Belousov-Zhabotinsky - Histórico de revisão

Erhonaragao: /* Oregonator */

2021-04-08T06:18:14Z

Oregonator

← Edição anterior		Edição das 03h18min de 8 de abril de 2021
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	Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>, e seus respectivos valores típicos são <math>\epsilon \approx 10^{-2}</math>,<math>\epsilon ' \approx 10^{-5}</math> e <math>q \approx 10^{-4}</math>. Como o parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math> (que é obtido através de reações experimentais), é possível ver que y muda na escala do tempo de forma muito mais rápida que as demais variaveis, e então, assumimos que <math>y(h,t)</math> é sempre determinado pelos valores instantâneos de <math>x</math> e <math>z</math>, e assim, reescrevemos y como <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math>:. Deste modo, as equações são reduzidas para <ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>:		Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k_{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>, e seus respectivos valores típicos são <math>\epsilon \approx 10^{-2}</math>,<math>\epsilon ' \approx 10^{-5}</math> e <math>q \approx 10^{-4}</math>. Como o parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math> (que é obtido através de reações experimentais), é possível ver que y muda na escala do tempo de forma muito mais rápida que as demais variaveis, e então, assumimos que <math>y(h,t)</math> é sempre determinado pelos valores instantâneos de <math>x</math> e <math>z</math>, e assim, reescrevemos y como <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math>:. Deste modo, as equações são reduzidas para <ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>:

Erhonaragao: /* Resultados */

2021-04-07T09:35:49Z

Resultados

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	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math> <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>		!colspan="3"\|Analise da concentração de u com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math> <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
			\|-
			\|[[Arquivo:U00000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|t = 0.\|300px]]
			\|[[Arquivo:U12000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|t = 12000.\|300px]]
			\|[[Arquivo:U25000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|t = 25000.\|300px]]
			\|-
			\|[[Arquivo:U38000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|t = 38000.\|300px]]
			\|[[Arquivo:U50000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|t = 50000.\|300px]]
			\|[[Arquivo:U63000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|t = 63000.\|300px]]
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:~~U20k~~.~~gif~~\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|~~BZ da concentração de <math> u </math> até~~ t = ~~20k~~.\|~~500px~~]]		\|[[Arquivo:U75000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|t = 75000.\|300px]]
	\|[[Arquivo:~~V20k~~.~~gif~~\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|~~BZ da concentração de <math> v </math> até~~ t = ~~20k~~.\|~~500px~~]]		\|[[Arquivo:U88000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|t = 88000.\|300px]]
			\|[[Arquivo:U100000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|t = 100000.\|300px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}



Linha 137:		Linha 145:
	!colspan="2"\|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math> <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>		!colspan="2"\|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math> <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:~~U90000~~.~~png~~\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|BZ da concentração de <math> u </math> ~~com~~ t = ~~90k~~.\|500px]]		\|[[Arquivo:U20k.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|BZ da concentração de <math> u </math> até t = 20k.\|500px]]
	\|[[Arquivo:~~V90000~~.~~png~~\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|BZ da concentração de <math> v </math> ~~com~~ t = ~~90k~~.\|500px]]		\|[[Arquivo:V20k.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|BZ da concentração de <math> v </math> até t = 20k.\|500px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}


	== Programas Utilizados ==		== Programas Utilizados ==

Erhonaragao em 06h57min de 7 de abril de 2021

2021-04-07T06:57:31Z

← Edição anterior		Edição das 03h57min de 7 de abril de 2021
Linha 63:		Linha 63:


	Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math> (que é obtido através de reações experimentais), é possível ver que y muda na escala do tempo de forma muito mais rápida que as demais variaveis, e então, assumimos que <math>y(h,t)</math> é sempre determinado pelos valores instantâneos de <math>x</math> e <math>z</math>, e assim, reescrevemos y~~<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>~~ como <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math>. Deste modo, as equações são reduzidas para:		Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>, e seus respectivos valores típicos são <math>\epsilon \approx 10^{-2}</math>,<math>\epsilon ' \approx 10^{-5}</math> e <math>q \approx 10^{-4}</math>. Como o parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math> (que é obtido através de reações experimentais), é possível ver que y muda na escala do tempo de forma muito mais rápida que as demais variaveis, e então, assumimos que <math>y(h,t)</math> é sempre determinado pelos valores instantâneos de <math>x</math> e <math>z</math>, e assim, reescrevemos y como <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math>:. Deste modo, as equações são reduzidas para <ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>:


Linha 104:		Linha 104:


	:<math> \epsilon \frac{u_{~~i,j~~}^{n+1} - u_{~~i,j~~}^{n}}{\Delta t}= u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+f_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)</math>		:<math> \epsilon \frac{u_{C}^{n+1} - u_{C}^{n}}{\Delta t}= u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+f_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)</math>

	:<math> u_{~~i,j~~}^{n+1} - u_{~~i,j~~}^{n}= \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)\right]\frac{\Delta t}{\epsilon}</math>		:<math> u_{C}^{n+1} - u_{C}^{n}= \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)\right]\frac{\Delta t}{\epsilon}</math>

	:<math> u_{~~i,j~~}^{n+1} = u_{C} + \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)\right]\frac{\Delta t}{\epsilon}</math>		:<math> u_{C}^{n+1} = u_{C} + \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)\right]\frac{\Delta t}{\epsilon}</math>


Linha 114:		Linha 114:


	:<math> \frac{v_{~~i,j~~}^{n+1} - v_{~~i,j~~}^{n}}{\Delta t}= u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}}\right) </math>		:<math> \frac{v_{C}^{n+1} - v_{C}^{n}}{\Delta t}= u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}}\right) </math>

	:<math> v_{~~i,j~~}^{n+1} - v_{~~i,j~~}^{n}= \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}} \right)\right] \Delta t </math>		:<math> v_{C}^{n+1} - v_{C}^{n}= \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}} \right)\right] \Delta t </math>

	:<math> v_{~~i,j~~}^{n+1} = v_{C} + \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}} \right)\right] \Delta t </math>		:<math> v_{C}^{n+1} = v_{C} + \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}} \right)\right] \Delta t </math>

Erhonaragao em 06h28min de 7 de abril de 2021

2021-04-07T06:28:38Z

← Edição anterior		Edição das 03h28min de 7 de abril de 2021
Linha 6:		Linha 6:

	== Oregonator ==		== Oregonator ==
	Oregonator<ref name=Paper>Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO<sub>3</sub> <sup>-</sup>, B = 5CH<sub>2</sub>(COOH)<sub>2</sub>; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)<sub>2</sub> (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO<sub>2</sub>; Y = Br<sup>-</sup>; Z = forma oxidada do catalisador e f ~~= Coeficiente~~ estequiométrico.		Oregonator<ref name=Paper>Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO<sub>3</sub> <sup>-</sup>, B = 5CH<sub>2</sub>(COOH)<sub>2</sub>; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)<sub>2</sub> (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO<sub>2</sub>; Y = Br<sup>-</sup>; Z = forma oxidada do catalisador e f é o coeficiente estequiométrico. Observamos também. suas respectivas equações de taxa, onde v é a taxa da reação e k<sub>i</sub> corresponde às constantes de taxa de reação:

	{\|		{\|
	\| \|\| \|\| A + Y \|\| <math>\longrightarrow</math> \|\| X + P		\| \|\| \|\| A + Y \|\| <math>\longrightarrow</math> \|\| X + P \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y]
	\|-		\|-
	\| \|\| \|\| X + Y \|\| <math>\longrightarrow</math> \|\| 2 P		\| \|\| \|\| X + Y \|\| <math>\longrightarrow</math> \|\| 2 P \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y]
	\|-		\|-
	\| \|\| \|\| A + X \|\| <math>\longrightarrow</math> \|\| 2 X + 2 Z		\| \|\| \|\| A + X \|\| <math>\longrightarrow</math> \|\| 2 X + 2 Z \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X]
	\|-		\|-
	\|		\|
	\|		\|
	\| align="right"\|2 X		\| align="right"\|2 X
	\| <math>\longrightarrow</math> \|\| A + P		\| <math>\longrightarrow</math> \|\| A + P \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup>
	\|-		\|-
	\|		\|
	\|		\|
	\| align="right" \| B + Z		\| align="right" \| B + Z
	\| <math>\longrightarrow</math> \|\| <math>\frac{1}{2}f</math> Y		\| <math>\longrightarrow</math> \|\| <math>\frac{1}{2}f</math> Y \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z]
	\|}		\|}

	~~Aplicando, então, as equações de taxa, onde v é a taxa da reação e k<sub>i</sub> corresponde às constantes de taxa de reação:~~

	{\|
	\| \|\| \|\| v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y] \|\| \|\| \|\|, \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y] \|\| \|\| \|\|, \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X] \|\| \|\| \|\|, \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup> \|\| \|\| \|\|, \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z].
	\|}

	Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:		Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:
Linha 67:		Linha 62:


	Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math>, é possível ~~considerar a aproximação~~ do ~~estado estacionário da variável~~ y<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>
	~~, portanto,~~ <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math> ~~então~~ as equações são ~~reduzidos~~ para:		Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math> (que é obtido através de reações experimentais), é possível ver que y muda na escala do tempo de forma muito mais rápida que as demais variaveis, e então, assumimos que <math>y(h,t)</math> é sempre determinado pelos valores instantâneos de <math>x</math> e <math>z</math>, e assim, reescrevemos y<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref> como <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math>. Deste modo, as equações são reduzidas para:


	: <math> \epsilon \frac{dx}{dt}= x(1-x) + f\frac{q-x}{q+x}z </math>		: <math> \epsilon \frac{dx}{dt}= x(1-x) + f\frac{q-x}{q+x}z </math>

Erhonaragao em 01h36min de 7 de abril de 2021

2021-04-07T01:36:32Z

← Edição anterior		Edição das 22h36min de 6 de abril de 2021
Linha 3:		Linha 3:
	A reação de Belousov-Zhabotinsky<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref> <ref name=Paper>Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO<sub>3</sub><sup>−</sup> + 5CH<sub>2</sub>(CO<sub>2</sub>H)<sub>2</sub> + 3H<sup>+</sup> → 3BrCH(CO<sub>2</sub>H)<sub>2</sub> + 4CO<sub>2</sub> + 5H<sub>2</sub>O + 2CH<sub>2</sub>O<sub>2</sub>, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico. A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.		A reação de Belousov-Zhabotinsky<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref> <ref name=Paper>Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO<sub>3</sub><sup>−</sup> + 5CH<sub>2</sub>(CO<sub>2</sub>H)<sub>2</sub> + 3H<sup>+</sup> → 3BrCH(CO<sub>2</sub>H)<sub>2</sub> + 4CO<sub>2</sub> + 5H<sub>2</sub>O + 2CH<sub>2</sub>O<sub>2</sub>, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico. A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.

	[[Arquivo:BZReaction.gif\|thumb\|center\|none\|alt=Alt text\|Reação de Belousov-Zhabotinsky em uma placa de Petri.\|480px]]		[[Arquivo:BZReaction.gif\|thumb\|center\|none\|alt=Alt text\|Reação de Belousov-Zhabotinsky em uma placa de Petri.<ref name=BZGif>https://gfycat.com/uk/discover/belousov-zhabotinsky-reaction-gifs</ref>\|480px]]

	== Oregonator ==		== Oregonator ==

Erhonaragao em 00h20min de 7 de abril de 2021

2021-04-07T00:20:25Z

← Edição anterior		Edição das 21h20min de 6 de abril de 2021
Linha 29:		Linha 29:

	{\|		{\|
	\| \|\| \|\| v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y] \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y] \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X] \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup> \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z]		\| \|\| \|\| v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y] \|\| \|\| \|\|, \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y] \|\| \|\| \|\|, \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X] \|\| \|\| \|\|, \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup> \|\| \|\| \|\|, \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z].
	\|}		\|}

	Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:		Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:

	: <math>\frac{d [X]}{d\tau}= k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + k_{3} [A] [X] - 2k_{4} [X]^2 </math>		{\|
	: <math>\frac{d [Y]}{d\tau}= -k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + \frac{1}{2}f k_5 [B] [Z]</math>		\| <math>\frac{d [X]}{d\tau}= k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + k_{3} [A] [X] - 2k_{4} [X]^2 </math>
	: <math>\frac{d [Z]}{d\tau}= 2k_{3} [A] [X] - k_5 [B] [Z] </math>		\|-
			\|
			\|-
			\| <math>\frac{d [Y]}{d\tau}= -k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + \frac{1}{2}f k_5 [B] [Z]</math>
			\|-
			\|
			\|-
			\| <math>\frac{d [Z]}{d\tau}= 2k_{3} [A] [X] - k_5 [B] [Z] </math>
			\|}



	A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:		A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:
Linha 46:		Linha 56:
	A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:		A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:

	{\|
	~~\| \|\| \|\|~~ <math>\~~tfrac~~{dx}{dt} = \~~tfrac~~{qy - xy + x(1-x)}{\epsilon}~~</math>\|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| <math>~~\~~tfrac~~{dy}{dt} = \~~tfrac~~{-qy - xy + fz}{\epsilon '}~~</math> \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| <math>~~\~~tfrac~~{dz}{dt} = x - z</math>
	\|}		<math>
			\begin{cases}
			\frac{dx}{dt} = \frac{qy - xy + x(1-x)}{\epsilon}\\
			\frac{dy}{dt} = \frac{-qy - xy + fz}{\epsilon '}\\
			\frac{dz}{dt} = x - z\\
			\end{cases}
			</math>


	Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math>, é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>		Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math>, é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>

Erhonaragao em 00h06min de 7 de abril de 2021

2021-04-07T00:06:32Z

Vitorrauber em 16h58min de 30 de março de 2021

2021-03-30T16:58:31Z

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Linha 61:		Linha 61:
	: <math> \epsilon \frac{du}{dt}= u(1-u) + f\frac{q-u}{q+u}v + D_{u} \nabla^{2}u</math>		: <math> \epsilon \frac{du}{dt}= u(1-u) + f\frac{q-u}{q+u}v + D_{u} \nabla^{2}u</math>
	: <math>\frac{dv}{dt}= u-v + D_{v} \nabla^{2}v</math>		: <math>\frac{dv}{dt}= u-v + D_{v} \nabla^{2}v</math>




	== Implementação ==		== Implementação ==
Linha 88:		Linha 85:
	De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:		De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:
	:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f_{R}+f_{L}+f_{U}+f_{D}-4f_{C}}{dh^{2}} </math>		:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f_{R}+f_{L}+f_{U}+f_{D}-4f_{C}}{dh^{2}} </math>


	=== Aplicação dos Métodos para a Reação de Belousov-Zhabotinsky ===		=== Aplicação dos Métodos para a Reação de Belousov-Zhabotinsky ===
Linha 108:		Linha 106:

	:<math> v_{i,j}^{n+1} = v_{C} + \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}} \right)\right] Dt </math>		:<math> v_{i,j}^{n+1} = v_{C} + \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}} \right)\right] Dt </math>

Vitorrauber em 16h54min de 30 de março de 2021

2021-03-30T16:54:14Z

← Edição anterior		Edição das 13h54min de 30 de março de 2021
Linha 137:		Linha 137:


			== Programas Utilizados ==
			[[Simulaçao Belousov-Zhabotinsky]]

	== Referências ==		== Referências ==

Vitorrauber: /* Programas Utilizados */

2021-03-30T16:53:11Z

Programas Utilizados

← Edição anterior		Edição das 13h53min de 30 de março de 2021
Linha 137:		Linha 137:



	~~== Programas Utilizados ==~~

	~~[[ Simulaçao Belousov-Zhabotinsky ]]~~

	== Referências ==		== Referências ==

← Edição anterior		Edição das 21h06min de 6 de abril de 2021
Linha 82:		Linha 82:
	Como o código para Belousov-Zhabotinsky terá apenas 2 dimensões o <math> \Delta f(h,t) </math> ficará da seguinte forma:		Como o código para Belousov-Zhabotinsky terá apenas 2 dimensões o <math> \Delta f(h,t) </math> ficará da seguinte forma:
	:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}</math>		:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}</math>
	:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f(x+dh,y,t)+f(x-dh,y,t)+f(x,y+dh,t)+f(x,y-dh,t)-4f(x,y,t)}{dh^{2}} </math>		:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f(x+dh,y,t)+f(x-dh,y,t)+f(x,y+dh,t)+f(x,y-dh,t)-4f(x,y,t)}{\Delta h^{2}} </math>
	De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:		De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:
	:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f_{R}+f_{L}+f_{U}+f_{D}-4f_{C}}{dh^{2}} </math>		:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f_{R}+f_{L}+f_{U}+f_{D}-4f_{C}}{\Delta h^{2}} </math>


Linha 91:		Linha 91:


	:<math> \epsilon \frac{u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^{n}}{Dt}= u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+f_{U}+u_{D}-4u_{C}}{Dh^{2}}\right)</math>		:<math> \epsilon \frac{u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^{n}}{\Delta t}= u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+f_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)</math>

	:<math> u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^{n}= \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{Dh^{2}}\right)\right]\frac{Dt}{\epsilon}</math>		:<math> u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^{n}= \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)\right]\frac{\Delta t}{\epsilon}</math>

	:<math> u_{i,j}^{n+1} = u_{C} + \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{Dh^{2}}\right)\right]\frac{Dt}{\epsilon}</math>		:<math> u_{i,j}^{n+1} = u_{C} + \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)\right]\frac{\Delta t}{\epsilon}</math>


Linha 101:		Linha 101:


	:<math> \frac{v_{i,j}^{n+1} - v_{i,j}^{n}}{Dt}= u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}}\right) </math>		:<math> \frac{v_{i,j}^{n+1} - v_{i,j}^{n}}{\Delta t}= u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}}\right) </math>

	:<math> v_{i,j}^{n+1} - v_{i,j}^{n}= \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}} \right)\right] Dt </math>		:<math> v_{i,j}^{n+1} - v_{i,j}^{n}= \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}} \right)\right] \Delta t </math>

	:<math> v_{i,j}^{n+1} = v_{C} + \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}} \right)\right] Dt </math>		:<math> v_{i,j}^{n+1} = v_{C} + \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}} \right)\right] \Delta t </math>


Linha 112:		Linha 112:

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, ~~1.0e~~^{-3}, 1)</math> <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>		!colspan="2"\|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math> <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:U20k.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|BZ da concentração de <math> u </math> até t = 20k.\|500px]]		\|[[Arquivo:U20k.gif\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|BZ da concentração de <math> u </math> até t = 20k.\|500px]]
Linha 122:		Linha 122:

	{\| class="wikitable" style="text-align: center;"		{\| class="wikitable" style="text-align: center;"
	!colspan="2"\|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, ~~1.0e~~^{-3}, 1)</math> <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>		!colspan="2"\|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math> <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
	\|-		\|-
	\|[[Arquivo:U90000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|BZ da concentração de <math> u </math> t = 90k.\|500px]]		\|[[Arquivo:U90000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|BZ da concentração de <math> u </math> com t = 90k.\|500px]]
	\|[[Arquivo:V90000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|BZ da concentração de <math> v </math> t = 90k.\|500px]]		\|[[Arquivo:V90000.png\|thumb\|upright=4\|none\|alt=Alt text\|BZ da concentração de <math> v </math> com t = 90k.\|500px]]
	\|-		\|-
	\|}		\|}