Área 2 - Histórico de revisão

Heitor em 12h16min de 19 de abril de 2016

2016-04-19T12:16:08Z

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Linha 77:		Linha 77:
	Legenda para esta seção:		Legenda para esta seção:

	f'(x) : derivada primeira da função f(x)		f'(x) : derivada primeira da função f(x),
	h = (xb-xa)/N , xa, xb são início e fim do intervalo de intregração respectivamente e N é o número de vezes que este intervalo é dividido.		h = (xb-xa)/N , xa, xb são início e fim do intervalo de intregração respectivamente e N é o número de vezes que este intervalo é dividido.
	Considere as seguintes funções		Considere as seguintes funções

Caca em 18h59min de 21 de maio de 2012

2012-05-21T18:59:29Z

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Linha 78:		Linha 78:

	f'(x) : derivada primeira da função f(x)		f'(x) : derivada primeira da função f(x)
	h = (xb-xa)/N , xa, xb são início e fim do intervalo de ~~intregação~~ respectivamente e N é o número de vezes que este intervalo é dividido.		h = (xb-xa)/N , xa, xb são início e fim do intervalo de intregração respectivamente e N é o número de vezes que este intervalo é dividido.
	Considere as seguintes funções		Considere as seguintes funções

	f(x) = x2 + 6x		<math>f(x) = x^2 + 6x</math>

	g(x) = 1/(x+3)		<math>g(x) = 1/(x+3) </math>

	p(x)=ex/(x3-1)		<math>p(x)=exp(-x)/(x^3-1)</math>


Linha 93:		Linha 93:

	2- Use o mesmo programa feito em (1) para calcular g'(-10), g'(-2).		2- Use o mesmo programa feito em (1) para calcular g'(-10), g'(-2).
	Faça h variar de h=10^-10 até h=1.		Faça h variar de <math>h=10^{-10}</math> até h=1.
	O intervalo de h durante o qual g'(x) é constante é o mesmo para x=-10 e para x=-2? Como você interpreta isto?		O intervalo de h durante o qual g'(x) é constante é o mesmo para x=-10 e para x=-2? Como você interpreta isto?

Linha 111:		Linha 111:


	6 - Aplique o método de Simpson para diversos valores de N. Calcule o erro usando Erro(N) = \|Int(N)-Int(N-1)\|/\|Int(N)\|, onde Int(N) é o valor da integral de g(x) para um dado N. Faça este processo até que o erro atinja um valor mínimo estipulado pelo usuário.		6 - Aplique o método de Simpson para diversos valores de N. Calcule o erro usando Erro(N) = \|Int(N)-Int(N-2)\|/\|Int(N)\|, onde Int(N) é o valor da integral de g(x) para um dado N. Faça este processo até que o erro atinja um valor mínimo estipulado pelo usuário.


Linha 121:		Linha 121:
	2- expanda a expressão f(x) na expressão do trapézio E na expressão do valor exato		2- expanda a expressão f(x) na expressão do trapézio E na expressão do valor exato

	3- compare termo a termo as duas expressões. Você verá que os termos são idênticos até a ordem h2. A partir de h3 eles têm uma diferença.		3- compare termo a termo as duas expressões. Você verá que os termos são idênticos até a ordem <math>h^2</math>. A partir de <math>h^3</math> eles têm uma diferença.


	PS: O algoritmo de Simpson tem um erro da ordem de h5*f(4). O procedimento para demonstração é o mesmo, mas neste é mais longo. Faça se quiser, mas o importante é que você entenda a idéia.		PS: O algoritmo de Simpson tem um erro da ordem de <math>h^5*f(4)</math> . O procedimento para demonstração é o mesmo, mas neste é mais longo. Faça se quiser, mas o importante é que você entenda a idéia.

Ejagnes em 17h26min de 29 de novembro de 2011

2011-11-29T17:26:12Z

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Linha 2:		Linha 2:
	--------------------------		--------------------------

	O que ~~este programa escreve~~ na tela?		O que estes programas escrevem na tela?

	1)		1)
Linha 32:		Linha 32:
	...		...
	</pre>		</pre>


	3) Abaixo você encontra partes de programas. Eles contêm erros. Identifique-os e pense no que você faria para resolvê-los.		3) Abaixo você encontra partes de programas. Eles contêm erros. Identifique-os e pense no que você faria para resolvê-los.
Linha 68:		Linha 69:
	...		...
	</pre>		</pre>



Linha 88:		Linha 90:
	1- Usando o método da derivada à direita, calcule f'(x) nos pontos x=-2 e 2.		1- Usando o método da derivada à direita, calcule f'(x) nos pontos x=-2 e 2.
	Como você sabe se o valor encontrado é correto sem calcular o valor analítico de f'(x) ?		Como você sabe se o valor encontrado é correto sem calcular o valor analítico de f'(x) ?


	2- Use o mesmo programa feito em (1) para calcular g'(-10), g'(-2).		2- Use o mesmo programa feito em (1) para calcular g'(-10), g'(-2).
	Faça h variar de h=10^-10 até h=1.		Faça h variar de h=10^-10 até h=1.
	O intervalo de h durante o qual g'(x) é constante é o mesmo para x=-10 e para x=-2? Como você interpreta isto?		O intervalo de h durante o qual g'(x) é constante é o mesmo para x=-10 e para x=-2? Como você interpreta isto?


	3- Informação: o erro associado ao método da derivada à direita é linear em h, enquanto o método da derivada centrada tem um erro da ordem de h2.		3- Informação: o erro associado ao método da derivada à direita é linear em h, enquanto o método da derivada centrada tem um erro da ordem de h2.

	3a - O que significa isto?		3a - O que significa isto?

	3b - Mostre analiticamente (dica: se baseia no que está feito na complex-wiki e foi discutido em aula)		3b - Mostre analiticamente (dica: se baseia no que está feito na complex-wiki e foi discutido em aula)


	4 - Use o método da derivada centrada para calcular a derivada da função p(x) nos pontos x: -2, 0.5, 2 e 5. Para cada um destes pontos, faça "h" variar bastante (digamos, entre 10-10 e 1) e compare os resultatos num gráfico feito em gnuplot. Faça um gráfico com as curvas p'(x) em todos os pontos pedidos com seus respectivos valores analíticos comparativos. Note que o intervalo para o qual a derivada numérica converge para o seu valor analítico depende da proximidade do valor de x ao ponto de divergência da função g(x). Por quê?		4 - Use o método da derivada centrada para calcular a derivada da função p(x) nos pontos x: -2, 0.5, 2 e 5. Para cada um destes pontos, faça "h" variar bastante (digamos, entre 10-10 e 1) e compare os resultatos num gráfico feito em gnuplot. Faça um gráfico com as curvas p'(x) em todos os pontos pedidos com seus respectivos valores analíticos comparativos. Note que o intervalo para o qual a derivada numérica converge para o seu valor analítico depende da proximidade do valor de x ao ponto de divergência da função g(x). Por quê?
Linha 102:		Linha 109:
	5 - Construa um programa usando o método de Simpson para calcular a integral de g(x) entre -10 e -4.		5 - Construa um programa usando o método de Simpson para calcular a integral de g(x) entre -10 e -4.
	Compare a precisão do resultado obtido com o programa feito em aula onde aplicamos o método do trapézio.		Compare a precisão do resultado obtido com o programa feito em aula onde aplicamos o método do trapézio.


	6 - Aplique o método de Simpson para diversos valores de N. Calcule o erro usando Erro(N) = \|Int(N)-Int(N-1)\|/\|Int(N)\|, onde Int(N) é o valor da integral de g(x) para um dado N. Faça este processo até que o erro atinja um valor mínimo estipulado pelo usuário.		6 - Aplique o método de Simpson para diversos valores de N. Calcule o erro usando Erro(N) = \|Int(N)-Int(N-1)\|/\|Int(N)\|, onde Int(N) é o valor da integral de g(x) para um dado N. Faça este processo até que o erro atinja um valor mínimo estipulado pelo usuário.
Linha 114:		Linha 122:

	3- compare termo a termo as duas expressões. Você verá que os termos são idênticos até a ordem h2. A partir de h3 eles têm uma diferença.		3- compare termo a termo as duas expressões. Você verá que os termos são idênticos até a ordem h2. A partir de h3 eles têm uma diferença.


	PS: O algoritmo de Simpson tem um erro da ordem de h5*f(4). O procedimento para demonstração é o mesmo, mas neste é mais longo. Faça se quiser, mas o importante é que você entenda a idéia.		PS: O algoritmo de Simpson tem um erro da ordem de h5*f(4). O procedimento para demonstração é o mesmo, mas neste é mais longo. Faça se quiser, mas o importante é que você entenda a idéia.

Ejagnes: Criou página com 'A) "tecnicalidades" -------------------------- O que este programa escreve na tela? 1)

 ... j=0; do{ j++; i = 4*j ; printf("i=%d j=%d \n", i, j) ; }while(i<=10) ; printf("...'

2011-11-29T17:17:40Z

Criou página com 'A) "tecnicalidades" -------------------------- O que este programa escreve na tela? 1) <pre> ... j=0; do{ j++; i = 4*j ; printf("i=%d j=%d \n", i, j) ; }while(i<=10) ; printf("...'

Página nova

A) "tecnicalidades"
--------------------------

O que este programa escreve na tela?

1)
<pre>
...
j=0;
do{
j++;
i = 4*j ;
printf("i=%d j=%d \n", i, j) ;
}while(i<=10) ;
printf("\n j=%d \n", j) ;
...
</pre>

2)

<pre>
...
for(j=0 ; j<3 ; j++)
{
printf(" j=%d \n\n", j );
for(i=j; i<3 ; i++)
{
k=i+j ;
printf("i=%d k=%d\n", i, k);
}
}
...
</pre>

3) Abaixo você encontra partes de programas. Eles contêm erros. Identifique-os e pense no que você faria para resolvê-los.

3.a) Ponto a ser observado: uso de variáreis globais e/ou locais

<pre>
...
float A ;
void main()
{
float B ;
operações dentro da função main() ...
}
float Soma()
{
return (A+B);
}
...
</pre>

Como você faria para construir uma função que retornasse a soma de dois números reais?

3.b) Ponto a ser observado: alocação estática de memória

<pre>
...
main()
{
int i;
float mat1[ i ] ;

for (i=0; i<10; i++)
mat1[ i ] = (float)rand()/RAND_MAX ;
}
...
</pre>

B) Derivação e integração numéricas
------------------------------------------------------

Legenda para esta seção:

f'(x) : derivada primeira da função f(x)
h = (xb-xa)/N , xa, xb são início e fim do intervalo de intregação respectivamente e N é o número de vezes que este intervalo é dividido.
Considere as seguintes funções

f(x) = x2 + 6x

g(x) = 1/(x+3)

p(x)=ex/(x3-1)

1- Usando o método da derivada à direita, calcule f'(x) nos pontos x=-2 e 2.
Como você sabe se o valor encontrado é correto sem calcular o valor analítico de f'(x) ?

2- Use o mesmo programa feito em (1) para calcular g'(-10), g'(-2).
Faça h variar de h=10^-10 até h=1.
O intervalo de h durante o qual g'(x) é constante é o mesmo para x=-10 e para x=-2? Como você interpreta isto?

3- Informação: o erro associado ao método da derivada à direita é linear em h, enquanto o método da derivada centrada tem um erro da ordem de h2.
3a - O que significa isto?
3b - Mostre analiticamente (dica: se baseia no que está feito na complex-wiki e foi discutido em aula)

4 - Use o método da derivada centrada para calcular a derivada da função p(x) nos pontos x: -2, 0.5, 2 e 5. Para cada um destes pontos, faça "h" variar bastante (digamos, entre 10-10 e 1) e compare os resultatos num gráfico feito em gnuplot. Faça um gráfico com as curvas p'(x) em todos os pontos pedidos com seus respectivos valores analíticos comparativos. Note que o intervalo para o qual a derivada numérica converge para o seu valor analítico depende da proximidade do valor de x ao ponto de divergência da função g(x). Por quê?

5 - Construa um programa usando o método de Simpson para calcular a integral de g(x) entre -10 e -4.
Compare a precisão do resultado obtido com o programa feito em aula onde aplicamos o método do trapézio.

6 - Aplique o método de Simpson para diversos valores de N. Calcule o erro usando Erro(N) = |Int(N)-Int(N-1)|/|Int(N)|, onde Int(N) é o valor da integral de g(x) para um dado N. Faça este processo até que o erro atinja um valor mínimo estipulado pelo usuário.

7 - Mostre analiticamente que o método do trapézio tem um erro da ordem de f''(x)*h3.
Dica para fazer esta demonstração:

1- escreva a expressão da regra do trapézio para a f(x) E compare-a com o valor exato de uma integral da f(x)

2- expanda a expressão f(x) na expressão do trapézio E na expressão do valor exato

3- compare termo a termo as duas expressões. Você verá que os termos são idênticos até a ordem h2. A partir de h3 eles têm uma diferença.

PS: O algoritmo de Simpson tem um erro da ordem de h5*f(4). O procedimento para demonstração é o mesmo, mas neste é mais longo. Faça se quiser, mas o importante é que você entenda a idéia.