Equação de Cahn-Hilliard - Histórico de revisão

Brunoztemp: /* Implementção */

2021-04-26T22:59:11Z

Implementção

@@ Linha 212: / Linha 212: @@
      espaco.append(round(i/150,3))
    return c, espaco
 def CH_equation(gamma, D, dx, dt, L, TEMPO_MAX): # resolução numérica da equação
@@ Linha 235: / Linha 273: @@
 dx = 1/128
 figure, axis = plt.subplots(2, 2)
@@ Linha 271: / Linha 314: @@
 plt.savefig('graficosDIFUSAO.png', dpi=500)
 </source>

Brunoztemp: /* Discussão de Resultados */

2021-04-26T22:53:40Z

Discussão de Resultados

← Edição anterior		Edição das 19h53min de 26 de abril de 2021
Linha 187:		Linha 187:
	== Discussão de Resultados ==		== Discussão de Resultados ==

	~~Com o objetivo de resolvermos computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard de uma dimensão, era~~ de se esperar que ao longo das iterações a inclinação das concentrações fossem menos acentuadas. ~~Podemos observar em todas as situações~~ que ~~conforme evoluímos temporalmente, a derivada primeira da curva vai diminuindo próxima ao centro do gráfico. A grande diferença entre uma difusão normal e a difusão espinodal~~ é que para tempos grandes, após atingida a estabilidade, uma difusão normal apresenta apenas uma fase enquanto a espinodal permanece contendo duas.		Era de se esperar que ao longo das iterações a inclinação das concentrações fossem menos acentuadas, como ocorre em equações de difusão normais. Porém, o que diferencia é que para tempos grandes, após atingida a estabilidade, uma difusão normal apresenta apenas uma fase enquanto a espinodal permanece contendo duas. Podemos observar nas situações dos gráficos 1 e 2 que conforme evoluímos temporalmente, a derivada primeira da curva vai diminuindo próxima ao centro do gráfico até chegar a estabilidade.

	Uma propriedade observada no gráfico 1 é a de que os valores das soluções obtidas utilizando o método FTCS excedem os valores máximos e mínimos permitidos ( C=1 e C=-1), se estivesse modelando uma situação real isso iria contra a lei de conservação de massa, o que pode ocasionar erros nos resultados que exigem uma grande precisão.		Uma propriedade observada no gráfico 1 e 2 é a de que os valores das soluções obtidas utilizando o método FTCS excedem os valores máximos e mínimos permitidos ( C=1 e C=-1), se estivesse modelando uma situação real isso iria contra a lei de conservação de massa, o que pode ocasionar erros nos resultados que exigem uma grande precisão.

	O método FTCS explícito limita-se por causa da condição de estabilidade, por isso esse método não é recomendado para modelos com alto <math>\gamma</math>. Para tais modelos, o método FTCS implícito é mais recomendado por ser incondicionalmente estável.		O método FTCS explícito limita-se por causa da condição de estabilidade, por isso esse método não é recomendado para modelos com alto <math>\gamma</math>. Para tais modelos, o método FTCS implícito é mais recomendado por ser incondicionalmente estável.

Brunoztemp: /* Implementação da equação de Cahn-Hilliard 1D pelo método FTCS explícito */

2021-04-26T22:32:50Z

Implementação da equação de Cahn-Hilliard 1D pelo método FTCS explícito

← Edição anterior		Edição das 19h32min de 26 de abril de 2021
Linha 142:		Linha 142:
	O artigo compara os dados experimentais de estabilidade com a estabilidade da equação linearizada relacionado na seção 3.3.4 e conclui que para valores de <math>\frac{\gamma}{\Delta x} \in [0.25,8]</math> a condição teórica encontrada a partir da linearização é uma boa aproximação.		O artigo compara os dados experimentais de estabilidade com a estabilidade da equação linearizada relacionado na seção 3.3.4 e conclui que para valores de <math>\frac{\gamma}{\Delta x} \in [0.25,8]</math> a condição teórica encontrada a partir da linearização é uma boa aproximação.

	'''Condição de Contorno ~~e Iniciais~~ '''		'''Condição de Contorno'''

	As condições de ~~contornos utilizadas foram as de Neumann~~, ~~condições em relação as derivadas. Como descrita em seguida~~:		Foram utilizadas duas condições de contorno para produzir os resultados, o gráfico 1 foi criado estabelecendo que:

			<math>

			c(0,t)= 1 ; c(L,t)= 1

	~~:<math>~~
	~~\frac{\partial c}{\partial x}(0,t)= 0 ,\quad \frac{\partial c}{\partial x}(L,t)= 0,\quad \frac{\partial \mu }{\partial x}(0,t)= 0,\quad \frac{\partial \mu }{\partial x}(L,t)= 0~~
	</math>		</math>

	Onde L é o comprimento da grid.		Onde L é o comprimento da grid, essa condição de Dirichlet adiciona matéria ao problema, mas é uma forma prática de analisar diferentes coeficientes de difusão. Para os demais resultados foram utilizadas condições de contorno periódicas.

			'''Condições Iniciais '''

	Para ~~esse estudo~~ foram utilizadas como condições iniciais a concentração -1 para a primeira metade de L e 1 para a segunda metade:		Para os resultados do gráfico 1 e 2 foram utilizadas como condições iniciais a concentração -1 para a primeira metade de L e 1 para a segunda metade:

	<math>		<math>
Linha 161:		Linha 162:
	1, \quad \frac{1}{2}L < x \le L \end{array}\right.		1, \quad \frac{1}{2}L < x \le L \end{array}\right.
	</math>		</math>

			O terceiro gráfico foi criado com condições inciais aleatórias.

	== Resultados ==		== Resultados ==

Brunoztemp: /* Resultados */

2021-04-26T22:18:03Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 19h18min de 26 de abril de 2021
Linha 174:		Linha 174:
	Nos gráficos, é possível observar que quanto maior o coeficiente de difusão maior é a velocidade em que a mistura atinge a estabilidade. Além disso, vemos que valores baixos de t produzem soluções mais íngremes que valores altos de t.		Nos gráficos, é possível observar que quanto maior o coeficiente de difusão maior é a velocidade em que a mistura atinge a estabilidade. Além disso, vemos que valores baixos de t produzem soluções mais íngremes que valores altos de t.

	[[Arquivo:ContornoperiodicoeqCahnHilard.png\|500px\|thumb\|center\|Gráfico 2: Resultados da simulação utilizando contornos periódicos com valores iniciais iguais ao gráfico 1]]		[[Arquivo:ContornoperiodicoeqCahnHilard.png\|500px\|thumb\|center\|Gráfico 2: Resultados da simulação utilizando contornos periódicos com valores iniciais iguais ao gráfico 1 com coeficiente de difusão igual a 1]]

			O segundo gráfico é interessante para observarmos como ela se comporta quando não há adição de matéria ao problema.

	[[Arquivo:NumerosaleatoriosCahnHIllard.png\|500px\|thumb\|center\|Gráfico 3: Resultados da simulação utilizando contornos periódicos com números aleatórios como valores iniciais]]		[[Arquivo:NumerosaleatoriosCahnHIllard.png\|500px\|thumb\|center\|Gráfico 3: Resultados da simulação utilizando contornos periódicos com números aleatórios como valores iniciais]]

			Os números aleatórios oferecem uma boa condição inicial para entender como a equação funciona, percebemos que a estabilidade se aproxima a uma senoide.

	== Discussão de Resultados ==		== Discussão de Resultados ==

Brunoztemp: /* Resultados */

2021-04-26T22:00:22Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 19h00min de 26 de abril de 2021
Linha 166:		Linha 166:
	Com o intuito de testar como o fator de difusão D afeta a evolução da equação de Cahn-Hilliard, comparamos os resultados para os coeficientes de difusão 1, 0.1, 0.01 e 0.001 e analisamos seus gráficos.		Com o intuito de testar como o fator de difusão D afeta a evolução da equação de Cahn-Hilliard, comparamos os resultados para os coeficientes de difusão 1, 0.1, 0.01 e 0.001 e analisamos seus gráficos.

	[[Arquivo:coeficientes.png\|~~1000px~~\|thumb\|center\| Gráfico 1: Resultados da simulação variando os coeficientes de difusão (D) para tempos máximos diferentes, <math>\gamma=3.4/128,\Delta t = 1/500000</math>]]		[[Arquivo:coeficientes.png\|500px\|thumb\|center\| Gráfico 1: Resultados da simulação variando os coeficientes de difusão (D) para tempos máximos diferentes, <math>\gamma=3.4/128,\Delta t = 1/500000</math>]]



Linha 172:		Linha 173:

	Nos gráficos, é possível observar que quanto maior o coeficiente de difusão maior é a velocidade em que a mistura atinge a estabilidade. Além disso, vemos que valores baixos de t produzem soluções mais íngremes que valores altos de t.		Nos gráficos, é possível observar que quanto maior o coeficiente de difusão maior é a velocidade em que a mistura atinge a estabilidade. Além disso, vemos que valores baixos de t produzem soluções mais íngremes que valores altos de t.

			[[Arquivo:ContornoperiodicoeqCahnHilard.png\|500px\|thumb\|center\|Gráfico 2: Resultados da simulação utilizando contornos periódicos com valores iniciais iguais ao gráfico 1]]

			[[Arquivo:NumerosaleatoriosCahnHIllard.png\|500px\|thumb\|center\|Gráfico 3: Resultados da simulação utilizando contornos periódicos com números aleatórios como valores iniciais]]

	== Discussão de Resultados ==		== Discussão de Resultados ==

Brunoztemp: /* Implementção */

2021-04-08T20:39:02Z

Implementção

← Edição anterior		Edição das 17h39min de 8 de abril de 2021
Linha 211:		Linha 211:
	c3 = c[i][l-2] -4c[i][l-1] + 6c[i][l] - 4*c[i][l+1] + c[i][l+2]		c3 = c[i][l-2] -4c[i][l-1] + 6c[i][l] - 4*c[i][l+1] + c[i][l+2]
	c[1-i][l] = Ddt/(dx2)(c1+c2-gamma*2c3/(dx**2)) + c[i][l]		c[1-i][l] = Ddt/(dx2)(c1+c2-gamma*2c3/(dx**2)) + c[i][l]
	i = 1-i		i = 1-i

	return(espaco[2:-2],c[1-i][2:-2]) ##retirando os elementos a mais do vetor		return(espaco[2:-2],c[1-i][2:-2]) ##retirando os elementos a mais do vetor


	tempo=1		tempo=1
	tamanho=1~~/3.5~~		tamanho=1
	Difuse= 1		Difuse= 1
	gamma=3.4*1/128		gamma=3.4*1/128
	dt=1/~~500000~~		dt=1/2200000
	dx = 1/128		dx = 1/128

	~~c, espaco = vector_declaration(tamanho, dx)~~

	figure, axis = plt.subplots(2, 2)		figure, axis = plt.subplots(2, 2)
Linha 257:		Linha 257:

	plt.show()		plt.show()

	plt.savefig('graficosDIFUSAO.png', dpi=500)		plt.savefig('graficosDIFUSAO.png', dpi=500)

Brunoztemp: Desfeita a edição 4144 de Brunoztemp (Discussão)

2021-04-08T20:38:00Z

Desfeita a edição 4144 de Brunoztemp (Discussão)

← Edição anterior		Edição das 17h38min de 8 de abril de 2021
Linha 180:		Linha 180:

	O método FTCS explícito limita-se por causa da condição de estabilidade, por isso esse método não é recomendado para modelos com alto <math>\gamma</math>. Para tais modelos, o método FTCS implícito é mais recomendado por ser incondicionalmente estável.		O método FTCS explícito limita-se por causa da condição de estabilidade, por isso esse método não é recomendado para modelos com alto <math>\gamma</math>. Para tais modelos, o método FTCS implícito é mais recomendado por ser incondicionalmente estável.

			== Implementção ==

			<source lang="python">

	import matplotlib.pyplot as plt		import matplotlib.pyplot as plt
Linha 207:		Linha 211:
	c3 = c[i][l-2] -4c[i][l-1] + 6c[i][l] - 4*c[i][l+1] + c[i][l+2]		c3 = c[i][l-2] -4c[i][l-1] + 6c[i][l] - 4*c[i][l+1] + c[i][l+2]
	c[1-i][l] = Ddt/(dx2)(c1+c2-gamma*2c3/(dx**2)) + c[i][l]		c[1-i][l] = Ddt/(dx2)(c1+c2-gamma*2c3/(dx**2)) + c[i][l]
	i = 1-i		i = 1-i

	return(espaco[2:-2],c[1-i][2:-2]) ##retirando os elementos a mais do vetor		return(espaco[2:-2],c[1-i][2:-2]) ##retirando os elementos a mais do vetor


	tempo=1		tempo=1
Linha 216:		Linha 219:
	Difuse= 1		Difuse= 1
	gamma=3.4*1/128		gamma=3.4*1/128
	dt=1/~~2200000~~		dt=1/500000
	dx = 1/128		dx = 1/128

			c, espaco = vector_declaration(tamanho, dx)

	figure, axis = plt.subplots(2, 2)		figure, axis = plt.subplots(2, 2)
Linha 253:		Linha 257:

	plt.show()		plt.show()
			plt.savefig('graficosDIFUSAO.png', dpi=500)

			</source>

	== Referências ==		== Referências ==

Brunoztemp: /* Implementção */

2021-04-08T20:20:05Z

Implementção

← Edição anterior		Edição das 17h20min de 8 de abril de 2021
Linha 180:		Linha 180:

	O método FTCS explícito limita-se por causa da condição de estabilidade, por isso esse método não é recomendado para modelos com alto <math>\gamma</math>. Para tais modelos, o método FTCS implícito é mais recomendado por ser incondicionalmente estável.		O método FTCS explícito limita-se por causa da condição de estabilidade, por isso esse método não é recomendado para modelos com alto <math>\gamma</math>. Para tais modelos, o método FTCS implícito é mais recomendado por ser incondicionalmente estável.

	~~== Implementção ==~~

	~~<source lang="python">~~

	import matplotlib.pyplot as plt		import matplotlib.pyplot as plt
Linha 211:		Linha 207:
	c3 = c[i][l-2] -4c[i][l-1] + 6c[i][l] - 4*c[i][l+1] + c[i][l+2]		c3 = c[i][l-2] -4c[i][l-1] + 6c[i][l] - 4*c[i][l+1] + c[i][l+2]
	c[1-i][l] = Ddt/(dx2)(c1+c2-gamma*2c3/(dx**2)) + c[i][l]		c[1-i][l] = Ddt/(dx2)(c1+c2-gamma*2c3/(dx**2)) + c[i][l]
	i = 1-i		i = 1-i

	return(espaco[2:-2],c[1-i][2:-2]) ##retirando os elementos a mais do vetor		return(espaco[2:-2],c[1-i][2:-2]) ##retirando os elementos a mais do vetor


	tempo=1		tempo=1
Linha 219:		Linha 216:
	Difuse= 1		Difuse= 1
	gamma=3.4*1/128		gamma=3.4*1/128
	dt=1/~~500000~~		dt=1/2200000
	dx = 1/128		dx = 1/128

	~~c, espaco = vector_declaration(tamanho, dx)~~

	figure, axis = plt.subplots(2, 2)		figure, axis = plt.subplots(2, 2)
Linha 257:		Linha 253:

	plt.show()		plt.show()
	~~plt.savefig('graficosDIFUSAO.png', dpi=500)~~

	~~</source>~~

	== Referências ==		== Referências ==

Brunoztemp: /* Implementção */

2021-04-08T19:06:46Z

Implementção

← Edição anterior		Edição das 16h06min de 8 de abril de 2021
Linha 221:		Linha 221:
	dt=1/500000		dt=1/500000
	dx = 1/128		dx = 1/128

			c, espaco = vector_declaration(tamanho, dx)

	figure, axis = plt.subplots(2, 2)		figure, axis = plt.subplots(2, 2)

Brunoztemp: /* Referências */

2021-04-06T19:35:47Z

Referências

← Edição anterior		Edição das 16h35min de 6 de abril de 2021
Linha 261:		Linha 261:
	== Referências ==		== Referências ==

	[1] SIBBING, Zimo. '''Numerical methods for the implentation of the Cahn-Hilliard equation in one dimension and a dynamic boundary condition in two dimensions''', tese de bacharelado, 2015.		[1] SIBBING, Zimo. '''Numerical methods for the implentation of the Cahn-Hilliard equation in one dimension and a dynamic boundary condition in two dimensions''', tese de bacharelado, 2015. https://repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid%3A04732ecc-5e5b-4334-8f46-5cc4df93c0df

	[2] Spinodal Decomposition, disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/Spinodal_decomposition		[2] Spinodal Decomposition, disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/Spinodal_decomposition