Equação de Liouville-Bratu-Gelfand - Histórico de revisão

Wilian77: /* Equação 2D */

2024-07-16T13:25:08Z

Equação 2D

← Edição anterior		Edição das 13h25min de 16 de julho de 2024
Linha 82:		Linha 82:
	using SparseArrays		using SparseArrays
	using Plots		using Plots
	~~#import Pkg; Pkg.add("FilePathsBase")~~		using ColorSchemes
	using FilePathsBase		using FilePathsBase
	~~Plots.default(show=true)~~
	~~#plotlyjs() # Use plotlyjs para gráficos interativos; você pode usar gr() se preferir~~
	~~gr()~~

	# Parâmetros do problema		# Parâmetros do problema
	Lx = 5		Lx = 2.0
	Ly = 5		Ly = 2.0
	~~Nx = 100~~
	~~Ny = 100~~
	~~dx = Lx / (Nx - 1)~~
	~~dy = Ly / (Ny - 1)~~
	alpha = 3.51 # Parâmetro da equação		alpha = 3.51 # Parâmetro da equação
	tol=~~4000~~		tol = 2350
	~~max_iter=1000~~

	# Função para inicializar a matriz de coeficientes		# Função para inicializar a matriz de coeficientes
Linha 138:		Linha 130:

	# Função para resolver a equação usando o método de Crank-Nicolson		# Função para resolver a equação usando o método de Crank-Nicolson
	function solve_equation(Nx, Ny, dx, dy, alpha, tol=tol, max_iter=~~max_iter)~~		function solve_equation(Nx, Ny, dx, dy, alpha, tol=tol, max_iter=1000)
	~~#u = rand(Ny, Nx)~~
	~~x = range(0, stop=Lx, length=Nx)~~
	~~y = range(0, stop=Ly, length=Ny~~)
	A = initialize_matrix(Nx, Ny, dx, dy, alpha)		A = initialize_matrix(Nx, Ny, dx, dy, alpha)
			u = rand(Ny, Nx)
	for iter in 1:max_iter		for iter in 1:max_iter
	~~u = rand(Ny, Nx)~~
	b = initialize_rhs(Nx, Ny, dx, dy, alpha, u)		b = initialize_rhs(Nx, Ny, dx, dy, alpha, u)
	u_new = A \ b		u_new = A \ b
Linha 159:		Linha 148:

	# Resolver a equação		# Resolver a equação
	u = ~~solve_equation~~(~~Nx, Ny, dx, dy, alpha,tol,max_iter~~)		l = collect(5:50)
			m = 5 # Definindo m como o valor mínimo desejado para Nxl
			Nxl = collect(Int(m):50)
			Nyl = collect(5:50)

	~~# Criar os vetores de coordenadas x e y~~		anim = @animate for z in 1:length(Nxl)
	x = ~~range~~(~~0, stop=Lx, length=Nx~~)		Nx = Nxl[z]
	y = ~~range(0, stop~~=~~Ly, length=Ny)~~		Ny = Nyl[z]
			dx = Lx / (Nx - 1)
	~~# Plotar a solução em 3D~~		dy = Ly / (Ny - 1)
	~~plot~~ = ~~surface~~(~~x, y, u, title="Solução da Equação de Liouville~~-~~Bratu-Gelfand, tol=$tol", xlabel="x", ylabel="y", zlabel="u", dpi=1000)~~		u = solve_equation(Nx, Ny, dx, dy, alpha)
	~~#display(plot~~)
	~~figuras_dir~~ = ~~mkpath("figuras")~~
	~~#savefig(plot,figuras_dir*"~~/~~Liouville3d~~(~~Lx=$Lx,Ly=$Ly,N=$Nx,Tol=$tol).png"~~)

	~~#display(plot)~~
	#l=~~plot~~(u,~~x,y,st=:surface~~,~~camera=(-30~~,~~30))~~
	~~#savefig(l~~,~~figuras_dir*"/Liouville3d.png")~~
	~~readline(~~)

			# Plotar a solução
			heatmap(u, title="Solução da Equação de Liouville-Bratu-Gelfand, tol=$tol", xlabel="x", ylabel="y", dpi=1000)
			end
			figuras_dir = mkpath("figuras2D")
			gif(anim, figuras_dir*"/animacao.gif", fps=2)

	</source><br />		</source><br />

Wilian77: /* Equação 3D */

2024-07-16T13:14:55Z

Equação 3D

@@ Linha 182: / Linha 182: @@
 <br />
 <source lang="julia">
 </source><br />

Wilian77: /* Simulação em Júlia */

2024-07-11T18:13:53Z

Simulação em Júlia

← Edição anterior		Edição das 18h13min de 11 de julho de 2024
Linha 176:		Linha 176:
	readline()		readline()


			</source><br />

			===Equação 3D===
			<br />
			<source lang="julia">

	</source><br />		</source><br />

Wilian77: /* Simulação em Júlia */

2024-07-11T17:34:25Z

Simulação em Júlia

← Edição anterior		Edição das 17h34min de 11 de julho de 2024
Linha 75:		Linha 75:

	== Simulação em Júlia ==		== Simulação em Júlia ==

			===Equação 2D===
	<br />		<br />
	<source lang="julia">		<source lang="julia">

Wilian77: /* Método Crank-Nicolson */

2024-07-11T16:14:07Z

Método Crank-Nicolson

← Edição anterior		Edição das 16h14min de 11 de julho de 2024
Linha 74:		Linha 74:
	<center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>		<center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>

	=== Simulação em Júlia ===		== Simulação em Júlia ==
	<br />		<br />
	<source lang="julia">		<source lang="julia">

Wilian77: /* Simulação em Júlia */

2024-07-11T16:12:53Z

Simulação em Júlia

← Edição anterior		Edição das 16h12min de 11 de julho de 2024
Linha 74:		Linha 74:
	<center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>		<center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>

	== Simulação em Júlia ==		=== Simulação em Júlia ===
	<br />		<br />
	<source lang="julia">		<source lang="julia">
Linha 176:		Linha 176:

	</source><br />		</source><br />

	== Referências ==		== Referências ==

	# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation		# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
	# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.		# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Wilian77 em 16h11min de 11 de julho de 2024

2024-07-11T16:11:44Z

@@ Linha 74: / Linha 74: @@
 <center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>
-== Método de Relaxação ==
+== Simulação em Júlia ==
-Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).
+<br />
-Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:
+# Parâmetros do problema
-<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} + \lambda e^\psi\right)</math>.</center>
+# Função para inicializar a matriz de coeficientes
-Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.
+# Função para inicializar o vetor de termos independentes
 == Referências ==
 # https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
 # Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Wilian77 em 13h41min de 11 de julho de 2024

2024-07-11T13:41:18Z

← Edição anterior		Edição das 13h41min de 11 de julho de 2024
Linha 5:		Linha 5:
	<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>		<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

	Essa equação aparece em problemas de [https://pt.~~wikipedia~~.org/~~wiki~~/~~Avalanche_t~~%~~C3%A9rmica Avalanche térmica~~], ~~como~~ na ~~[https~~://en.~~wikipedia.org~~/~~wiki~~/Frank-~~Kamenetskii_theory# teoria~~ de Frank-Kamenetskii], e na ~~astrofísica~~, ~~por exemplo~~, na [https://en.wikipedia.org/wiki/~~Emden~~%E2%80%~~93Chandrasekhar_equation equação Emden–Chandrasekhar]~~. ~~Esta equação também pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária~~.		Essa equação aparece em problemas de '''Avalanche térmica''', como na [[teoria de Frank-Kamenetskii]], e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

			== A solução de Liouville ==

			Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

			<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

			onde <math>u=u(x)</math>, <math>v=v(x)</math>, e <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

			:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

			onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

			==Formas radialmente simétricas==

			Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

			:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

			onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

			:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

			e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii\|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

			A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

			:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

			onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

			:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

			A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

			:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

			onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

			:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>


			== Método Crank-Nicolson ==
			Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

			<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

			onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

			=== Método Explícito FTCS ===
			Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

			<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

			considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:

			<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>

			=== Método Implícito FTCS ===
			Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:

			<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} </math>


			Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:

			<center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>

			== Método de Relaxação ==
			Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

			Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

			<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} + \lambda e^\psi\right)</math>.</center>

			Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

			== Referências ==

			# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
			# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Wilian77 em 01h39min de 11 de julho de 2024

2024-07-11T01:39:26Z

← Edição anterior		Edição das 01h39min de 11 de julho de 2024
Linha 5:		Linha 5:
	<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>		<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

	Essa equação aparece em problemas de '''Avalanche térmica''', como na [[teoria de Frank-Kamenetskii]], e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.		Essa equação aparece em problemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Avalanche_t%C3%A9rmica Avalanche térmica], como na [https://en.wikipedia.org/wiki/Frank-Kamenetskii_theory# teoria de Frank-Kamenetskii], e na astrofísica, por exemplo, na [https://en.wikipedia.org/wiki/Emden%E2%80%93Chandrasekhar_equation equação Emden–Chandrasekhar]. Esta equação também pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

	~~== A solução de Liouville ==~~

	~~Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como~~

	~~<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>~~

	~~onde <math>u=u(x)</math>, <math>v=v(x)</math>, e <math>f(z)=u + i v</math> é uma~~ [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://~~www~~.~~jstor~~.org/~~stable~~/~~pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior~~%~~3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é~~

	~~:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right~~]~~^2</math>~~

	~~onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>~~, ~~mas vai ao infinito~~ na ~~origem <math>n<1<~~/~~math> , finito na origem para <math>n=1<~~/~~math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>~~. ~~Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915~~.

	~~==Formas radialmente simétricas==~~

	~~Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n<~~/~~math> dimensões torna-se~~

	~~:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>~~

	~~onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno~~

	~~:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>~~

	~~e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]<~~/~~math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de~~ Frank-~~Kamenetskii\|'''parâmetro~~ de Frank-Kamenetskii~~''']~~]~~. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>~~, ~~<math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math>~~ e ~~<math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>~~, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por ~~<math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e~~, ~~posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [~~[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

	~~A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por~~

	~~:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>~~

	~~onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como~~

	~~:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>~~

	~~A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por~~

	~~:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>~~

	~~onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como~~

	~~:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>~~


	~~== Método Crank-Nicolson ==~~
	Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

	~~<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>~~

	~~onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.~~

	~~=== Método Explícito FTCS ===~~
	~~Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:~~

	<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

	~~considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:~~

	<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>

	~~=== Método Implícito FTCS ===~~
	~~Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:~~

	<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} </math>


	~~Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:~~

	<center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>

	~~== Método de Relaxação ==~~
	Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

	~~Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:~~

	~~<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} + \lambda e^\psi\right)</math>.</center>~~

	~~Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.~~

	~~== Referências ==~~

	# https://en.wikipedia.org/wiki/~~Liouville~~%E2%80%~~93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation~~
	~~# Scherer, CLÁUDIO~~. ~~Métodos Computacionais da Física. 2010~~.

Wilian77: /* Equação de Liouville-bratu-Gelfand */

2024-07-10T17:29:56Z

Equação de Liouville-bratu-Gelfand

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	== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==		== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

	Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma		Na matemática, a '''Equação Liouville–Bratu–Gelfand''' ou '''Equação de Liouville''' é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

	<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>		<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

	Essa equação aparece em problemas de ~~fuga~~ térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.		Essa equação aparece em problemas de '''Avalanche térmica''', como na [[teoria de Frank-Kamenetskii]], e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

	== A solução de Liouville ==		== A solução de Liouville ==