Amostragem de Wang-Landau - Histórico de revisão

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

2022-10-19T04:25:51Z

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

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	<math>\varepsilon(X) = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,		<math>\varepsilon(X) = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,

	onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>. Para as Figs. 1,2,3,4,5,6 os valores exatos estão sobrepostos aos valores obtidos em simulação como uma linha pontilhada.		onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig. 1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>. Para as Figs. 1,2,3,4,5,6 os valores exatos estão sobrepostos aos valores obtidos em simulação como uma linha pontilhada.

	[[Arquivo: erickStateDensity2.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]		[[Arquivo: erickStateDensity2.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

2022-10-19T04:25:27Z

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

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	Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por		Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

	<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>		<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>,

	onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão		onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

Erickc em 04h24min de 19 de outubro de 2022

2022-10-19T04:24:28Z

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	<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>		<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

	para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.		para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas, na Fig. 2 vemos exemplos destas distribuições.
	Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]		Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

2022-10-19T04:20:53Z

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

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Linha 128:		Linha 128:
	<math>\varepsilon(X) = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,		<math>\varepsilon(X) = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,

	onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.		onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>. Para as Figs. 1,2,3,4,5,6 os valores exatos estão sobrepostos aos valores obtidos em simulação como uma linha pontilhada.

	[[Arquivo: erickStateDensity2.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]		[[Arquivo: erickStateDensity2.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

2022-10-19T04:18:54Z

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

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	onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão		onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

	<math>\~~epsilon~~(X) = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,		<math>\varepsilon(X) = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,

	onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.		onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

2022-10-19T04:18:14Z

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

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Linha 126:		Linha 126:
	onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão		onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

	<math>\epsilon{X} = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,		<math>\epsilon(X) = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,

	onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.		onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

2022-10-19T04:17:56Z

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

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	Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por		Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

	<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>		<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

	onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão		onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

	<math>\epsilon{X} = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,		<math>\epsilon{X} = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,

	onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.		onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

2022-10-19T04:17:37Z

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

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Linha 128:		Linha 128:
	<math>\epsilon{X} = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,		<math>\epsilon{X} = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,

	onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para um parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.		onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

	[[Arquivo: erickStateDensity2.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]		[[Arquivo: erickStateDensity2.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

2022-10-19T04:17:26Z

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

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Linha 128:		Linha 128:
	<math>\epsilon{X} = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,		<math>\epsilon{X} = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,

	onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.		onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para um parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

	[[Arquivo: erickStateDensity2.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]		[[Arquivo: erickStateDensity2.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

2022-10-19T04:17:06Z

Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau

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Linha 128:		Linha 128:
	<math>\epsilon{X} = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,		<math>\epsilon{X} = \frac{\|X_{sim}-X_{exato}\|}{X_{exato}}</math>,

	onde $X_{sim}$ é o valor obtido na simulação e $X_{exato}$ é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.		onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

	[[Arquivo: erickStateDensity2.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]		[[Arquivo: erickStateDensity2.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]