Equação de Cahn-Hilliard em 2D - Histórico de revisão

Leomigotto em 19h14min de 22 de julho de 2024

2024-07-22T19:14:59Z

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	'''Leonardo Dasso ~~Migottto~~'''		'''Leonardo Dasso Migotto'''

	O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard utilizando a Transformada Rápida de Fourier <ref>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT</ref> em uma e (principalmente) em duas dimensões. Será explorado as variações em concentração inicial e seus respectivos padrões formados, dados coeficientes de difusão e dimensões da superfície fixos.		O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard utilizando a Transformada Rápida de Fourier <ref>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT</ref> em uma e (principalmente) em duas dimensões. Será explorado as variações em concentração inicial e seus respectivos padrões formados, dados coeficientes de difusão e dimensões da superfície fixos.

Leomigotto em 18h47min de 20 de maio de 2023

2023-05-20T18:47:15Z

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	[[Arquivo:NOPBC03.gif\|thumb\|Cahn-Hilliard bidimensional com condições de contorno periódicas.]]		[[Arquivo:NOPBC03.gif\|thumb\|Cahn-Hilliard bidimensional com condições de contorno periódicas.]]

	A equação de Cahn-Hilliard descreve a decomposição espinoidal<ref>CAHN, John W.; HILLIARD, John E. '''Spinodal decomposition: A reprise'''Acta Metallurgica, Volume 19, Issue 2, 1971</ref> em uma mistura binária, originando da primeira lei de Fick e a energia livre de Gibbs<ref>CAHN, John W.; HILLIARD, John E. '''Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy'''. The Journal of Chemical Physics, 1958.</ref>. Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim <ref>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard</ref>, onde os aspectos físicos da equação são explicados em detalhes. Recomendo a leitura completa da página para melhor entendimento dos processos envolvidos na equação.O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibida uma implementação em uma dimensão.		A equação de Cahn-Hilliard descreve a decomposição espinoidal<ref>CAHN, John W.; HILLIARD, John E. '''Spinodal decomposition: A reprise'''Acta Metallurgica, Volume 19, Issue 2, 1971</ref> em uma mistura binária, originando da primeira lei de Fick e a energia livre de Gibbs<ref>CAHN, John W.; HILLIARD, John E. '''Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy'''. The Journal of Chemical Physics, 1958.</ref>. Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim <ref>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard</ref>, onde os aspectos físicos da equação são explicados em detalhes. Recomendo a leitura completa da página para melhor entendimento dos processos envolvidos na equação. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibida uma implementação em uma dimensão.

	'''Todos códigos desenvolvidos para duas dimensões foram feitos a fim de que qualquer pessoa, com Python e as bibliotecas necessárias instaladas, possa executá-los sem nenhum conhecimento prévio. Estes códigos podem ser encontrados no final desta página.'''		'''Todos códigos desenvolvidos para duas dimensões foram feitos a fim de que qualquer pessoa, com Python e as bibliotecas necessárias instaladas, possa executá-los sem nenhum conhecimento prévio. Estes códigos podem ser encontrados no final desta página.'''

Leomigotto: /* Resultados em Uma Dimensão e Discussão */

2022-10-01T20:09:44Z

Resultados em Uma Dimensão e Discussão

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	[[Arquivo:1d100passos.png]] [[Arquivo:1d1000passos.png]] [[Arquivo:1d10000.png]]		[[Arquivo:1d100passos.png]] [[Arquivo:1d1000passos.png]] [[Arquivo:1d10000.png]]

	Como podemos ver, a diferença dos valores entre os resultados obtidos pelo método FTCS e o método das transformadas é pequena (após poucos instantes o maior módulo da diferença aproxima-se de 0,01). A fim de avaliar com maior precisão a diferença entre ambos métodos, quatro pontos foram escolhidos ao acaso, e a diferença de valor entre ambos métodos sob cada ponto foram graficadas, e podem ser vistas abaixo.		Repare na mudança de limites no eixo vertical dos gráficos, a fim de ressaltar a posição dos valores maiores da diferença. Como podemos ver, a diferença dos valores entre os resultados obtidos pelo método FTCS e o método das transformadas é pequena (após poucos instantes o maior módulo da diferença aproxima-se de 0,01). A fim de avaliar com maior precisão a diferença entre ambos métodos, quatro pontos foram escolhidos ao acaso, e a diferença de valor entre ambos métodos sob cada ponto foram graficadas, e podem ser vistas abaixo.

	[[Arquivo:diferencalog.png]]		[[Arquivo:diferencalog.png]]

Leomigotto: /* Resultados em Uma Dimensão e Discussão */

2022-10-01T20:08:39Z

Resultados em Uma Dimensão e Discussão

← Edição anterior		Edição das 17h08min de 1 de outubro de 2022
Linha 73:		Linha 73:
	<math>\Delta t = \frac{1}{22 \cdot 10^{6}}, \Delta x = \frac{1}{128}, D = 1, \gamma = \Bigl(\frac{3.4}{128}\Bigr)^2, x_{max} = 1</math>.		<math>\Delta t = \frac{1}{22 \cdot 10^{6}}, \Delta x = \frac{1}{128}, D = 1, \gamma = \Bigl(\frac{3.4}{128}\Bigr)^2, x_{max} = 1</math>.

	É interessante citar que a escolha de <math>\Delta x</math> como um valor tão específico não é em vão: a função RFFT utilizada no código apresenta maior rapidez de execução quando o vetor utilizado é de tamanho <math>2^n , n = 1, 2, 3, ...</math>. Com este valor de <math>dx</math>, nosso vetor é composto de 128 elementos, ou <math>2^7</math> elementos, fazendo uso dessa vantagem.		É interessante citar que a escolha de <math>\Delta x</math> como um valor tão específico não é em vão: a função RFFT utilizada no código apresenta maior rapidez de execução quando o vetor utilizado é de tamanho <math>2^n , n = 1, 2, 3, ...</math>. Com este valor de <math>\Delta x</math>, nosso vetor é composto de 128 elementos, ou <math>2^7</math> elementos, fazendo uso dessa vantagem.

	[[Arquivo:1d100passos.png]] [[Arquivo:1d1000passos.png]] [[Arquivo:1d10000.png]]		[[Arquivo:1d100passos.png]] [[Arquivo:1d1000passos.png]] [[Arquivo:1d10000.png]]

Leomigotto: /* Resultados em Uma Dimensão e Discussão */

2022-10-01T20:04:09Z

Resultados em Uma Dimensão e Discussão

← Edição anterior		Edição das 17h04min de 1 de outubro de 2022
Linha 83:		Linha 83:
	No gráfico acima, vemos que a diferença entre os valores varia erráticamente até logo após um tempo de 0.1. Repare que, logo em seguida, a diferença entre os pontos estabiliza em um certo valor. O comportamento do erro torna evidente que a diferença numérica entre ambos métodos se dá principalmente nos instantes iniciais, enquanto as concentrações aleatórias estão começando o processo de difusão. A estabilização da diferença indica que ambos métodos, para tempos mais longos, possuem diferença numérica mínima, somente preservando a diferença obtida no tempo inicial.		No gráfico acima, vemos que a diferença entre os valores varia erráticamente até logo após um tempo de 0.1. Repare que, logo em seguida, a diferença entre os pontos estabiliza em um certo valor. O comportamento do erro torna evidente que a diferença numérica entre ambos métodos se dá principalmente nos instantes iniciais, enquanto as concentrações aleatórias estão começando o processo de difusão. A estabilização da diferença indica que ambos métodos, para tempos mais longos, possuem diferença numérica mínima, somente preservando a diferença obtida no tempo inicial.

	É interessante citar que a escolha de <math>\Delta x</math> como um valor tão específico não é em vão: a função RFFT utilizada no código apresenta maior rapidez de execução quando o vetor utilizado é de tamanho <math>2^n , n = 1, 2, 3, ...</math>. Com este valor de <math>dx</math>, nosso vetor é composto de 128 elementos, ou <math>2^7</math> elementos, fazendo uso dessa vantagem. Dado a escala utilizada no sistema acima, os tempos de processamento foram pequenos. No entanto, para sistemas maiores (como o bidimensional), onde o número de operações necessárias aumenta drasticamente, o método das transformadas será distintamente ágil.		É interessante citar que a escolha de <math>\Delta x</math> como um valor tão específico não é em vão: a função RFFT utilizada no código apresenta maior rapidez de execução quando o vetor utilizado é de tamanho <math>2^n , n = 1, 2, 3, ...</math>. Com este valor de <math>\Delta x</math>, nosso vetor é composto de 128 elementos, ou <math>2^7</math> elementos, fazendo uso dessa vantagem. Dado a escala utilizada no sistema acima, os tempos de processamento foram pequenos. No entanto, para sistemas maiores (como o bidimensional), onde o número de operações necessárias aumenta drasticamente, o método das transformadas será distintamente ágil.

	== Código em Duas Dimensões ==		== Código em Duas Dimensões ==

Leomigotto: /* Resultados em Uma Dimensão e Discussão */

2022-10-01T20:03:54Z

Resultados em Uma Dimensão e Discussão

← Edição anterior		Edição das 17h03min de 1 de outubro de 2022
Linha 83:		Linha 83:
	No gráfico acima, vemos que a diferença entre os valores varia erráticamente até logo após um tempo de 0.1. Repare que, logo em seguida, a diferença entre os pontos estabiliza em um certo valor. O comportamento do erro torna evidente que a diferença numérica entre ambos métodos se dá principalmente nos instantes iniciais, enquanto as concentrações aleatórias estão começando o processo de difusão. A estabilização da diferença indica que ambos métodos, para tempos mais longos, possuem diferença numérica mínima, somente preservando a diferença obtida no tempo inicial.		No gráfico acima, vemos que a diferença entre os valores varia erráticamente até logo após um tempo de 0.1. Repare que, logo em seguida, a diferença entre os pontos estabiliza em um certo valor. O comportamento do erro torna evidente que a diferença numérica entre ambos métodos se dá principalmente nos instantes iniciais, enquanto as concentrações aleatórias estão começando o processo de difusão. A estabilização da diferença indica que ambos métodos, para tempos mais longos, possuem diferença numérica mínima, somente preservando a diferença obtida no tempo inicial.

	É interessante citar que a escolha de <math>dx</math> como um valor tão específico não é em vão: a função RFFT utilizada no código apresenta maior rapidez de execução quando o vetor utilizado é de tamanho <math>2^n , n = 1, 2, 3, ...</math>. Com este valor de <math>dx</math>, nosso vetor é composto de 128 elementos, ou <math>2^7</math> elementos, fazendo uso dessa vantagem. Dado a escala utilizada no sistema acima, os tempos de processamento foram pequenos. No entanto, para sistemas maiores (como o bidimensional), onde o número de operações necessárias aumenta drasticamente, o método das transformadas será distintamente ágil.		É interessante citar que a escolha de <math>\Delta x</math> como um valor tão específico não é em vão: a função RFFT utilizada no código apresenta maior rapidez de execução quando o vetor utilizado é de tamanho <math>2^n , n = 1, 2, 3, ...</math>. Com este valor de <math>dx</math>, nosso vetor é composto de 128 elementos, ou <math>2^7</math> elementos, fazendo uso dessa vantagem. Dado a escala utilizada no sistema acima, os tempos de processamento foram pequenos. No entanto, para sistemas maiores (como o bidimensional), onde o número de operações necessárias aumenta drasticamente, o método das transformadas será distintamente ágil.

	== Código em Duas Dimensões ==		== Código em Duas Dimensões ==

Leomigotto: /* Código em Duas Dimensões */

2022-10-01T19:57:28Z

Código em Duas Dimensões

← Edição anterior		Edição das 16h57min de 1 de outubro de 2022
Linha 102:		Linha 102:
	return ccn		return ccn
	</source>		</source>
	No código, k2 e k4 são os coeficientes elevados às respectivas potências, além de que k4 está multiplicado pelo valor de <math>\gamma</math>. Vale destacar a semelhança entre este código e o unidimensional, fruto da discretização quase idêntica.		No código, kk2 e kk4 são os coeficientes elevados às respectivas potências, além de que k4 está multiplicado pelo valor de <math>\gamma</math>. Vale destacar a semelhança entre este código e o unidimensional, fruto da discretização quase idêntica.

	== Resultado em Duas Dimensões: Concentração Média 0 ==		== Resultado em Duas Dimensões: Concentração Média 0 ==

Leomigotto: /* Discussão dos resultados em duas dimensões */

2022-10-01T04:13:21Z

Discussão dos resultados em duas dimensões

← Edição anterior		Edição das 01h13min de 1 de outubro de 2022
Linha 152:		Linha 152:
	Também percebemos que concentrações menores difundiam, quando não entravam em contato com outra concentração maior. Mesmo aparentando, em alguns momentos, desaparecer, na realidade a área das outras concentrações aumenta, de modo que a quantidade de cada fase se mantem igual.		Também percebemos que concentrações menores difundiam, quando não entravam em contato com outra concentração maior. Mesmo aparentando, em alguns momentos, desaparecer, na realidade a área das outras concentrações aumenta, de modo que a quantidade de cada fase se mantem igual.

	Percebemos que o estado de menor energia é uma concentração circular, enquanto o restante do meio é ocupado pela outra. Mesmo sem saber que este é o estado estacionário, poderíamos intuir que seria ele ao ver os instantes iniciais da simulação: o círculo é a forma que possui maior área por perímetro, e vimos que as fases diferentes difundem de modo a diminuir sua interface. No caso de uma quantidade diferente entre as fases, a de menor volume (ou neste caso, área) total, forma o círculo, caso contrário, a concentração que forma é escolhida "aleatoriamente" (depende dos locais das perturbações, que, no nosso caso, são aleatórias). O motivo de ambas fases poderem formar a concentração circular é o fato da equação possuir todos termos de expoente ímpar, de modo que valores positivos ou negativos são tradados da mesma maneira (termos com expoente par retornam um valor positivo independente do sinal, agindo de forma diferente dependendo do sinal do valor original).		Percebemos que o estado de menor energia é uma concentração circular, enquanto o restante do meio é ocupado pela outra. Mesmo sem saber que este é o estado estacionário, poderíamos intuir que seria ele ao ver os instantes iniciais da simulação: o círculo é a forma que possui maior área por perímetro, e vimos que as fases diferentes difundem de modo a diminuir sua interface. No caso de uma quantidade diferente entre as fases, a de menor volume (ou neste caso, área) total, forma o círculo, caso contrário, a concentração que forma é escolhida "aleatoriamente" (depende dos locais das perturbações, que, no nosso caso, são aleatórias). O motivo de ambas fases poderem formar a concentração circular é o fato da equação possuir todos termos de expoente ímpar, de modo que valores positivos ou negativos são tradados da mesma maneira (ao contrário de termos com expoente par, que retornam um valor positivo independente do sinal, agindo de forma diferente dependendo do sinal do valor original).

	== Códigos ==		== Códigos ==

Leomigotto: /* Discussão dos resultados em duas dimensões */

2022-10-01T04:12:43Z

Discussão dos resultados em duas dimensões

← Edição anterior		Edição das 01h12min de 1 de outubro de 2022
Linha 152:		Linha 152:
	Também percebemos que concentrações menores difundiam, quando não entravam em contato com outra concentração maior. Mesmo aparentando, em alguns momentos, desaparecer, na realidade a área das outras concentrações aumenta, de modo que a quantidade de cada fase se mantem igual.		Também percebemos que concentrações menores difundiam, quando não entravam em contato com outra concentração maior. Mesmo aparentando, em alguns momentos, desaparecer, na realidade a área das outras concentrações aumenta, de modo que a quantidade de cada fase se mantem igual.

	Percebemos que o estado de menor energia é uma concentração circular, enquanto o restante do meio é ocupado pela outra. Mesmo sem saber que este é o estado estacionário, poderíamos intuir que seria ele ao ver os instantes iniciais da simulação: o círculo é a forma que possui maior área por perímetro, e vimos que as fases diferentes difundem de modo a diminuir sua interface. No caso de uma quantidade diferente entre as fases, a de menor volume (ou neste caso, área) total, forma o círculo, caso contrário, a concentração que forma é escolhida "aleatoriamente" (depende dos locais das perturbações, que, no nosso caso, são aleatórias).		Percebemos que o estado de menor energia é uma concentração circular, enquanto o restante do meio é ocupado pela outra. Mesmo sem saber que este é o estado estacionário, poderíamos intuir que seria ele ao ver os instantes iniciais da simulação: o círculo é a forma que possui maior área por perímetro, e vimos que as fases diferentes difundem de modo a diminuir sua interface. No caso de uma quantidade diferente entre as fases, a de menor volume (ou neste caso, área) total, forma o círculo, caso contrário, a concentração que forma é escolhida "aleatoriamente" (depende dos locais das perturbações, que, no nosso caso, são aleatórias). O motivo de ambas fases poderem formar a concentração circular é o fato da equação possuir todos termos de expoente ímpar, de modo que valores positivos ou negativos são tradados da mesma maneira (termos com expoente par retornam um valor positivo independente do sinal, agindo de forma diferente dependendo do sinal do valor original).

	== Códigos ==		== Códigos ==

Leomigotto: /* Equação de Cahn-Hiliiard Utilizando Transformada de Fourier */

2022-10-01T04:08:01Z

Equação de Cahn-Hiliiard Utilizando Transformada de Fourier

← Edição anterior		Edição das 01h08min de 1 de outubro de 2022
Linha 16:		Linha 16:
	</math>		</math>

	Lembrando que, conforme explicado no trabalho anterior a este, <math>c</math> é a soma da concentração de duas fases, e seu valor varia de -1 (presença de só uma das fases) a +1 (presença somente da outra fase), e <math>\gamma</math> é um valor ~~correspondente~~ à largura da interface das concentrações. Em uma dimensão, os laplacianos podem ser substituídos pela derivada segunda em relação a <math>x</math>, resultando na seguinte equação:		Lembrando que, conforme explicado no trabalho anterior a este, <math>c</math> é a soma da concentração de duas fases, e seu valor varia de -1 (presença de só uma das fases) a +1 (presença somente da outra fase), e <math>\gamma</math> é um valor relacionado à largura da interface das concentrações.

			Em uma dimensão, os laplacianos podem ser substituídos pela derivada segunda em relação a <math>x</math>, resultando na seguinte equação:

	:<math>		:<math>