Heitor: Criou página com 'A evolução temporal do estado quântico $\Psi(\mathbf{r},t)$ é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como: $i\hbar\frac{\partial}{\par...'$

2020-01-19T13:40:06Z

Criou página com 'A evolução temporal do estado quântico <math> \Psi(\mathbf{r},t) </math> é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como: <math>i\hbar\frac{\partial}{\par...'

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A evolução temporal do estado quântico <math> \Psi(\mathbf{r},t) </math> é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como:

<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>

Posto em unidades atômicas (onde <math>m_e</math> e <math>\hbar</math> são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:

<math>\frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \left [ \frac{i}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2} - i V(x)\right ] \Psi(x,t)</math>

== Método numérico ==

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de <math>\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}</math> :

<math>\frac{\Psi^{n}_{j-1} - 2\Psi^{n}_{j} + \Psi^{n}_{j+1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>

e as discretizações de <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t}</math> (explícita e implícita, respectivamente):

<math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\Psi^{n+1}_{j} - \Psi^{n}_{j}}{\Delta t}</math> (explícita)

<math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\Psi^{n}_{j} - \Psi^{n-1}_{j}}{\Delta t}</math> (implícita)

No método implícito as diferenças são tomadas no tempo <math> n+1 </math> ao invés de tomá-las no tempo <math> n </math> como no método explícito.

<math>\frac{\Psi^{n+1}_{j} - \Psi^{n}_{j}}{\Delta t} = \frac{\Psi^{n+1}_{j+1} - 2\Psi^{n+1}_{j} + \Psi^{n+1}_{j-1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>

fazendo <math>\lambda = \frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}</math>, temos:

<math>\Psi^{n}_{j} = - \lambda\Psi^{n+1}_{j+1} + (1 + 2 \lambda)\Psi^{n+1}_{j} - \lambda\Psi^{n+1}_{j-1}</math>

Considerando <math>0 \leq j \leq M </math> temos <math> M - 1 </math> equações simultâneas. O método implícito converge à solução da EDP desde que <math> \Delta x \rightarrow 0 </math> e <math> \Delta t \rightarrow 0 </math> independente do valor de <math>\lambda</math>.

Para obter os valores no dado tempo <math> n+1 </math> se resolve o conjunto de equações simultaneamente dado pela equação acima que pode ser escrita na forma matricial,

:<math>
\begin{pmatrix}
-\lambda & (1+2\lambda) & -\lambda & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & -\lambda & (1+2\lambda) & -\lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda & (1+2\lambda) & -\lambda
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \Psi_0^{n+1} \\ \Psi_1^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{j-1}^{n+1}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \Psi_0^{n} \\ \Psi_1^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{j-1}^{n} \end{pmatrix}
</math>

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Essa combinação dá a estabilidade do método implícito e a precisão do método explícito, apesar de causar oscilações numéricas (podendo ser contornadas usando passos de tempo menores). Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{*} \Psi^{n}_{j} + a^*\Psi^{n}_{j+1},</math>

onde

<math>a \equiv -\frac{i \Delta t}{4(\Delta x)^2}</math> e <math>b_{j} \equiv 1+\frac{ i\Delta t}{2} \left[\frac{1}{(\Delta x)^2} + V(j \Delta x) \right]</math>.

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale <math>\Psi^{n}_{0} = \Psi^{n}_{j_{max}}</math> para todo <math>n</math> (ou, para as bordas <math>a</math> e <math>b</math> há a relação <math>\Psi (a, t) = \Psi (b, t)</math> para todo <math>t</math>).

===Condições de contorno iguais a zero===
Para as condições de contorno <math>\Psi_0^n = \Psi_L^n = 0</math>, a iteração reduz-se à equação matricial:

:<math>
\begin{pmatrix}
b_1 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ a & b_2 & a & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b_{L-2} & a \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & b_{L-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \Psi_1^{n+1} \\ \Psi_2^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{L-2}^{n+1} \\ \Psi_{L-1}^{n+1} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} b_1^* & a^* & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ a^* & b_2^* & a^* & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a^* & b_{L-2}^* & a^* \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a^* & b_{L-1}^*\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \Psi_1^{n} \\ \Psi_2^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{L-2}^{n} \\ \Psi_{L-1}^{n} \end{pmatrix}
</math>

===Condições de contorno periódicas===
De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas - <math>\Psi_0^n = \Psi_L^n</math> - reduz-se à equação matricial:
:<math>
\begin{pmatrix} b_0 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & a\\ a & b_1 & a & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b_{L-1} & a \\ a & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & b_{L}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \Psi_0^{n+1} \\ \Psi_2^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{L-1}^{n+1} \\ \Psi_{L}^{n+1} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} b_0^* & a^* & 0 & \cdots & 0 & 0 & a^*\\ a^* & b_1^* & a^* & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a^* & b_{L-1}^* & a^* \\ a^* & 0 & 0 & \cdots & 0 & a^* & b_{L}^*\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \Psi_0^{n} \\ \Psi_2^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{L-1}^{n} \\ \Psi_{L}^{n} \end{pmatrix}
</math>

===Condição inicial===
Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo

<math>\int _{-\infty}^{\infty} \, \left| \Psi (x, 0) \right| ^2 \, dx = 1</math>

bastando, então, inseri-la no programa.

==Implementação em C==

<br />

<source lang="c">
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex.h>

#define N_steps 100000
#define L 1000
#define dt 1
#define dx 4.0
#define w 0.002

double V(int x_rel)
{
return - pow(w,2) * pow(x_rel - 500,2) / 2.0; //SHO

//return 0;
}

double complex b(int i)
{
return 0.5 * dt * I * (1.0 / pow(dx,2.0) + V(i)) + 1.0;
}

double u_0(int x_rel)
{
//return sqrt(2 / L) * sin(5*x_rel * M_PI / L); //eigenstate of infinite square well

//return (1.0/ sqrt(5 * M_PI)) * exp(I * 0.5 * x_rel) * exp(-pow(x_rel - 500, 2) / (2 * 25)); //gaussian packet

return (w / M_PI) * exp(-w * pow(x_rel - 500, 2) / 2.0);
}

void CN(double complex *u, double complex *u_aux, double complex *u_next, double complex a, int bi)
{
//bi = 1 (bounded); bi = 0 (periodic)

int i;

for(i = bi; i <= L - bi; i++) u_aux[i] = conj(a) * (u[(i-1+L)%L] + u[(i+1+L)%L]) + conj(b(i)) * u[i];

//thomas algorithm

double complex c_new[L+1], d_new[L+1];

c_new[bi] = a / b(bi);
for(i = 1 + bi; i <= L - bi; i++) c_new[i] = a / (b(i) - c_new[i-1] * a);

d_new[bi] = u_aux[bi] / b(bi);
for(i = 1 + bi; i <= L - bi; i++) d_new[i] = (u_aux[i] - d_new[i-1] * a) / (b(i) - c_new[i-1] * a);

if (bi == 1) u_next[0] = u_next[L] = 0;
u_next[L-bi] = d_new[L-bi];
for(i = L-1-bi; i >= bi; i --) u_next[i] = d_new[i] - c_new[i] * u_next[i+1];

//u = u_next

for(i = 0; i <= L; i++) u[i] = u_next[i];
}

int main(void)
{
int i, j, n = 0;

double complex u[L+1], u_next[L+1], u_aux[L+1], a = - 0.25 * I * dt / pow(dx,2.0);

//Initial Contition
for(i = 0; i <= L; i ++) u[i] = u_0(i);

while(n < N_steps)
{
CN(u, u_aux, u_next, a, 0);
printf("set title 'Time = %d'\nplot \'-' w lp pt 7 ps 0.1", n);
for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%.10lf\n",i,pow(creal(u[i]),2) + pow(cimag(u[i]),2));
//for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%lf\n",i,cimag(u[i]));
//for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%lf\n",i,creal(u[i]));
printf("e\npause 0.1\n");
n ++;
}

return 0;

}

</source><br />

==Aplicações==

===Linearidade da função de onda===

[[Arquivo:gaussian_sho.gif]]

===Pacote gaussiano estacionário num oscilador harmônico===

[[Arquivo:gaussian_linearity.gif]]

===Pacote gaussiano tunelando uma berreira de potencial===

[[Arquivo:gaussian_barrier.gif]]

==Referências==
*Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. Quantum mechanics. Volume 1. Wiley, 1991.
*Numerical Resolution Of The Schrödinger Equation. Jorgensen L., Lopes Cardozo D., Thivierge E. http://web.pa.msu.edu/people/duxbury/courses/phy480/SchrodingerDynamics.pdf
*Crank, J.; Nicolson, P. (1947). "A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type". Proc. Camb. Phil. Soc. 43 (1): 50–67. doi:10.1007/BF02127704.
*Sherer, Philipp O.J., Computational Physics simulation of Classical and Quantum Systems. Springer, 2010.
*Born M., Nobel lecture: The statistical interpretation of quantum mechanics. 11 de Dezembro de 1954. https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf

Equação de Schroedinger - Histórico de revisão

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