Asorander em 17h10min de 25 de janeiro de 2018

2018-01-25T17:10:53Z

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	</math>		</math>

	onde <math>r = \frac{v\Delta v}{\Delta x}</math>.		onde <math>r = \frac{v\Delta t}{\Delta x}</math>.

Asorander: Criou página com 'Queremos resolver as equações que temos para $k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}$ : $k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = v \frac{U_{i+1}^{n+1}-U_i^{n+1}}{\Delta x}$ Sabe...'

2018-01-24T16:28:59Z

Criou página com 'Queremos resolver as equações que temos para <math>k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}</math>: <math> k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = v \frac{U_{i+1}^{n+1}-U_i^{n+1}}{\Delta x} </math> Sabe...'

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Queremos resolver as equações que temos para <math>k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}</math>:

<math>
k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = v \frac{U_{i+1}^{n+1}-U_i^{n+1}}{\Delta x}
</math>

Sabendo que

<math>
k_{i+\frac{1}{2}}^n = v \frac{U_{i+1}^n-U_i^n}{\Delta x},
</math>

e

<math>
s_{i}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{U_{i}^{n+1}-U_i^n}{\Delta t},
</math>

podemos escrever equações para <math>U^{n+1}_{i+1}</math>, <math>U^{n+1}_{i}</math> e <math>U^{n}_{i+1}</math>:

<math>U^{n+1}_{i+1} = s^{n+\frac{1}{2}}_{i+1}\Delta t + U^{n}_{i+1},\qquad (1)</math>

<math>U^{n+1}_{i} = s^{n+\frac{1}{2}}_i \Delta t + U^n_i\qquad (2)</math>

e

<math>U^{n}_{i+1}= \frac{\Delta x}{v}k^n_{i+\frac{1}{2}} + U^n_i.\qquad (3)</math>

Substituindo as equações (1) e (2) na equação para <math>k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}</math>, obtemos:

<math>\frac{\Delta x}{v}k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = (s^{n+\frac{1}{2}}_{i+1}\Delta t + U^{n}_{i+1}) - (s^{n+\frac{1}{2}}_i \Delta t + U^n_i).</math>

Ao substituirmos a equação (3) nessa última equação obtida, obtemos a equação citada no desenvolvimento do Método de Leapfrog, dada por

<math>\frac{\Delta x}{v}k^{n+1}_{i+\frac{1}{2}} = s^{n+\frac{1}{2}}_{i+1}\Delta t + \frac{\Delta x}{v}k^{n}_{i+\frac{1}{2}} + U^n_i - (s^{n+\frac{1}{2}}_i \Delta t + U^n_i).</math>

E, por fim, dela obtemos a equação para <math>k</math>:

<math>
k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = k_{i+\frac{1}{2}}^n+r(s_{i+1}^{n+\frac{1}{2}}-s_{i}^{n+\frac{1}{2}}),
</math>

onde <math>r = \frac{v\Delta v}{\Delta x}</math>.

Dedução Leapfrog - Histórico de revisão

Asorander em 17h10min de 25 de janeiro de 2018

Asorander: Criou página com 'Queremos resolver as equações que temos para k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}: k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = v \frac{U_{i+1}^{n+1}-U_i^{n+1}}{\Delta x} Sabe...'

Asorander: Criou página com 'Queremos resolver as equações que temos para $k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}$ : $k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = v \frac{U_{i+1}^{n+1}-U_i^{n+1}}{\Delta x}$ Sabe...'