DM de potenciais descontínuos - Histórico de revisão

Amorim: /* Determinação do tempo de colisão */

2016-10-13T00:44:28Z

Determinação do tempo de colisão

← Edição anterior		Edição das 21h44min de 12 de outubro de 2016
Linha 6:		Linha 6:
	Os objetos a serem usados para o cálculo do tempo de colisão entre um par de partículas <math>i, j</math> serão discos de raio <math>\sigma_i</math>, <math>\sigma_j</math>, cuja soma denotamos por <math>\sigma</math>. Portanto, segue que a condição de colisão é:		Os objetos a serem usados para o cálculo do tempo de colisão entre um par de partículas <math>i, j</math> serão discos de raio <math>\sigma_i</math>, <math>\sigma_j</math>, cuja soma denotamos por <math>\sigma</math>. Portanto, segue que a condição de colisão é:
	:<math>\|\vec{r_i}(t + dt_{ij}) - \vec{r_j}(t + dt_{ij})\| = \sigma</math>		:<math>\|\vec{r_i}(t + dt_{ij}) - \vec{r_j}(t + dt_{ij})\| = \sigma</math>
	Com <math>r_i</math> sendo o vetor posição da partícula <math>i</math> e <math>dt_{ij}</math> o tempo de colisão entre as partículas <math>i, j</math>. Tal condição nos leva a determinação de <math>dt_{ij}</math> a partir da expressão:		Com <math>\vec{r_i}</math> sendo o vetor posição da partícula <math>i</math> e <math>dt_{ij}</math> o tempo de colisão entre as partículas <math>i, j</math>. Tal condição nos leva a determinação de <math>dt_{ij}</math> a partir da expressão:
	:<math>		:<math>
	dt_{ij} =		dt_{ij} =

Amorim: /* Mudança de velocidade em uma colisão elástica */

2016-07-10T01:06:23Z

Mudança de velocidade em uma colisão elástica

← Edição anterior		Edição das 22h06min de 9 de julho de 2016
Linha 18:		Linha 18:

	===Mudança de velocidade em uma colisão elástica===		===Mudança de velocidade em uma colisão elástica===
	Para fazer a mudança de velocidades temos que considerar o caso de colisão elástica entre as partículas <math> i, j </math>, sendo impulso dado por:		Para fazer a mudança de velocidades temos que considerar o caso de colisão elástica entre as partículas <math> I, J </math>, sendo impulso dado por:
	:<math> \vec{J} = \frac{2m_im_j(\Delta \vec{r} . \Delta \vec{v})}{\sigma^2(m_i + m_j)}\Delta \vec{r} </math>.		:<math> \vec{J} = \frac{2m_im_j(\Delta \vec{r} . \Delta \vec{v})}{\sigma^2(m_i + m_j)}\Delta \vec{r} </math>.
	Assim, a variação de velocidades pode ser determinada por:		Assim, a variação de velocidades pode ser determinada por:

Esteves: /* Cálculo do tempo de colisão */

2016-07-07T16:29:10Z

Cálculo do tempo de colisão

← Edição anterior		Edição das 13h29min de 7 de julho de 2016
Linha 125:		Linha 125:
	Também é importante lembrar que aqui é desconsiderado a interação gravitacional entre quaisquer duas partículas, uma vez que assume-se que massas são pequenas e desprezíveis em frente a massa que forma o campo em que estão imersas.<br>		Também é importante lembrar que aqui é desconsiderado a interação gravitacional entre quaisquer duas partículas, uma vez que assume-se que massas são pequenas e desprezíveis em frente a massa que forma o campo em que estão imersas.<br>
	===Cálculo do tempo de colisão===		===Cálculo do tempo de colisão===
	Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o ~~calculo~~ do tempo mínimo entre as colisões. No entanto, como será mostrado a seguir, isso não é necessário e o cálculo permanece o mesmo.<br>		Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o cálculo do tempo mínimo entre as colisões. No entanto, como será mostrado a seguir, isso não é necessário e o cálculo permanece o mesmo.<br>
	~~Tendo em mãos~~ a condição ~~para~~ que ocorra ~~uma~~ colisão~~: <math>\|\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt)\| = \sigma</math>, e~~ que <math>\vec{r}_{i}(t+dt) = \vec{r}_{i} + \vec{v}_{i}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math> e <math>\vec{r}_{j}(t+dt) = \vec{r}_{j} + \vec{v}_{j}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, ~~retirar o módulo uma vez~~ que ~~o resultado será sempre positivo~~, ~~obtendo:<br>~~		De maneira geral, sem cálculos, o que deve ser feito é abrir cada vetor de deslocamento, adicionando um termo de tempo quadrádico ligado à aceleração gravitacional do campo escolhido, e elevar ao quadrado a condição de que ocorra a colisão. A partir daí tudo que se é necessário fazer é trabalhar a álgebra, que no fim, eliminará todos os termos com a aceleração. Para verificar o cálculo completo veja na página [[Cálculo do tempo de colisão com aceleração]].<br>
	~~<math>(\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br><br>~~
	<math>\vec{r}_{i}^2 + \vec{v}_{i}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{4} + 2\vec{r}_{i}\vec{v}_{i}dt + 2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{i}\frac{dt^3}{2} -2(\vec{r}_{i} + \vec{v}_{i}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2})(\vec{r}_{j} + \vec{v}_{j}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}) + \vec{r}_{j}^2 + \vec{v}_{j}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{4} + 2\vec{r}_{j}\vec{v}_{j}dt + 2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br><br>
	<math>\vec{r}_{i}^2 + \vec{v}_{i}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{2} + 2\vec{r}_{i}\vec{v}_{i}dt + 2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{i}\frac{dt^3}{2} -2\vec{r}_{i}\vec{r}_{j} -2\vec{r}_{i}\vec{v}_{j}dt -2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{r}_{j}\vec{v}_{i}dt -2\vec{v}_{i}\vec{v}_{j}dt^2 -2\vec{v}_{i}\vec{g}\frac{dt^3}{2} -2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2} -\vec{g}^2\frac{dt^4}{2} + \vec{r}_{j}^2 + \vec{v}_{j}^2dt^2 + 2\vec{r}_{j}\vec{v}_{j}dt + 2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br><br>
	~~Reajeitando~~ os termos ~~antes da simplificação final:<br>~~
	<math>\vec{r}_{i}^2 -2\vec{r}_{i}\vec{r}_{j} + \vec{r}_{j}^2 + \vec{v}_{i}^2dt^2 -2\vec{v}_{i}\vec{v}_{j}dt^2 + \vec{v}_{j}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{2} -\vec{g}^2\frac{dt^4}{2} + 2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{i}\frac{dt^3}{2} -2\vec{v}_{i}\vec{g}\frac{dt^3}{2} -2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2} + 2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2} + 2\vec{r}_{i}(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt -2\vec{r}_{j}(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt = \sigma^2</math><br><br>
	~~Ao simplificar obtemos~~ a ~~mesma equação quadrática para se calcular~~ o ~~<math>dt_{min}</math>, onde ficou definido <math>\Delta \vec{r} = \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j}</math> e <math>\Delta \vec{v} = \vec{v}_{i} - \vec{v}_{j}</math>~~ na ~~seção anterior:<br>~~
	~~<math>(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})^2 + (\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})^2dt^2 + 2(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt -\sigma^2 = 0</math>~~<br>

	=== Implementação ===		=== Implementação ===

Amorim: /* Implementação computacional */

2016-07-01T12:44:34Z

Implementação computacional

← Edição anterior		Edição das 09h44min de 1 de julho de 2016
Linha 27:		Linha 27:

	===Implementação computacional===		===Implementação computacional===
	Segue a implementação computacional, na linguagem de programação C, a função utilizada para o cálculo de <math>dt_{ij}</math>.		Segue a implementação computacional, na linguagem de programação C, a função utilizada para o cálculo de <math>dt_{ij}</math>. Importante notar que na formulação da funções-exemplo foram utilizadas condições de contorno periódicas no sistema.
	<pre>		<pre>
	void calc_dt_ij(double xx, double yy, double vx, double vy, double dt_ij, int colide, int i, int j){		void calc_dt_ij(double xx, double yy, double vx, double vy, double dt_ij, int colide, int i, int j){
Linha 65:		Linha 65:
	}		}
	</pre>		</pre>
	Onde foram definidos '''''INF''''' como um número computacionalmente grande e '''''raio''''' como o raio das partículas, em particular consideramos os raios de todas como iguais~~. Importante notar também que na formulação da função exemplo acima foram utilizadas condições de contorno periódicas no sistema~~. Para realizar a troca de velocidades do par de partículas que colidem de forma a ser coerente com uma colisão elástica, confeccionou-se a função abaixo.		Onde foram definidos '''''INF''''' como um número computacionalmente grande e '''''raio''''' como o raio das partículas, em particular consideramos os raios de todas como iguais. Para realizar a troca de velocidades do par de partículas que colidem de forma a ser coerente com uma colisão elástica, confeccionou-se a função abaixo.

	<pre>		<pre>

Amorim: /* Implementação computacional */

2016-07-01T12:42:44Z

Implementação computacional

← Edição anterior		Edição das 09h42min de 1 de julho de 2016
Linha 65:		Linha 65:
	}		}
	</pre>		</pre>
	Onde foram definidos '''''INF''''' como um número computacionalmente grande e '''''raio''''' como o raio das partículas, em particular consideramos os raios de todas como iguais. Para realizar a troca de velocidades do par de partículas que colidem de forma a ser coerente com uma colisão elástica, confeccionou-se a função abaixo.		Onde foram definidos '''''INF''''' como um número computacionalmente grande e '''''raio''''' como o raio das partículas, em particular consideramos os raios de todas como iguais. Importante notar também que na formulação da função exemplo acima foram utilizadas condições de contorno periódicas no sistema. Para realizar a troca de velocidades do par de partículas que colidem de forma a ser coerente com uma colisão elástica, confeccionou-se a função abaixo.

	<pre>		<pre>

Esteves: /* Adição do campo gravitacional */

2016-06-27T18:10:42Z

Adição do campo gravitacional

← Edição anterior		Edição das 15h10min de 27 de junho de 2016
Linha 128:		Linha 128:
	Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: <math>\|\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt)\| = \sigma</math>, e que <math>\vec{r}_{i}(t+dt) = \vec{r}_{i} + \vec{v}_{i}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math> e <math>\vec{r}_{j}(t+dt) = \vec{r}_{j} + \vec{v}_{j}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:<br>		Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: <math>\|\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt)\| = \sigma</math>, e que <math>\vec{r}_{i}(t+dt) = \vec{r}_{i} + \vec{v}_{i}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math> e <math>\vec{r}_{j}(t+dt) = \vec{r}_{j} + \vec{v}_{j}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:<br>
	<math>(\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br><br>		<math>(\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br><br>
	<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + ~~2r_~~{i}v_{i}dt + ~~2r_~~{i}g\frac{dt^2}{2} + ~~2v_~~{i}\frac{dt^3}{2} -2(r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2})(r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}) + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + ~~2r_~~{j}v_{j}dt + ~~2r_~~{j}g\frac{dt^2}{2} + ~~2v_~~{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br><br>		<math>\vec{r}_{i}^2 + \vec{v}_{i}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{4} + 2\vec{r}_{i}\vec{v}_{i}dt + 2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{i}\frac{dt^3}{2} -2(\vec{r}_{i} + \vec{v}_{i}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2})(\vec{r}_{j} + \vec{v}_{j}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}) + \vec{r}_{j}^2 + \vec{v}_{j}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{4} + 2\vec{r}_{j}\vec{v}_{j}dt + 2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br><br>
	<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} + ~~2r_~~{i}v_{i}dt + ~~2r_~~{i}g\frac{dt^2}{2} + ~~2v_~~{i}\frac{dt^3}{2} -~~2r_~~{i}r_{j} -~~2r_~~{i}v_{j}dt -~~2r_~~{i}g\frac{dt^2}{2} -~~2r_~~{j}v_{i}dt -~~2v_~~{i}v_{j}dt^2 -~~2v_~~{i}g\frac{dt^3}{2} -~~2r_~~{j}g\frac{dt^2}{2} -~~2v_~~{j}g\frac{dt^3}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + ~~2r_~~{j}v_{j}dt + ~~2r_~~{j}g\frac{dt^2}{2} + ~~2v_~~{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br><br>		<math>\vec{r}_{i}^2 + \vec{v}_{i}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{2} + 2\vec{r}_{i}\vec{v}_{i}dt + 2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{i}\frac{dt^3}{2} -2\vec{r}_{i}\vec{r}_{j} -2\vec{r}_{i}\vec{v}_{j}dt -2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{r}_{j}\vec{v}_{i}dt -2\vec{v}_{i}\vec{v}_{j}dt^2 -2\vec{v}_{i}\vec{g}\frac{dt^3}{2} -2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2} -\vec{g}^2\frac{dt^4}{2} + \vec{r}_{j}^2 + \vec{v}_{j}^2dt^2 + 2\vec{r}_{j}\vec{v}_{j}dt + 2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br><br>
	Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br>		Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br>
	<math>r_{i}^2 -~~2r_~~{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -~~2v_~~{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + ~~2r_~~{i}g\frac{dt^2}{2} -~~2r_~~{i}g\frac{dt^2}{2} + ~~2v_~~{i}\frac{dt^3}{2} -~~2v_~~{i}\frac{dt^3}{2} -~~2r_~~{j}g\frac{dt^2}{2} + ~~2r_~~{j}g\frac{dt^2}{2} -~~2v_~~{j}\frac{dt^3}{2} + ~~2v_~~{j}\frac{dt^3}{2} + ~~2r_~~{i}(v_{i} - v_{j})dt -~~2r_~~{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br><br>		<math>\vec{r}_{i}^2 -2\vec{r}_{i}\vec{r}_{j} + \vec{r}_{j}^2 + \vec{v}_{i}^2dt^2 -2\vec{v}_{i}\vec{v}_{j}dt^2 + \vec{v}_{j}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{2} -\vec{g}^2\frac{dt^4}{2} + 2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{i}\frac{dt^3}{2} -2\vec{v}_{i}\vec{g}\frac{dt^3}{2} -2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2} + 2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2} + 2\vec{r}_{i}(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt -2\vec{r}_{j}(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt = \sigma^2</math><br><br>
	Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o <math>dt_{min}</math>, onde ficou definido <math>\Delta \vec{r} = \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j}</math> e <math>\Delta \vec{v} = \vec{v}_{i} - \vec{v}_{j}</math> na seção anterior:<br>		Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o <math>dt_{min}</math>, onde ficou definido <math>\Delta \vec{r} = \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j}</math> e <math>\Delta \vec{v} = \vec{v}_{i} - \vec{v}_{j}</math> na seção anterior:<br>
	<math>(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})^2 + (\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})^2dt^2 + 2(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt -\sigma^2 = 0</math><br>		<math>(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})^2 + (\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})^2dt^2 + 2(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt -\sigma^2 = 0</math><br>

Esteves: /* Cálculo do tempo de colisão */

2016-06-26T22:40:53Z

Cálculo do tempo de colisão

← Edição anterior		Edição das 19h40min de 26 de junho de 2016
Linha 127:		Linha 127:
	Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o calculo do tempo mínimo entre as colisões. No entanto, como será mostrado a seguir, isso não é necessário e o cálculo permanece o mesmo.<br>		Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o calculo do tempo mínimo entre as colisões. No entanto, como será mostrado a seguir, isso não é necessário e o cálculo permanece o mesmo.<br>
	Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: <math>\|\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt)\| = \sigma</math>, e que <math>\vec{r}_{i}(t+dt) = \vec{r}_{i} + \vec{v}_{i}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math> e <math>\vec{r}_{j}(t+dt) = \vec{r}_{j} + \vec{v}_{j}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:<br>		Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: <math>\|\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt)\| = \sigma</math>, e que <math>\vec{r}_{i}(t+dt) = \vec{r}_{i} + \vec{v}_{i}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math> e <math>\vec{r}_{j}(t+dt) = \vec{r}_{j} + \vec{v}_{j}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:<br>
	<math>(\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br>		<math>(\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br><br>
	<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2(r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2})(r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}) + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math>		<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2(r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2})(r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}) + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br><br>
	<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{i}r_{j} -2r_{i}v_{j}dt -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{j}v_{i}dt -2v_{i}v_{j}dt^2 -2v_{i}g\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}g\frac{dt^3}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br>		<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{i}r_{j} -2r_{i}v_{j}dt -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{j}v_{i}dt -2v_{i}v_{j}dt^2 -2v_{i}g\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}g\frac{dt^3}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br><br>
	Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br>		Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br>
	<math>r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br>		<math>r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br><br>
	Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o <math>dt_{min}</math>, onde ficou definido <math>\Delta \vec{r} = \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j}</math> e <math>\Delta \vec{v} = \vec{v}_{i} - \vec{v}_{j}</math> na seção anterior:<br>		Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o <math>dt_{min}</math>, onde ficou definido <math>\Delta \vec{r} = \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j}</math> e <math>\Delta \vec{v} = \vec{v}_{i} - \vec{v}_{j}</math> na seção anterior:<br>
	<math>(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})^2 + (\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})^2dt^2 + 2(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt -\sigma^2 = 0</math><br>		<math>(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})^2 + (\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})^2dt^2 + 2(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt -\sigma^2 = 0</math><br>

Esteves: /* Cálculo do tempo de colisão */

2016-06-26T22:38:37Z

Cálculo do tempo de colisão

← Edição anterior		Edição das 19h38min de 26 de junho de 2016
Linha 126:		Linha 126:
	===Cálculo do tempo de colisão===		===Cálculo do tempo de colisão===
	Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o calculo do tempo mínimo entre as colisões. No entanto, como será mostrado a seguir, isso não é necessário e o cálculo permanece o mesmo.<br>		Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o calculo do tempo mínimo entre as colisões. No entanto, como será mostrado a seguir, isso não é necessário e o cálculo permanece o mesmo.<br>
	Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: <math>\|r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt)\| = \sigma</math>, e que <math>r_{i}(t+dt) = r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2}</math> e <math>r_{j}(t+dt) = r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:<br>		Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: <math>\|\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt)\| = \sigma</math>, e que <math>\vec{r}_{i}(t+dt) = \vec{r}_{i} + \vec{v}_{i}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math> e <math>\vec{r}_{j}(t+dt) = \vec{r}_{j} + \vec{v}_{j}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:<br>
	<math>(r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br>		<math>(\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br>
	<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2(r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2})(r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}) + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math>		<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2(r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2})(r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}) + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math>
	<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{i}r_{j} -2r_{i}v_{j}dt -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{j}v_{i}dt -2v_{i}v_{j}dt^2 -2v_{i}g\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}g\frac{dt^3}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br>		<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{i}r_{j} -2r_{i}v_{j}dt -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{j}v_{i}dt -2v_{i}v_{j}dt^2 -2v_{i}g\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}g\frac{dt^3}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br>
	Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br>		Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br>
	<math>r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br>		<math>r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br>
	Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o <math>dt_{min}</math>, onde ficou definido <math>\Delta r = r_{i} - r_{j}</math> e <math>\Delta v = v_{i} - v_{j}</math>:<br>		Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o <math>dt_{min}</math>, onde ficou definido <math>\Delta \vec{r} = \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j}</math> e <math>\Delta \vec{v} = \vec{v}_{i} - \vec{v}_{j}</math> na seção anterior:<br>
	<math>(r_{i} - r_{j})^2 + (v_{i} - v_{j})^2dt^2 + 2(r_{i} - r_{j})(v_{i} - v_{j})dt -\sigma^2 = 0</math><br>		<math>(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})^2 + (\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})^2dt^2 + 2(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt -\sigma^2 = 0</math><br>

	=== Implementação ===		=== Implementação ===
	Como este campo só atua na componente <math>y</math>, basta modificar as linha de código da seção anterior para adicionar um termo de tempo quadrático à variação da posição assim a linha de código fica:		Como este campo só atua na componente <math>y</math>, basta modificar as linha de código da seção anterior para adicionar um termo de tempo quadrático à variação da posição assim a linha de código fica:

Esteves: /* Adição do campo gravitacional */

2016-06-26T22:22:08Z

Adição do campo gravitacional

← Edição anterior		Edição das 19h22min de 26 de junho de 2016
Linha 124:		Linha 124:
	Vale lembrar que campo gravitacional aqui computado gera uma força central, ou seja, é radial em relação a cada partícula do sistema, de modo que só há força atuando na direção <math>y</math>, no sentido negativo de <math>y</math>.<br>		Vale lembrar que campo gravitacional aqui computado gera uma força central, ou seja, é radial em relação a cada partícula do sistema, de modo que só há força atuando na direção <math>y</math>, no sentido negativo de <math>y</math>.<br>
	Também é importante lembrar que aqui é desconsiderado a interação gravitacional entre quaisquer duas partículas, uma vez que assume-se que massas são pequenas e desprezíveis em frente a massa que forma o campo em que estão imersas.<br>		Também é importante lembrar que aqui é desconsiderado a interação gravitacional entre quaisquer duas partículas, uma vez que assume-se que massas são pequenas e desprezíveis em frente a massa que forma o campo em que estão imersas.<br>
	Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o calculo do tempo mínimo ~~de interação~~ entre as colisões. No entanto, como será mostrado a seguir, isso não é necessário e cálculo permanece o mesmo.<br>		===Cálculo do tempo de colisão===
			Uma preocupação que alguém pode ter com a adição de um campo gravitacional na simulação seria de que seria necessário mudar o calculo do tempo mínimo entre as colisões. No entanto, como será mostrado a seguir, isso não é necessário e o cálculo permanece o mesmo.<br>
	Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: <math>\|r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt)\| = \sigma</math>, e que <math>r_{i}(t+dt) = r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2}</math> e <math>r_{j}(t+dt) = r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:<br>		Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: <math>\|r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt)\| = \sigma</math>, e que <math>r_{i}(t+dt) = r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2}</math> e <math>r_{j}(t+dt) = r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}</math>, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:<br>
	<math>(r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br>		<math>(r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br>
Linha 131:		Linha 132:
	Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br>		Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br>
	<math>r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br>		<math>r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br>
	Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o <math>dt_{min}</math>:<br>		Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o <math>dt_{min}</math>, onde ficou definido <math>\Delta r = r_{i} - r_{j}</math> e <math>\Delta v = v_{i} - v_{j}</math>:<br>
	<math>(r_{i} - r_{j})^2 + (v_{i} - v_{j})^2dt^2 + 2(r_{i} - r_{j})(v_{i} - v_{j})dt -\sigma^2 = 0</math><br>		<math>(r_{i} - r_{j})^2 + (v_{i} - v_{j})^2dt^2 + 2(r_{i} - r_{j})(v_{i} - v_{j})dt -\sigma^2 = 0</math><br>
	Como este campo só atua na componente <math>y</math>, basta modificar as linha de código da ~~sessão~~ anterior para adicionar um termo de tempo quadrático à variação da posição assim a linha de código fica:		=== Implementação ===
			Como este campo só atua na componente <math>y</math>, basta modificar as linha de código da seção anterior para adicionar um termo de tempo quadrático à variação da posição assim a linha de código fica:
	<pre>		<pre>
	yy[i] = yy[i] + vy[i]delta_t - gdelta_t*delta_t/2;		yy[i] = yy[i] + vy[i]delta_t - gdelta_t*delta_t/2;

Esteves: /* Adição do campo gravitacional */

2016-06-26T22:11:12Z

Adição do campo gravitacional

← Edição anterior		Edição das 19h11min de 26 de junho de 2016
Linha 128:		Linha 128:
	<math>(r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br>		<math>(r_{i}(t+dt) - r_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2</math><br>
	<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2(r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2})(r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}) + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math>		<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2(r_{i} + v_{i}dt + g\frac{dt^2}{2})(r_{j} + v_{j}dt + g\frac{dt^2}{2}) + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{4} + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math>
	<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{i}r_{j} -2r_{i}v_{j}dt -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{j}v_{i}dt -2v_{i}v_{j}dt^2 -2v_{i}g\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}g\frac{dt^3}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math>		<math>r_{i}^2 + v_{i}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}v_{i}dt + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{i}r_{j} -2r_{i}v_{j}dt -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{j}v_{i}dt -2v_{i}v_{j}dt^2 -2v_{i}g\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}g\frac{dt^3}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + r_{j}^2 + v_{j}^2dt^2 + 2r_{j}v_{j}dt + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2</math><br>
	Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br>		Reajeitando os termos antes da simplificação final:<br>
	<math>r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br>		<math>r_{i}^2 -2r_{i}r_{j} + r_{j}^2 + v_{i}^2dt^2 -2v_{i}v_{j}dt^2 + v_{j}^2dt^2 + g^2\frac{dt^4}{2} -g^2\frac{dt^4}{2} + 2r_{i}g\frac{dt^2}{2} -2r_{i}g\frac{dt^2}{2} + 2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2v_{i}\frac{dt^3}{2} -2r_{j}g\frac{dt^2}{2} + 2r_{j}g\frac{dt^2}{2} -2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2v_{j}\frac{dt^3}{2} + 2r_{i}(v_{i} - v_{j})dt -2r_{j}(v_{i} - v_{j})dt = \sigma^2</math><br>