Equação de Kuramoto–Sivashinsky - Histórico de revisão

Andrebg: /* Referências */

2024-01-23T15:47:21Z

Referências

← Edição anterior		Edição das 12h47min de 23 de janeiro de 2024
Linha 333:		Linha 333:
	= Referências =		= Referências =

	Brunton SL, Kutz JN. 2019. '''Data-Driven Science and Engineering: Machine Learning, Dynamical Systems, and Control'''. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108380690		#Brunton SL, Kutz JN. 2019. '''Data-Driven Science and Engineering: Machine Learning, Dynamical Systems, and Control'''. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108380690
			#Kuramoto, Yoshiki. 1978. '''Diffusion-Induced Chaos in Reaction Systems'''. Progress of Theoretical Physics Supplement 64: 346–67. https://doi.org/10.1143/PTPS.64.346.
	Kuramoto, Yoshiki. 1978. '''Diffusion-Induced Chaos in Reaction Systems'''. Progress of Theoretical Physics Supplement 64: 346–67. https://doi.org/10.1143/PTPS.64.346.		#Bhatt, Harish, e Abhinandan Chowdhury. 2019. '''A compact fourth-order implicit-explicit Runge-Kutta type scheme for numerical solution of the Kuramoto-Sivashinsky equation'''. arXiv. http://arxiv.org/abs/1911.12183.
			#Kudryashov, N.A., e S.F. Lavrova. 2021. '''Dynamical Features of the Generalized Kuramoto-Sivashinsky Equation'''. Chaos, Solitons & Fractals 142 (janeiro): 110502. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110502.
	Bhatt, Harish, e Abhinandan Chowdhury. 2019. '''A compact fourth-order implicit-explicit Runge-Kutta type scheme for numerical solution of the Kuramoto-Sivashinsky equation'''. arXiv. http://arxiv.org/abs/1911.12183.		#Papageorgiou, Demetrios T., e Yiorgos S. Smyrlis. 1991. '''The Route to Chaos for the Kuramoto-Sivashinsky Equation'''. Theoretical and Computational Fluid Dynamics 3 (1): 15–42. https://doi.org/10.1007/BF00271514.
			#Baez, John C., Steve Huntsman e Cheyne Weis. 2022. '''The Kuramoto–Sivashinky Equation'''. American Mathematical Society https://www.ams.org/journals/notices/202209/noti2548/noti2548.html?adat=October%202022&trk=2548&galt=none&cat=column&pdfissue=202209&pdffile=rnoti-p1581.pdf
	Kudryashov, N.A., e S.F. Lavrova. 2021. '''Dynamical Features of the Generalized Kuramoto-Sivashinsky Equation'''. Chaos, Solitons & Fractals 142 (janeiro): 110502. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110502.

	Papageorgiou, Demetrios T., e Yiorgos S. Smyrlis. 1991. '''The Route to Chaos for the Kuramoto-Sivashinsky Equation'''. Theoretical and Computational Fluid Dynamics 3 (1): 15–42. https://doi.org/10.1007/BF00271514.

	Baez, John C., Steve Huntsman e Cheyne Weis. 2022. '''The Kuramoto–Sivashinky Equation'''. American Mathematical Society https://www.ams.org/journals/notices/202209/noti2548/noti2548.html?adat=October%202022&trk=2548&galt=none&cat=column&pdfissue=202209&pdffile=rnoti-p1581.pdf

Andrebg: /* Referências */

2024-01-16T02:26:20Z

Referências

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	Kudryashov, N.A., e S.F. Lavrova. 2021. '''Dynamical Features of the Generalized Kuramoto-Sivashinsky Equation'''. Chaos, Solitons & Fractals 142 (janeiro): 110502. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110502.		Kudryashov, N.A., e S.F. Lavrova. 2021. '''Dynamical Features of the Generalized Kuramoto-Sivashinsky Equation'''. Chaos, Solitons & Fractals 142 (janeiro): 110502. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110502.

	Papageorgiou, Demetrios T., e Yiorgos S. Smyrlis. 1991. ~~“The~~ Route to Chaos for the Kuramoto-Sivashinsky ~~Equation”~~. Theoretical and Computational Fluid Dynamics 3 (1): 15–42. https://doi.org/10.1007/BF00271514.		Papageorgiou, Demetrios T., e Yiorgos S. Smyrlis. 1991. '''The Route to Chaos for the Kuramoto-Sivashinsky Equation'''. Theoretical and Computational Fluid Dynamics 3 (1): 15–42. https://doi.org/10.1007/BF00271514.

	Baez, John C., Steve Huntsman e Cheyne Weis. 2022. '''The Kuramoto–Sivashinky Equation'''. American Mathematical Society https://www.ams.org/journals/notices/202209/noti2548/noti2548.html?adat=October%202022&trk=2548&galt=none&cat=column&pdfissue=202209&pdffile=rnoti-p1581.pdf		Baez, John C., Steve Huntsman e Cheyne Weis. 2022. '''The Kuramoto–Sivashinky Equation'''. American Mathematical Society https://www.ams.org/journals/notices/202209/noti2548/noti2548.html?adat=October%202022&trk=2548&galt=none&cat=column&pdfissue=202209&pdffile=rnoti-p1581.pdf

Andrebg em 02h24min de 16 de janeiro de 2024

2024-01-16T02:24:53Z

← Edição anterior		Edição das 23h24min de 15 de janeiro de 2024
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	</source>		</source>

			= Referências =

			Brunton SL, Kutz JN. 2019. '''Data-Driven Science and Engineering: Machine Learning, Dynamical Systems, and Control'''. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108380690

			Kuramoto, Yoshiki. 1978. '''Diffusion-Induced Chaos in Reaction Systems'''. Progress of Theoretical Physics Supplement 64: 346–67. https://doi.org/10.1143/PTPS.64.346.

			Bhatt, Harish, e Abhinandan Chowdhury. 2019. '''A compact fourth-order implicit-explicit Runge-Kutta type scheme for numerical solution of the Kuramoto-Sivashinsky equation'''. arXiv. http://arxiv.org/abs/1911.12183.

			Kudryashov, N.A., e S.F. Lavrova. 2021. '''Dynamical Features of the Generalized Kuramoto-Sivashinsky Equation'''. Chaos, Solitons & Fractals 142 (janeiro): 110502. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110502.

			Papageorgiou, Demetrios T., e Yiorgos S. Smyrlis. 1991. “The Route to Chaos for the Kuramoto-Sivashinsky Equation”. Theoretical and Computational Fluid Dynamics 3 (1): 15–42. https://doi.org/10.1007/BF00271514.

			Baez, John C., Steve Huntsman e Cheyne Weis. 2022. '''The Kuramoto–Sivashinky Equation'''. American Mathematical Society https://www.ams.org/journals/notices/202209/noti2548/noti2548.html?adat=October%202022&trk=2548&galt=none&cat=column&pdfissue=202209&pdffile=rnoti-p1581.pdf

Andrebg: /* Domínio L=5 */

2024-01-08T18:06:30Z

Domínio L=5

← Edição anterior		Edição das 15h06min de 8 de janeiro de 2024
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	\|[[Arquivo:caos5.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=5</math> com ruído pontual 0\|~~334px~~]]		\|[[Arquivo:caos5.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=5</math> com ruído pontual 0\|400px]]
	\|[[Arquivo:caos6.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=5</math> com ruído pontual 0.0000001\|~~334px~~]]		\|[[Arquivo:caos6.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=5</math> com ruído pontual 0.0000001\|400px]]
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Andrebg: /* Domínio L=2 */

2024-01-08T18:06:10Z

Domínio L=2

← Edição anterior		Edição das 15h06min de 8 de janeiro de 2024
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	\|[[Arquivo:caos3.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=2</math> com ruído pontual 0\|~~334px~~]]		\|[[Arquivo:caos3.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=2</math> com ruído pontual 0\|400px]]
	\|[[Arquivo:caos4.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=2</math> com ruído pontual 0.00005\|~~334px~~]]		\|[[Arquivo:caos4.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=2</math> com ruído pontual 0.00005\|400px]]
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Andrebg: /* Domínio L=1 */

2024-01-08T18:05:48Z

Domínio L=1

← Edição anterior		Edição das 15h05min de 8 de janeiro de 2024
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	\|[[Arquivo:caos1.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=1</math> com ruído pontual 0\|~~334px~~]]		\|[[Arquivo:caos1.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=1</math> com ruído pontual 0\|400px]]
	\|[[Arquivo:caos2.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=1</math> com ruído pontual 0.405326\|~~334px~~]]		\|[[Arquivo:caos2.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=1</math> com ruído pontual 0.405326\|400px]]
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	Para o domínio <math>L=1</math> o comportamento da solução quase não é alterado pela alteração de um único ponto, é necessária uma alteração significativa para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.405326</math> em um único ponto. É fácil perceber mudanças gerais de comportamento que tornaram as faixas mais oscilantes e menos estáveis; além de um aumento da diferença entre mínimos e máximos.		Para o domínio <math>L=1</math> o comportamento da solução quase não é alterado pela alteração de um único ponto, é necessária uma alteração significativa para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.405326</math> em um único ponto. É fácil perceber mudanças gerais de comportamento que tornaram as faixas mais oscilantes e menos estáveis; além de um aumento da diferença entre mínimos e máximos.

	=== Domínio L=2 ===		=== Domínio L=2 ===

Andrebg: /* Resultados e Discussões */

2023-12-21T20:57:02Z

Resultados e Discussões

← Edição anterior		Edição das 17h57min de 21 de dezembro de 2023
Linha 160:		Linha 160:

	Para o domínio <math>L=5</math> o comportamento da solução é extremamente sensível à alterações de um único ponto, é suficiente uma alteração quase infinitesimal para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.0000001</math> em um único ponto. As alterações geradas em um único ponto demoram a se espalhar em um domínio tão grande, mas já é possível notar uma quebra de simetria na parte central da solução, principalmente a partir de <math>t = 100</math>.		Para o domínio <math>L=5</math> o comportamento da solução é extremamente sensível à alterações de um único ponto, é suficiente uma alteração quase infinitesimal para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.0000001</math> em um único ponto. As alterações geradas em um único ponto demoram a se espalhar em um domínio tão grande, mas já é possível notar uma quebra de simetria na parte central da solução, principalmente a partir de <math>t = 100</math>.

			== Discussão Final ==

			Os resultados encontrados pelas soluções parecem consistentes com a literatura já existente. O comportamento marcante da equação '''KS''' é facilmente identificado pelas faixas próximas e oscilantes; além das rápidas mudanças entre máximos e mínimos, que simulam bem o comportamento desejado de uma chama laminar. Por outro lado, um comportamento especial da equação também foi notável: a apresentação de comportamentos caóticos se intensifica para domínios maiores.

			É contra intuitivo pensar que ao aumentar o tamanho do domínio estudado possa torná-lo mais sensível à pequenas mudanças, mas a equação ''' KS ''' nos demonstra o oposto. Uma mudança infinitesimal não é capaz de alterar o resultado significativamente em domínios pequenos como <math> L = 1 </math>, mas altera quase completamente o resultado em domínios maiores como <math> L = 5 </math>. Isso provavelmente ocorre pela periodicidade do domínio, ou seja, uma pequena mudança no centro do domínio propaga alterações que se anulam ao se encontrarem na periodicidade do contorno. Para domínios pequenos, essas alterações se anulam rapidamente, impedindo que a solução se altere de forma drástica; já domínios maiores sofrem grandes alterações antes que as perturbações consigam se anular, modificando a solução de forma mais crítica.

			O comportamento caótico da equação é conhecido e descrito pela literatura, mas a validação do mesmo reforça o poder numérico do método espectral utilizado; além da grande importância do algoritmo FFT para a resolução de problemas complexos como o estudado aqui.

	= Códigos em Python =		= Códigos em Python =

Andrebg: /* Caos gerado pelo Domínio (L) */

2023-12-21T20:24:16Z

Caos gerado pelo Domínio (L)

← Edição anterior		Edição das 17h24min de 21 de dezembro de 2023
Linha 104:		Linha 104:
	É notável a diferença entre as soluções encontradas, mas alguns pontos merecem destaque. Primeiramente existe uma forte relação entre a mudança de fase da equação e seu domínio, ou seja, domínios pequenos são atraídos mais rapidamente para a solução final; enquanto domínios maiores tendem a se manter estáveis por mais tempo. Por outro lado, a solução final tem forma mais simples para domínios pequenos, enquanto domínios maiores tendem a apresentar padrões mais intrincados.		É notável a diferença entre as soluções encontradas, mas alguns pontos merecem destaque. Primeiramente existe uma forte relação entre a mudança de fase da equação e seu domínio, ou seja, domínios pequenos são atraídos mais rapidamente para a solução final; enquanto domínios maiores tendem a se manter estáveis por mais tempo. Por outro lado, a solução final tem forma mais simples para domínios pequenos, enquanto domínios maiores tendem a apresentar padrões mais intrincados.

	A fim de estudar o caos gerado pela equação, é necessário que pequenas variações (ruído) ~~seja inserido~~. Para tanto, a condição inicial se manteve a mesma já estudada, mas somada à valores gerados aleatoriamente a partir do intervalo <math>[-0.01,0.01]</math> para cada ponto do domínio.		A fim de estudar o caos gerado pela equação, é necessário que pequenas variações (ruído) sejam inseridas. Para tanto, a condição inicial se manteve a mesma já estudada, mas somada à valores gerados aleatoriamente a partir do intervalo <math>[-0.01,0.01]</math> para cada ponto do domínio.

	<center>		<center>
Linha 124:		Linha 124:
	Ao analisar as soluções com ruído é possível perceber a sensibilidade de cada solução às condições iniciais. A solução de domínio <math>L=1</math> se manteve quase inalterada, atingindo um resultado muito similar ao da solução original. Já o domínio <math>L=2</math> apresentou uma sensibilidade muito maior às pequenas variações do ruído; inicialmente a solução aparenta seguir o mesmo caminho, mas aos poucos deformidades começam a surgir e a solução perde suas simetrias e periodicidades. Por fim, a solução de domínio <math>L=5</math> teve seu comportamento quase completamente alterado; sua maior estabilidade deixa de estar presente e seus padrões não apresentam qualquer simetria.		Ao analisar as soluções com ruído é possível perceber a sensibilidade de cada solução às condições iniciais. A solução de domínio <math>L=1</math> se manteve quase inalterada, atingindo um resultado muito similar ao da solução original. Já o domínio <math>L=2</math> apresentou uma sensibilidade muito maior às pequenas variações do ruído; inicialmente a solução aparenta seguir o mesmo caminho, mas aos poucos deformidades começam a surgir e a solução perde suas simetrias e periodicidades. Por fim, a solução de domínio <math>L=5</math> teve seu comportamento quase completamente alterado; sua maior estabilidade deixa de estar presente e seus padrões não apresentam qualquer simetria.

	Como é possível perceber, com o aumento de L as soluções para a equação de Kuramoto-Sivashinsky se tornam caóticas, apresentando padrões muito sensíveis às condições iniciais. Para entender melhor a sensibilidade de cada domínio, as soluções a seguir terão um único ponto de diferença entre si: seu ponto central será somado a valores levemente maiores até que seu comportamento geral seja alterado. Isso permitirá identificar os limites de atração para as soluções de cada domínio. A fins de melhor comparação, a condição inicial já utilizada será repetida para todos os domínios: <math>\sin{\left( \frac{2\pi}{L} x \right) }^2</math>.		Como é possível perceber, com o aumento de L as soluções para a equação de Kuramoto-Sivashinsky se tornam caóticas, apresentando padrões muito sensíveis às condições iniciais. Para entender melhor a sensibilidade de cada domínio, as soluções a seguir terão um único ponto de diferença entre si: seu ponto central será somado a valores levemente maiores até que seu comportamento geral seja alterado. Isso permitirá identificar os limites de atração para as soluções de cada domínio. Para fins de melhor comparação, a condição inicial já utilizada será repetida para todos os domínios: <math>\sin{\left( \frac{2\pi}{L} x \right) }^2</math>.

	Antes de analisar os resultados é importante destacar um ponto essencial da implementação do algoritmo: a discretização espacial é feita de forma a manter "dx" constante, independentemente do tamanho do domínio estudado. Ou seja, ao aumentar o tamanho do domínio, sua resolução permanece inalterada. Isso torna o algoritmo mais preciso, permitindo que domínios maiores mantenham a mesma precisão de domínios menores. Por outro lado, isso torna o processamento de domínios maiores lento e ineficaz, limitando o estudo a domínios de escala próxima a <math>L = 10</math>.		Antes de analisar os resultados é importante destacar um ponto essencial da implementação do algoritmo: a discretização espacial é feita de forma a manter "dx" constante, independentemente do tamanho do domínio estudado. Ou seja, ao aumentar o tamanho do domínio, sua resolução permanece inalterada. Isso torna o algoritmo mais preciso, permitindo que domínios maiores mantenham a mesma precisão de domínios menores. Por outro lado, isso torna o processamento de domínios maiores lento e ineficaz, limitando o estudo a domínios de escala próxima a <math>L = 10</math>.

Andrebg em 20h17min de 21 de dezembro de 2023

2023-12-21T20:17:27Z

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
-Nesta página apresentamos uma simulação de Dinâmica Molecular utilizando o potencial de Lennard-Jones como potencial de interação entre as partículas.
+''' André Becho Guimarães '''
 = Equação =
@@ Linha 44: / Linha 46: @@
-= Soluções =
+= Resultados e Discussões =
 Através do método espectral foi possível estudar o comportamento da Equação de Kuramoto-Sivashinsky em sua forma diferencial. Para uma melhor interpretação das soluções, os dados são dispostos em dois modelos de gráfico: um gif em que a passagem de tempo é representada pela mudança de frames, e um gráfico com escala de cores; onde os eixos representam o tempo e o espaço.
@@ Linha 159: / Linha 161: @@
 Para o domínio <math>L=5</math> o comportamento da solução é extremamente sensível à alterações de um único ponto, é suficiente uma alteração quase infinitesimal para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.0000001</math> em um único ponto. As alterações geradas em um único ponto demoram a se espalhar em um domínio tão grande, mas já é possível notar uma quebra de simetria na parte central da solução, principalmente a partir de <math>t = 100</math>.
-== Implementação do Código em Python ==
+= Códigos em Python =
 <source lang="python">

Andrebg: /* Caos gerado pelo Domínio (L) */

2023-12-21T19:41:49Z

Caos gerado pelo Domínio (L)

← Edição anterior		Edição das 16h41min de 21 de dezembro de 2023
Linha 122:		Linha 122:
	Ao analisar as soluções com ruído é possível perceber a sensibilidade de cada solução às condições iniciais. A solução de domínio <math>L=1</math> se manteve quase inalterada, atingindo um resultado muito similar ao da solução original. Já o domínio <math>L=2</math> apresentou uma sensibilidade muito maior às pequenas variações do ruído; inicialmente a solução aparenta seguir o mesmo caminho, mas aos poucos deformidades começam a surgir e a solução perde suas simetrias e periodicidades. Por fim, a solução de domínio <math>L=5</math> teve seu comportamento quase completamente alterado; sua maior estabilidade deixa de estar presente e seus padrões não apresentam qualquer simetria.		Ao analisar as soluções com ruído é possível perceber a sensibilidade de cada solução às condições iniciais. A solução de domínio <math>L=1</math> se manteve quase inalterada, atingindo um resultado muito similar ao da solução original. Já o domínio <math>L=2</math> apresentou uma sensibilidade muito maior às pequenas variações do ruído; inicialmente a solução aparenta seguir o mesmo caminho, mas aos poucos deformidades começam a surgir e a solução perde suas simetrias e periodicidades. Por fim, a solução de domínio <math>L=5</math> teve seu comportamento quase completamente alterado; sua maior estabilidade deixa de estar presente e seus padrões não apresentam qualquer simetria.

	Como é possível perceber, com o aumento de L as soluções para a equação de Kuramoto-Sivashinsky se tornam caóticas, apresentando padrões muito sensíveis às condições iniciais. Para entender melhor a sensibilidade de cada domínio, as soluções a seguir terão um único ponto de diferença entre si: seu ponto central será somado a valores levemente maiores até que seu comportamento geral seja alterado. Isso permitirá identificar os limites de atração para as soluções de cada domínio. A fins de melhor comparação, a ~~mesma~~ condição inicial será ~~usada~~ para todos os domínios: <math>\sin{\left( \frac{2\pi}{L} x \right) }^2</math>.		Como é possível perceber, com o aumento de L as soluções para a equação de Kuramoto-Sivashinsky se tornam caóticas, apresentando padrões muito sensíveis às condições iniciais. Para entender melhor a sensibilidade de cada domínio, as soluções a seguir terão um único ponto de diferença entre si: seu ponto central será somado a valores levemente maiores até que seu comportamento geral seja alterado. Isso permitirá identificar os limites de atração para as soluções de cada domínio. A fins de melhor comparação, a condição inicial já utilizada será repetida para todos os domínios: <math>\sin{\left( \frac{2\pi}{L} x \right) }^2</math>.

	~~=== Domínio~~ <math>L=1</math> ===		Antes de analisar os resultados é importante destacar um ponto essencial da implementação do algoritmo: a discretização espacial é feita de forma a manter "dx" constante, independentemente do tamanho do domínio estudado. Ou seja, ao aumentar o tamanho do domínio, sua resolução permanece inalterada. Isso torna o algoritmo mais preciso, permitindo que domínios maiores mantenham a mesma precisão de domínios menores. Por outro lado, isso torna o processamento de domínios maiores lento e ineficaz, limitando o estudo a domínios de escala próxima a <math>L = 10</math>.

			=== Domínio L=1 ===

	<center>		<center>
Linha 133:		Linha 135:
	</center>		</center>

	Para o domínio <math>L=1</math> o comportamento da solução quase não é alterado pela alteração de um único ponto, é necessária uma alteração significativa para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.405326</math> em um único ponto.		Para o domínio <math>L=1</math> o comportamento da solução quase não é alterado pela alteração de um único ponto, é necessária uma alteração significativa para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.405326</math> em um único ponto. É fácil perceber mudanças gerais de comportamento que tornaram as faixas mais oscilantes e menos estáveis; além de um aumento da diferença entre mínimos e máximos.

	=== Domínio ~~<math>~~L=2~~</math>~~ ===		=== Domínio L=2 ===

	<center>		<center>
Linha 144:		Linha 146:
	</center>		</center>

	Para o domínio <math>L=2</math> o comportamento da solução é bem sensível à alterações de um único ponto, é suficiente uma pequena alteração para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.00005</math> em um único ponto.		Para o domínio <math>L=2</math> o comportamento da solução é bem sensível à alterações de um único ponto, é suficiente uma pequena alteração para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.00005</math> em um único ponto. É fácil perceber pequenas mudanças de comportamento na solução, principalmente a partir de <math>t = 100</math>.

	=== Domínio ~~<math>~~L=5~~</math>~~ ===		=== Domínio L=5 ===

	<center>		<center>
	{\|		{\|
	\|[[Arquivo:caos5.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=5</math> com ruído pontual 0\|334px]]		\|[[Arquivo:caos5.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=5</math> com ruído pontual 0\|334px]]
	\|[[Arquivo:caos6.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=5</math> com ruído pontual 0.~~00005~~\|334px]]		\|[[Arquivo:caos6.png\|thumb\|upright=0.0\|center\|Mapa temporal para <math>L=5</math> com ruído pontual 0.0000001\|334px]]
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	</center>		</center>

	Para o domínio <math>L=2</math> o comportamento da solução é ~~bem~~ sensível à alterações de um único ponto, é suficiente uma ~~pequena~~ alteração para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.~~00005~~</math> em um único ponto.		Para o domínio <math>L=5</math> o comportamento da solução é extremamente sensível à alterações de um único ponto, é suficiente uma alteração quase infinitesimal para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente <math>\pm 0.0000001</math> em um único ponto. As alterações geradas em um único ponto demoram a se espalhar em um domínio tão grande, mas já é possível notar uma quebra de simetria na parte central da solução, principalmente a partir de <math>t = 100</math>.

	== Implementação do Código em Python ==		== Implementação do Código em Python ==