Tekkito: Criou página com 'Em muitas simulações, a condição inicial do sistema de agentes é uma distribuição uniforme de riquezas, com valores compreendidos entre 0 e 1. O valor do índice Gini ness...'

2011-09-19T18:34:39Z

Criou página com 'Em muitas simulações, a condição inicial do sistema de agentes é uma distribuição uniforme de riquezas, com valores compreendidos entre 0 e 1. O valor do índice Gini ness...'

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Em muitas simulações, a condição inicial do sistema de agentes é uma distribuição uniforme de riquezas, com valores compreendidos entre 0 e 1. O valor do índice Gini nessas condições é calculado abaixo.

Iniciamos com a definição do índice Gini. Para um sistema composto por <math>N</math> agentes, temos

<center>
<math>
G \equiv {1 \over (N-1) \sum_{i=1}^{N} w_i} \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=j+1}^N \left| w_j - w_k \right|
</math>
</center>

Queremos calcular o valor médio de <math>G</math> quando a distribuição for uniforme, ou seja,

<center>
<math>
\begin{matrix}

\left \langle G \right \rangle &=& \left \langle {1 \over (N-1) \sum_{i=1}^{N} w_i} \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=j+1}^N \left| w_j - w_k \right| \right \rangle \\
& & \\
& = & {1 \over (N-1) \left \langle \sum_{i=1}^{N} w_i \right \rangle} \left \langle \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=j+1}^N \left| w_j - w_k \right| \right \rangle \\
& & \\
& = & {1 \over (N-1) \sum_{i=1}^{N} \left \langle w_i \right \rangle} \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=j+1}^N \left \langle \left| w_j - w_k \right| \right \rangle \\

\end{matrix}
</math>
</center>

Temos, portanto, duas médias para calcular. A primeira é a riqueza média dos agentes, <math>\left \langle w_i \right \rangle</math>, que pode ser intuída pelo fato de que a distribuição inicial de riqueza é uniforme entre 0 e 1. Com isso, é claro que

<center>
<math>\left \langle w_i \right \rangle = {1 \over 2}</math>
</center>

A outra, mais trabalhosa, é a média sobre a diferença de riqueza entre todos os pares possíveis de agentes: <math>\left \langle \left| w_j - w_k \right| \right \rangle</math>.

Lembramos primeiro da definição de valor médio de uma variável aleatória contínua <math>x \;</math> sobre o intervalo <math>\left \lbrack 0, 1 \right \rbrack</math>:

<center>
<math>\left \langle x \right \rangle = \int \limits_{0}^{1} x \, P(x) \, dx</math>
</center>

sendo <math>P(x) \;</math> a função densidade de probabilidade associada à variável <math>x \;</math> sobre o intervalo. Analogamente,

<center>
<math>\left \langle x^2 \right \rangle = \int \limits_{0}^{1} x^2 \, P(x) \, dx</math>
</center>

Se <math>y \;</math> também for uma variável aleatória contínua, teremos

<center>
<math>
\left \langle xy \right \rangle = \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1} x \, P(x) \, y \, P(y) \, dx \,dy
</math>
</center>

Agora, temos que calcular <math>\left \langle \left| w_j - w_k \right| \right \rangle</math>, o que implica resolver

<center>
<math>
\left \langle \left| y - x \right| \right \rangle = \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1} \left| y - x \right| \, dx \,dy
</math>
</center>

Note que como a distribuição inicial de riqueza é uniforme e o intervalo de riqueza é <math>\left \lbrack 0, 1 \right \rbrack</math>, tanto <math>P(x) \,</math> como <math>P(y) \,</math> equivalem à unidade. O problema é que não podemos integrar diretamente o módulo no integrando. Temos que considerar os dois casos possíveis:

<center>
<math>
\left| y - x \right| =
\begin{cases}
y - x, \; \; \; y > x \\
x - y, \; \; \; y < x
\end{cases}
</math>
</center>

A integral dupla pode ser resolvida em duas partes, uma para cada caso. Consideremos então o caso <math>y > x</math>. Se a integral em <math>y</math> "varrer" todo o intervalo, a integral em <math>x</math> só poderá varrer o pedaço do intervalo entre 0 e <math>y</math>, pois somente assim satisfaremos <math>y > x</math> sempre. Portanto, o primeiro caso conduz a

<center>
<math>
\int \limits_{0}^{1} dy \int \limits_{0}^{y} \left( y - x \right) \, dx = {1 \over 6}
</math>
</center>

Usando um raciocínio análogo, reparamos que para o caso <math>x > y</math>, a integral em <math>x</math> deverá varrer valores suficientemente grandes, que sempre sejam superiores a <math>y</math>, conduzindo a

<center>
<math>
\int \limits_{0}^{1} dy \int \limits_{y}^{1} \left( x - y \right) \, dx = {1 \over 6}
</math>
</center>

Com isso,

<center>
<math>
\left \langle \left| y - x \right| \right \rangle = {1 \over 6} + {1 \over 6} = {1 \over 3}
</math>
</center>

Substituindo os resultados obtidos na expressão de <math>\left \langle G \right \rangle \;</math>, temos

<center>
<math>
\begin{matrix}

\left \langle G \right \rangle & = & {1 \over (N-1) \sum_{i=1}^{N} 1/2} \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=j+1}^N 1/3 \\
& & \\
& = & {2 \over 3(N-1)N} \sum_{j=1}^{N-1} (N-j) \\
& & \\
& = & {2 \over 3(N-1)N} \left( N \sum_{j=1}^{N-1} - \sum_{j=1}^{N-1} j \right) \\
& & \\
& = & {2 \over 3(N-1)N} \left( N \left( N-1 \right) - {N \left( N-1 \right) \over 2} \right) \\
& & \\
& = & {2 \over 3(N-1)N} \left( {N \left( N-1 \right) \over 2} \right) \\
& & \\
& = & 1/3 \\

\end{matrix}
</math>
</center>

Note que usamos a "famosa fórmula" para a soma das bolinhas empilhadas em forma de triângulo:

<center>
<math>\sum_{i = 1}^{n} i = {n \left( n + 1 \right) \over 2}</math>
</center>

Cálculo do valor inicial do índice Gini (Gaspar) - Histórico de revisão

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