Corda Vibrante - Histórico de revisão

Gustavoguesser: /* Notas */

2024-04-25T18:32:42Z

Notas

← Edição anterior		Edição das 18h32min de 25 de abril de 2024
Linha 767:		Linha 767:
	<ref name="y_periodica"> Note que <math> y_n </math> é periódica no tempo com período <math> \frac{2L}{nc} </math>.</ref>		<ref name="y_periodica"> Note que <math> y_n </math> é periódica no tempo com período <math> \frac{2L}{nc} </math>.</ref>

	<ref name="freq_nat"> As quantidades <math> \frac{n \pi a}{L} </math> são chamadas de frequências naturais da corda; o fator <math> \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} </math> é chamado modo natural de vibração e o período de modo natural de vibração <math> \frac{2L}{n} </math> é chamado de comprimento de onda.		<ref name="freq_nat"> As quantidades <math> \frac{n \pi c}{L} </math> são chamadas de frequências naturais da corda; o fator <math> \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} </math> é chamado modo natural de vibração e o período de modo natural de vibração <math> \frac{2L}{n} </math> é chamado de comprimento de onda.
	</ref>		</ref>

Gustavoguesser: /* Notas */

2024-04-25T18:32:20Z

Notas

← Edição anterior		Edição das 18h32min de 25 de abril de 2024
Linha 765:		Linha 765:
	</ref>		</ref>

	<ref name="y_periodica"> Note que <math> y_n </math> é periódica no tempo com período <math> \frac{2L}{na} </math>.</ref>		<ref name="y_periodica"> Note que <math> y_n </math> é periódica no tempo com período <math> \frac{2L}{nc} </math>.</ref>

	<ref name="freq_nat"> As quantidades <math> \frac{n \pi a}{L} </math> são chamadas de frequências naturais da corda; o fator <math> \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} </math> é chamado modo natural de vibração e o período de modo natural de vibração <math> \frac{2L}{n} </math> é chamado de comprimento de onda.		<ref name="freq_nat"> As quantidades <math> \frac{n \pi a}{L} </math> são chamadas de frequências naturais da corda; o fator <math> \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} </math> é chamado modo natural de vibração e o período de modo natural de vibração <math> \frac{2L}{n} </math> é chamado de comprimento de onda.

Joshuakipper: /* Método Explícito */

2024-04-25T18:31:04Z

Método Explícito

← Edição anterior		Edição das 18h31min de 25 de abril de 2024
Linha 385:		Linha 385:
	==== Método Explícito ====		==== Método Explícito ====

	Para aplicar o método, é necessário inicialmente discretizar tanto as variáveis espaciais quanto as variáveis temporais. Seja a função <math> y(t,x): \mathbb{R}^{2} \mapsto \mathbb{R} </math>, sejam os intervalos <math> \left [ 0,X \right ], \left [ 0,T \right ]\subset \mathbb{R} </math> e <math> N,M\in \mathbb{N} </math>, discretizamos os intervalos em espaçamentos iguais <math> \Delta x = X/N </math>, <math> \Delta t = T/M </math> de tal maneira que obtemos as sequências crescentes monótonas <math>\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{N} </math> e <math>\left \{ t_{i} \right \}_{j=0}^{M} </math> . Assim obtemos uma grade de malhas de pontos <math> (t_{i}, x_{i}) </math> onde a função <math> y(t,x) </math> tem seus valores aproximados por <math> y(t_{i}, x_{i}) </math> denotado <math> y_{j}^{n} </math>. Uma abordagem comum envolve a discretização da primeira derivada no tempo utilizando uma diferença finita progressiva baseada na expansão em séries de Taylor até a primeira ordem :		Para aplicar o método, é necessário inicialmente discretizar tanto as variáveis espaciais quanto as variáveis temporais. Seja a função <math> y(t,x): \mathbb{R}^{2} \mapsto \mathbb{R} </math>, sejam os intervalos <math> \left [ 0,X \right ], \left [ 0,T \right ]\subset \mathbb{R} </math> e <math> N,M\in \mathbb{N} </math>, discretizamos os intervalos em espaçamentos iguais <math> \Delta x = X/N </math>, <math> \Delta t = T/M </math> de tal maneira que obtemos as sequências crescentes monótonas <math>\left \{ x_{j} \right \}_{j=0}^{N} </math> e <math>\left \{ t_{i} \right \}_{i=0}^{M} </math> . Assim obtemos uma grade de malhas de pontos <math> (t_{n}, x_{j}) </math> onde a função <math> y(t,x) </math> tem seus valores aproximados por <math> y(t_{n}, x_{j}) </math> denotado <math> y_{j}^{n} </math>. Uma abordagem comum envolve a discretização da primeira derivada no tempo utilizando uma diferença finita progressiva baseada na expansão em séries de Taylor até a primeira ordem :

	<center>		<center>

Gustavoguesser: /* Dedução */

2024-04-25T18:29:43Z

Dedução

← Edição anterior		Edição das 18h29min de 25 de abril de 2024
Linha 7:		Linha 7:

	=== Dedução ===		=== Dedução ===
	Consideremos uma corda esticada, como a corda de um violão, por exemplo. Suponhamos que esta corda tenha um comprimento <math> L </math> e que suas extremidades estejam fixas nos pontos <math> x = 0 </math> e <math> x = L </math>. Além disso, vamos supor que a corda tenha uma densidade linear uniforme representada por <math> \mu = \frac{dm}{dx} </math>, e que esteja sob uma tensão constante <math> T </math>.		Consideremos uma corda esticada, como a corda de um violão, por exemplo. Suponhamos que esta corda tenha um comprimento <math> L </math> e que suas extremidades estejam fixas nos pontos <math> x = 0 </math> e <math> x = L </math>. Além disso, vamos supor que a corda tenha uma densidade linear uniforme representada por <math> \mu = \frac{\Delta{m}}{\Delta{x}} </math>, e que esteja sob uma tensão constante <math> T </math>.

	Assumindo que a corda realize vibrações transversais apenas na direção <math> y </math> (embora possa ter vibrações transversais na direção <math> z </math>, as quais vamos ignorar aqui), podemos representar a configuração da corda em qualquer instante de tempo no plano <math> xy </math> por uma função <math> y(x,t) </math>.		Assumindo que a corda realize vibrações transversais apenas na direção <math> y </math> (embora possa ter vibrações transversais na direção <math> z </math>, as quais vamos ignorar aqui), podemos representar a configuração da corda em qualquer instante de tempo no plano <math> xy </math> por uma função <math> y(x,t) </math>.

Gustavoguesser: /* Solução Analítica */

2024-04-25T17:42:42Z

Solução Analítica

← Edição anterior		Edição das 17h42min de 25 de abril de 2024
Linha 259:		Linha 259:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	T'' + {\omega}^2 T = 0, \ \omega = \frac{n \pi a}{L},		T'' + {\omega}^2 T = 0, \ \omega = \frac{n \pi c}{L},
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Linha 299:		Linha 299:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	y_n (x,t) = \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{(\omega t)} = \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{\left(\frac{n \pi a t}{L} \right)},		y_n (x,t) = \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{(\omega t)} = \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{\left(\frac{n \pi c t}{L} \right)},
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Linha 310:		Linha 310:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	y(x,t) = \sum^{\infty}_{n=1} c_n \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{\left(\frac{n \pi a t}{L} \right)}		y(x,t) = \sum^{\infty}_{n=1} c_n \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{\left(\frac{n \pi c t}{L} \right)}
	</math>		</math>
	</center>		</center>
Linha 351:		Linha 351:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	y(x,t) = \sum^{\infty}_{n=1} c_n \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{\left(\frac{n \pi a t}{L} \right)},		y(x,t) = \sum^{\infty}_{n=1} c_n \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{\left(\frac{n \pi c t}{L} \right)},
	</math>		</math>
	<ref name="freq_nat"/>		<ref name="freq_nat"/>

Gustavoguesser: /* Método Explícito */

2024-04-24T19:12:26Z

Método Explícito

← Edição anterior		Edição das 19h12min de 24 de abril de 2024
Linha 535:		Linha 535:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2}\left ( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \epsilon L^{2}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right ) - b\frac{\partial y}{\partial t} \mapsto y_{j}^{n+1} = \left [ \left (2 - 2a^{2} - 6\epsilon a^{2}E^{2} - F \right )y_{j}^{n} - y_{j}^{n-1} + a^{2}\left ( 1 + 4\epsilon E^{2} \right ) \left ( y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} \right ) - \epsilon a^{2}E^{2} \left ( y_{j+2}^{n} + y_{j-2}^{n} \right ) \right ]\left (\frac{1}{1-F} \right )		\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2}\left ( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \epsilon L^{2}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right ) - 2b\frac{\partial y}{\partial t} \mapsto y_{j}^{n+1} = \left [ \left (2 - 2a^{2} - 6\epsilon a^{2}E^{2} - F \right )y_{j}^{n} - y_{j}^{n-1} + a^{2}\left ( 1 + 4\epsilon E^{2} \right ) \left ( y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} \right ) - \epsilon a^{2}E^{2} \left ( y_{j+2}^{n} + y_{j-2}^{n} \right ) \right ]\left (\frac{1}{1-F} \right )
	</math>		</math>
	</center>		</center>

Gustavoguesser: /* Adaptação da equação da onda para uma corda real */

2024-04-24T19:11:15Z

Adaptação da equação da onda para uma corda real

← Edição anterior		Edição das 19h11min de 24 de abril de 2024
Linha 365:		Linha 365:

	=== Adaptação da equação da onda para uma corda real ===		=== Adaptação da equação da onda para uma corda real ===
			Até o presente momento, tudo que foi apresentado diz respeito a uma corda ideal. Como é de se esperar, cordas reais terão algumas perdas por atrito (amortecimento) e também uma rigidez. Para termos ideia de como se dá esse comportamento real, adicionaremos esses novos dois termos na composição da nossa equação da onda:

	<center>		<center>
	<math>		<math>
	\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2}\left ( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \epsilon L^{2}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right ) - 2b\frac{\partial y}{\partial t}		\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2}\left ( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \epsilon L^{2}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right ) - 2b\frac{\partial y}{\partial t} \Leftrightarrow y_{tt} = c^2 (y_{xx} - \epsilon L^2 y_{xxxx}) - 2b y_t,
	</math>		</math>
	</center>		</center>

	## o termo 4º vem da rigidez da corda e o epsilon ~~controla a rigidez~~		onde o termo da derivada de 4ª ordem vem da rigidez da corda, o qual é controlado por <math> \epsilon </math>, <math> L </math> é o comprimento da corda e <math> -2b y_t </math> é o amortecimento sofrido pela corda ao longo do tempo de propagação da onda.
	## -2b é o amortecimento
			Utilizaremos essa equação futuramente para compreensão visual do comportamento de uma corda mais próxima da realidade.

	== Método FTCS ==		== Método FTCS ==

Marcospasa: /* Potência espectral */

2024-04-24T13:40:19Z

Potência espectral

← Edição anterior		Edição das 13h40min de 24 de abril de 2024
Linha 649:		Linha 649:

	=== Potência espectral ===		=== Potência espectral ===
	Adiante vamos ver que o sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da mesma, digamos em <math>x=x_o</math>, então a função que representa ~~esse~~ sinal é <math>y(x_o, t)</math>. Como estamos interessados nas frequências que compõem o sinal, será calculado a transformada de fourier de <math>y(x_o, t)</math> e definido que a potência da frequência <math>f = \omega/(2\pi)</math> é <math>a_\omega^2 + b_\omega^2</math>. A potência em função da frequência é o resultado da análise espectral.		Adiante vamos ver que o sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da mesma, digamos em <math>x=x_o</math>, então a função que representa o sinal é <math>y(x_o, t)</math>. Como estamos interessados nas frequências que compõem o sinal, será calculado a transformada de fourier de <math>y(x_o, t)</math> e definido que a potência da frequência <math>f = \omega/(2\pi)</math> é <math>a_\omega^2 + b_\omega^2</math>. A potência em função da frequência é o resultado da análise espectral.

	== Simulando uma corda de violão ==		== Simulando uma corda de violão ==

Marcospasa: /* Estabilidade */

2024-04-24T11:15:13Z

Estabilidade

← Edição anterior		Edição das 11h15min de 24 de abril de 2024
Linha 506:		Linha 506:
	Embora <math> a \leq 1 </math> garante a estabilidade do processo, <math> a = 1 </math> é a melhor escolha possível para a estabilidade do método, pelos seguintes motivos :		Embora <math> a \leq 1 </math> garante a estabilidade do processo, <math> a = 1 </math> é a melhor escolha possível para a estabilidade do método, pelos seguintes motivos :
	* Quando <math> a = 1 </math>, os termos de ordem superior que são descartados na discretização da equação da onda são amplamente cancelados. Essa compensação implica que o método numérico se torna mais estável e menos suscetível a erros numéricos significativos, ou seja, não ocorrerão variações abruptas devido aos termos de ordem maiores;		* Quando <math> a = 1 </math>, os termos de ordem superior que são descartados na discretização da equação da onda são amplamente cancelados. Essa compensação implica que o método numérico se torna mais estável e menos suscetível a erros numéricos significativos, ou seja, não ocorrerão variações abruptas devido aos termos de ordem maiores;
	* Quando <math> a = 1 </math>, a perturbação na corda se propaga exatamente um passo espacial a cada passo de tempo. Esse comportamento assegura que a velocidade da perturbação seja adequadamente representada pelo algoritmo numérico. Isso ocorre devido a relação entre a velocidade física da corda <math> c </math> e a velocidade da perturbação <math> v = \Delta x / \Delta t </math>.		* Quando <math> a = 1 </math>, a perturbação na corda se propaga exatamente um passo espacial a cada passo de tempo. Esse comportamento assegura que a velocidade da perturbação seja adequadamente representada pelo algoritmo numérico. Isso ocorre devido a relação entre a velocidade física da corda <math> c </math> e a velocidade da perturbação <math> v = \Delta x / \Delta t </math>. A animação abaixo contém soluções da equação da onda ideal, obtidas utilizando o método FTCS com diferentes a's. Nela fica bem claro que a velocidade de propagação das ondas na solução para <math>a=0,5</math> é metade da solução para <math>a=1</math>

	[[Arquivo:Different_ks.gif\|frame\|center\|~~Animação da solução da~~ equação da onda com ~~um pacote gaussiano como condição inicial~~.]]		[[Arquivo:Different_ks.gif\|frame\|center\|Soluções obtidas para a equação da onda ideal com diferentes a's.]]

	<center>		<center>

Marcospasa em 11h07min de 24 de abril de 2024

2024-04-24T11:07:15Z

← Edição anterior		Edição das 11h07min de 24 de abril de 2024
Linha 507:		Linha 507:
	* Quando <math> a = 1 </math>, os termos de ordem superior que são descartados na discretização da equação da onda são amplamente cancelados. Essa compensação implica que o método numérico se torna mais estável e menos suscetível a erros numéricos significativos, ou seja, não ocorrerão variações abruptas devido aos termos de ordem maiores;		* Quando <math> a = 1 </math>, os termos de ordem superior que são descartados na discretização da equação da onda são amplamente cancelados. Essa compensação implica que o método numérico se torna mais estável e menos suscetível a erros numéricos significativos, ou seja, não ocorrerão variações abruptas devido aos termos de ordem maiores;
	* Quando <math> a = 1 </math>, a perturbação na corda se propaga exatamente um passo espacial a cada passo de tempo. Esse comportamento assegura que a velocidade da perturbação seja adequadamente representada pelo algoritmo numérico. Isso ocorre devido a relação entre a velocidade física da corda <math> c </math> e a velocidade da perturbação <math> v = \Delta x / \Delta t </math>.		* Quando <math> a = 1 </math>, a perturbação na corda se propaga exatamente um passo espacial a cada passo de tempo. Esse comportamento assegura que a velocidade da perturbação seja adequadamente representada pelo algoritmo numérico. Isso ocorre devido a relação entre a velocidade física da corda <math> c </math> e a velocidade da perturbação <math> v = \Delta x / \Delta t </math>.

			[[Arquivo:Different_ks.gif\|frame\|center\|Animação da solução da equação da onda com um pacote gaussiano como condição inicial.]]

	<center>		<center>