Equação de Dirac - Histórico de revisão

Lucasassmann4: /* Equação 1D */

2024-08-27T18:25:37Z

Equação 1D

← Edição anterior		Edição das 15h25min de 27 de agosto de 2024
Linha 954:		Linha 954:

	</source><br />		</source><br />




	==Equação 1D com potencial "escalar"==		==Equação 1D com potencial "escalar"==

Vinibaynem: /* Referências */ adicionar nome faltante nas referências

2024-07-16T23:02:30Z

Referências: adicionar nome faltante nas referências

← Edição anterior		Edição das 20h02min de 16 de julho de 2024
Linha 1 308:		Linha 1 308:

	=Referências=		=Referências=
	# The quantum theory of the electron. Proceedings of the Royal Society of London A, v. 117, n. 778, p. 610–624, fev. 1928.		# DIRAC, P. A. M. The quantum theory of the electron. Proceedings of the Royal Society of London A, v. 117, n. 778, p. 610–624, fev. 1928.
	# SAKURAI, J. J. Mecânica quântica moderna. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.		# SAKURAI, J. J. Mecânica quântica moderna. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
	# BAO, W. et al. Numerical Methods and Comparison for the Dirac Equation in the Nonrelativistic Limit Regime. Journal of Scientific Computing, v. 71, n. 3, p. 1094–1134, jun. 2017.		# BAO, W. et al. Numerical Methods and Comparison for the Dirac Equation in the Nonrelativistic Limit Regime. Journal of Scientific Computing, v. 71, n. 3, p. 1094–1134, jun. 2017.
	# SOFF, G. et al. Solution of the Dirac Equation for Scalar Potentials and its Implications in Atomic Physics. Zeitschrift für Naturforschung A, v. 28, n. 9, p. 1389–1396, 1 set. 1973.		# SOFF, G. et al. Solution of the Dirac Equation for Scalar Potentials and its Implications in Atomic Physics. Zeitschrift für Naturforschung A, v. 28, n. 9, p. 1389–1396, 1 set. 1973.
	# THALLER, B. The Dirac equation. Berlin: Springer, 2010.		# THALLER, B. The Dirac equation. Berlin: Springer, 2010.

Vinibaynem: /* Introdução */ crase

2024-07-04T18:41:51Z

Introdução: crase

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Linha 2:		Linha 2:

	=Introdução=		=Introdução=
	A equação de Dirac descreve uma partícula relativística de spin <math>\frac{1}{2}</math>, como o elétron, com estrutura análoga a da equação de Schrödinger. Ela surgiu inicialmente como tentativa de explicar discrepâncias entre experimentos e teoria para o espectro do átomo de hidrogênio, possibilitando correções para o cálculo da energia do elétron em diferentes níveis (as chamadas correções de ''estrutura fina''). Além disso, por meio dela foi possível prever a existência de antimatéria: descrevendo o elétron, ela também descreve o pósitron.		A equação de Dirac descreve uma partícula relativística de spin <math>\frac{1}{2}</math>, como o elétron, com estrutura análoga à da equação de Schrödinger. Ela surgiu inicialmente como tentativa de explicar discrepâncias entre experimentos e teoria para o espectro do átomo de hidrogênio, possibilitando correções para o cálculo da energia do elétron em diferentes níveis (as chamadas correções de ''estrutura fina''). Além disso, por meio dela foi possível prever a existência de antimatéria: descrevendo o elétron, ela também descreve o pósitron.

	A fim de compatibilizar a Mecânica Quântica com a Relatividade Especial, a equação diferencial parcial é de ''primeira'' ordem tanto no tempo quanto no espaço (diferentemente da equação de Schrödinger, que é de ''segunda'' ordem no espaço). A equação de Dirac pode ser escrita de diversas formas; aqui, apresentamo-la explicitamente como um sistema de EDPs acopladas, mais conveniente para os propósitos do trabalho.		A fim de compatibilizar a Mecânica Quântica com a Relatividade Especial, a equação diferencial parcial é de ''primeira'' ordem tanto no tempo quanto no espaço (diferentemente da equação de Schrödinger, que é de ''segunda'' ordem no espaço). A equação de Dirac pode ser escrita de diversas formas; aqui, apresentamo-la explicitamente como um sistema de EDPs acopladas, mais conveniente para os propósitos do trabalho.

Vinibaynem: /* Método Leap-frog */ comentário sobre parâmetro epsilon

2024-06-30T00:52:18Z

Método Leap-frog: comentário sobre parâmetro epsilon

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Linha 523:		Linha 523:
	==Método Leap-frog==		==Método Leap-frog==

	O método de Leap-frog (LF) é um método ~~explicito~~, contendo apenas termos em um mesmo instante do tempo ~~para calcular as~~ derivadas espaciais. Na simulação realizada, utilizou-se a equação de Dirac em duas dimensões com potencial magnético nulo:		O método de Leap-frog (LF) é um método explícito, contendo apenas termos em um mesmo instante do tempo no cálculo das derivadas espaciais. Na simulação realizada, utilizou-se a equação de Dirac em duas dimensões com potencial magnético nulo:

	<center>		<center>
	<math>		<math>
	i \partial_t \mathbf{\Phi} = [-\frac{i}{\varepsilon}(\sigma_1\partial_x+\sigma_2\partial_y) + \frac{1}{\varepsilon^2}\sigma_3] \mathbf{\Phi} + [V(t,x)I_2] \mathbf{\Phi}		i \partial_t \mathbf{\Phi} = \left[-\frac{i}{\varepsilon}(\sigma_1\partial_x+\sigma_2\partial_y) + \frac{1}{\varepsilon^2}\sigma_3 \right] \mathbf{\Phi} + [V(t,x)I_2] \mathbf{\Phi}
	</math>		</math>
	</center>		</center>

	~~Dessa forma~~, ~~enuncia~~-se o método LF como:		onde se utiliza um parâmetro de escala <math>\varepsilon \in (0,1]</math>, conforme [[Equação_de_Dirac#Referências\|(3)]]. Esse parâmetro está relacionado com a escolha de unidades do problema, e determina o comportamento relativístico do sistema estudado: quando <math>\varepsilon \to 0</math>, estamos no limite não relativístico; quando <math>\varepsilon \to 1</math>, estamos no limite relativístico com a velocidade da onda <math>v \to c</math>.

			Enuncia-se o método LF como:

	<center>		<center>
	<math>		<math>
	i \partial_t \mathbf{\Phi}_{i,j}^{n} = [-\frac{i}{\varepsilon}(\sigma_1\partial_x+\sigma_2\partial_y) + \frac{1}{\varepsilon^2}\sigma_3] \mathbf{\Phi}_{i,j}^{n} + [V(t,x)I_2] \mathbf{\Phi}_{i,j}^{n}		i \partial_t \mathbf{\Phi}_{i,j}^{n} = \left[-\frac{i}{\varepsilon}(\sigma_1\partial_x+\sigma_2\partial_y) + \frac{1}{\varepsilon^2}\sigma_3 \right] \mathbf{\Phi}_{i,j}^{n} + [V(t,x)I_2] \mathbf{\Phi}_{i,j}^{n}
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Linha 580:		Linha 582:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	{\Phi_1}_{i,j}^{n+1}=-\frac{\Delta t}{h\varepsilon}[({\Phi_4}_{i+1,j}^{n}-{\Phi_4}_{i-1,j}^{n})-i({\Phi_4}_{i,j+1}^{n}-{\Phi_4}_{i,j-1}^{n})]-2i\Delta t[\frac{1}{\varepsilon^2}+V_{i,j}^{n}]{\Phi_1}_{i,j}^{n}+{\Phi_1}_{i,j}^{n-1}		{\Phi_1}_{i,j}^{n+1}=-\frac{\Delta t}{h\varepsilon} \left[({\Phi_4}_{i+1,j}^{n}-{\Phi_4}_{i-1,j}^{n})-i({\Phi_4}_{i,j+1}^{n}-{\Phi_4}_{i,j-1}^{n}) \right]-2i\Delta t \left[\frac{1}{\varepsilon^2}+V_{i,j}^{n} \right]{\Phi_1}_{i,j}^{n}+{\Phi_1}_{i,j}^{n-1}
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Linha 586:		Linha 588:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	{\Phi_4}_{i,j}^{n+1}=-\frac{\Delta t}{h\varepsilon}[({\Phi_1}_{i+1,j}^{n}-{\Phi_1}_{i-1,j}^{n})+i({\Phi_1}_{i,j+1}^{n}-{\Phi_1}_{i,j-1}^{n})]+2i\Delta t[\frac{1}{\varepsilon^2}+V_{i,j}^{n}]{\Phi_4}_{i,j}^{n}+{\Phi_4}_{i,j}^{n-1}		{\Phi_4}_{i,j}^{n+1}=-\frac{\Delta t}{h\varepsilon} \left[({\Phi_1}_{i+1,j}^{n}-{\Phi_1}_{i-1,j}^{n})+i({\Phi_1}_{i,j+1}^{n}-{\Phi_1}_{i,j-1}^{n}) \right]+2i\Delta t \left[\frac{1}{\varepsilon^2}+V_{i,j}^{n} \right]{\Phi_4}_{i,j}^{n}+{\Phi_4}_{i,j}^{n-1}
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Linha 594:		Linha 596:


	Assumindo que o potencial <math>V</math> é independente do tempo, pode-se provar via método de von Neumann que o método de Leap-frog é estável ~~sobre~~ as condições:		Assumindo que o potencial <math>V</math> é independente do tempo, pode-se provar via método de von Neumann que o método de Leap-frog é estável sob as condições:

	<center>		<center>

Vinibaynem: /* Equação 2D */ reescrevi algumas frases

2024-06-30T00:47:46Z

Equação 2D: reescrevi algumas frases

← Edição anterior		Edição das 21h47min de 29 de junho de 2024
Linha 1 141:		Linha 1 141:
	Passamos agora para o estudo da equação de Dirac em duas dimensões. Para tanto, a equação foi integrada utilizando-se o método de Leap-Frog, tanto com um potencial coulombiano central como com um potencial cossenoide. Em ambos casos, o potencial não depende do tempo e a condição inicial constituiu-se de um pacote gaussiano, centralizado em <math>(0,0)</math> para <math>\Phi_1</math> e em <math>(1,1)</math> para <math>\Phi_4</math>.		Passamos agora para o estudo da equação de Dirac em duas dimensões. Para tanto, a equação foi integrada utilizando-se o método de Leap-Frog, tanto com um potencial coulombiano central como com um potencial cossenoide. Em ambos casos, o potencial não depende do tempo e a condição inicial constituiu-se de um pacote gaussiano, centralizado em <math>(0,0)</math> para <math>\Phi_1</math> e em <math>(1,1)</math> para <math>\Phi_4</math>.

	O procedimento adotado segue o utilizado em [[Equação_de_Dirac#Referências\|(3)]]~~, onde se utiliza um parâmetro de escala <math>\varepsilon \in (0,1]</math>~~. Esse parâmetro está relacionado com a escolha de unidades do problema, e determina o comportamento relativístico do sistema estudado: quando <math>\varepsilon \to 0</math>, estamos no limite não relativístico; quando <math>\varepsilon \to 1</math>, estamos no limite relativístico com a velocidade da onda <math>v \to c</math>.		O procedimento adotado segue o utilizado em [[Equação_de_Dirac#Referências\|(3)]]. De forma aproximada, atribuiu-se para o passo temporal <math>n=1</math>:

	De forma aproximada, atribuiu-se para o passo temporal <math>n=1</math>:

	<center>		<center>

Vinibaynem: /* Equação 2D */ explicação para o parâmetro epsilon

2024-06-30T00:45:30Z

Equação 2D: explicação para o parâmetro epsilon

← Edição anterior		Edição das 21h45min de 29 de junho de 2024
Linha 1 139:		Linha 1 139:


	~~Utilizou~~-se o método de Leap-Frog ~~para simulação da equação de Dirac bidimensional em~~ um potencial coulombiano central ~~e em~~ um potencial cossenoide. Em ambos casos, o potencial não depende do tempo e a condição inicial constituiu-se de um pacote gaussiano, centralizado em <math>(0,0)</math> para <math>\Phi_1</math> e em <math>(1,1)</math> para <math>\Phi_4</math>. De forma aproximada, atribuiu-se para o passo temporal <math>n=1</math>:		Passamos agora para o estudo da equação de Dirac em duas dimensões. Para tanto, a equação foi integrada utilizando-se o método de Leap-Frog, tanto com um potencial coulombiano central como com um potencial cossenoide. Em ambos casos, o potencial não depende do tempo e a condição inicial constituiu-se de um pacote gaussiano, centralizado em <math>(0,0)</math> para <math>\Phi_1</math> e em <math>(1,1)</math> para <math>\Phi_4</math>.

			O procedimento adotado segue o utilizado em [[Equação_de_Dirac#Referências\|(3)]], onde se utiliza um parâmetro de escala <math>\varepsilon \in (0,1]</math>. Esse parâmetro está relacionado com a escolha de unidades do problema, e determina o comportamento relativístico do sistema estudado: quando <math>\varepsilon \to 0</math>, estamos no limite não relativístico; quando <math>\varepsilon \to 1</math>, estamos no limite relativístico com a velocidade da onda <math>v \to c</math>.

			De forma aproximada, atribuiu-se para o passo temporal <math>n=1</math>:

	<center>		<center>
	<math>		<math>
	\mathbf{\Phi}_{i,j}^{1}=\mathbf{\Phi}_{i,j}^{0} -sin(\frac{\Delta t }{\varepsilon})\sigma_1(\delta_x+\delta_y)\mathbf{\Phi}_{i,j}^{0}-i(sin(\frac{\Delta t }{\varepsilon^2})\sigma_3+\Delta t V_{i,j}^{0} I_2)\mathbf{\Phi}_{i,j}^{0}		\mathbf{\Phi}_{i,j}^{1}=\mathbf{\Phi}_{i,j}^{0} -\sin \left(\frac{\Delta t }{\varepsilon} \right)\sigma_1(\delta_x+\delta_y)\mathbf{\Phi}_{i,j}^{0}-i \left(\sin\left(\frac{\Delta t }{\varepsilon^2}\right)\sigma_3+\Delta t V_{i,j}^{0} I_2\right)\mathbf{\Phi}_{i,j}^{0}

	</math>		</math>
	</center>		</center>

	Segue abaixo o código utilizado para ambos potenciais, ~~o qual~~ seu uso difere apenas em qual potencial foi comentado:		Segue abaixo o código utilizado para ambos potenciais, onde seu uso difere apenas em qual potencial foi comentado. A escolha do parâmetro de escala foi <math>\varepsilon = 0.8</math>.


Linha 1 292:		Linha 1 296:
	===Potencial Coulombiano===		===Potencial Coulombiano===

	Na animação gerada, nota-se a dispersão para o infinito no momento inicial e o movimento semelhante a uma órbita que a curva de densidade de probabilidade <math>\|\mathbf{\Phi}\|^2</math> realiza em torno do centro do sistema de coordenadas, pois o potencial escolhido varia radialmente de forma positiva. Observa-se um padrão de ruído na parte central, o qual não foi estudado ~~afundo~~, mas, nesse caso, é exclusivo de pontos próximos ao ponto de divergência da função potencial.		Na animação gerada, nota-se a dispersão para o infinito no momento inicial e o movimento semelhante a uma órbita que a curva de densidade de probabilidade <math>\|\mathbf{\Phi}\|^2</math> realiza em torno do centro do sistema de coordenadas, pois o potencial escolhido varia radialmente de forma positiva. Observa-se um padrão de ruído na parte central, o qual não foi estudado a fundo, mas, nesse caso, é exclusivo de pontos próximos ao ponto de divergência da função potencial.

Vinibaynem: /* Equação 1D com potencial "escalar" */ mudança na primeira frase

2024-06-30T00:18:38Z

Equação 1D com potencial "escalar": mudança na primeira frase

← Edição anterior		Edição das 21h18min de 29 de junho de 2024
Linha 958:		Linha 958:
	==Equação 1D com potencial "escalar"==		==Equação 1D com potencial "escalar"==

	~~Por fim, consideraremos~~ o problema com o potencial "escalar" <math>V_{sc}</math>. Dentro do formalismo da relatividade, os potenciais podem ser classificados de acordo com o seu comportamento frente a uma transformação de Poincaré: o potencial <math>V</math> se transforma como um vetor (por isso chamado de potencial "vetor"), e o potencial <math>V_{sc}</math>, como um escalar (potencial "escalar"). Como exemplo de potencial do tipo vetor, temos os potenciais eletromagnéticos; e de potencial do tipo escalar, pode-se citar modelos de confinamento. Na prática, pode-se dizer que o potencial <math>V_{sc}</math> altera a massa de repouso "efetiva" da partícula. Para este assunto, deixamos [[Equação_de_Dirac#Referências\|(4)]] e [[Equação_de_Dirac#Referências\|(5)]] como referências.		Consideraremos agora o problema com o potencial "escalar" <math>V_{sc}</math>. Dentro do formalismo da relatividade, os potenciais podem ser classificados de acordo com o seu comportamento frente a uma transformação de Poincaré: o potencial <math>V</math> se transforma como um vetor (por isso chamado de potencial "vetor"), e o potencial <math>V_{sc}</math>, como um escalar (potencial "escalar"). Como exemplo de potencial do tipo vetor, temos os potenciais eletromagnéticos; e de potencial do tipo escalar, pode-se citar modelos de confinamento. Na prática, pode-se dizer que o potencial <math>V_{sc}</math> altera a massa de repouso "efetiva" da partícula. Para este assunto, deixamos [[Equação_de_Dirac#Referências\|(4)]] e [[Equação_de_Dirac#Referências\|(5)]] como referências.

	Por ser um tópico bastante especializado, será considerado aqui apenas o caso do poço infinito. O problema é apenas uma extensão do que foi exposto [[Equação_de_Dirac#Poço Infinito\|nessa seção]]; a [[Equação_de_Dirac#Método_de_Crank-Nicolson\|discretização]] e a estabilidade do método de Crank-Nicolson são análogas, bastando apenas fazer <math>\alpha^n = 1 + \frac{i \Delta t}{2}(V^n _j + V_{{sc}_j}^n + 1)</math> e <math>\beta^n = 1 + \frac{i \Delta t}{2}(V^n _j - V_{{sc}_j}^n -1)</math>.		Por ser um tópico bastante especializado, será considerado aqui apenas o caso do poço infinito. O problema é apenas uma extensão do que foi exposto [[Equação_de_Dirac#Poço Infinito\|nessa seção]]; a [[Equação_de_Dirac#Método_de_Crank-Nicolson\|discretização]] e a estabilidade do método de Crank-Nicolson são análogas, bastando apenas fazer <math>\alpha^n = 1 + \frac{i \Delta t}{2}(V^n _j + V_{{sc}_j}^n + 1)</math> e <math>\beta^n = 1 + \frac{i \Delta t}{2}(V^n _j - V_{{sc}_j}^n -1)</math>.

Andredv: /* Equação 2D */

2024-05-16T18:18:03Z

Equação 2D

← Edição anterior		Edição das 15h18min de 16 de maio de 2024
Linha 1 139:		Linha 1 139:


	Utilizou-se o método de Leap-Frog para simulação da equação de Dirac bidimensional em um potencial ~~Coulombiano~~ central e em um potencial cossenoide. Em ambos casos, o potencial não depende do tempo e a condição inicial constituiu-se de um pacote gaussiano, centralizado em <math>(0,0)</math> para <math>\Phi_1</math> e em <math>(1,1)</math> para <math>\Phi_4</math>. De forma aproximada, atribuiu-se para o passo temporal ~~seguinte~~:		Utilizou-se o método de Leap-Frog para simulação da equação de Dirac bidimensional em um potencial coulombiano central e em um potencial cossenoide. Em ambos casos, o potencial não depende do tempo e a condição inicial constituiu-se de um pacote gaussiano, centralizado em <math>(0,0)</math> para <math>\Phi_1</math> e em <math>(1,1)</math> para <math>\Phi_4</math>. De forma aproximada, atribuiu-se para o passo temporal <math>n=1</math>:

	<center>		<center>

Andredv: /* Método Leap-frog */

2024-05-16T18:16:03Z

Método Leap-frog

← Edição anterior		Edição das 15h16min de 16 de maio de 2024
Linha 539:		Linha 539:
	</center>		</center>

	De forma análoga ao caso de uma dimensão, é feita a discretização temporal e espacial. Utiliza-se a discretização temporal como <math>t_n=t0+n\~~delta~~ t</math> na dimensão <math>y</math> na forma <math>y_j=y_0+jh</math> e na dimensão <math>x</math> como <math>x_i=x_0+ih</math>, onde <math>j</math> e <math>i</math> são números inteiros. Em adição, discretiza-se as derivadas espaciais e temporal da seguinte forma:		De forma análoga ao caso de uma dimensão, é feita a discretização temporal e espacial. Utiliza-se a discretização temporal como <math>t_n=t0+n\Delta t</math> na dimensão <math>y</math> na forma <math>y_j=y_0+jh</math> e na dimensão <math>x</math> como <math>x_i=x_0+ih</math>, onde <math>j</math> e <math>i</math> são números inteiros. Em adição, discretiza-se as derivadas espaciais e temporal da seguinte forma:

	<center>		<center>

Andredv: /* Método Leap-frog */

2024-05-16T18:15:26Z

Método Leap-frog

← Edição anterior		Edição das 15h15min de 16 de maio de 2024
Linha 539:		Linha 539:
	</center>		</center>

	De forma análoga ao ~~cada~~ de uma dimensão, é feita a discretização temporal e espacial. Utiliza-se a discretização temporal como $t_n=t0+n\delta t$ na dimensão $y$ na forma $y_j=y_0+jh$ e na dimensão $x$ como $x_i=x_0+ih$, onde $j$ e $i$ são números inteiros. Em adição, discretiza-se as derivadas espaciais e temporal da seguinte forma:		De forma análoga ao caso de uma dimensão, é feita a discretização temporal e espacial. Utiliza-se a discretização temporal como <math>t_n=t0+n\delta t</math> na dimensão <math>y</math> na forma <math>y_j=y_0+jh</math> e na dimensão <math>x</math> como <math>x_i=x_0+ih</math>, onde <math>j</math> e <math>i</math> são números inteiros. Em adição, discretiza-se as derivadas espaciais e temporal da seguinte forma:

	<center>		<center>