferentes valores do parâmetro <math>r</math>, teste esse inspirado pela análise de instabilidade linear feita no capítulo 2 do livro do Cross & Greenside, na qual é encontrado que o valor crítico de <math>r</math> é 0, e que para <math>r</math>><0 o estado ~~tem~~ uma evolução diferente em comparação com <math>r</math>>0, exemplos disso são as integrações a seguir:		Para testar o comportamento da equação perante diferentes valores do parâmetro <math>r</math>, teste esse inspirado pela análise de instabilidade linear feita no capítulo 2 do livro do Cross & Greenside, na qual é encontrado que o valor crítico de <math>r</math> é 0, e que para <math>r</math>><0 o estado apresenta uma evolução diferente em comparação com <math>r</math>>0, exemplos disso são as integrações a seguir:

	[[Arquivo:newplot-1D-SH.png\|1000px\|thumb\|center\|Diferentes integrações da Equação de Swift-Hohenberg em uma dimensão usando r=-0.1 (azul) e r=0.1 (vermelho)]]		[[Arquivo:newplot-1D-SH.png\|1000px\|thumb\|center\|Diferentes integrações da Equação de Swift-Hohenberg em uma dimensão usando r=-0.1 (azul) e r=0.1 (vermelho)]]

Arturuf: /* Integração em 1D */

2022-10-02T00:49:40Z

Integração em 1D

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Linha 35:		Linha 35:
	<math> \mathcal{F}\left\{\frac{du}{dt}\right\} = (r-1)\hat{u} + 2k^{2}\hat{u} - k^{4}\hat{u} - \hat{(u^{3})} </math>.		<math> \mathcal{F}\left\{\frac{du}{dt}\right\} = (r-1)\hat{u} + 2k^{2}\hat{u} - k^{4}\hat{u} - \hat{(u^{3})} </math>.

	Dessa maneira transformamos uma equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária, pois só possui a derivada temporal.		Dessa maneira transformamos uma equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária, pois só possui a derivada temporal. Nesse caso de integração numérica ficamos com um sistema de várias equações diferenciais ordinárias para cada <math>k</math>.

	Com isso é possível escrever um código capaz de fazer a transformada do estado, calcular as derivadas no espaço de Fourier e voltar para o espaço cartesiano e realizar a evolução temporal, tudo isso dentro de um passo da integração.		Com isso é possível escrever um código capaz de fazer a transformada do estado, calcular as derivadas no espaço de Fourier e voltar para o espaço cartesiano e realizar a evolução temporal, tudo isso dentro de um passo da integração.
Linha 41:		Linha 41:
	O código é análogo ao que será apresentado posteriormente em duas dimensões então somente os resultados serão mostrados aqui (todos os códigos se encontram no link para o GitHub <ref> Link para o GitHub com todos os códigos: [https://github.com/Artur-UF/MetComp/tree/main/MetCompC/trabalho1 Repositório no GitHub] </ref>)		O código é análogo ao que será apresentado posteriormente em duas dimensões então somente os resultados serão mostrados aqui (todos os códigos se encontram no link para o GitHub <ref> Link para o GitHub com todos os códigos: [https://github.com/Artur-UF/MetComp/tree/main/MetCompC/trabalho1 Repositório no GitHub] </ref>)

	Para testar o comportamento da equação perante diferentes valores do parâmetro r, teste esse inspirado pela análise de instabilidade linear feita no capítulo 2 do livro do Cross & Greenside, na qual é encontrado que o valor crítico de r é 0, e que para r<0 o estado tem uma evolução diferente em comparação com r>0, exemplos disso são as integrações a seguir:		Para testar o comportamento da equação perante diferentes valores do parâmetro <math>r</math>, teste esse inspirado pela análise de instabilidade linear feita no capítulo 2 do livro do Cross & Greenside, na qual é encontrado que o valor crítico de <math>r</math> é 0, e que para <math>r</math>><0 o estado tem uma evolução diferente em comparação com <math>r</math>>0, exemplos disso são as integrações a seguir:

	[[Arquivo:newplot-1D-SH.png\|1000px\|thumb\|center\|Diferentes integrações da Equação de Swift-Hohenberg em uma dimensão usando r=-0.1 (azul) e r=0.1 (vermelho)]]		[[Arquivo:newplot-1D-SH.png\|1000px\|thumb\|center\|Diferentes integrações da Equação de Swift-Hohenberg em uma dimensão usando r=-0.1 (azul) e r=0.1 (vermelho)]]

	Pode-se notar que para r<0 a solução se torna estável, estabiliza no 0, e para r>0 o estado é instável e se mantém em constante movimento mas com as "ondas" de magnitude constante.		Pode-se notar que para <math>r</math><0 a solução se torna estável, estabiliza no 0, e para <math>r</math>>0 o estado é instável e se mantém em constante movimento mas com as "ondas" de magnitude constante.

	Com esses resultados podemos ir para a integração em duas dimensões.		Com esses resultados podemos ir para a integração em duas dimensões.

Arturuf: /* Integração em 1D */

2022-10-02T00:36:47Z

Integração em 1D

← Edição anterior		Edição das 00h36min de 2 de outubro de 2022
Linha 43:		Linha 43:
	Para testar o comportamento da equação perante diferentes valores do parâmetro r, teste esse inspirado pela análise de instabilidade linear feita no capítulo 2 do livro do Cross & Greenside, na qual é encontrado que o valor crítico de r é 0, e que para r<0 o estado tem uma evolução diferente em comparação com r>0, exemplos disso são as integrações a seguir:		Para testar o comportamento da equação perante diferentes valores do parâmetro r, teste esse inspirado pela análise de instabilidade linear feita no capítulo 2 do livro do Cross & Greenside, na qual é encontrado que o valor crítico de r é 0, e que para r<0 o estado tem uma evolução diferente em comparação com r>0, exemplos disso são as integrações a seguir:

	[[Arquivo:~~plot~~-1D-SH.png\|1000px\|thumb\|center\|Diferentes integrações da Equação de Swift-Hohenberg em uma dimensão usando r=-0.1 (azul) e r=0.1 (vermelho)]]		[[Arquivo:newplot-1D-SH.png\|1000px\|thumb\|center\|Diferentes integrações da Equação de Swift-Hohenberg em uma dimensão usando r=-0.1 (azul) e r=0.1 (vermelho)]]

	Pode-se notar que para r<0 a solução se torna estável, estabiliza no 0, e para r>0 o estado é instável e se mantém em constante movimento mas com as "ondas" de magnitude constante.		Pode-se notar que para r<0 a solução se torna estável, estabiliza no 0, e para r>0 o estado é instável e se mantém em constante movimento mas com as "ondas" de magnitude constante.

Arturuf: /* Integração em 1D */

2022-10-01T13:25:14Z

Integração em 1D

← Edição anterior		Edição das 13h25min de 1 de outubro de 2022
Linha 27:		Linha 27:
	Então antes de adentrar no código é preciso fazer a transformada da equação em 1-D, dado que:		Então antes de adentrar no código é preciso fazer a transformada da equação em 1-D, dado que:

	<math> \mathcal{F}\{u(x,t)\}=\hat{u}(k,t) </math>		<math> \mathcal{F}\{u(x,t)\}=\hat{u}(k,t) </math>,

	<math> \mathcal{F}\left\{\frac{d^{n}u}{dx^{n}}\right\} = (ik)^{n}\hat{u} </math>		<math> \mathcal{F}\left\{\frac{d^{n}u}{dx^{n}}\right\} = (ik)^{n}\hat{u} </math>.

	Então a equação fica:		Então a equação fica:

	<math> \mathcal{F}\left\{\frac{du}{dt}\right\} = (r-1)\hat{u} + 2k^{2}\hat{u} - k^{4}\hat{u} - \hat{(u^{3})} </math>		<math> \mathcal{F}\left\{\frac{du}{dt}\right\} = (r-1)\hat{u} + 2k^{2}\hat{u} - k^{4}\hat{u} - \hat{(u^{3})} </math>.

	Dessa maneira transformamos uma equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária, pois só possui a derivada temporal.		Dessa maneira transformamos uma equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária, pois só possui a derivada temporal.

Arturuf: /* Introdução */

2022-10-01T13:24:17Z

Introdução

← Edição anterior		Edição das 13h24min de 1 de outubro de 2022
Linha 7:		Linha 7:
	Boa parte dos aspectos teóricos desse trabalho tem como base o livro ''Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems'', Cross & Greenside <ref>Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511627200</ref>.		Boa parte dos aspectos teóricos desse trabalho tem como base o livro ''Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems'', Cross & Greenside <ref>Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511627200</ref>.

	Essa equação pode aparecer nos estudos sobre convexão, equações diferenciais não lineares, formação de padrões e sistemas de não-equilíbrio. Ela possui diferentes versões mas a escolhida para esse trabalho foi a seguinte ~~que depende somente do parâmetro r~~:		Essa equação pode aparecer nos estudos sobre convexão, equações diferenciais não lineares, formação de padrões e sistemas de não-equilíbrio. Ela possui diferentes versões mas a escolhida para esse trabalho foi a seguinte:

	<math> \partial_{t}u = (r-1)u - 2\nabla^{2}u - \nabla^{4}u -u^{3} </math>.		<math> \partial_{t}u = (r-1)u - 2\nabla^{2}u - \nabla^{4}u -u^{3} </math>

			na qual a dinâmica depende somente do parâmetro r.

	O contexto de derivação dessa equação foi a convexão de [https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93B%C3%A9nard_convection Rayleigh-Bénard]. Essa formulação possui virtudes mais analíticas do que práticas e apresenta vários aspectos comuns a modelos de formação de padrões e não é considerado uma descrição precisa de nenhum sistema experimental em específico.		O contexto de derivação dessa equação foi a convexão de [https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93B%C3%A9nard_convection Rayleigh-Bénard]. Essa formulação possui virtudes mais analíticas do que práticas e apresenta vários aspectos comuns a modelos de formação de padrões e não é considerado uma descrição precisa de nenhum sistema experimental em específico.

Arturuf: /* Introdução */

2022-10-01T13:23:18Z

Introdução

← Edição anterior		Edição das 13h23min de 1 de outubro de 2022
Linha 7:		Linha 7:
	Boa parte dos aspectos teóricos desse trabalho tem como base o livro ''Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems'', Cross & Greenside <ref>Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511627200</ref>.		Boa parte dos aspectos teóricos desse trabalho tem como base o livro ''Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems'', Cross & Greenside <ref>Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511627200</ref>.

	Essa equação pode aparecer nos estudos sobre convexão, equações diferenciais não lineares, formação de padrões e sistemas de não-equilíbrio. Ela possui diferentes versões mas a escolhida para esse trabalho foi a seguinte:		Essa equação pode aparecer nos estudos sobre convexão, equações diferenciais não lineares, formação de padrões e sistemas de não-equilíbrio. Ela possui diferentes versões mas a escolhida para esse trabalho foi a seguinte que depende somente do parâmetro r:

	<math> \partial_{t}u = (r-1)u - 2\nabla^{2}u - \nabla^{4}u -u^{3} </math>.		<math> \partial_{t}u = (r-1)u - 2\nabla^{2}u - \nabla^{4}u -u^{3} </math>.

	O contexto de derivação dessa equação foi a convexão de [https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93B%C3%A9nard_convection Rayleigh-Bénard]. Essa formulação ~~tem~~ virtudes mais analíticas do que práticas e apresenta vários aspectos comuns a modelos de formação de padrões e não é considerado uma descrição precisa de nenhum sistema experimental em específico.		O contexto de derivação dessa equação foi a convexão de [https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93B%C3%A9nard_convection Rayleigh-Bénard]. Essa formulação possui virtudes mais analíticas do que práticas e apresenta vários aspectos comuns a modelos de formação de padrões e não é considerado uma descrição precisa de nenhum sistema experimental em específico.

	Modificações dessa equação na sua parte não linear e nos coeficientes dos operadores diferenciais geram uma família extensa de EDPs não lineares que então podem servir de base para modelos de sistemas físicos reais.		Modificações dessa equação na sua parte não linear e nos coeficientes dos operadores diferenciais geram uma família extensa de EDPs não lineares que então podem servir de base para modelos de sistemas físicos reais.

Arturuf: /* Introdução */

2022-10-01T13:21:13Z

Introdução

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Linha 9:		Linha 9:
	Essa equação pode aparecer nos estudos sobre convexão, equações diferenciais não lineares, formação de padrões e sistemas de não-equilíbrio. Ela possui diferentes versões mas a escolhida para esse trabalho foi a seguinte:		Essa equação pode aparecer nos estudos sobre convexão, equações diferenciais não lineares, formação de padrões e sistemas de não-equilíbrio. Ela possui diferentes versões mas a escolhida para esse trabalho foi a seguinte:

	<math> \partial_{t}u = (r-1)u - 2\nabla^{2}u - \nabla^{4}u -u^{3} </math>		<math> \partial_{t}u = (r-1)u - 2\nabla^{2}u - \nabla^{4}u -u^{3} </math>.

	.

	O contexto de derivação dessa equação foi a convexão de [https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93B%C3%A9nard_convection Rayleigh-Bénard]. Essa formulação tem virtudes mais analíticas do que práticas e apresenta vários aspectos comuns a modelos de formação de padrões e não é considerado uma descrição precisa de nenhum sistema experimental em específico.		O contexto de derivação dessa equação foi a convexão de [https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93B%C3%A9nard_convection Rayleigh-Bénard]. Essa formulação tem virtudes mais analíticas do que práticas e apresenta vários aspectos comuns a modelos de formação de padrões e não é considerado uma descrição precisa de nenhum sistema experimental em específico.