Exibir código-fonte para Equação de Kuramoto–Sivashinsky

Nesta página apresentamos uma simulação de Dinâmica Molecular utilizando o potencial de Lennard-Jones como potencial de interação entre as partículas.

= Equação =

A equação de Kuramoto-Sivashinsky ('''KS''') foi inicialmente proposta por Yoshiki Kuramoto e Gregory Sivashinsky para a modelagem das instabilidades da frente de uma chama laminar.

<center><math> u_t + u_{xx} + u_{xxxx} + \frac{1}{2} u_x^2 = 0 </math></center>

No entanto, a forma diferencial <math> v = u_x </math> da equação foi descoberta independentemente na área de dinâmica de fluidos, onde ficou mais conhecida para a modelagem de filmes finos.

<center><math> v_t + v_{xx} + v_{xxxx} + vv_x = 0 </math></center>

A equação apresenta comportamentos caóticos ao ser estudada em geometrias anelares, ou seja, condições de contorno periódicas; por isso esse será o caso estudado aqui.

= Métodos de Solução =

== Diferenças Finitas (FTCS) ==

O método mais simples foi aplicado a fim de entender o comportamento da equação. Tentativas de linearização resultaram em uma equação de comportamento muito distinto do descrito na literatura; e portanto, não é de nosso interesse estudá-la. É importante relembrar que a aplicação do método FTCS não é recomendado no caso de não linearidades pois o método tem baixa precisão e pode acumular erros.

Como esperado, a solução numérica teve sua estabilidade atrelada à suas condições iniciais; ou seja, a solução é instável (exceto em casos bem específicos, onde ela se comporta de forma análoga à equação da difusão).

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|[[Arquivo:FTCS_instavel.gif|thumb|upright=0.0|center|Solução FTCS de condição inicial <math>\sin{(\frac{\pi x}{20})}^2</math>|500px]]
|[[Arquivo:FTCS_estavel.gif|thumb|upright=0.0|center|Solução FTCS de condição inicial <math>\sin{(\frac{\pi x}{20})}^2</math>|500px]]
|}