Equação de Klein-Gordon - Histórico de revisão

Eduardoleite: /* Código utilizado */

2025-01-08T17:21:51Z

Código utilizado

← Edição anterior		Edição das 14h21min de 8 de janeiro de 2025
Linha 100:		Linha 100:

	import numpy as np		import numpy as np

	import matplotlib.pyplot as plt		import matplotlib.pyplot as plt

	from matplotlib.animation import FuncAnimation		from matplotlib.animation import FuncAnimation


	L = 10.0 # Comprimento da simulação		L = 10.0 # Comprimento da simulação

	Nx = 100 # Número de pontos espaciais		Nx = 100 # Número de pontos espaciais

	dx = L / Nx # Passo espacial		dx = L / Nx # Passo espacial

	T_max = 30 # Tempo máximo de simulação		T_max = 30 # Tempo máximo de simulação

	m = 1.0 # Massa da partícula		m = 1.0 # Massa da partícula

	c = 1.0 # Velocidade da luz		c = 1.0 # Velocidade da luz

	hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida		hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida


	A = 1.0 # Amplitude do pulso		A = 1.0 # Amplitude do pulso

	x0 = L / 2 # Posição central do pulso		x0 = L / 2 # Posição central do pulso

	sigma = 0.5 # Largura do pulso		sigma = 0.5 # Largura do pulso

Linha 122:		Linha 132:

	phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)*2) / (2 sigma**2))		phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)*2) / (2 sigma**2))

	dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula		dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

	#estabilidade		#estabilidade
	alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)		alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)

	dt_stable = alpha_stable * dx / c		dt_stable = alpha_stable * dx / c

	alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)		alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)

	dt_unstable = alpha_unstable * dx / c		dt_unstable = alpha_unstable * dx / c


	Nt_stable = int(T_max / dt_stable)		Nt_stable = int(T_max / dt_stable)

	Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)		Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)


	def evolve_wave(dt, Nt):		def evolve_wave(dt, Nt):

	phi = np.zeros((Nt, Nx))		phi = np.zeros((Nt, Nx))

	phi[0, :] = phi_0		phi[0, :] = phi_0

	phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0		phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0


	for n in range(1, Nt-1):		for n in range(1, Nt-1):

	for i in range(1, Nx-1):		for i in range(1, Nx-1):

	phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt*2) (		phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt*2) (

	(phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2		(phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2

	- (m*2 c2 / hbar2) * phi[n, i]		- (m*2 c2 / hbar2) * phi[n, i]
	)		)
Linha 150:		Linha 174:

	phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)		phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)

	phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)		phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

Linha 157:		Linha 182:

	def update_stable(frame):		def update_stable(frame):

	ax[0].cla()		ax[0].cla()

	ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')		ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')

	ax[0].set_title("Evolução Estável")		ax[0].set_title("Evolução Estável")

	ax[0].set_xlim(0, L)		ax[0].set_xlim(0, L)

	ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)		ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)

	ax[0].legend()		ax[0].legend()


	def update_unstable(frame):		def update_unstable(frame):

	ax[1].cla()		ax[1].cla()

	ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')		ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')

	ax[1].set_title("Evolução Instável")		ax[1].set_title("Evolução Instável")

	ax[1].set_xlim(0, L)		ax[1].set_xlim(0, L)

	ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)		ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)

	ax[1].legend()		ax[1].legend()


	def init():		def init():

	for a in ax:		for a in ax:

	a.clear()		a.clear()

	return ax		return ax

	# Atualização combinada para animação		# Atualização combinada para animação
	def update(frame):		def update(frame):

	update_stable(frame)		update_stable(frame)

	update_unstable(frame)		update_unstable(frame)

	return ax		return ax

	# Criando a animação		# Criando a animação
	frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))		frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))

	frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))		frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))
	ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)), init_func=init, blit=False)
			ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)),

			init_func=init, blit=False)


	# Salvando as animações		# Salvando as animações

	fig.tight_layout()		fig.tight_layout()

	ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)		ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

	plt.show()		plt.show()

Eduardoleite: /* Código utilizado */

2025-01-08T17:17:23Z

Código utilizado

← Edição anterior		Edição das 14h17min de 8 de janeiro de 2025
Linha 103:		Linha 103:
	from matplotlib.animation import FuncAnimation		from matplotlib.animation import FuncAnimation

	~~# Parâmetros gerais~~
	L = 10.0 # Comprimento da simulação		L = 10.0 # Comprimento da simulação
	Nx = 100 # Número de pontos espaciais		Nx = 100 # Número de pontos espaciais
Linha 112:		Linha 112:
	hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida		hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

	~~# Parâmetros para o pulso gaussiano~~
	A = 1.0 # Amplitude do pulso		A = 1.0 # Amplitude do pulso
	x0 = L / 2 # Posição central do pulso		x0 = L / 2 # Posição central do pulso
	sigma = 0.5 # Largura do pulso		sigma = 0.5 # Largura do pulso

	~~# Discretização espacial~~
	x = np.linspace(0, L, Nx)		x = np.linspace(0, L, Nx)

	~~# Função de onda inicial: pulso gaussiano~~
	phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)*2) / (2 sigma**2))		phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)*2) / (2 sigma**2))
	dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula		dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

	# ~~Parâmetros para~~ estabilidade		#estabilidade
	alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)		alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)
	dt_stable = alpha_stable * dx / c		dt_stable = alpha_stable * dx / c
Linha 133:		Linha 133:
	Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)		Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

	~~# Função para evolução temporal~~
	def evolve_wave(dt, Nt):		def evolve_wave(dt, Nt):
	phi = np.zeros((Nt, Nx))		phi = np.zeros((Nt, Nx))
Linha 148:		Linha 148:
	return phi		return phi

	~~# Evoluir para casos estável e instável~~
	phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)		phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)
	phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)		phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

	~~# Inicializando o gráfico~~
	fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))		fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

	~~# Estável~~
	def update_stable(frame):		def update_stable(frame):
	ax[0].cla()		ax[0].cla()
Linha 164:		Linha 164:
	ax[0].legend()		ax[0].legend()

	~~# Instável~~
	def update_unstable(frame):		def update_unstable(frame):
	ax[1].cla()		ax[1].cla()
Linha 173:		Linha 173:
	ax[1].legend()		ax[1].legend()

	~~# Função de inicialização~~
	def init():		def init():
	for a in ax:		for a in ax:

Eduardoleite: /* Código utilizado */

2025-01-08T17:16:14Z

Código utilizado

← Edição anterior		Edição das 14h16min de 8 de janeiro de 2025
Linha 97:		Linha 97:


	== Código utilizado ==		= Código utilizado =

	import numpy as np		import numpy as np

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

2025-01-08T16:55:48Z

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

← Edição anterior		Edição das 13h55min de 8 de janeiro de 2025
Linha 53:		Linha 53:
	Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:		Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

	na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>		na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

	Simplificação:		Simplificação:

Eduardoleite: /* Código utilizado */

2025-01-08T15:17:10Z

Código utilizado

← Edição anterior		Edição das 12h17min de 8 de janeiro de 2025
Linha 97:		Linha 97:


	=== Código utilizado ===		== Código utilizado ==

	import numpy as np		import numpy as np

Eduardoleite: /* Código utilizadi */

2025-01-08T15:16:44Z

Código utilizadi

← Edição anterior		Edição das 12h16min de 8 de janeiro de 2025
Linha 97:		Linha 97:


	== Código ~~utilizadi~~ ==		=== Código utilizado ===

	import numpy as np		import numpy as np

Eduardoleite em 15h16min de 8 de janeiro de 2025

2025-01-08T15:16:14Z

← Edição anterior		Edição das 12h16min de 8 de janeiro de 2025
Linha 95:		Linha 95:

	Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.		Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.


			== Código utilizadi ==

			import numpy as np
			import matplotlib.pyplot as plt
			from matplotlib.animation import FuncAnimation

			# Parâmetros gerais
			L = 10.0 # Comprimento da simulação
			Nx = 100 # Número de pontos espaciais
			dx = L / Nx # Passo espacial
			T_max = 30 # Tempo máximo de simulação
			m = 1.0 # Massa da partícula
			c = 1.0 # Velocidade da luz
			hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

			# Parâmetros para o pulso gaussiano
			A = 1.0 # Amplitude do pulso
			x0 = L / 2 # Posição central do pulso
			sigma = 0.5 # Largura do pulso

			# Discretização espacial
			x = np.linspace(0, L, Nx)

			# Função de onda inicial: pulso gaussiano
			phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)*2) / (2 sigma**2))
			dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

			# Parâmetros para estabilidade
			alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)
			dt_stable = alpha_stable * dx / c
			alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)
			dt_unstable = alpha_unstable * dx / c

			Nt_stable = int(T_max / dt_stable)
			Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

			# Função para evolução temporal
			def evolve_wave(dt, Nt):
			phi = np.zeros((Nt, Nx))
			phi[0, :] = phi_0
			phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0

			for n in range(1, Nt-1):
			for i in range(1, Nx-1):
			phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt*2) (
			(phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2
			- (m*2 c2 / hbar2) * phi[n, i]
			)

			return phi

			# Evoluir para casos estável e instável
			phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)
			phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

			# Inicializando o gráfico
			fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

			# Estável
			def update_stable(frame):
			ax[0].cla()
			ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')
			ax[0].set_title("Evolução Estável")
			ax[0].set_xlim(0, L)
			ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)
			ax[0].legend()

			# Instável
			def update_unstable(frame):
			ax[1].cla()
			ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')
			ax[1].set_title("Evolução Instável")
			ax[1].set_xlim(0, L)
			ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)
			ax[1].legend()

			# Função de inicialização
			def init():
			for a in ax:
			a.clear()
			return ax

			# Atualização combinada para animação
			def update(frame):
			update_stable(frame)
			update_unstable(frame)
			return ax

			# Criando a animação
			frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))
			frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))
			ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)), init_func=init, blit=False)

			# Salvando as animações
			fig.tight_layout()
			ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

			plt.show()

Eduardoleite: /* INTRODUÇÃO */

2025-01-08T15:12:12Z

INTRODUÇÃO

← Edição anterior		Edição das 12h12min de 8 de janeiro de 2025
Linha 13:		Linha 13:
	<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)		<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

	Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) <\math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.		Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) </math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

	== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==		== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

Davidm em 15h09min de 8 de janeiro de 2025

2025-01-08T15:09:10Z

← Edição anterior		Edição das 12h09min de 8 de janeiro de 2025
Linha 1:		Linha 1:
	== INTRODUÇÃO ==		== INTRODUÇÃO ==
	A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os ~~mésons, em seu modelo básico~~) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:		A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os bósons de Higgs) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

Eduardoleite: /* C.C e C.I */

2025-01-08T14:57:01Z

C.C e C.I

← Edição anterior		Edição das 11h57min de 8 de janeiro de 2025
Linha 94:		Linha 94:


	Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) <\math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) <\math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.		Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.