Equação de Fokker-Planck - Histórico de revisão

Samuelhd em 11h03min de 29 de março de 2022

2022-03-29T11:03:22Z

← Edição anterior		Edição das 08h03min de 29 de março de 2022
Linha 3:		Linha 3:
	A equação de Fokker-Planck foi aplicada em primeiro modo em problemas relacionados ao movimento Browniano, como veremos à seguir. Nesse caso, lidando com flutuações originadas de vários pequenos distúrbios, as partículas de interesse se chocavam com as moléculas do meio, provocando uma trajetória probabilística - isto é - não é possível descrever a evolução da partícula sem a observação. Porém, é possível determinar a probabilidade de encontrá-las em determinada região do espaço.		A equação de Fokker-Planck foi aplicada em primeiro modo em problemas relacionados ao movimento Browniano, como veremos à seguir. Nesse caso, lidando com flutuações originadas de vários pequenos distúrbios, as partículas de interesse se chocavam com as moléculas do meio, provocando uma trajetória probabilística - isto é - não é possível descrever a evolução da partícula sem a observação. Porém, é possível determinar a probabilidade de encontrá-las em determinada região do espaço.

	Esta equação pode ser obtida a partir da equação de Langevin <ref>From Langevin to Fokker-Planck equation. URL: http://cgl.elte.hu/~racz/Stoch-diff-eq.pdf.</ref> e fornece a probabilidade de encontrar determinada partícula em uma posição (varia conforme a dimensionalidade do problema) em um certo instante <math>t</math>. Além disso, no presente trabalho temos como objetivo estudar a solução numérica da equação para um dado exemplo ~~bidimensional~~, através do método FTCS explícito.		Esta equação pode ser obtida a partir da equação de Langevin <ref>From Langevin to Fokker-Planck equation. URL: http://cgl.elte.hu/~racz/Stoch-diff-eq.pdf.</ref> e fornece a probabilidade de encontrar determinada partícula em uma posição (varia conforme a dimensionalidade do problema) em um certo instante <math>t</math>. Além disso, no presente trabalho temos como objetivo estudar a solução numérica da equação para um dado exemplo com duas variáveis para o espaço de fase mais o tempo, através do método FTCS explícito. <ref>M.P. Zorzano, H. Mais, L. Vazquez, Numerical solution of two dimensional Fokker—Planck equations, Applied Mathematics and Computation, 1999, https://doi.org/10.1016/S0096-3003(97)10161-8.</ref>

	== Introdução ==		== Introdução ==

Samuelhd em 10h39min de 29 de março de 2022

2022-03-29T10:39:38Z

← Edição anterior		Edição das 07h39min de 29 de março de 2022
Linha 1:		Linha 1:
	'''Grupo: Álison Soares, Rodrigo Avancini Lara e Samuel Huff Dieterich'''		'''Grupo: Álison Soares, Rodrigo Avancini Lara e Samuel Huff Dieterich'''

	A equação de Fokker-Planck foi aplicada em primeiro modo em problemas relacionados ao movimento Browniano, como veremos à seguir. Nesse caso, lidando com flutuações originadas de vários pequenos distúrbios, as partículas de interesse se chocavam com as moléculas do meio, provocando uma trajetória ~~imprevisível. Por conta dessas flutuações,~~ é ~~impossível determinar~~ a ~~posição exata dessas partículas~~. Porém, é possível determinar a probabilidade de encontrá-las em determinada região.		A equação de Fokker-Planck foi aplicada em primeiro modo em problemas relacionados ao movimento Browniano, como veremos à seguir. Nesse caso, lidando com flutuações originadas de vários pequenos distúrbios, as partículas de interesse se chocavam com as moléculas do meio, provocando uma trajetória probabilística - isto é - não é possível descrever a evolução da partícula sem a observação. Porém, é possível determinar a probabilidade de encontrá-las em determinada região do espaço.

	Esta equação pode ser obtida a partir da equação de Langevin e fornece a probabilidade de encontrar determinada partícula em uma posição (varia conforme a dimensionalidade do problema) em um certo instante <math>t</math>. Além disso, no presente trabalho temos como objetivo estudar a solução numérica da equação para um dado exemplo bidimensional, através do método FTCS explícito.		Esta equação pode ser obtida a partir da equação de Langevin <ref>From Langevin to Fokker-Planck equation. URL: http://cgl.elte.hu/~racz/Stoch-diff-eq.pdf.</ref> e fornece a probabilidade de encontrar determinada partícula em uma posição (varia conforme a dimensionalidade do problema) em um certo instante <math>t</math>. Além disso, no presente trabalho temos como objetivo estudar a solução numérica da equação para um dado exemplo bidimensional, através do método FTCS explícito.

	== Introdução ==		== Introdução ==
Linha 91:		Linha 91:
	Considerando que a partícula é relativamente grande em comparação com as distâncias médias entre as moléculas do líquido e esta se movimento nesse meio com velocidade <math>v</math>, experimenta uma resistência pela viscosidade. Essa força é descrita pela Lei de Stokes que, para uma partícula esférica com diâmetro <math>a</math>, corresponde a <math>-6\pi\eta a \ dx/dt</math>.		Considerando que a partícula é relativamente grande em comparação com as distâncias médias entre as moléculas do líquido e esta se movimento nesse meio com velocidade <math>v</math>, experimenta uma resistência pela viscosidade. Essa força é descrita pela Lei de Stokes que, para uma partícula esférica com diâmetro <math>a</math>, corresponde a <math>-6\pi\eta a \ dx/dt</math>.

	A segunda força foi proposta por Langevin para descrever o efeito de constantes impactos das moléculas do líquido sobre as partículas de estudo. Assim, como esta força possui uma origem ~~aleatório~~, essa deveria ser positiva ou negativa de maneira equiprovável e cuja magnitude fosse suficiente para manter a agitação da partícula. Caso contrário, a viscosidade iria parar o movimento dessa partícula.		A segunda força foi proposta por Langevin para descrever o efeito de constantes impactos das moléculas do líquido sobre as partículas de estudo. Assim, como esta força (<math>R(t)</math>) possui uma origem aleatória, essa deveria ser positiva ou negativa de maneira equiprovável e cuja magnitude fosse suficiente para manter a agitação da partícula. Caso contrário, a viscosidade iria parar o movimento dessa partícula.

	Com isso, a equação que descreve o movimento a partir da posição da partícula - em 1D na direção <math>x</math> - é dado pela Lei de Newton como:		Com isso, a equação que descreve o movimento a partir da posição da partícula - em 1D na direção <math>x</math> - é dado pela Lei de Newton como:
Linha 100:		Linha 100:
	</math>		</math>

	onde <math>m</math> é a massa da partícula, <math>\gamma>0</math> é o coeficiente de fricção devido a viscosidade do líquido e <math>R</math> é postulado a força de Langevin representando ~~as flutuações de pressão devido ao movimento térmico~~ das moléculas ~~que compõem o líquido~~. <ref>Langevin equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Langevin_equation&oldid=47575.</ref>		onde <math>m</math> é a massa da partícula, <math>\gamma>0</math> é o coeficiente de fricção devido a viscosidade do líquido e <math>R</math> é postulado a força de Langevin representando o efeito das colisões das moléculas do fluído. <ref>Langevin equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Langevin_equation&oldid=47575.</ref><ref>Wikipédia: Langevin equation. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Langevin_equation.</ref>


Linha 109:		Linha 109:
	\langle R(t) \rangle = 0		\langle R(t) \rangle = 0
	\qquad		\qquad
	\langle R(t) R(t') \rangle = D \cdot \delta(t-t')		\langle R(t) R(t') \rangle = D \cdot \delta(t-t'),
	</math>		</math>

Samuelhd: /* Equação de Langevin */

2022-03-06T13:14:13Z

Equação de Langevin

← Edição anterior		Edição das 10h14min de 6 de março de 2022
Linha 91:		Linha 91:
	Considerando que a partícula é relativamente grande em comparação com as distâncias médias entre as moléculas do líquido e esta se movimento nesse meio com velocidade <math>v</math>, experimenta uma resistência pela viscosidade. Essa força é descrita pela Lei de Stokes que, para uma partícula esférica com diâmetro <math>a</math>, corresponde a <math>-6\pi\eta a \ dx/dt</math>.		Considerando que a partícula é relativamente grande em comparação com as distâncias médias entre as moléculas do líquido e esta se movimento nesse meio com velocidade <math>v</math>, experimenta uma resistência pela viscosidade. Essa força é descrita pela Lei de Stokes que, para uma partícula esférica com diâmetro <math>a</math>, corresponde a <math>-6\pi\eta a \ dx/dt</math>.

	A segunda força foi proposta por Langevin para descrever o efeito de constantes impactos das moléculas do líquido sobre as partículas de estudo. Assim, como ~~essa~~ força possui uma origem aleatório, ~~esta~~ deveria ser positiva ou negativa de maneira equiprovável e cuja magnitude fosse suficiente para manter a agitação da partícula. Caso contrário, a viscosidade iria parar o movimento dessa partícula.		A segunda força foi proposta por Langevin para descrever o efeito de constantes impactos das moléculas do líquido sobre as partículas de estudo. Assim, como esta força possui uma origem aleatório, essa deveria ser positiva ou negativa de maneira equiprovável e cuja magnitude fosse suficiente para manter a agitação da partícula. Caso contrário, a viscosidade iria parar o movimento dessa partícula.

	Com isso, a equação que descreve o movimento a partir da posição da partícula - em 1D na direção <math>x</math> - é dado pela Lei de Newton como:		Com isso, a equação que descreve o movimento a partir da posição da partícula - em 1D na direção <math>x</math> - é dado pela Lei de Newton como:

Samuelhd: /* Equação de Langevin */

2022-03-06T13:13:23Z

Equação de Langevin

← Edição anterior		Edição das 10h13min de 6 de março de 2022
Linha 86:		Linha 86:

	1. Arrasto pela viscosidade.		1. Arrasto pela viscosidade.

	2. Força de flutuação.		2. Força de flutuação.

Samuelhd em 13h09min de 6 de março de 2022

2022-03-06T13:09:29Z

← Edição anterior		Edição das 10h09min de 6 de março de 2022
Linha 3:		Linha 3:
	A equação de Fokker-Planck foi aplicada em primeiro modo em problemas relacionados ao movimento Browniano, como veremos à seguir. Nesse caso, lidando com flutuações originadas de vários pequenos distúrbios, as partículas de interesse se chocavam com as moléculas do meio, provocando uma trajetória imprevisível. Por conta dessas flutuações, é impossível determinar a posição exata dessas partículas. Porém, é possível determinar a probabilidade de encontrá-las em determinada região.		A equação de Fokker-Planck foi aplicada em primeiro modo em problemas relacionados ao movimento Browniano, como veremos à seguir. Nesse caso, lidando com flutuações originadas de vários pequenos distúrbios, as partículas de interesse se chocavam com as moléculas do meio, provocando uma trajetória imprevisível. Por conta dessas flutuações, é impossível determinar a posição exata dessas partículas. Porém, é possível determinar a probabilidade de encontrá-las em determinada região.

	Esta equação pode ser obtida a partir da equação de Langevin e fornece a probabilidade de encontrar determinada partícula em uma posição ~~<math>x</math>~~ em certo instante <math>t</math>. Além disso, no presente trabalho temos como objetivo estudar ~~as soluções analítica e~~ numérica da equação para um dado exemplo, através do método FTCS explícito.		Esta equação pode ser obtida a partir da equação de Langevin e fornece a probabilidade de encontrar determinada partícula em uma posição (varia conforme a dimensionalidade do problema) em um certo instante <math>t</math>. Além disso, no presente trabalho temos como objetivo estudar a solução numérica da equação para um dado exemplo bidimensional, através do método FTCS explícito.

	== Introdução ==		== Introdução ==

Samuelhd: /* Aplicação */

2022-03-06T13:05:32Z

Aplicação

← Edição anterior		Edição das 10h05min de 6 de março de 2022
Linha 471:		Linha 471:

	- Verificar problemas de truncamento ou erro numérico ou ainda valores inadequados para as constantes utilizadas.		- Verificar problemas de truncamento ou erro numérico ou ainda valores inadequados para as constantes utilizadas.


			==== Caso 2: problema de Duffing ====

			Assim como no caso anterior, reescrevemos a equação para uma forma conveniente.


			<math>
			\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\frac{\partial v}{\partial x}\rho + \frac{\partial}{\partial v} [(a_1(x) + a_2(x,v))\rho] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial v^2}(2D\rho)
			</math>

			<math>
			a_1(x) =\omega^2x(\alpha+\epsilon x^2), \quad a_2(x,v) = 2\tau\omega v, \quad D=D_{11}\omega^4x^2+D_{22}
			</math>


			<math>
			\begin{alignat}{2}
			\frac{\partial \rho}{\partial t}
			& =
			- \frac{\partial v}{\partial x}\rho
			+ \frac{\partial}{\partial v} [\omega^2x(\alpha+\epsilon x^2) + 2\tau\omega v]\rho
			+ \frac{\partial^2}{\partial v^2}(D_{11}\omega^4x^2+D_{22})\rho
			\\[1em]
			& =
			- v\frac{\partial}{\partial x}\rho
			+ [\omega^2x(\alpha+\epsilon x^2)+2\tau\omega v]\frac{\partial}{\partial v}\rho
			+ 2\tau\omega\rho
			+ (D_{11}\omega^4x^2+D_{22})\frac{\partial^2}{\partial v^2}\rho
			\end{alignat}
			</math>


			Novamente, substituímos os termos necessários pela forma discretizada.


			<math>
			\frac{\rho_{i,j}^{n+1}-\rho_{i,j}^n}{\Delta t}
			=
			- v \left( \frac{\rho_{i+1,j}^n-\rho_{i-1,j}^n}{2\Delta x} \right)
			+ [\omega^2{x^n}(\alpha+\epsilon {x^n}^2)+2\tau\omega v]
			\frac{\rho_{i,j+1}^n + \rho_{i,j-1}^n}{2\Delta v}
			+ 2\tau\omega \rho_{i,j}^n
			+ (D_{11}\omega^4{x^n}^2+D_{22})
			\frac{\rho_{i,j+1}^n-2\rho_{i,j}^n+\rho_{i,j-1}^n}{(\Delta v)^2}
			</math>


			<math>
			\rho_{i,j}^{n+1}
			=
			\rho_{i,j}^n
			+
			\Delta t
			\left\{
			- v \left( \frac{\rho_{i+1,j}^n-\rho_{i-1,j}^n}{2\Delta x} \right)
			+ [\omega^2{x^n}(\alpha+\epsilon {x^n}^2)+2\tau\omega v]
			\frac{\rho_{i,j+1}^n + \rho_{i,j-1}^n}{2\Delta v}
			+ 2\tau\omega \rho_{i,j}^n
			+ (D_{11}\omega^4{x^n}^2+D_{22})
			\frac{\rho_{i,j+1}^n-2\rho_{i,j}^n+\rho_{i,j-1}^n}{(\Delta v)^2}
			\right\}
			</math>


			Considerando mais uma vez que a velocidade da partícula será constante,podemos atualizar o valor de <math>x</math> pela expressão: <math>x^{n+1}=x^n+v\Delta t</math>.

			Para condições iniciais e condições de contorno, usamos o mesmo princípio definido no caso anterior: condição inicial dada por <math>\delta(x-x_0,v-v_0)</math> e condição de contorno definindo as "paredes" com valor zero para qualquer tempo <math>t</math>.


			Uma vez que o grupo não foi capaz de encontrar bons resultados para o caso anterior (mais simples), não foi desenvolvido nenhum código para esse exemplo até que o problema anterior fosse resolvido. Esperamos que em uma futura edição esse material possa trazer alguma visualização para o caso com ruído aditivo e multiplicativo descrito pelo problema de Duffing.

	== Código desenvolvido ==		== Código desenvolvido ==

Samuelhd: /* Método FTCS explícito */

2022-03-06T12:34:31Z

Método FTCS explícito

← Edição anterior		Edição das 09h34min de 6 de março de 2022
Linha 310:		Linha 310:
	=== Método FTCS explícito ===		=== Método FTCS explícito ===

	Para os fins de estudo desses casos, o método numérico mais simples para descrever a função <math>\rho</math> é a partir do FTCS (''Foward Time Central Space'') explícito <ref>Pichler L., Masud A., Bergman L.A. (2013) Numerical Solution of the Fokker–Planck Equation by Finite Difference and Finite Element Methods—A Comparative Study. In: Papadrakakis M., Stefanou G., Papadopoulos V. (eds) Computational Methods in Stochastic Dynamics. Computational Methods in Applied Sciences, vol 26. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-007-5134-7_5</ref>. Como ficará mais claro a partir da discretização das equações, o método FTCS calcula o resultado de uma função no tempo seguinte em um dado ponto a partir dos valores dos "vizinhos" desse ponto. Para a técnica explícita, podemos calcular valor da função no tempo <math>n+1</math> a partir apenas de valores já conhecidos no tempo atual <math>n</math>. Assim, a aplicação do método se torna bem simples, contudo, perdemos precisão/estabilidade em comparação com métodos mais sofisticados.		Para os fins de estudo desses casos, o método numérico mais simples para descrever a função <math>\rho</math> é a partir do FTCS (''Foward Time Central Space'') explícito <ref>Pichler L., Masud A., Bergman L.A. (2013) Numerical Solution of the Fokker–Planck Equation by Finite Difference and Finite Element Methods—A Comparative Study. In: Papadrakakis M., Stefanou G., Papadopoulos V. (eds) Computational Methods in Stochastic Dynamics. Computational Methods in Applied Sciences, vol 26. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-007-5134-7_5.</ref>. Como ficará mais claro a partir da discretização das equações, o método FTCS calcula o resultado de uma função no tempo seguinte em um dado ponto a partir dos valores dos "vizinhos" desse ponto. Para a técnica explícita, podemos calcular valor da função no tempo <math>n+1</math> a partir apenas de valores já conhecidos no tempo atual <math>n</math>. Assim, a aplicação do método se torna bem simples, contudo, perdemos precisão/estabilidade em comparação com métodos mais sofisticados.

	O primeiro passo para o método é discretizar os termos da função de interesse <math>\rho(x,v,t)</math> nas derivadas parciais necessárias: <math>\partial/\partial x</math>, <math>\partial/\partial v</math>, <math>\partial^2/\partial v^2</math>. Para isso, usamos a expansão da série de Taylor e, para melhor precisão, a derivada centrada (excluindo a derivada no tempo). Ademais, usaremos a notação dos índices para indicar os valores de <math>x</math>, <math>v</math> e <math>t</math> por <math>i</math>, <math>j</math> e <math>n</math>, respectivamente.		O primeiro passo para o método é discretizar os termos da função de interesse <math>\rho(x,v,t)</math> nas derivadas parciais necessárias: <math>\partial/\partial x</math>, <math>\partial/\partial v</math>, <math>\partial^2/\partial v^2</math>. Para isso, usamos a expansão da série de Taylor e, para melhor precisão, a derivada centrada (excluindo a derivada no tempo). Ademais, usaremos a notação dos índices para indicar os valores de <math>x</math>, <math>v</math> e <math>t</math> por <math>i</math>, <math>j</math> e <math>n</math>, respectivamente.

Samuelhd: /* Método FTCS explícito */

2022-03-06T12:34:07Z

Método FTCS explícito

← Edição anterior		Edição das 09h34min de 6 de março de 2022
Linha 310:		Linha 310:
	=== Método FTCS explícito ===		=== Método FTCS explícito ===

	Para os fins de estudo desses casos, o método numérico mais simples para descrever a função <math>\rho</math> é a partir do FTCS (''Foward Time Central Space'') explícito. Como ficará mais claro a partir da discretização das equações, o método FTCS calcula o resultado de uma função no tempo seguinte em um dado ponto a partir dos valores dos "vizinhos" desse ponto. Para a técnica explícita, podemos calcular valor da função no tempo <math>n+1</math> a partir apenas de valores já conhecidos no tempo atual <math>n</math>. Assim, a aplicação do método se torna bem simples, contudo, perdemos precisão/estabilidade em comparação com métodos mais sofisticados.		Para os fins de estudo desses casos, o método numérico mais simples para descrever a função <math>\rho</math> é a partir do FTCS (''Foward Time Central Space'') explícito <ref>Pichler L., Masud A., Bergman L.A. (2013) Numerical Solution of the Fokker–Planck Equation by Finite Difference and Finite Element Methods—A Comparative Study. In: Papadrakakis M., Stefanou G., Papadopoulos V. (eds) Computational Methods in Stochastic Dynamics. Computational Methods in Applied Sciences, vol 26. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-007-5134-7_5</ref>. Como ficará mais claro a partir da discretização das equações, o método FTCS calcula o resultado de uma função no tempo seguinte em um dado ponto a partir dos valores dos "vizinhos" desse ponto. Para a técnica explícita, podemos calcular valor da função no tempo <math>n+1</math> a partir apenas de valores já conhecidos no tempo atual <math>n</math>. Assim, a aplicação do método se torna bem simples, contudo, perdemos precisão/estabilidade em comparação com métodos mais sofisticados.

	O primeiro passo para o método é discretizar os termos da função de interesse <math>\rho(x,v,t)</math> nas derivadas parciais necessárias: <math>\partial/\partial x</math>, <math>\partial/\partial v</math>, <math>\partial^2/\partial v^2</math>. Para isso, usamos a expansão da série de Taylor e, para melhor precisão, a derivada centrada (excluindo a derivada no tempo). Ademais, usaremos a notação dos índices para indicar os valores de <math>x</math>, <math>v</math> e <math>t</math> por <math>i</math>, <math>j</math> e <math>n</math>, respectivamente.		O primeiro passo para o método é discretizar os termos da função de interesse <math>\rho(x,v,t)</math> nas derivadas parciais necessárias: <math>\partial/\partial x</math>, <math>\partial/\partial v</math>, <math>\partial^2/\partial v^2</math>. Para isso, usamos a expansão da série de Taylor e, para melhor precisão, a derivada centrada (excluindo a derivada no tempo). Ademais, usaremos a notação dos índices para indicar os valores de <math>x</math>, <math>v</math> e <math>t</math> por <math>i</math>, <math>j</math> e <math>n</math>, respectivamente.

Samuelhd: /* Caso 1: oscilador harmônico amortecido */

2022-03-06T12:31:45Z

Caso 1: oscilador harmônico amortecido

← Edição anterior		Edição das 09h31min de 6 de março de 2022
Linha 445:		Linha 445:


	Por fim, é necessário definir uma condição inicial e uma condição de contorno. Uma vez que a função descreve uma densidade de probabilidade, a literatura sugere, até para comparar com a solução analítica quando disponível, uma delta de Kronecker <math>\delta(x-x_0,v-v_0)</math>. Assim, em uma dada coordenada $(x,v)$ no tempo $t_0$ teremos uma probabilidade 1 de encontrar a partícula. Como condição de contorno, dado que a função em um dado ponto precisa dos pontos vizinhos, indicamos que a "borda" da matriz será sempre igual a zero.		Por fim, é necessário definir uma condição inicial e uma condição de contorno. Uma vez que a função descreve uma densidade de probabilidade, a literatura sugere, até para comparar com a solução analítica quando disponível, uma delta de Kronecker <math>\delta(x-x_0,v-v_0)</math>. Assim, em uma dada coordenada <math>(x,v)</math> no tempo <math>t_0</math> teremos uma probabilidade 1 de encontrar a partícula. Como condição de contorno, dado que a função em um dado ponto precisa dos pontos vizinhos, indicamos que a "borda" da matriz será sempre igual a zero.

Samuelhd: /* Caso 1: oscilador harmônico amortecido */

2022-03-06T12:30:54Z

Caso 1: oscilador harmônico amortecido

← Edição anterior		Edição das 09h30min de 6 de março de 2022
Linha 443:		Linha 443:
	x^{n+1} = x^n+v\Delta t		x^{n+1} = x^n+v\Delta t
	</math>		</math>


			Por fim, é necessário definir uma condição inicial e uma condição de contorno. Uma vez que a função descreve uma densidade de probabilidade, a literatura sugere, até para comparar com a solução analítica quando disponível, uma delta de Kronecker <math>\delta(x-x_0,v-v_0)</math>. Assim, em uma dada coordenada $(x,v)$ no tempo $t_0$ teremos uma probabilidade 1 de encontrar a partícula. Como condição de contorno, dado que a função em um dado ponto precisa dos pontos vizinhos, indicamos que a "borda" da matriz será sempre igual a zero.


Linha 453:		Linha 456:


	A partir da referência estudada e da física do problema, é evidente que a animação apresentada está aquém do esperado. Pelos testes do grupo responsável por esse documento, o programa desenvolvido se mostrou muito instável e impreciso: ~~a alteração mínima~~ de alguns parâmetros ~~alterava muito~~ o resultado observado. Esse comportamento imprevisível se tornou evidente ao alterar o tamanho dos passos (''dt'', ''dx'', ''dv'') de forma que tanto aumentando quanto diminuindo uma ordem de grandeza a função "explodia". Assim, não foi possível aumentar a resolução da "simulação".		A partir da referência estudada e da física do problema, é evidente que a animação apresentada está aquém do esperado. Pelos testes pelo grupo responsável por esse documento, o programa desenvolvido se mostrou muito instável e impreciso: alterações mínimas de alguns parâmetros alteravam consideravelmente o resultado observado. Esse comportamento "imprevisível" se tornou ainda evidente ao alterar o tamanho dos passos (''dt'', ''dx'', ''dv'') de forma que tanto aumentando quanto diminuindo uma ordem de grandeza a função "explodia" - isto é - crescia exponencialmente. Assim, não foi possível aumentar a resolução da "simulação".

	Além disso, em alguns casos, a função retornava valores negativos, o que é inadequado para uma densidade de probabilidade. Ademais, a ordem de grandeza para o tempo usada na simulação desse trabalho está muito abaixo da utilizada na referência base para esse problema, mostrando que a evolução temporal pode ter algum problema. No entanto, o problema que destacamos é a falta de "suavidade" na curva gerada, tanto é que em alguns quadros é possível ver mudanças bruscas no formato da função.		Além disso, em alguns casos, a função retornava valores negativos, o que é inadequado para uma densidade de probabilidade. Ademais, a ordem de grandeza para o tempo usada na simulação desse trabalho está muito abaixo da utilizada na referência base para esse problema, mostrando que a evolução temporal pode ter algum problema. No entanto, o problema que destacamos é a falta de "suavidade" na curva gerada, tanto é que em alguns quadros é possível ver mudanças bruscas no formato da função.

	Dessa forma, apesar dos esforços ~~do grupo~~, não ~~foi capaz~~ até o momento dessa edição de encontrar a causa desses problemas. No entanto, segue algumas hipóteses que podem ser avaliadas para futuras revisões ~~desse~~ material:		Dessa forma, apesar dos esforços da equipe, não fomos capazes - até o momento dessa edição - de encontrar a causa desses problemas. No entanto, segue algumas hipóteses que podem ser avaliadas para futuras revisões deste material:

	- Verificar as equações utilizadas para descrever os problemas e a passagem para a equação de Fokker-Planck. A literatura encontrada não apresenta os passos usados para esse cálculo e nem a referência específica para cada etapa. Assim, o grupo precisou confiar que esse artigo estava correto.		- Verificar as equações utilizadas para descrever os problemas e a passagem para a equação de Fokker-Planck. A literatura encontrada não apresenta os passos usados para esse cálculo e nem a referência específica para cada etapa. Assim, o grupo precisou confiar que esse artigo estava correto.
Linha 465:		Linha 468:
	- Verificar a estabilidade do método, pois, apesar de não ter ser comentado no material de referência, é possível que o método explícito não seja adequado para os casos estudados.		- Verificar a estabilidade do método, pois, apesar de não ter ser comentado no material de referência, é possível que o método explícito não seja adequado para os casos estudados.

	- ~~verificar~~ possíveis problemas no código, tanto o código para os dados quanto para a visualização.		- Verificar possíveis problemas no código, tanto o código para os dados quanto para a visualização.

			- Verificar problemas de truncamento ou erro numérico ou ainda valores inadequados para as constantes utilizadas.

	== Código desenvolvido ==		== Código desenvolvido ==