Equação de Schrödinger Unidimensional - Histórico de revisão

Gustavobpasquali: /* Estabilidade do Método de Crank-Nicolson */

2024-04-27T20:25:01Z

Estabilidade do Método de Crank-Nicolson

← Edição anterior		Edição das 17h25min de 27 de abril de 2024
Linha 90:		Linha 90:
	Assim, obtemos o fator de amplificação:		Assim, obtemos o fator de amplificação:

	<math>\frac{A^{n+1}}{A^n} = \frac{1-\frac{i\Delta t}{2} V_j -b(sin^2(\frac{qh}2))}{1+\frac{i\Delta t}{2} V_j +b(sin^2(\frac{qh}2))} \leq 1</math>		<math>\left\|\frac{A^{n+1}}{A^n}\right\| = \left\|\frac{1-\frac{i\Delta t}{2} V_j -b(sin^2(\frac{qh}2))}{1+\frac{i\Delta t}{2} V_j +b(sin^2(\frac{qh}2))}\right\| \leq 1</math>

	Portanto, o método é ~~estavel~~.		Portanto, o método é incondicionalmente estável.

	== Exemplos de Potenciais ==		== Exemplos de Potenciais ==

Lucasdodp em 16h21min de 25 de abril de 2024

2024-04-25T16:21:01Z

← Edição anterior		Edição das 13h21min de 25 de abril de 2024
Linha 291:		Linha 291:

	</source><br />		</source><br />

	~~</references>~~

	== Referências ==		== Referências ==

Lucasdodp em 16h20min de 25 de abril de 2024

2024-04-25T16:20:32Z

← Edição anterior		Edição das 13h20min de 25 de abril de 2024
Linha 291:		Linha 291:

	</source><br />		</source><br />

			</references>

			== Referências ==

			# Griffiths, DAVID. Introduction to Quantum Mechanics 3ed. 2018.
			# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Gustavobpasquali: /* Estabilidade do Método de Crank-Nicolson */

2024-04-23T22:53:14Z

Estabilidade do Método de Crank-Nicolson

← Edição anterior		Edição das 19h53min de 23 de abril de 2024
Linha 82:		Linha 82:
	Escrito de outra forma:		Escrito de outra forma:

	<math> A^{n+1}\left[1+\frac{i\Delta t}{2} V_j -b(e^{-iqh}-2+e^{iqh})\right] = A^{n}\left[1+\frac{i\Delta t}{2} V_j +b(e^{-iqh}-2+e^{iqh})\right] </math>		<math> A^{n+1}\left[1+\frac{i\Delta t}{2} V_j -b(e^{-iqh}-2+e^{iqh})\right] = A^{n}\left[1-\frac{i\Delta t}{2} V_j +b(e^{-iqh}-2+e^{iqh})\right] </math>

	Utilizando relações trigonométricas:		Utilizando relações trigonométricas:

	<math> A^{n+1}\left[1+\frac{i\Delta t}{2} V_j -b(-sin^2(\frac{qh}2))\right] = A^{n}\left[1+\frac{i\Delta t}{2} V_j +b(-sin^2(\frac{qh}2))\right]</math>		<math> A^{n+1}\left[1+\frac{i\Delta t}{2} V_j -b(-sin^2(\frac{qh}2))\right] = A^{n}\left[1-\frac{i\Delta t}{2} V_j +b(-sin^2(\frac{qh}2))\right]</math>

	Assim, obtemos o fator de amplificação:		Assim, obtemos o fator de amplificação:

	<math>\frac{A^{n+1}}{A^n} = \frac{1+\frac{i\Delta t}{2} V_j -b(sin^2(\frac{qh}2))}{1+\frac{i\Delta t}{2} V_j +b(sin^2(\frac{qh}2))} \leq 1</math>		<math>\frac{A^{n+1}}{A^n} = \frac{1-\frac{i\Delta t}{2} V_j -b(sin^2(\frac{qh}2))}{1+\frac{i\Delta t}{2} V_j +b(sin^2(\frac{qh}2))} \leq 1</math>

	Portanto, o método é estavel.		Portanto, o método é estavel.

Lucasdodp: /* Barreira (Tunelamento) */

2024-04-23T21:35:29Z

Barreira (Tunelamento)

← Edição anterior		Edição das 18h35min de 23 de abril de 2024
Linha 227:		Linha 227:
	end every 10		end every 10

	gif_path = "/~~Users~~/~~lucas/OneDrive/Imagens/Imagens de trabalhos~~/tunneling.gif"		gif_path = "/gif/path/tunneling.gif"
	gif(anim, gif_path, fps = 30)		gif(anim, gif_path, fps = 30)
	</source><br />		</source><br />

Lucasdodp: /* Oscilador Harmônico */

2024-04-23T21:35:04Z

Oscilador Harmônico

← Edição anterior		Edição das 18h35min de 23 de abril de 2024
Linha 100:		Linha 100:
	O oscilador harmônico quântico consiste de uma partícula em uma zona onde o potencial possui comportamento harmônico, ou seja, depende de <math> x^2 </math>. Em nosso exemplo, inserimos um pacote de formato gaussiano no interior de um potencial harmônico e observamos sua evolução temporal.		O oscilador harmônico quântico consiste de uma partícula em uma zona onde o potencial possui comportamento harmônico, ou seja, depende de <math> x^2 </math>. Em nosso exemplo, inserimos um pacote de formato gaussiano no interior de um potencial harmônico e observamos sua evolução temporal.

	[[Arquivo:~~Harmonic oscilator~~.gif]]		[[Arquivo:H_oscilator.gif]]


Linha 111:		Linha 111:
	using Plots		using Plots

	dt = 0.1		# Definição de constantes
	dx = 0.25		ħ = 1
	L = 50		xmax = 100
	x = ~~collect(~~0~~:dx:L)~~		tmax = 150
	~~size(x)~~		m = 1
			Δt = 0.2
			Δx = 0.25
			σ = 2
			k = 75
			ω = 0.1
			x0 = xmax/2

	~~function V_Oh~~(x)		# Definição do espaço de integração e do pacote de onda inicial
	~~return~~ 0.~~005~~(x-L/2)^2		x = collect(0:Δx:xmax)
			Ψ_HO = zeros(Complex{Float64}, length(x))
			for (i, val) in enumerate(x)
			Ψ_HO[i] = 0.5exp(-(val - xmax/3)^2/(2σ^2))exp(imk*(val-xmax/3))
	end		end

	~~b = dt~~~~im/~~(~~4dx~~^2)		# Potencial do oscilador harmônico
	~~A = [if i==j; 1~~ - ~~2b - V_Oh(i~~)dtim/2 ~~elseif i==dx+j \|\| i==j-dx; b else 0 end for i=0:dx:L, j=0:dx:L]~~		function V_HO(x)
	~~B = @. conj(A~~)		return 0.5 * m * (ω^2) * ((x - x0)^2)
	~~IB = inv(B)~~		end

	~~len~~ = ~~length~~(x)		# Pré-cálculo do potencial do oscilador harmônico
	ψ = [(~~sqrt~~(1/(2pi))exp(-(~~val~~ - ~~L/3)^~~2/(2))~~exp~~(~~-im~~~~75*(val-L/3~~)~~)) for val in x~~]		V_HO_values = [V_HO(x_i) for x_i in x[2:end-1]]
	~~for (i,num) in enumerate(ψ~~)
	~~if abs(num)<1e~~-~~10;~~		# Matrizes de evolução temporal
	ψ[i]=0		A_HO = zeros(Complex{Float64}, length(x)-2, length(x)-2)
			for i in 1:length(x)-2, j in 1:length(x)-2
			if i == j
			A_HO[i, j] = 1 + im * (Δt / (2ħ)) * (ħ^2 / (m * Δx^2) + V_HO_values[i])
			elseif i == j + 1 \|\| i == j - 1
			A_HO[i, j] = -im * (ħ * Δt) / (4 * m * Δx^2)
	end		end
	end		end

	~~ves~~ = ~~@. V_Oh~~(x)		invA_HO = inv(A_HO)
			B_HO = conj(A_HO)

	t=0		# Criação do GIF
	@~~gif~~ for t in 0:dt:65		anim = @animate for t in 0:Δt:tmax
	ψ[2:end-1] = IB[2:end-1,2:~~end-1]A[2:end-~~1,~~2:end-1]ψ[2:~~end~~-1]~~		Ψ_HO[2:end-1] .= invA_HO * (B_HO * Ψ_HO[2:end-1])
			plot(x, abs2.(Ψ_HO), xlabel="Position", title="Time: $t", ylims=(0, 1), label="\|Ψ\|²")
			plot!(x, V_HO.(x), label="Potential V(x)")
			end

	~~plot(x,abs2.(ψ),c~~="~~red")~~		gif_path = "/gif/path/harmonic_oscilator.gif"
	~~#plot!([x for x=0:dx:L],imag(ψ),c="blue~~")		gif(anim, gif_path, fps=45)
	~~plot!~~(~~[x for x=0:dx:L]~~,~~ves~~,c=~~"blue"~~)
	~~plot!(ylim=[0,0.5],title="t=$t")~~
	~~end every 3~~

	</source><br />		</source><br />

Lucasdodp: /* Barreira (Tunelamento) */

2024-04-23T21:29:36Z

Barreira (Tunelamento)

← Edição anterior		Edição das 18h29min de 23 de abril de 2024
Linha 152:		Linha 152:
	Na mecânica quântica partículas podem existir, mesmo que com baixa probabilidade, em regiões que classicamente seriam proibidas. Este é o caso da barreira, onde uma partícula atravessa uma região onde sua energia total é negativa. Chamamos este fenômeno de tunelamento. A seguir, há um exemplo onde inserimos um pacote de formato gaussiano se deslocando em direção a uma barreira de potencial, de forma que parte da onda é refletida de volta e outra tunela pela barreira.		Na mecânica quântica partículas podem existir, mesmo que com baixa probabilidade, em regiões que classicamente seriam proibidas. Este é o caso da barreira, onde uma partícula atravessa uma região onde sua energia total é negativa. Chamamos este fenômeno de tunelamento. A seguir, há um exemplo onde inserimos um pacote de formato gaussiano se deslocando em direção a uma barreira de potencial, de forma que parte da onda é refletida de volta e outra tunela pela barreira.

	[[Arquivo:~~Barrier3~~.gif]]		[[Arquivo:Tunneling.gif]]

	Abaixo encontra-se o código usado em Júlia.		Abaixo encontra-se o código usado em Júlia.
Linha 162:		Linha 162:
	using Plots		using Plots

	dt = 0.1		# Definição de constantes
	dx = 0.25		ħ = 1
	L = 50		xmax = 500
	x = ~~collect(~~0~~:dx:L)~~		tmax = 200
	~~size(x)~~		m = 1
			Δt = 0.2
			Δx = 0.25
			σ = 1.5
			k = 50
			ω = 0.1

	~~function V_b~~(x)		# Definição do espaço de integração e do pacote de onda inicial
	~~if x~~==L/2		x = collect(0:Δx:xmax)
	return 1		Ψ = zeros(Complex{Float64}, length(x))
			for (i, val) in enumerate(x)
			Ψ[i] = Ψ[i] = 0.5exp(-(val - xmax/2.5)^2/(2σ^2))exp(-imk*(val))
			end

			# Potencial barreira
			function V(arg)
			if arg > xmax0.5 && arg <= xmax0.51
			return 0.1
	else		else
	return 0		return 0
Linha 176:		Linha 189:
	end		end

	~~b = dtim/(4dx^2)~~		# Pré-cálculo do potencial V
	~~A_b~~ = [~~if i==j; 1 - 2b - V_b~~(i)dtim/2 ~~elseif i==dx+j \|\| i==j~~-~~dx; b else 0 end for i=0:dx:L, j=0:dx:L~~]		V_values = [V(x_i) for x_i in x[2:end-1]]
	~~B_b = @. conj(A_b)~~
	~~IB_b = inv(B_b)~~

	~~len~~ = length(x)		# Matrizes de evolução temporal A
	ψ = [(~~sqrt(1~~/(~~8pi~~))~~exp(-~~(~~val - L/3)~~^2/(~~8))~~~~exp(-im75*(val-L/3~~)~~)) for val in x~~]		A = zeros(Complex{Float64}, length(x)-2, length(x)-2)
	~~for (i,num) in enumerate(ψ~~)		for i in 1:length(x)-2, j in 1:length(x)-2
	~~if abs(num)<1e~~-~~10;~~		if i == j
	ψ[i]=0		A[i, j] = 1 + im * (Δt / (2ħ)) * (ħ^2 / (m * Δx^2) + V_values[i])
			elseif i == j + 1 \|\| i == j - 1
			A[i, j] = -im * (ħ * Δt) / (4 * m * Δx^2)
	end		end
	end		end

	~~ves_b~~ = ~~@. V_b~~(x)		invA = inv(A)
			B = conj(A)

	t=0		# Criação do GIF
	@~~gif~~ for t in 0:dt:35		anim = @animate for t in 0:Δt:tmax
	ψ[2:~~end~~-1] = ~~IB_b[2:end-1,2:end-1]~~~~A_b[2:end-1,2:end-1]~~ψ[2:~~end~~-1]		global Ψ[2:length(x)-1] = invA * (B * Ψ[2:length(x)-1])
	~~for (i,num) in enumerate(ψ)~~		plot(x, abs2.(Ψ), xlabel="Position", title="Time: $t", ylims=(0, 0.1), label="\|Ψ\|²")
	~~if abs(num~~)~~<1e-10;~~		plot!(x, V.(x), label="Potential V(x)")
	~~ψ[i]=0~~		end every 10
	~~end~~
	~~end~~
	plot(x,abs2.(ψ),c="~~red~~",~~label~~="~~\|ψ\|^2~~")
	~~#plot!~~(~~[x for x=~~0~~:dx:L]~~,~~imag(ψ~~),c="~~blue~~")
	plot!([x ~~for~~ x~~=0:dx:L],ves_b,c="blue"~~,label="V(x)")
	~~plot!(ylim=[0,0.2],title="t=$t~~")
	end

			gif_path = "/Users/lucas/OneDrive/Imagens/Imagens de trabalhos/tunneling.gif"
			gif(anim, gif_path, fps = 30)
	</source><br />		</source><br />

Lucasdodp: /* Oscilador Harmônico */

2024-04-23T21:13:38Z

Oscilador Harmônico

← Edição anterior		Edição das 18h13min de 23 de abril de 2024
Linha 100:		Linha 100:
	O oscilador harmônico quântico consiste de uma partícula em uma zona onde o potencial possui comportamento harmônico, ou seja, depende de <math> x^2 </math>. Em nosso exemplo, inserimos um pacote de formato gaussiano no interior de um potencial harmônico e observamos sua evolução temporal.		O oscilador harmônico quântico consiste de uma partícula em uma zona onde o potencial possui comportamento harmônico, ou seja, depende de <math> x^2 </math>. Em nosso exemplo, inserimos um pacote de formato gaussiano no interior de um potencial harmônico e observamos sua evolução temporal.

	[[Arquivo:~~Harmonic_oscilator~~.gif]]		[[Arquivo:Harmonic oscilator.gif]]

Marte em 18h38min de 23 de abril de 2024

2024-04-23T18:38:54Z

← Edição anterior		Edição das 15h38min de 23 de abril de 2024
Linha 63:		Linha 63:
	\end{pmatrix} </math>		\end{pmatrix} </math>

	==Estabilidade do Método de Crank-Nicolson==		===Estabilidade do Método de Crank-Nicolson===
	Para verificar a estabilidade, devemos primeiro olhar para a equação que define o método:		Para verificar a estabilidade, devemos primeiro olhar para a equação que define o método:
	<math> \left(1+\frac{i \Delta t}{2 \Delta x^2}+\frac{i\Delta t}{2} V_j\right)\Psi_j^{n+1} - \frac{i \Delta t}{4 \Delta x^2}\Psi_{j+1}^{n+1} - \frac{i \Delta t}{4 \Delta x^2} \Psi_{j-1}^{n+1} = \left(1-\frac{i \Delta t}{2 \Delta x^2}-\frac{i\Delta t}{2} V_j\right)\Psi_{j}^{n} + \frac{i \Delta t}{4 \Delta x^2}\Psi_{j+1}^{n} +\frac{i \Delta t}{4 \Delta x^2} \Psi_{j-1}^{n}</math>		<math> \left(1+\frac{i \Delta t}{2 \Delta x^2}+\frac{i\Delta t}{2} V_j\right)\Psi_j^{n+1} - \frac{i \Delta t}{4 \Delta x^2}\Psi_{j+1}^{n+1} - \frac{i \Delta t}{4 \Delta x^2} \Psi_{j-1}^{n+1} = \left(1-\frac{i \Delta t}{2 \Delta x^2}-\frac{i\Delta t}{2} V_j\right)\Psi_{j}^{n} + \frac{i \Delta t}{4 \Delta x^2}\Psi_{j+1}^{n} +\frac{i \Delta t}{4 \Delta x^2} \Psi_{j-1}^{n}</math>

Gustavobpasquali: /* Estabilidade do Método de Crank-Nicolson */

2024-04-23T17:31:58Z

Estabilidade do Método de Crank-Nicolson

← Edição anterior		Edição das 14h31min de 23 de abril de 2024
Linha 92:		Linha 92:
	<math>\frac{A^{n+1}}{A^n} = \frac{1+\frac{i\Delta t}{2} V_j -b(sin^2(\frac{qh}2))}{1+\frac{i\Delta t}{2} V_j +b(sin^2(\frac{qh}2))} \leq 1</math>		<math>\frac{A^{n+1}}{A^n} = \frac{1+\frac{i\Delta t}{2} V_j -b(sin^2(\frac{qh}2))}{1+\frac{i\Delta t}{2} V_j +b(sin^2(\frac{qh}2))} \leq 1</math>

	Portanto, o método é estavel		Portanto, o método é estavel.

	== Exemplos de Potenciais ==		== Exemplos de Potenciais ==