Equação de Burgers - Histórico de revisão

Luisgustta: /* Método parabólico */

2021-10-12T23:27:01Z

Método parabólico

← Edição anterior		Edição das 20h27min de 12 de outubro de 2021
Linha 392:		Linha 392:
	Considerando a equação de Burgers víscida com <math>f(u)=u^{2}/2</math>, na forma <ref name=Mikel></ref>:		Considerando a equação de Burgers víscida com <math>f(u)=u^{2}/2</math>, na forma <ref name=Mikel></ref>:

	<math>\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}f(u) = \~~epsilon~~\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}</math>		<math>\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}f(u) = \nu\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}</math>

	Integrando de <math>x_{j-1/2}</math> até <math>x_{j+1/2}</math>:		Integrando de <math>x_{i-1/2}</math> até <math>x_{i+1/2}</math>:

	<math>\int_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}} \frac{\partial u}{\partial t} d x-\left[\~~epsilon~~ \frac{\partial u}{\partial x}\right]_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}}=-[f(u)]_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}}</math>		<math>\int_{x_{i-1 / 2}}^{x_{i+1 / 2}} \frac{\partial u}{\partial t} d x-\left[\nu\frac{\partial u}{\partial x}\right]_{x_{i-1 / 2}}^{x_{i+1 / 2}}=-[f(u)]_{x_{i-1 / 2}}^{x_{i+1 / 2}}</math>

	Aproximando-se cada termo da equação acima tem-se que, para o primeiro termo:		Aproximando-se cada termo da equação acima tem-se que, para o primeiro termo:

	<math>\int_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}} \frac{\partial u}{\partial t} d x \approx \frac{d u}{d t}\left(x_{j}, t\right) h</math>		<math>\int_{x_{i-1 / 2}}^{x_{i+1 / 2}} \frac{\partial u}{\partial t} d x \approx \frac{d u}{d t}\left(x_{i}, t\right) h</math>

	Para o segundo:		Para o segundo:

	<math>-\left[\~~epsilon~~ \frac{\partial u}{\partial x}\right]_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}}=\~~epsilon~~\left[\frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{j-1 / 2}, t\right)-\frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{j+1 / 2}, t\right)\right]</math>		<math>-\left[\nu\frac{\partial u}{\partial x}\right]_{x_{i-1 / 2}}^{x_{i+1 / 2}}=\nu\left[\frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{i-1 / 2}, t\right)-\frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{i+1 / 2}, t\right)\right]</math>

	<math>\implies -\left[\~~epsilon~~ \frac{\partial u}{\partial x}\right]_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}} \approx \~~epsilon~~\left[\frac{u\left(x_{j}, t\right)-u\left(x_{j-1}, t\right)}{h}-\frac{u\left(x_{j+1}, t\right)-u\left(x_{j}, t\right)}{h}\right] = -\~~epsilon~~ \frac{u\left(x_{j+1}, t\right)-2 u\left(x_{j}, t\right)+u\left(x_{j-1}, t\right)}{h}</math>		<math>\implies -\left[\nu\frac{\partial u}{\partial x}\right]_{x_{i-1 / 2}}^{x_{i+1 / 2}} \approx \nu\left[\frac{u\left(x_{i}, t\right)-u\left(x_{i-1}, t\right)}{h}-\frac{u\left(x_{i+1}, t\right)-u\left(x_{i}, t\right)}{h}\right] = -\nu \frac{u\left(x_{i+1}, t\right)-2 u\left(x_{i}, t\right)+u\left(x_{i-1}, t\right)}{h}</math>

	Para o terceiro:		Para o terceiro:

	<math>-[f(u)]_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}}=f\left(u\left(x_{j-1 / 2}, t\right)\right)-f\left(u\left(x_{j+1 / 2}, t\right)\right)</math>		<math>-[f(u)]_{x_{i-1 / 2}}^{x_{i+1 / 2}}=f\left(u\left(x_{i-1 / 2}, t\right)\right)-f\left(u\left(x_{i+1 / 2}, t\right)\right)</math>

	Substituindo as aproximações na expressão completa e definindo <math>U_{j}(t)\equiv u(x_{j},t)</math>:		Substituindo as aproximações na expressão completa e definindo <math>U_{i}(t)\equiv u(x_{i},t)</math>:

	<math>\frac{d U_{j}}{d t}-\~~epsilon~~ \frac{U_{j+1}-2 U_{j}+U_{j-1}}{h^{2}}=\frac{f\left(U_{j-\frac{1}{2}}\right)-f\left(U_{j+\frac{1}{2}}\right)}{h}</math>		<math>\frac{d U_{i}}{d t}-\nu \frac{U_{i+1}-2 U_{i}+U_{i-1}}{h^{2}}=\frac{f\left(U_{i-\frac{1}{2}}\right)-f\left(U_{i+\frac{1}{2}}\right)}{h}</math>

	Discretizando a derivada em relação a tempo por um método FTCS:		Discretizando a derivada em relação a tempo por um método FTCS:

	<math>U_{j}^{n+1}=U_{j}^{n}+k\left(\~~epsilon~~ \frac{U_{j+1}^{n}-2 U_{j}^{n}+U_{j-1}^{n}}{h^{2}}-\frac{f\left(U_{j+\frac{1}{2}}^{n}\right)-f\left(U_{j-\frac{1}{2}}\right)}{h}\right)</math>		<math>U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n}+k\left(\nu \frac{U_{i+1}^{n}-2 U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{h^{2}}-\frac{f\left(U_{i+\frac{1}{2}}^{n}\right)-f\left(U_{i-\frac{1}{2}}\right)}{h}\right)</math>

	Onde <math>f(U_{j\pm\frac{1}{2}})</math> é calculada numericamente como a média entre <math>f(U_{j})</math> e <math>f(U_{j\pm 1})</math>.		Onde <math>f(U_{i\pm\frac{1}{2}})</math> é calculada numericamente como a média entre <math>f(U_{i})</math> e <math>f(U_{i\pm 1})</math>.

	== Implementação ==		== Implementação ==

Luisgustta: /* Conservação */

2021-10-12T21:35:15Z

Conservação

← Edição anterior		Edição das 18h35min de 12 de outubro de 2021
Linha 365:		Linha 365:
	<math>U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n}-\frac{\Delta t}{\Delta x}\left[f\left(U_{i}^{n}\right)-f\left(U_{i-1}^{n}\right)\right]</math>		<math>U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n}-\frac{\Delta t}{\Delta x}\left[f\left(U_{i}^{n}\right)-f\left(U_{i-1}^{n}\right)\right]</math>

	Onde a função <math>f</math> corresponde à uma função de <math>p+q+1</math> argumentos, chamada de fluxo numérico <ref name=Cameron></ref> <ref name=Mikel>Landajuela, M. Burgers Equation. Basque Center for Applied Mathematics, 2011</ref> <ref name=LeVeque>LeVeque, Randall J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws (PDF). Boston: Birkhäuser. p. 125. ISBN 0-8176-2723-5.</ref>. Assim, para <math>p=1</math>, <math>q=0</math> e <math>F(U,V)=f(u)</math>:		Onde a função <math>f</math> corresponde à uma função de <math>p+q+1</math> argumentos, chamada de fluxo numérico <ref name=Cameron></ref> <ref name=Mikel>Landajuela, M. Burgers Equation. Basque Center for Applied Mathematics, 2011</ref> <ref name=LeVeque>LeVeque, Randall J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws (PDF). Boston: Birkhäuser. p. 125. ISBN 0-8176-2723-5.</ref>. Assim, para <math>p=1</math> e <math>q=0</math>, <math>F(U,V)=f(u)</math>:

	<math>U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n}-\frac{\Delta t}{\Delta x}\left[\frac{1}{2}\left(U_{i}^{n}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(U_{i-1}^{n}\right)^{2}\right]</math>		<math>U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n}-\frac{\Delta t}{\Delta x}\left[\frac{1}{2}\left(U_{i}^{n}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(U_{i-1}^{n}\right)^{2}\right]</math>

Luisgustta: /* Conservação */

2021-10-12T20:37:21Z

Conservação

← Edição anterior		Edição das 17h37min de 12 de outubro de 2021
Linha 346:		Linha 346:
	<math> U_{i}^{n+1} = U_{i}^{n} - U_{i}^{n}\cfrac{\Delta t}{\Delta x}(U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n})+\nu\cfrac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}(U_{i+1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}) </math>		<math> U_{i}^{n+1} = U_{i}^{n} - U_{i}^{n}\cfrac{\Delta t}{\Delta x}(U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n})+\nu\cfrac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}(U_{i+1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}) </math>

	Pelas condições iniciais, <math>U_{j}^{0}=1</math> para <math>j<0</math> e <math>U_{j}^{0}=0</math> para <math>j\geq 0</math>:		Pelas condições iniciais, <math>U_{i}^{0}=1</math> para <math>i<0</math> e <math>U_{i}^{0}=0</math> para <math>i\geq 0</math>:

	<math> U_{j}^{1}= \begin{cases}1-\frac{\Delta t}{\Delta x} 1(1-1)=1, & j<0 \\ 0-\frac{\Delta t}{\Delta x} 0\left(0-U_{j-1}^{0}\right)=0, & j \geq 0\end{cases} </math>		<math> U_{i}^{1}= \begin{cases}1-\frac{\Delta t}{\Delta x} 1(1-1)=1, & i<0 \\ 0-\frac{\Delta t}{\Delta x} 0\left(0-U_{i-1}^{0}\right)=0, & i \geq 0\end{cases} </math>

	Como resultado, <math>U_{j}^{1}=U_{j}^{0}</math>. Dessa forma, <math>U_{j}^{n}=U_{j}^{0}</math>; isso significa que o método propaga a descontinuidade (onda de choque) com a velocidade incorreta, <math>s=0</math>; ou seja, não ocorre propagação após o choque.		Como resultado, <math>U_{i}^{1}=U_{i}^{0}</math>. Dessa forma, <math>U_{i}^{n}=U_{i}^{0}</math>; isso significa que o método propaga a descontinuidade (onda de choque) com a velocidade incorreta, <math>s=0</math>; ou seja, não ocorre propagação após o choque.

	==== Método Conservativo ====		==== Método Conservativo ====

Luisgustta: /* Velocidade de Choque */

2021-10-05T18:43:36Z

Velocidade de Choque

← Edição anterior		Edição das 15h43min de 5 de outubro de 2021
Linha 288:		Linha 288:
	\end{array}\right. </math>		\end{array}\right. </math>

	Onde <math>u_{E}>u_{D}</math>. Essa onda é chamada de [https://en.wikipedia.org/wiki/Shock_wave onda de choque], e possui velocidade de propagação <math>s</math>. Por conservação, [https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#The_jump_condition ~~The~~ condição de salto]:		Onde <math>u_{E}>u_{D}</math>. Essa onda é chamada de [https://en.wikipedia.org/wiki/Shock_wave onda de choque], e possui velocidade de propagação <math>s</math>. Por conservação, [https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#The_jump_condition a condição de salto]:

	<math> \frac{d}{d t} \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=\int_{-M}^{M}-u u_{x} d x=-\left.\frac{u^{2}}{2}\right\|_{-M} ^{M}=\frac{u_{E}^{2}}{2}-\frac{u_{D}^{2}}{2} </math>		<math> \frac{d}{d t} \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=\int_{-M}^{M}-u u_{x} d x=-\left.\frac{u^{2}}{2}\right\|_{-M} ^{M}=\frac{u_{E}^{2}}{2}-\frac{u_{D}^{2}}{2} </math>

Luisgustta: /* Velocidade de Choque */

2021-10-05T18:38:35Z

Velocidade de Choque

← Edição anterior		Edição das 15h38min de 5 de outubro de 2021
Linha 290:		Linha 290:
	Onde <math>u_{E}>u_{D}</math>. Essa onda é chamada de [https://en.wikipedia.org/wiki/Shock_wave onda de choque], e possui velocidade de propagação <math>s</math>. Por conservação, [https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#The_jump_condition The condição de salto]:		Onde <math>u_{E}>u_{D}</math>. Essa onda é chamada de [https://en.wikipedia.org/wiki/Shock_wave onda de choque], e possui velocidade de propagação <math>s</math>. Por conservação, [https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#The_jump_condition The condição de salto]:

	<math> \frac{d}{d t} \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=\int_{-M}^{M}-u u_{x} d x=-\left.\frac{u^{2}}{2}\right\|_{-M} ^{M}=\frac{u_{L}^{2}}{2}-\frac{u_{R}^{2}}{2} </math>		<math> \frac{d}{d t} \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=\int_{-M}^{M}-u u_{x} d x=-\left.\frac{u^{2}}{2}\right\|_{-M} ^{M}=\frac{u_{E}^{2}}{2}-\frac{u_{D}^{2}}{2} </math>

	Por outro lado:		Por outro lado:

Luisgustta: /* Velocidade de Choque */

2021-10-05T18:37:26Z

Velocidade de Choque

← Edição anterior		Edição das 15h37min de 5 de outubro de 2021
Linha 294:		Linha 294:
	Por outro lado:		Por outro lado:

	<math> \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=(M+s t) u_{L}+(M-s t) u_{R} </math>		<math> \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=(M+s t) u_{E}+(M-s t) u_{D} </math>

	Portanto:		Portanto:

	<math> \frac{d}{d t} \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=s\left(u_{L}-u_{R}\right) </math>		<math> \frac{d}{d t} \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=s\left(u_{E}-u_{D}\right) </math>

	Dessa forma:		Dessa forma:

	<math> s=\left(\frac{u_{L}^{2}}{2}-\frac{u_{R}^{2}}{2}\right) /\left(u_{L}-u_{R}\right)=\frac{u_{L}+u_{R}}{2} </math>		<math> s=\left(\frac{u_{E}^{2}}{2}-\frac{u_{D}^{2}}{2}\right) /\left(u_{E}-u_{D}\right)=\frac{u_{E}+u_{D}}{2} </math>

	O caso generalizado da velocidade de propagação de uma onda de choque é conhecido como [https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions condição de Rankine-Hugoniot], e pode ser obtido, desse resultado, pela aplicação das leis de conservação hiperbólicas:		O caso generalizado da velocidade de propagação de uma onda de choque é conhecido como [https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions condição de Rankine-Hugoniot], e pode ser obtido, desse resultado, pela aplicação das leis de conservação hiperbólicas:
Linha 310:		Linha 310:
	Assim:		Assim:

	<math> s=\frac{f\left(u_{L}\right)-f\left(u_{R}\right)}{u_{L}-u_{R}} = \frac{\text{salto em }f(u)}{\text{salto em }u} </math>		<math> s=\frac{f\left(u_{E}\right)-f\left(u_{D}\right)}{u_{E}-u_{D}} = \frac{\text{salto em }f(u)}{\text{salto em }u} </math>

	A condição de Rankine-Hugoniot, onde o salto da função é definido como choque.		A condição de Rankine-Hugoniot, onde o salto da função é definido como choque.

Luisgustta: /* Modelo de Deposição - Crescimento de Interfaces */

2021-10-05T18:31:03Z

Modelo de Deposição - Crescimento de Interfaces

← Edição anterior		Edição das 15h31min de 5 de outubro de 2021
Linha 132:		Linha 132:
	A velocidade é assumida como sendo proporcional ao gradiente de <math>h(x,t)</math> (superfície evolui na direção do gradiente). A difusão da superfície é descrita pelo termo de difusão.		A velocidade é assumida como sendo proporcional ao gradiente de <math>h(x,t)</math> (superfície evolui na direção do gradiente). A difusão da superfície é descrita pelo termo de difusão.

	A equação KPZ ~~é obtida~~ a ~~partir~~ da equação Burgers, ~~no passo imediato à aplicação da transformação de Hopf~~-~~Cole~~.		A equação KPZ unidimensional corresponde a versão estocástica da equação de Burgers com campo <math>u(x,t)</math> pela substituição <math>u=-\lambda\frac{\partial h}{\partial x}</math>.

	== Solução de Onda Viajante ==		== Solução de Onda Viajante ==

Luisgustta: /* Modelo de Deposição - Crescimento de Interfaces */

2021-10-05T18:25:10Z

Modelo de Deposição - Crescimento de Interfaces

← Edição anterior		Edição das 15h25min de 5 de outubro de 2021
Linha 132:		Linha 132:
	A velocidade é assumida como sendo proporcional ao gradiente de <math>h(x,t)</math> (superfície evolui na direção do gradiente). A difusão da superfície é descrita pelo termo de difusão.		A velocidade é assumida como sendo proporcional ao gradiente de <math>h(x,t)</math> (superfície evolui na direção do gradiente). A difusão da superfície é descrita pelo termo de difusão.

	A equação KPZ é obtida a partir da equação Burgers, no passo imediato à aplicação da transformação de Hopf-~~Colem~~.		A equação KPZ é obtida a partir da equação Burgers, no passo imediato à aplicação da transformação de Hopf-Cole.

	== Solução de Onda Viajante ==		== Solução de Onda Viajante ==

Eduardoe995: /* Velocidade de Choque */

2021-10-05T16:10:40Z

Velocidade de Choque

← Edição anterior		Edição das 13h10min de 5 de outubro de 2021
Linha 288:		Linha 288:
	\end{array}\right. </math>		\end{array}\right. </math>

	Onde <math>u_{L}>u_{R}</math>. Essa onda é chamada de [https://en.wikipedia.org/wiki/Shock_wave onda de choque], e possui velocidade de propagação <math>s</math>. Por conservação, [https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#The_jump_condition The condição de salto]:		Onde <math>u_{E}>u_{D}</math>. Essa onda é chamada de [https://en.wikipedia.org/wiki/Shock_wave onda de choque], e possui velocidade de propagação <math>s</math>. Por conservação, [https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#The_jump_condition The condição de salto]:

	<math> \frac{d}{d t} \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=\int_{-M}^{M}-u u_{x} d x=-\left.\frac{u^{2}}{2}\right\|_{-M} ^{M}=\frac{u_{L}^{2}}{2}-\frac{u_{R}^{2}}{2} </math>		<math> \frac{d}{d t} \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=\int_{-M}^{M}-u u_{x} d x=-\left.\frac{u^{2}}{2}\right\|_{-M} ^{M}=\frac{u_{L}^{2}}{2}-\frac{u_{R}^{2}}{2} </math>

Luisgustta em 13h48min de 5 de outubro de 2021

2021-10-05T13:48:40Z

← Edição anterior		Edição das 10h48min de 5 de outubro de 2021
Linha 598:		Linha 598:

	def burgInv(nt:int, nx:int, tmax:float, xmax:float) -> tuple:		def burgInv(nt:int, nx:int, tmax:float, xmax:float) -> tuple:
	~~def f(u):~~
	~~return((u**2)/2)~~
	# incrementos		# incrementos
	dt = tmax/(nt-1)		dt = tmax/(nt-1)
Linha 638:		Linha 636:

	def burgCons(nt:int, nx:int, tmax:float, xmax:float) -> tuple:		def burgCons(nt:int, nx:int, tmax:float, xmax:float) -> tuple:
	~~def f(u):~~
	~~return((u**2)/2)~~
	# incrementos		# incrementos
	dt = tmax/(nt-1)		dt = tmax/(nt-1)