Clusterização - Histórico de revisão

Mgteus: /* Conclusão */

2021-10-13T20:32:53Z

Conclusão

← Edição anterior		Edição das 17h32min de 13 de outubro de 2021
Linha 175:		Linha 175:

	== Conclusão ==		== Conclusão ==
			Conclui-se então que os resultados obtidos com o códigos produzidos estão, de certa forma, de acordo com o esperado e fez-se possível elucidar as diferenças entre as duas dinâmicas dos algoritmos (Metropolis e Wolff) mostrando os pontos positivos do algoritmo de Wolff e as razões pelas quais se sai melhor na geração de dados estatisticamente independentes do modelo de Ising 2D. Todos os códigos, imagens e gifs gerados para esta apresentação estão disponíveis em: https://github.com/mgteus/MonteCarlo.

	== Referências ==		== Referências ==

Mgteus em 20h28min de 13 de outubro de 2021

2021-10-13T20:28:38Z

← Edição anterior		Edição das 17h28min de 13 de outubro de 2021
Linha 173:		Linha 173:

	</source>		</source>

			== Conclusão ==


	== Referências ==		== Referências ==

Mgteus: /* Série Temporal para a medida de magnetização */

2021-10-13T20:28:08Z

Série Temporal para a medida de magnetização

← Edição anterior		Edição das 17h28min de 13 de outubro de 2021
Linha 105:		Linha 105:
	\|-		\|-
	\|}		\|}
	Podemos observar na figura 1 medidas da magnetização usando o algoritmo de Wolff e o algoritmo de Metropolis para um sistema Ising 2D de mesmo tamanho (16x16) na temperatura crítica (<math>T_c=2.269J</math>). Nota-se que o algoritmo de Wolff explora o espaço de fase ao redor dessa temperatura em muito menos passos que o algoritmo de Metropolis, sendo mais eficiente para se obter medidas precisas ao redor dessa região.		Podemos observar na figura acima medidas da magnetização usando o algoritmo de Wolff e o algoritmo de Metropolis para um sistema Ising 2D de mesmo tamanho (16x16) na temperatura crítica (<math>T_c=2.269J</math>). Nota-se que o algoritmo de Wolff explora o espaço de fase ao redor dessa temperatura em muito menos passos que o algoritmo de Metropolis, sendo mais eficiente para se obter medidas precisas ao redor dessa região.

	Na figura 2 podemos observar esse mesmo sistema para um número menor de passos. É possível notar que para que o algoritmo de Metropolis inverta os clusters de spins alinhados a fim de chegar nos mesmos limites dos valores de magnetização há uma demora muito maior de tempo, que se deve à sua dinâmica de single spin flip. Nesse caso, enquanto Wolff já explora o espaço de fase ao redor de T_c em menos de 100 passos, Metropolis precisa de pelo menos 600 passos.		Na figura abaixo podemos observar esse mesmo sistema para um número menor de passos. É possível notar que para que o algoritmo de Metropolis inverta os clusters de spins alinhados a fim de chegar nos mesmos limites dos valores de magnetização há uma demora muito maior de tempo, que se deve à sua dinâmica de single spin flip. Nesse caso, enquanto Wolff já explora o espaço de fase ao redor de T_c em menos de 100 passos, Metropolis precisa de pelo menos 600 passos.

	Esse comportamento é o que esperamos dado a desaceleração crítica (critical slowing down), onde a medida que o sistema aumenta de tamanho se torna mais difícil de gerar configurações estatisticamente independentes [3]. Os clusters do algoritmo de Wolff mitigam esse efeito, sendo um sistema muito eficiente para eliminar correlações não locais.		Esse comportamento é o que esperamos dado a desaceleração crítica (critical slowing down), onde a medida que o sistema aumenta de tamanho se torna mais difícil de gerar configurações estatisticamente independentes [3]. Os clusters do algoritmo de Wolff mitigam esse efeito, sendo um sistema muito eficiente para eliminar correlações não locais.

Mgteus: /* Propriedades do Algoritmo de Wolff */

2021-10-13T20:25:44Z

Propriedades do Algoritmo de Wolff

@@ Linha 95: / Linha 95: @@
 |-
 |[[Arquivo:FCs.jpeg|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|Gráfico de <math>C_s</math> em função de <math>T</math>|800px]]
 |-
 |}

Mgteus: /* Algoritmo de Wolf */

2021-10-13T20:18:16Z

Algoritmo de Wolf

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Linha 65:		Linha 65:
	\|-		\|-
	\|}		\|}


	== Simulações ==		== Simulações ==

Mgteus: /* Animações */

2021-10-13T20:15:16Z

Animações

← Edição anterior		Edição das 17h15min de 13 de outubro de 2021
Linha 72:		Linha 72:
	!colspan="3"\|Animações do algoritmo de Wolff em função da Temperatura <math>T</math>.		!colspan="3"\|Animações do algoritmo de Wolff em função da Temperatura <math>T</math>.
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:TC-.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação para temperatura abaixo da temperatura crítica <math>T_c</math>.\|~~500px~~]]		\|[[Arquivo:TC-.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação para temperatura abaixo da temperatura crítica <math>T_c</math>.\|550px]]
	\|[[Arquivo:hTC.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação na temperatura crítica <math>T_c</math>.\|~~500px~~]]		\|[[Arquivo:hTC.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação na temperatura crítica <math>T_c</math>.\|550px]]
	\|[[Arquivo:TC+.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação para tempetura acima da temperatura crítica <math>T_c</math>.\|~~500px~~]]		\|[[Arquivo:TC+.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Simulação para tempetura acima da temperatura crítica <math>T_c</math>.\|550px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}

Mgteus: /* Propriedades do Algoritmo de Wolff */

2021-10-13T20:14:43Z

Propriedades do Algoritmo de Wolff

← Edição anterior		Edição das 17h14min de 13 de outubro de 2021
Linha 84:		Linha 84:
	!colspan="1"\|Probabilidade em função da temperatura.		!colspan="1"\|Probabilidade em função da temperatura.
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:Prob.jpeg\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Gráfico da probabilidade de aceitação <math>P_{add}</math> em função de <math>T</math>\|~~300px~~]]		\|[[Arquivo:Prob.jpeg\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Gráfico da probabilidade de aceitação <math>P_{add}</math> em função de <math>T</math>\|800px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}
Linha 95:		Linha 95:
	!colspan="1"\|Gráfico de <math>C_s</math>.		!colspan="1"\|Gráfico de <math>C_s</math>.
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:FCs.jpeg\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Gráfico de <math>C_s</math> em função de <math>T</math>\|~~300px~~]]		\|[[Arquivo:FCs.jpeg\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|Gráfico de <math>C_s</math> em função de <math>T</math>\|800px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}

Mgteus: /* Propriedades do Algoritmo de Wolff */

2021-10-13T20:14:07Z

Propriedades do Algoritmo de Wolff

@@ Linha 88: / Linha 88: @@
 |}
 Neste gráfico temos a probabilidade de um spin que possui a mesma orientação que o sítio inicial escolhido ser aceito e adicionado ao cluster em função da temperatura da rede. É de se esperar que conforme a temperatura aumente a probabilidade do spin ser adicionado ao cluster diminua e para temperaturas mais baixas espera-se o contrário. Com base nisso, podemos formular a ideia do tamanho médio dos cluster (<math>C_s</math>) que é invertido durante os passos de Monte Carlo em função da temperatura e associar este tamanho com a fração representada por este na rede.
 == Códigos Fonte ==

Mgteus: /* P_{add}\;= \;1 - e^{-2\beta J} */

2021-10-13T20:11:20Z

P_{add}\;= \;1 - e^{-2\beta J}

← Edição anterior		Edição das 17h11min de 13 de outubro de 2021
Linha 80:		Linha 80:
	== Propriedades do Algoritmo de Wolff ==		== Propriedades do Algoritmo de Wolff ==
	=== <math>P_{add}\;= \;1 - e^{-2\beta J} </math> ===		=== <math>P_{add}\;= \;1 - e^{-2\beta J} </math> ===
			Nas animações acima, pode-se perceber que a temperatura tem papel importante na dinâmica apresentada em decorrência da forma com a qual está relacionada a probabilidade <math>P_{add}</math>, como podemos ver o gráfico a seguir:
	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="1"\|Probabilidade em função da temperatura.		!colspan="1"\|Probabilidade em função da temperatura.
Linha 86:		Linha 87:
	\|-		\|-
	\|}		\|}
			Neste gráfico temos a probabilidade de um spin que possui a mesma orientação que o sítio inicial escolhido ser aceito e adicionado ao cluster em função da temperatura da rede. É de se esperar que conforme a temperatura aumente a probabilidade do spin ser adicionado ao cluster diminua e para temperaturas mais baixas espera-se o contrário. Com base nisso, podemos formular a ideia do tamanho médio dos cluster (<math>C_s</math>) que é invertido durante os passos de Monte Carlo em função da temperatura e associar este tamanho com a fração representada por este na rede.

	== Códigos Fonte ==		== Códigos Fonte ==

Mgteus: /* Expoentes Críticos */

2021-10-13T19:57:52Z

Expoentes Críticos

← Edição anterior		Edição das 16h57min de 13 de outubro de 2021
Linha 28:		Linha 28:
	Sabendo a temperatura crítica do sistema (para Ising 2D, <math>T_c = 2.269J</math> é possível usar a relação <math>\tau \sim L^z</math> para medir <math>z</math> por meio de simulações onde a temperatura do sistema é igual à temperatura crítica para vários tamanhos diferentes de <math>L</math>, plotando <math>\tau</math> versus <math>L</math> em escala logarítmica. A inclinação da reta que liga todos esses pontos nos dá o valor de <math>z</math>.		Sabendo a temperatura crítica do sistema (para Ising 2D, <math>T_c = 2.269J</math> é possível usar a relação <math>\tau \sim L^z</math> para medir <math>z</math> por meio de simulações onde a temperatura do sistema é igual à temperatura crítica para vários tamanhos diferentes de <math>L</math>, plotando <math>\tau</math> versus <math>L</math> em escala logarítmica. A inclinação da reta que liga todos esses pontos nos dá o valor de <math>z</math>.

	Por meio desse método, temos que o <math>z</math> do algoritmo de Metropolis é <math>z = 2.1655 \pm 0.0012</math> e o <math>z</math> do algoritmo de Wolff (um algoritmo de clusterização) é <math>z = 0.25 \pm 0.001</math>.		Por meio desse método, temos que o <math>z</math> do algoritmo de Metropolis é <math>z = 2.1655 \pm 0.0012</math> [5] e o <math>z</math> do algoritmo de Wolff (um algoritmo de clusterização) é <math>z = 0.25 \pm 0.001</math> [6].

	O motivo do tempo grande do algoritmo de Metropolis é a divergência do tamanho de correlação <math>\xi</math> próximo da temperatura crítica. Ao se aproximar de <math>T_c</math>, grandes regiões se formam onde todos os spins estão alinhados, e é demorado para que o algoritmo ~~''flipe''~~ essas regiões, dado que ele inverte os spins sítio por sítio.		O motivo do tempo grande do algoritmo de Metropolis é a divergência do tamanho de correlação <math>\xi</math> próximo da temperatura crítica. Ao se aproximar de <math>T_c</math>, grandes regiões se formam onde todos os spins estão alinhados, e é demorado para que o algoritmo inverta essas regiões, dado que ele inverte os spins sítio por sítio.

	Algoritmos de cluster, como o de Wolff, fazem uso da técnica de clusterização. Com isso, os algoritmos encontram agrupam spins alinhados em clusters que apontam para a mesma direção e invertem os spins desse cluster ao mesmo tempo. Algoritmos de clusterização permitem uma exploração mais efetivo do espaço de fase próximo da temperatura crítica por serem mais eficientes e de precisarem de menos iterações para terem medidas precisas.		Algoritmos de cluster, como o de Wolff, fazem uso da técnica de clusterização. Com isso, os algoritmos encontram agrupam spins alinhados em clusters que apontam para a mesma direção e invertem os spins desse cluster ao mesmo tempo. Algoritmos de clusterização permitem uma exploração mais efetivo do espaço de fase próximo da temperatura crítica por serem mais eficientes e de precisarem de menos iterações para terem medidas precisas.