Equação de Águas Rasas - Histórico de revisão

Schmokel: /* Códigos das Equações Conservativas */

2021-10-22T01:03:09Z

Códigos das Equações Conservativas

← Edição anterior		Edição das 01h03min de 22 de outubro de 2021
Linha 304:		Linha 304:
	[[Código 2 - Método FTCS explícito]]		[[Código 2 - Método FTCS explícito]]

	O código 3 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e serve para comparar a solução numérica de (40) com a solução exata.		O código 3 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e serve para comparar a solução numérica de (39) com a solução exata.

	[[Código 3 - Método FTCS implícito]]		[[Código 3 - Método FTCS implícito]]

Schmokel: /* Resultados */

2021-10-22T00:59:50Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 00h59min de 22 de outubro de 2021
Linha 310:		Linha 310:
	==== Resultados ====		==== Resultados ====

	'''Comparação entre a solução exata e a numérica''': para verificar se o cálculo das equações de águas rasas utilizando FTCS explícito e implícito estão funcionando, partimos da situação simplificada das equações dadas por (45) e (46). Neste problema consideramos a velocidade e a profundidade constantes com os valores respectivos de 4.3 m/s e 2 m. O deslocamento de água inicial é representado por uma Gaussiana centrada em 80m, de amplitude 2 m e largura 70 m, nesta situação a solução exata de (39) é dada por:		'''Comparação entre a solução exata e a numérica''': para verificar se o cálculo das equações de águas rasas utilizando FTCS explícito e implícito estão funcionando, partimos da situação simplificada das equações dadas por (46) e (47). Neste problema consideramos a velocidade e a profundidade constantes com os valores respectivos de 4.3 m/s e 2 m. O deslocamento de água inicial é representado por uma Gaussiana centrada em 80m, de amplitude 2 m e largura 70 m, nesta situação a solução exata de (39) é dada por:

	<math> \eta = 2 + 3 \cdot exp \Big(-\frac{((x-80) -ut))^2}{70} \Big) </math>		<math> \eta = 2 + 3 \cdot exp \Big(-\frac{((x-80) -ut))^2}{70} \Big) </math>

Schmokel: /* Forma conservativa 1D e 2D */

2021-10-22T00:58:26Z

Forma conservativa 1D e 2D

← Edição anterior		Edição das 00h58min de 22 de outubro de 2021
Linha 277:		Linha 277:
	=== Forma conservativa 1D e 2D ===		=== Forma conservativa 1D e 2D ===

	As equações (42),(43) e (44) foram implementadas em python para descrever a evolução temporal das variáveis <math> h</math>, <math> u </math> e <math> v </math> em duas dimensões.		As equações (43),(44) e (45) foram implementadas em python para descrever a evolução temporal das variáveis <math> h</math>, <math> u </math> e <math> v </math> em duas dimensões.

	As condições de contorno dos exemplos obedecem as expressões:		As condições de contorno dos exemplos obedecem as expressões:

Schmokel: /* Discretização na Forma não Conservativa */

2021-10-22T00:56:58Z

Discretização na Forma não Conservativa

← Edição anterior		Edição das 00h56min de 22 de outubro de 2021
Linha 245:		Linha 245:
	As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (14), (35) e (36), para descrever numericamente estas equações foi utilizada discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente na região temporal (FTCS).		As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (14), (35) e (36), para descrever numericamente estas equações foi utilizada discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente na região temporal (FTCS).

	Discretizando a expressão (16):		Discretizando a expressão (14):

	<math> \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (47) </math>		<math> \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (47) </math>
Linha 253:		Linha 253:
	<math> \eta_{i,j}^{n+1} = \eta_{i,j}^{n} -\Delta t\Bigg(\frac{M_{i+1,j}^{n}-M_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} + \frac{N_{i,j+1}^{n}-N_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y} \Bigg) \qquad (49) </math>		<math> \eta_{i,j}^{n+1} = \eta_{i,j}^{n} -\Delta t\Bigg(\frac{M_{i+1,j}^{n}-M_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} + \frac{N_{i,j+1}^{n}-N_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y} \Bigg) \qquad (49) </math>

	Discretizando a expressão (37):		Discretizando a expressão (35):

	<math> \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial t} = -\Bigg( \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x}+ \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \Bigg) \qquad (50) </math>		<math> \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial t} = -\Bigg( \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x}+ \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \Bigg) \qquad (50) </math>

Schmokel: /* Discretização na Forma não Conservativa */

2021-10-22T00:55:18Z

Discretização na Forma não Conservativa

← Edição anterior		Edição das 00h55min de 22 de outubro de 2021
Linha 243:		Linha 243:
	=== Discretização na Forma não Conservativa ===		=== Discretização na Forma não Conservativa ===

	As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (16), (37) e (38), para descrever numericamente estas equações foi utilizada discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente na região temporal (FTCS).		As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (14), (35) e (36), para descrever numericamente estas equações foi utilizada discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente na região temporal (FTCS).

	Discretizando a expressão (16):		Discretizando a expressão (16):

Schmokel: /* Discretização na Forma Conservativa */

2021-10-22T00:53:26Z

Discretização na Forma Conservativa

Schmokel: /* Discretização na Forma não Conservativa */

2021-10-22T00:49:51Z

Discretização na Forma não Conservativa

Schmokel: /* Discretização na Forma Conservativa */

2021-10-22T00:47:24Z

Discretização na Forma Conservativa

← Edição anterior		Edição das 00h47min de 22 de outubro de 2021
Linha 235:		Linha 235:
	Na situação em que temos as equações de águas rasas simplificadas por (39), aplicando FTCS explícito, a evolução temporal da amplitude da onda é:		Na situação em que temos as equações de águas rasas simplificadas por (39), aplicando FTCS explícito, a evolução temporal da amplitude da onda é:

	<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} = \eta^{t}_{i, j} - \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^t_ {i+1,j} - \eta^t_{i-1, j}) \qquad (42)</math>		<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} = \eta^{t}_{i, j} - \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^t_ {i+1,j} - \eta^t_{i-1, j}) \qquad (45)</math>

	Aplicando FTCS implícito temos:		Aplicando FTCS implícito temos:

	<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} + \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^{t+ \Delta t}_{i+1,j} - \eta^{t- \Delta t}_{i-1, j}) = \eta^{t}_{i, j} \qquad (42)</math>		<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} + \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^{t+ \Delta t}_{i+1,j} - \eta^{t- \Delta t}_{i-1, j}) = \eta^{t}_{i, j} \qquad (46)</math>

	=== Discretização na Forma não Conservativa ===		=== Discretização na Forma não Conservativa ===

Schmokel: /* Resultados */

2021-10-22T00:46:48Z

Resultados

← Edição anterior		Edição das 00h46min de 22 de outubro de 2021
Linha 310:		Linha 310:
	==== Resultados ====		==== Resultados ====

	'''Comparação entre a solução exata e a numérica''': para verificar se o cálculo das equações de águas rasas utilizando FTCS explícito e implícito estão funcionando, partimos da situação simplificada das equações dadas por (-) e (-). Neste problema consideramos a velocidade e a profundidade constantes com os valores respectivos de 2.3 m/s e 2 m. O deslocamento de água inicial é representado por uma Gaussiana centrada em 80m, de amplitude 2 m e largura 70 m, nesta situação a solução exata de (39) é dada por:		'''Comparação entre a solução exata e a numérica''': para verificar se o cálculo das equações de águas rasas utilizando FTCS explícito e implícito estão funcionando, partimos da situação simplificada das equações dadas por (45) e (46). Neste problema consideramos a velocidade e a profundidade constantes com os valores respectivos de 4.3 m/s e 2 m. O deslocamento de água inicial é representado por uma Gaussiana centrada em 80m, de amplitude 2 m e largura 70 m, nesta situação a solução exata de (39) é dada por:

	<math> \eta = 2 + 3 \cdot exp \Big(-\frac{((x-80) -ut))^2}{70} \Big) </math>		<math> \eta = 2 + 3 \cdot exp \Big(-\frac{((x-80) -ut))^2}{70} \Big) </math>

Schmokel: /* Discretização na Forma não Conservativa */

2021-10-22T00:43:02Z

Discretização na Forma não Conservativa

← Edição anterior		Edição das 00h43min de 22 de outubro de 2021
Linha 243:		Linha 243:
	=== Discretização na Forma não Conservativa ===		=== Discretização na Forma não Conservativa ===

	As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (16),(37) e (38), para descrever numericamente ~~estás~~ equações foi ~~utilizado~~ discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente no região temporal (FTCS).		As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (16), (37) e (38), para descrever numericamente estas equações foi utilizada discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente na região temporal (FTCS).

	Discretizando a expressão (16):		Discretizando a expressão (16):
Linha 265:		Linha 265:
	<math> f(x,y,t) \equiv \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (51) </math>		<math> f(x,y,t) \equiv \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (51) </math>

	Das quantidades ~~definidades~~ e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos ~~a respectiva~~ avanço temporal para M:		Das quantidades definidas e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos o respectivo avanço temporal para M:

	<math> M_{i,j}^{n+1} = M_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{M2_{i+1,j}^n-M2_{i-1,j}^n}{2 \Delta x} +\frac{(MN)_{i,j+1}^n - (MN)_{i,j-1}^n}{2 \Delta y} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (52) </math>		<math> M_{i,j}^{n+1} = M_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{M2_{i+1,j}^n-M2_{i-1,j}^n}{2 \Delta x} +\frac{(MN)_{i,j+1}^n - (MN)_{i,j-1}^n}{2 \Delta y} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (52) </math>

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Linha 217:		Linha 217:
	O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:		O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:

	<math>\dfrac{\partial D}{\partial t} + \dfrac{\partial Du}{\partial x} + \dfrac{\partial Dv}{\partial y} = 0 \qquad (39) </math>		<math>\dfrac{\partial D}{\partial t} + \dfrac{\partial Du}{\partial x} + \dfrac{\partial Dv}{\partial y} = 0 \qquad (40) </math>

	<math>\dfrac{\partial Du}{\partial t} + \dfrac{\partial \left (\partial Du^2 + \dfrac{1}{2}g D^2 \right)}{\partial x} + \dfrac{Duv}{\partial y} = -gD\dfrac{\partial b}{\partial x} \qquad (40) </math>		<math>\dfrac{\partial Du}{\partial t} + \dfrac{\partial \left (\partial Du^2 + \dfrac{1}{2}g D^2 \right)}{\partial x} + \dfrac{Duv}{\partial y} = -gD\dfrac{\partial b}{\partial x} \qquad (41) </math>

	<math>\dfrac{\partial Dv}{\partial t} + \dfrac{Duv}{\partial x} + \dfrac{\partial \left ( Dv^2 + \dfrac{1}{2}g D^2 \right)}{\partial y}= -gD\dfrac{\partial b}{\partial y}\qquad (41) </math>		<math>\dfrac{\partial Dv}{\partial t} + \dfrac{Duv}{\partial x} + \dfrac{\partial \left ( Dv^2 + \dfrac{1}{2}g D^2 \right)}{\partial y}= -gD\dfrac{\partial b}{\partial y}\qquad (42) </math>

	Onde <math>D</math> é a altura do fluido desde a base, <math>\vec{u}, \vec{v}</math> são as velocidades médias na direções <math>\vec{x}, \vec{y}</math>, <math>g</math> é a constante gravitacional e <math>b(x, y)</math> é função que descreve a superfície onde acontece o movimento.		Onde <math>D</math> é a altura do fluido desde a base, <math>\vec{u}, \vec{v}</math> são as velocidades médias na direções <math>\vec{x}, \vec{y}</math>, <math>g</math> é a constante gravitacional e <math>b(x, y)</math> é função que descreve a superfície onde acontece o movimento.
Linha 227:		Linha 227:
	Para descrever numericamente as equações de águas rasas na forma conservativa foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.		Para descrever numericamente as equações de águas rasas na forma conservativa foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.

	<math>\dfrac{D^{t + \Delta t}_{i, j} - D^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Du)^t_ {i+1,j} - (Du)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Dv)^t_ {i,j+1} - (Dv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = 0 \qquad (42)</math>		<math>\dfrac{D^{t + \Delta t}_{i, j} - D^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Du)^t_ {i+1,j} - (Du)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Dv)^t_ {i,j+1} - (Dv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = 0 \qquad (43)</math>

	<math>\dfrac{(Du)^{t + \Delta t}_{i, j} - (Du)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Du^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i+1, j} - (Du^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Duv)^t_{i, j+1} - (Duv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g D^{t}_{i, j} b_{x. i, j} \qquad (43) </math>		<math>\dfrac{(Du)^{t + \Delta t}_{i, j} - (Du)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Du^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i+1, j} - (Du^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Duv)^t_{i, j+1} - (Duv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g D^{t}_{i, j} b_{x. i, j} \qquad (44) </math>

	<math>\dfrac{(Dv)^{t + \Delta t}_{i, j} - (Dv)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Duv)^t_{i+1, j} - (Duv)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Dv^2 + 1/2 gD^2)^t_{i, j+1} - (Dv^2 + 1/2 gD^2)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g D^{t}_{i, j} b_{y. i, j} \qquad (44) </math>		<math>\dfrac{(Dv)^{t + \Delta t}_{i, j} - (Dv)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Duv)^t_{i+1, j} - (Duv)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Dv^2 + 1/2 gD^2)^t_{i, j+1} - (Dv^2 + 1/2 gD^2)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g D^{t}_{i, j} b_{y. i, j} \qquad (45) </math>

	Na situação em que temos as equações de águas rasas simplificadas por (39), aplicando FTCS explícito, a evolução temporal da amplitude da onda é:		Na situação em que temos as equações de águas rasas simplificadas por (39), aplicando FTCS explícito, a evolução temporal da amplitude da onda é:

	<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} = \eta^{t}_{i, j} - \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^t_ {i+1,j} - \eta^t_{i-1, j}) \qquad (45)</math>		<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} = \eta^{t}_{i, j} - \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^t_ {i+1,j} - \eta^t_{i-1, j}) \qquad (46)</math>

	Aplicando FTCS implícito temos:		Aplicando FTCS implícito temos:

	<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} + \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^{t+ \Delta t}_{i+1,j} - \eta^{t- \Delta t}_{i-1, j}) = \eta^{t}_{i, j} \qquad (46)</math>		<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} + \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^{t+ \Delta t}_{i+1,j} - \eta^{t- \Delta t}_{i-1, j}) = \eta^{t}_{i, j} \qquad (47)</math>

	=== Discretização na Forma não Conservativa ===		=== Discretização na Forma não Conservativa ===

← Edição anterior		Edição das 00h49min de 22 de outubro de 2021
Linha 247:		Linha 247:
	Discretizando a expressão (16):		Discretizando a expressão (16):

	<math> \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (45) </math>		<math> \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (47) </math>

	<math> \Rightarrow \frac{\eta(x,y,t + \Delta t) - \eta(x,y,-t)}{\Delta t} = - \frac{M(x + \Delta x,y,t) - M(x- \Delta x,y,t)}{2\Delta x} -\frac{N(x,y+ \Delta x,t) - N(x,y - \Delta y,t)}{2\Delta y} \qquad (46) </math>		<math> \Rightarrow \frac{\eta(x,y,t + \Delta t) - \eta(x,y,-t)}{\Delta t} = - \frac{M(x + \Delta x,y,t) - M(x- \Delta x,y,t)}{2\Delta x} -\frac{N(x,y+ \Delta x,t) - N(x,y - \Delta y,t)}{2\Delta y} \qquad (48) </math>

	<math> \eta_{i,j}^{n+1} = \eta_{i,j}^{n} -\Delta t\Bigg(\frac{M_{i+1,j}^{n}-M_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} + \frac{N_{i,j+1}^{n}-N_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y} \Bigg) \qquad (47) </math>		<math> \eta_{i,j}^{n+1} = \eta_{i,j}^{n} -\Delta t\Bigg(\frac{M_{i+1,j}^{n}-M_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} + \frac{N_{i,j+1}^{n}-N_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y} \Bigg) \qquad (49) </math>

	Discretizando a expressão (37):		Discretizando a expressão (37):

	<math> \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial t} = -\Bigg( \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x}+ \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \Bigg) \qquad (48) </math>		<math> \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial t} = -\Bigg( \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x}+ \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \Bigg) \qquad (50) </math>

	Definindo as quantidades:		Definindo as quantidades:

	<math> M2 \equiv \frac{M^2(x,y,t)}{D(x,y,t)}\qquad (49) </math>		<math> M2 \equiv \frac{M^2(x,y,t)}{D(x,y,t)}\qquad (51) </math>

	<math> MN \equiv \frac{M(x,y,t)N(x,y,t)}{D(x,y,t)} \qquad (50) </math>		<math> MN \equiv \frac{M(x,y,t)N(x,y,t)}{D(x,y,t)} \qquad (52) </math>

	<math> f(x,y,t) \equiv \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (51) </math>		<math> f(x,y,t) \equiv \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (53) </math>

	Das quantidades definidas e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos o respectivo avanço temporal para M:		Das quantidades definidas e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos o respectivo avanço temporal para M:

	<math> M_{i,j}^{n+1} = M_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{M2_{i+1,j}^n-M2_{i-1,j}^n}{2 \Delta x} +\frac{(MN)_{i,j+1}^n - (MN)_{i,j-1}^n}{2 \Delta y} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (52) </math>		<math> M_{i,j}^{n+1} = M_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{M2_{i+1,j}^n-M2_{i-1,j}^n}{2 \Delta x} +\frac{(MN)_{i,j+1}^n - (MN)_{i,j-1}^n}{2 \Delta y} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (54) </math>

	Generalizando a expressão (52) para o fluxo de descarga N temos:		Generalizando a expressão (54) para o fluxo de descarga N temos:

	<math> N_{i,j}^{n+1} = N_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{N2_{i,j+1}^n-M2_{i,j-1}^n}{2\Delta y} +\frac{(MN)_{i+1,j}^n - (MN)_{i-1,j}^n}{2\Delta x} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta y} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (53) </math>		<math> N_{i,j}^{n+1} = N_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{N2_{i,j+1}^n-M2_{i,j-1}^n}{2\Delta y} +\frac{(MN)_{i+1,j}^n - (MN)_{i-1,j}^n}{2\Delta x} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta y} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (55) </math>

	== Simulações Computacionais ==		== Simulações Computacionais ==