Algoritmo de Wang-Landau - Histórico de revisão

Rafabel: /* Conclusões */

2021-12-04T21:13:41Z

Conclusões

← Edição anterior		Edição das 21h13min de 4 de dezembro de 2021
Linha 139:		Linha 139:
	==Conclusões==		==Conclusões==

	~~asdfasdf~~		O algoritmo de Wang-Landau é uma ferramenta eficiente para o cálculo direto da densidade de estados para grandes sistemas. A alta precisão do método se dá pela modificação da estimativa em cada etapa do passeio aleatório no espaço de energia <math> E </math> e pelo controle cuidadoso do fator de modificação <math> f </math>.

			Diferentemente das simulações convencionais de MC, quantidades termodinâmicas como a energia livre de Helmholtz estão diretamente disponíveis uma vez que, usando a densidade de estados, essas quantidades podem ser calculadas essencialmente a qualquer temperatura.

			É importante ressaltar que o método de Wang-Landau não está limitado ao passeio aleatório no espaço de energia ou a modelos simples em redes pequenas. Ele pode ser aplicado a qualquer parâmetro e também se mostra eficiente para sistemas grandes, como sistemas complexos gerais com paisagens irregulares.

	==Código==		==Código==

Rafabel: /* Magnetização */

2021-12-04T21:13:30Z

Magnetização

← Edição anterior		Edição das 21h13min de 4 de dezembro de 2021
Linha 129:		Linha 129:
	==Magnetização==		==Magnetização==

	Na presença de um campo magnético externo <math>h</math>, o hamiltoniano do modelo de Ising 2D é dado por <math>\mathcal{H} =-\sum_{\langle i,j\rangle} \sigma_i \sigma_j - h \sum_{i=1} \sigma_i</math>, onde <math> M' = \sum_{i=1} \sigma_i </math> é a magnetização e <math>E' =-\sum_{\~~left<~~i,j\~~right>~~} \sigma_i \sigma_j </math> é a energia de troca.		Na presença de um campo magnético externo <math>h</math>, o hamiltoniano do modelo de Ising 2D é dado por <math>\mathcal{H} =-\sum_{\langle i,j\rangle} \sigma_i \sigma_j - h \sum_{i=1} \sigma_i</math>, onde <math> M' = \sum_{i=1} \sigma_i </math> é a magnetização e <math>E' =-\sum_{\langle i,j\rangle} \sigma_i \sigma_j </math> é a energia de troca.

	A diferença para o algoritmo anterior é que o passeio aleatório agora é executando tanto na energia <math> E' </math> quanto no parâmetro de ordem <math> M' </math>, e um histograma 2D <math> H(E',M') </math> é acumulado.		A diferença para o algoritmo anterior é que o passeio aleatório agora é executando tanto na energia <math> E' </math> quanto no parâmetro de ordem <math> M' </math>, e um histograma 2D <math> H(E',M') </math> é acumulado.

Rafabel: /* Magnetização */

2021-12-04T21:13:14Z

Magnetização

← Edição anterior		Edição das 21h13min de 4 de dezembro de 2021
Linha 129:		Linha 129:
	==Magnetização==		==Magnetização==

	Na presença de um campo magnético externo <math>h</math>, o hamiltoniano do modelo de Ising 2D é dado por <math>\mathcal{H} =-\sum_{\~~left<~~i,j\~~right>~~} \sigma_i \sigma_j - h \sum_{i=1} \sigma_i</math>, onde <math> M' = \sum_{i=1} \sigma_i </math> é a magnetização e <math>E' =-\sum_{\left<i,j\right>} \sigma_i \sigma_j </math> é a energia de troca.		Na presença de um campo magnético externo <math>h</math>, o hamiltoniano do modelo de Ising 2D é dado por <math>\mathcal{H} =-\sum_{\langle i,j\rangle} \sigma_i \sigma_j - h \sum_{i=1} \sigma_i</math>, onde <math> M' = \sum_{i=1} \sigma_i </math> é a magnetização e <math>E' =-\sum_{\left<i,j\right>} \sigma_i \sigma_j </math> é a energia de troca.

	A diferença para o algoritmo anterior é que o passeio aleatório agora é executando tanto na energia <math> E' </math> quanto no parâmetro de ordem <math> M' </math>, e um histograma 2D <math> H(E',M') </math> é acumulado.		A diferença para o algoritmo anterior é que o passeio aleatório agora é executando tanto na energia <math> E' </math> quanto no parâmetro de ordem <math> M' </math>, e um histograma 2D <math> H(E',M') </math> é acumulado.

Rafabel: /* Magnetização */

2021-12-04T21:12:54Z

Magnetização

← Edição anterior		Edição das 21h12min de 4 de dezembro de 2021
Linha 129:		Linha 129:
	==Magnetização==		==Magnetização==

	~~asdfasdf~~		Na presença de um campo magnético externo <math>h</math>, o hamiltoniano do modelo de Ising 2D é dado por <math>\mathcal{H} =-\sum_{\left<i,j\right>} \sigma_i \sigma_j - h \sum_{i=1} \sigma_i</math>, onde <math> M' = \sum_{i=1} \sigma_i </math> é a magnetização e <math>E' =-\sum_{\left<i,j\right>} \sigma_i \sigma_j </math> é a energia de troca.

			A diferença para o algoritmo anterior é que o passeio aleatório agora é executando tanto na energia <math> E' </math> quanto no parâmetro de ordem <math> M' </math>, e um histograma 2D <math> H(E',M') </math> é acumulado.

			A função de partição pode ser calculada como <math> Z(T,h)=\sum_{E',M'}g(E',M')e^{-(E'-hM')/k_BT} </math> e, a parir dela, podemos obter quantidades termodinâmicas para todos os valores de temperatura e campo magnético.

			Ainda, a magnetização média do sistema é dada por <math> M(T,h) = \frac{\sum_{E',M'}M'g(E',M')e^{-(E'-hM')/k_BT}}{\sum_{E',M'}g(E',M')e^{-(E'-hM')/k_BT}} </math>.

	==Conclusões==		==Conclusões==

Rafabel em 21h12min de 4 de dezembro de 2021

2021-12-04T21:12:43Z

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Linha 127:		Linha 127:

	[[Arquivo:Fig33.png\|700px\|thumb\|center\| Figura 4: Quantidades termodinâmicas do modelo de Ising 2D com <math> L = 16 </math> calculado a partir da densidade de estados <math> g(E) </math>. Na figura, estão mostrados: (a) energia interna, (b) calor específico, (c) energia livre de Helmholtz e (d) entropia. Os gráficos ''inset'' são os erros relativos.]]		[[Arquivo:Fig33.png\|700px\|thumb\|center\| Figura 4: Quantidades termodinâmicas do modelo de Ising 2D com <math> L = 16 </math> calculado a partir da densidade de estados <math> g(E) </math>. Na figura, estão mostrados: (a) energia interna, (b) calor específico, (c) energia livre de Helmholtz e (d) entropia. Os gráficos ''inset'' são os erros relativos.]]
			==Magnetização==

			asdfasdf

			==Conclusões==

			asdfasdf


	==Código==		==Código==

Rafabel: /* Quantidades termodinâmicas */

2021-12-04T21:11:56Z

Quantidades termodinâmicas

← Edição anterior		Edição das 21h11min de 4 de dezembro de 2021
Linha 124:		Linha 124:
	Testes mais rigorosos de precisão são fornecidos a partir dos erros relativos para as respectivas quantidades termodinâmicas. Os erros relativos são muito pequenos para toda a região de temperatura de <math>k_BT = 0 - 8</math>.		Testes mais rigorosos de precisão são fornecidos a partir dos erros relativos para as respectivas quantidades termodinâmicas. Os erros relativos são muito pequenos para toda a região de temperatura de <math>k_BT = 0 - 8</math>.

	Como o sistema tem uma transição de fase de segunda ordem, a primeira derivada da energia livre é uma função contínua da temperatura. Não há saltos na energia interna ou na entropia, mesmo no limite~~, pois~~ o		Como o sistema tem uma transição de fase de segunda ordem, a primeira derivada da energia livre é uma função contínua da temperatura. Não há saltos na energia interna ou na entropia, mesmo no limite em que o tamanho do sistema vai para o infinito.
	tamanho do sistema vai para o infinito.

	[[Arquivo:Fig33.png\|700px\|thumb\|center\| Figura 4: Quantidades termodinâmicas do modelo de Ising 2D com <math> L = 16 </math> calculado a partir da densidade de estados <math> g(E) </math>. Na figura, estão mostrados: (a) energia interna, (b) calor específico, (c) energia livre de Helmholtz e (d) entropia. Os gráficos ''inset'' são os erros relativos.]]		[[Arquivo:Fig33.png\|700px\|thumb\|center\| Figura 4: Quantidades termodinâmicas do modelo de Ising 2D com <math> L = 16 </math> calculado a partir da densidade de estados <math> g(E) </math>. Na figura, estão mostrados: (a) energia interna, (b) calor específico, (c) energia livre de Helmholtz e (d) entropia. Os gráficos ''inset'' são os erros relativos.]]

Rafabel: /* Distribuição canônica */

2021-12-04T21:11:16Z

Distribuição canônica

← Edição anterior		Edição das 21h11min de 4 de dezembro de 2021
Linha 111:		Linha 111:
	Na Fig. 2, mostramos a distribuição canônica resultante na temperatura crítica <math>T_c</math>, que exibe um único pico.		Na Fig. 2, mostramos a distribuição canônica resultante na temperatura crítica <math>T_c</math>, que exibe um único pico.

	[[Arquivo:~~Dist cano 23~~.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 2: Distribuição canônica <math> P(E,T_c) = g(E)e^{-E/k_BT_c} </math> na temperatura de transição do modelo de Ising 2D com <math> L = 16 </math> e <math> k_BT_c = 2.3 </math>.]]		[[Arquivo:Newdistcano23.png\|400px\|thumb\|center\| Figura 2: Distribuição canônica <math> P(E,T_c) = g(E)e^{-E/k_BT_c} </math> na temperatura de transição do modelo de Ising 2D com <math> L = 16 </math> e <math> k_BT_c = 2.3 </math>.]]

	As distribuições em temperaturas acima e abaixo de <math>T_c</math> também apresentam pico único, conforme ilustrado no detalhe da Fig. 3.		As distribuições em temperaturas acima e abaixo de <math>T_c</math> também apresentam pico único, conforme ilustrado no detalhe da Fig. 3.

Rafabel: /* Densidade de estados */

2021-12-04T21:10:05Z

Densidade de estados

← Edição anterior		Edição das 21h10min de 4 de dezembro de 2021
Linha 99:		Linha 99:
	O histograma <math>H(E)</math> foi considerado plano quando todas as entradas não eram inferiores a 80% da média <math>\langle H(E)\rangle </math>.		O histograma <math>H(E)</math> foi considerado plano quando todas as entradas não eram inferiores a 80% da média <math>\langle H(E)\rangle </math>.

	A densidade absoluta de estados na Fig. 1 é obtida pela condição de que o número de estados fundamentais seja 2 para o modelo de Ising 2D.		A densidade absoluta de estados na Fig. 1 é obtida pela condição de que o número de estados fundamentais seja 2 para o modelo de Ising 2D.

	Com a escala logarítmica usada na Fig. 1, os dados simulados e a solução exata se sobrepõem perfeitamente. Na inserção da Fig. 1, vemos que o erro relativo é, de fato, muito pequeno.		Com a escala logarítmica usada na Fig. 1, os dados simulados e a solução exata se sobrepõem perfeitamente. Na inserção da Fig. 1, vemos que o erro relativo é, de fato, muito pequeno.

Rafabel: /* Densidade de estados */

2021-12-04T21:02:09Z

Densidade de estados

← Edição anterior		Edição das 21h02min de 4 de dezembro de 2021
Linha 95:		Linha 95:
	A estimativa da densidade de estados para <math>L = 16</math> usando a amostragem de Wang-Landau é mostrada na Fig. 1, junto com os resultados exatos de Beale <ref name="beale" />.		A estimativa da densidade de estados para <math>L = 16</math> usando a amostragem de Wang-Landau é mostrada na Fig. 1, junto com os resultados exatos de Beale <ref name="beale" />.

	Os fatores de modificação inicial e final para os passeios aleatórios foram <math>ln(f_0) = 1 e ln(f_{final}) = 10^{−8} </math>.		Os fatores de modificação inicial e final para os passeios aleatórios foram <math>ln(f_0) = 1 e \ln(f_{final}) = 10^{−8} </math>.

	O histograma <math>H(E)</math> foi considerado plano quando todas as entradas não eram inferiores a 80% da média <math>\langle H(E)\rangle </math>.		O histograma <math>H(E)</math> foi considerado plano quando todas as entradas não eram inferiores a 80% da média <math>\langle H(E)\rangle </math>.

Rafabel: /* Algoritmo */

2021-12-04T21:01:55Z

Algoritmo

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Linha 83:		Linha 83:
	3. Modifico a densidade de estados <math> g(E) \to g(E) \times f </math> e atualizo o histograma <math>H(E)</math>;		3. Modifico a densidade de estados <math> g(E) \to g(E) \times f </math> e atualizo o histograma <math>H(E)</math>;

	4. Continuo até o histograma estar ~~reto~~, então diminuo o valor de <math>\~~ln f~~</math> ~~pela metade~~ e reseto o histograma <math>H(E)</math>;		4. Continuo até o histograma estar plano, então diminuo o valor de <math>f</math>, fazendo <math> f_1 = \sqrt{f_0} </math> e reseto o histograma <math>H(E)</math>;

	5. Repito os passos 2-4 até <math> f < 1.00000001 </math>.		5. Repito os passos 2-4 até <math> f < 1.00000001 </math>.