Derivada Numérica - Histórico de revisão

Sebas: /* Derivada à esquerda */

2015-10-07T13:13:51Z

Derivada à esquerda

← Edição anterior		Edição das 10h13min de 7 de outubro de 2015
Linha 45:		Linha 45:
	Em cálculo as três devem coincidir para existir a derivada em <math>x</math>. Existem funções que podem ser contínuas em um ponto,		Em cálculo as três devem coincidir para existir a derivada em <math>x</math>. Existem funções que podem ser contínuas em um ponto,
	porém ter derivada diferente a esquerda e direita, por tanto nesses casos a derivada no ponto não está definida.		porém ter derivada diferente a esquerda e direita, por tanto nesses casos a derivada no ponto não está definida.
	O exemplo mais simples é <math>\|x\|</math>, continua ~~em todo~~ e com derivada em todo <math>x \neq 0</math>. Nesse ponto as derivadas a esquerda e direita são diferentes.		O exemplo mais simples é <math>\|x\|</math>, continua e com derivada em todo <math>x \neq 0</math>. Nesse ponto as derivadas a esquerda e direita são diferentes.

	== Derivada Centrada ==		== Derivada Centrada ==

Sebas: /* Derivada à esquerda */

2015-10-07T13:12:48Z

Derivada à esquerda

← Edição anterior		Edição das 10h12min de 7 de outubro de 2015
Linha 42:		Linha 42:

	== Derivada à esquerda ==		== Derivada à esquerda ==
	A derivada numérica pode também ser calculada com um incremento a esquerda do $$x$$ (e também centrado no $$x$$ como veremos depois).		A derivada numérica pode também ser calculada com um incremento a esquerda do <math>x</math> (e também centrado no <math>x</math> como veremos depois).
	Em cálculo as três devem coincidir para existir a derivada em $$x$$. Existem funções que podem ser contínuas em um ponto,		Em cálculo as três devem coincidir para existir a derivada em <math>x</math>. Existem funções que podem ser contínuas em um ponto,
	porém ter derivada diferente a esquerda e direita, por tanto nesses casos a derivada no ponto não está definida.		porém ter derivada diferente a esquerda e direita, por tanto nesses casos a derivada no ponto não está definida.
	O exemplo mais simples é $$\|x\|$$, continua em todo e com derivada em todo $$x \neq 0$$. Nesse ponto as derivadas a esquerda e direita são diferentes.		O exemplo mais simples é <math>\|x\|</math>, continua em todo e com derivada em todo <math>x \neq 0</math>. Nesse ponto as derivadas a esquerda e direita são diferentes.

	== Derivada Centrada ==		== Derivada Centrada ==

Sebas: /* Derivada à esquerda */

2015-10-07T13:10:47Z

Derivada à esquerda

← Edição anterior		Edição das 10h10min de 7 de outubro de 2015
Linha 42:		Linha 42:

	== Derivada à esquerda ==		== Derivada à esquerda ==
	A derivada numérica ~~poderia~~ também ser calculada com um incremento a esquerda do x (e ~~tembeém~~ centrado no x como veremos depois)		A derivada numérica pode também ser calculada com um incremento a esquerda do $$x$$ (e também centrado no $$x$$ como veremos depois).
	No cálculo ~~não ha diferença entre~~ as três se a ~~função~~ é continua a esquerda e direita ~~do ponto x~~		Em cálculo as três devem coincidir para existir a derivada em $$x$$. Existem funções que podem ser contínuas em um ponto,
			porém ter derivada diferente a esquerda e direita, por tanto nesses casos a derivada no ponto não está definida.
			O exemplo mais simples é $$\|x\|$$, continua em todo e com derivada em todo $$x \neq 0$$. Nesse ponto as derivadas a esquerda e direita são diferentes.

	== Derivada Centrada ==		== Derivada Centrada ==

Sebas em 11h46min de 28 de setembro de 2015

2015-09-28T11:46:20Z

← Edição anterior		Edição das 08h46min de 28 de setembro de 2015
Linha 40:		Linha 40:

	Resumindo, por um lado temos o '''erro de truncamento''' e pelo outro o de '''arredondamento''', onde o valor ótimo será uma solução de compromisso entre os dois tipos de erro. Vemos então que deve haver um ''intervalo de valores'' dentro do qual o <math>\Delta x</math> deve variar para que a derivada numérica seja a mais próxima do valor real possível. Nas figuras 5 e 6 mostramos um exemplo.		Resumindo, por um lado temos o '''erro de truncamento''' e pelo outro o de '''arredondamento''', onde o valor ótimo será uma solução de compromisso entre os dois tipos de erro. Vemos então que deve haver um ''intervalo de valores'' dentro do qual o <math>\Delta x</math> deve variar para que a derivada numérica seja a mais próxima do valor real possível. Nas figuras 5 e 6 mostramos um exemplo.

			== Derivada à esquerda ==
			A derivada numérica poderia também ser calculada com um incremento a esquerda do x (e tembeém centrado no x como veremos depois)
			No cálculo não ha diferença entre as três se a função é continua a esquerda e direita do ponto x

	== Derivada Centrada ==		== Derivada Centrada ==

Sebas: /* Derivada à direita */

2015-09-23T13:16:00Z

Derivada à direita

← Edição anterior		Edição das 10h16min de 23 de setembro de 2015
Linha 10:		Linha 10:
	== Derivada à direita ==		== Derivada à direita ==

	Este método se baseia na definição formal de derivada. Para um dado valor de incremento <math>\Delta x</math>, ~~podemos estimar~~ a derivada ~~da função~~:		Este método se baseia na definição formal de derivada. Para um dado valor de incremento <math>\Delta x</math>, definimos a derivada numérica (a direita) como:

	{\| style="width: 75%"		{\| style="width: 75%"
	\|-		\|-
	\|<math>f'(x) \~~approx~~ {f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}</math> \|\| (Eq. 2)		\|<math>\frac{\Delta f^+}{\Delta x} = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = {f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}</math> \|\| (Eq. 2)
	\|}		\|}

Sebas em 13h12min de 23 de setembro de 2015

2015-09-23T13:12:15Z

← Edição anterior		Edição das 10h12min de 23 de setembro de 2015
Linha 68:		Linha 68:
	Para ter uma estimativa do erro associado a utilização da derivada numérica, podemos comparar valores utilizando uma função que tem sua derivada conhecida analiticamente. Assim, o erro é dado por		Para ter uma estimativa do erro associado a utilização da derivada numérica, podemos comparar valores utilizando uma função que tem sua derivada conhecida analiticamente. Assim, o erro é dado por

	:<math> erro = {\|f'_{AN}(x) - f'_{~~NUM~~}(x)\| \over \|f'_{~~NUM~~}(x)\|}, </math>		:<math> erro = {\|f'_{an}(x) - f'_{num}(x)\| \over \|f'_{an}(x)\|}, </math>
			onde <math>f'_{an}(x)</math> e <math>f'_{num}(x)</math> são as derivada analítica e numérica de <math> f(x) </math>, respectivamente.
	onde <math>f'_{AN}(x)</math> e <math>f'_{~~NUM~~}(x)</math> são as derivada analítica e numérica de <math> f(x) </math>, respectivamente.

	Note que, multiplicando o erro por 100, temos a porcentagem de erro que acompanha a derivada numérica.		Note que, multiplicando o erro por 100, temos a porcentagem de erro que acompanha a derivada numérica.

Ejagnes: /* Exemplo */

2011-10-07T17:16:27Z

Exemplo

← Edição anterior		Edição das 14h16min de 7 de outubro de 2011
Linha 118:		Linha 118:
	[[Imagem:der_zoom.png\|thumb\|300px\|Figura 6 - Erros de truncamento e precisão (zoom)]]		[[Imagem:der_zoom.png\|thumb\|300px\|Figura 6 - Erros de truncamento e precisão (zoom)]]

	Na figura 5, a derivada em x=3 ~~numérica~~ em função do <math>\Delta x</math> utilizado. O valor exato da derivada em é <math>f'(3)=-4.08963</math>. Diminuindo o valor do incremento, vemos que em volta de <math>\Delta x = 0.01</math> começa a convergir, piorando a partir de <math>\Delta x = 10^{-6}</math>. Para valores muito pequenos temos o erro de arredondamento e para valores muito alto temos o erro de truncamento.		Na figura 5, a derivada numérica em x=3 em função do <math>\Delta x</math> utilizado. O valor exato da derivada é <math>f'(3)=-4.08963</math>. Diminuindo o valor do incremento, vemos que em volta de <math>\Delta x = 0.01</math> a derivada começa a convergir, piorando a partir de <math>\Delta x = 10^{-6}</math>. Para valores muito pequenos temos o erro de arredondamento e para valores muito alto temos o erro de truncamento.

	Na figura 6 vemos ampliada a região de convergência, onde o valor de <math>\Delta x = 8x10^{-5}</math> parece ser o ótimo.		Na figura 6 vemos ampliada a região de convergência, onde o valor de <math>\Delta x = 8x10^{-5}</math> parece ser o ótimo.

Ejagnes em 17h13min de 7 de outubro de 2011

2011-10-07T17:13:27Z

← Edição anterior		Edição das 14h13min de 7 de outubro de 2011
Linha 98:		Linha 98:
	Primeiramente, a figura 1 mostra a derivada à direita, onde a curva em vermelho representa <math>f(x)</math> e a curva em azul representa a derivada de <math>f(x)</math>.		Primeiramente, a figura 1 mostra a derivada à direita, onde a curva em vermelho representa <math>f(x)</math> e a curva em azul representa a derivada de <math>f(x)</math>.

	[[Imagem:derivada3.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 1]]		[[Imagem:derivada3.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 1 - Derivada à direita]]

	A figura 2 mostra um zoom no ponto <math>x</math> com a curva da derivada calculada pelo método descrito acima. Em azul a derivada calculada numericamente, só que agora com um deslocamento em <math>y</math> para passar pelo ponto <math>(f(x),x)</math>.		A figura 2 mostra um zoom no ponto <math>x</math> com a curva da derivada calculada pelo método descrito acima. Em azul a derivada calculada numericamente, só que agora com um deslocamento em <math>y</math> para passar pelo ponto <math>(f(x),x)</math>.

	[[Imagem:derivada4.png\|thumb\|300px\|Figura 2]]		[[Imagem:derivada4.png\|thumb\|300px\|Figura 2 - Derivada à direita (zoom)]]

	O exemplo do método de derivada centrada está representado na figura 3. Em vermelho a curva <math>f(x)</math> e em azul a sua derivada.		O exemplo do método de derivada centrada está representado na figura 3. Em vermelho a curva <math>f(x)</math> e em azul a sua derivada.

	[[Imagem:derivada1.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 3]]		[[Imagem:derivada1.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 3 - Derivada centrada]]

	A figura 4 mostra um zoom com a curva da derivada centrada em <math>x</math>.		A figura 4 mostra um zoom com a curva da derivada centrada em <math>x</math>.

	[[Imagem:derivada2.png\|thumb\|300px\|Figura 4]]		[[Imagem:derivada2.png\|thumb\|300px\|Figura 4 - Derivada centrada (zoom)]]

	Além da ilustração dos métodos de derivação numérica, as figuras 5 e 6 mostram o gráfico do valor retornado pelo método da derivação à direita em função do incremento <math>\Delta x</math> utilizado.		Além da ilustração dos métodos de derivação numérica, as figuras 5 e 6 mostram o gráfico do valor retornado pelo método da derivação à direita em função do incremento <math>\Delta x</math> utilizado.

	[[Imagem:der.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 5]]		[[Imagem:der.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 5 - Erros de truncamento e precisão]]

	[[Imagem:der_zoom.png\|thumb\|300px\|Figura 6]]		[[Imagem:der_zoom.png\|thumb\|300px\|Figura 6 - Erros de truncamento e precisão (zoom)]]

	Na figura 5, a derivada em x=3 numérica em função do <math>\Delta x</math> utilizado. O valor exato da derivada em é <math>f'(3)=-4.08963</math>. Diminuindo o valor do incremento, vemos que em volta de <math>\Delta x = 0.01</math> começa a convergir, piorando a partir de <math>\Delta x = 10^{-6}</math>. Para valores muito pequenos temos o erro de arredondamento e para valores muito alto temos o erro de truncamento.		Na figura 5, a derivada em x=3 numérica em função do <math>\Delta x</math> utilizado. O valor exato da derivada em é <math>f'(3)=-4.08963</math>. Diminuindo o valor do incremento, vemos que em volta de <math>\Delta x = 0.01</math> começa a convergir, piorando a partir de <math>\Delta x = 10^{-6}</math>. Para valores muito pequenos temos o erro de arredondamento e para valores muito alto temos o erro de truncamento.

Ejagnes em 17h11min de 7 de outubro de 2011

2011-10-07T17:11:35Z

Ejagnes em 15h29min de 5 de outubro de 2011

2011-10-05T15:29:06Z

← Edição anterior		Edição das 12h29min de 5 de outubro de 2011
Linha 39:		Linha 39:
	Comparando a expressão acima com o método de de derivada à direita , Eq. 2, notamos que a diferença existe a partir do termo <math>\Delta x</math>. Podemos dizer que o erro ao usar a quociente de Newton para calcular a derivada é proporcional à <math>\Delta x</math>. Assim, vemos que o erro cresce ''linearmente'' com <math>\Delta x</math> e portanto devemos usar valores pequenos do incremento.		Comparando a expressão acima com o método de de derivada à direita , Eq. 2, notamos que a diferença existe a partir do termo <math>\Delta x</math>. Podemos dizer que o erro ao usar a quociente de Newton para calcular a derivada é proporcional à <math>\Delta x</math>. Assim, vemos que o erro cresce ''linearmente'' com <math>\Delta x</math> e portanto devemos usar valores pequenos do incremento.

	Resumindo, por um lado temos o '''erro de truncamento''' e pelo outro o de '''arredondamento''', onde o valor ótimo será uma solução de compromisso entre os dois tipos de erro. Vemos então que deve haver um ''intervalo de valores'' dentro do qual o <math>\Delta x</math> deve variar para que a derivada numérica seja a mais próxima do valor real possível. ~~Na Fig.(XXXX),~~ mostramos um exemplo.		Resumindo, por um lado temos o '''erro de truncamento''' e pelo outro o de '''arredondamento''', onde o valor ótimo será uma solução de compromisso entre os dois tipos de erro. Vemos então que deve haver um ''intervalo de valores'' dentro do qual o <math>\Delta x</math> deve variar para que a derivada numérica seja a mais próxima do valor real possível. Nas figuras 5 e 6 mostramos um exemplo.

	== Derivada Centrada ==		== Derivada Centrada ==

← Edição anterior		Edição das 14h11min de 7 de outubro de 2011
Linha 94:		Linha 94:
	:<math>f(x) = \frac{\sin(x^2) e^{x/3}}{\sqrt{x^2+4}}.</math>		:<math>f(x) = \frac{\sin(x^2) e^{x/3}}{\sqrt{x^2+4}}.</math>

	Os gráficos abaixo ilustram os métodos de derivada à direita e derivada centrada, ambos com <math>x=0,6</math> e <math>\Delta x = 0,4</math>.		Os gráficos abaixo ilustram os métodos de derivada à direita (figuras 1 e 2) e derivada centrada (figuras 3 e 4), ambos com <math>x=0,6</math> e <math>\Delta x = 0,4</math>.

	Primeiramente, a derivada à direita, onde a curva em vermelho representa <math>f(x)</math> e a curva em azul representa a derivada de <math>f(x)</math>.		Primeiramente, a figura 1 mostra a derivada à direita, onde a curva em vermelho representa <math>f(x)</math> e a curva em azul representa a derivada de <math>f(x)</math>.

	[[Imagem:derivada3.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 1]]		[[Imagem:derivada3.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 1]]

	~~Aqui temos~~ um zoom no ponto <math>x</math> com a curva da derivada calculada pelo método descrito acima. Em azul a derivada calculada numericamente, só que agora com um deslocamento em <math>y</math> para passar pelo ponto <math>(f(x),x)</math>.		A figura 2 mostra um zoom no ponto <math>x</math> com a curva da derivada calculada pelo método descrito acima. Em azul a derivada calculada numericamente, só que agora com um deslocamento em <math>y</math> para passar pelo ponto <math>(f(x),x)</math>.

	[[Imagem:derivada4.png\|thumb\|300px\|Figura 2]]		[[Imagem:derivada4.png\|thumb\|300px\|Figura 2]]

	O exemplo do método de derivada centrada está ~~a seguir~~. Em vermelho a curva <math>f(x)</math> e em azul a sua derivada.		O exemplo do método de derivada centrada está representado na figura 3. Em vermelho a curva <math>f(x)</math> e em azul a sua derivada.

	[[Imagem:derivada1.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 3]]		[[Imagem:derivada1.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 3]]

	A ~~próxima~~ figura mostra um zoom com a curva da derivada em <math>x</math>.		A figura 4 mostra um zoom com a curva da derivada centrada em <math>x</math>.

	[[Imagem:derivada2.png\|thumb\|300px\|Figura 4]]		[[Imagem:derivada2.png\|thumb\|300px\|Figura 4]]

	Além da ilustração dos métodos de derivação numérica, ~~abaixo temos~~ o gráfico do valor retornado pelo método da derivação à direita em função do incremento <math>\Delta x</math> utilizado.		Além da ilustração dos métodos de derivação numérica, as figuras 5 e 6 mostram o gráfico do valor retornado pelo método da derivação à direita em função do incremento <math>\Delta x</math> utilizado.

	[[Imagem:der.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 5]]		[[Imagem:der.png\|thumb\|300px\|left\|Figura 5]]
Linha 118:		Linha 118:
	[[Imagem:der_zoom.png\|thumb\|300px\|Figura 6]]		[[Imagem:der_zoom.png\|thumb\|300px\|Figura 6]]

	~~A esquerda~~, a derivada em x=3 numérica em função do <math>\Delta x</math> utilizado. O valor exato da derivada em é <math>f'(3)=-4.08963</math>. Diminuindo o valor do incremento, vemos que em volta de <math>\Delta x = 0.01</math> começa a convergir, piorando a partir de <math>\Delta x = 10^{-6}</math>. Para valores muito pequenos temos o erro de arredondamento e para valores muito alto temos o erro de truncamento.		Na figura 5, a derivada em x=3 numérica em função do <math>\Delta x</math> utilizado. O valor exato da derivada em é <math>f'(3)=-4.08963</math>. Diminuindo o valor do incremento, vemos que em volta de <math>\Delta x = 0.01</math> começa a convergir, piorando a partir de <math>\Delta x = 10^{-6}</math>. Para valores muito pequenos temos o erro de arredondamento e para valores muito alto temos o erro de truncamento.

	Na figura ~~a direita~~ vemos ampliada a região de convergência, onde o valor de <math>\Delta x = 8x10^{-5}</math> parece ser o ótimo.		Na figura 6 vemos ampliada a região de convergência, onde o valor de <math>\Delta x = 8x10^{-5}</math> parece ser o ótimo.

	'''NOTA:''' os programa FORTRAN usado para o calculo da derivada esta em Real (ou Real4, ou seja ponto flutuante em representação de 32 bits). Como seria em dupla precisão (Real8)?		'''NOTA:''' os programa FORTRAN usado para o calculo da derivada esta em Real (ou Real4, ou seja ponto flutuante em representação de 32 bits). Como seria em dupla precisão (Real8)?