Exibir código-fonte para Motility-Induced Phase Separation(MIPS)

'''Grupo: Bernardo Boatini e Murilo Kessler Azambuja'''
==Introdução==

A matéria ativa é um tipo de sistema fora do equilíbrio termodinâmico, onde cada "partícula" ou "agente" do sistema tem a capacidade dissipar energia na forma de forças mecânicas exercidas sobre o ambiente no qual está imerso. Esses sistemas muitas vezes podem exibir vários fenômenos novos, como movimentos coletivos quando exige-se um alinhamento das partículas (Como bio-polímeros que se auto organizam, tipo os microtúbulos que são parte do citoesqueleto celular, ou cardumes de peixe, por exemplo), ou os chamados MIPS (Motility-Induced Phase Separation) que são sistemas que apresentam uma mudança de fase física devido à interações que proíbem a ocupação simultânea de um volume do espaço por duas partículas simultâneas. Nestes sistemas, os agentes possuem a capacidede de auto-propulsão, de forma que a condição de balnço detalhado é quebrada no nível microscópico, uma vez que as partículas possuem uma direção preferencial de movimento.Estes tipos de sistema muitas vezes podem ser tratados a partir de uma abordagem hidrodinâmica, na qual são chamados de fluidos ativos, e divergem do comportamento usual de fluidos compostos de matéria
usual inativa, os quais são descritos pela equação de Navier-Stokes.

Apesar desses sistemas fundamentalmente quebrarem a condição do balanço detalhado, ainda não é claro se o comportamento estatístico universal de sistemas de fluidos ativos necessariamente divergem daqueles de de sistemas em equilíbrio. A investigação de comportamentos universais nestes tipos de sistema, além de ser um interece central na física, também pode nos permitir utilizar conhecimentos já bem conhecidos (como a transição de fase em sistemas de matéria em equilíbrio termodinâmico) para descrever sistemas novos. Neste trabalho foi reproduzido o artigo <ref name=BENJAMIN> https://arxiv.org/pdf/1810.06112.pdf Benjamin Partridge, Chiu Fan Lee, "CRITICAL MOTILITY-INDUCED PHASE SEPARATION BELONGS TO THE ISING UNIVERSALITY CLASS" </ref> onde foi investigada o comportamento crítico de um sistema com MIPS e se viu que este tipo de sistema pertence à classe de universalidade de sistemas em equilíbrio como o modelo de Ising para spin. Para tal, foi utilizada três abordagens diferentes: um modelo hidrodinâmico, uma descrição baseada em teoria de campos e a simulação de um modelo de rede hexagonal.

==Modelo==

O sistema geral que estamos interessados em descrever é constituído de um conjunto de partículas em um meio com friccção, i.e, em um sistema sem conservação de momentum e com interações que não permitem a ocupação simultânea de duas partículas em um mesmo sítio (FIG. 1).

[[Arquivo: foto.png|thumb|upright=2|center|none|alt=Alt text|FIGURA 1: Imagem retirada de <ref NAME = BENJAMIN></ref>. Em (a) vemos a difusão devido à rotação da direção de movimento preferencial da partícula, em (b) temos o "movimento balístico" (seta verde) e a difusão devido à translação da partícula (setas azuis) e, em (c), vemos a interação entre partículas em sítios vizinhos, impedindo a ocupação simultânea do mesmo sítio por duas partículas.]]

Uma forma de modelar este sistema é considerá-lo um fluido ativo polar e compressível sem interações de alinhamento entre partículas, de forma que não se espera observar movimentos coletivos. Tal sistema é descrito de forma contínua pela chamada equação de Toner-Tu.

De um ponto de vista microscópico, podemos usar uma formulação discreta baseada na teoria de campos. Neste caso, consideramos uma rede hexagonal bidimensional, com o numero de ocupação de cada sítio da rede restringido por uma constante <math>M</math> (futuramente diremos que <math>M =1</math>, de forma que apenas uma partícula pode ocupar cada sítio).

===Modelo no Continuo===

As equações de Tuner-Tu são dadas por <ref NAME = BENJAMIN></ref>

<center><math> \partial_t \rho + \nabla \cdot \mathbf{g} = 0, \qquad (1a) </math>

<math> \partial_t \mathbf{g} = -\zeta \nabla\rho - \kappa \mathbf{g} + \mu \nabla^2\mathbf{g} + \mathbf{f}. \qquad (1b) </math>

</center>

Onde <math> \rho </math> é o campo de densidade de massa e <math> \mathbf{g} </math> é o campo de densidade de momentum. A equação (1a) diz respeito à conservação de massa do sistema como um todo. A equação (1b) se assemelha muito à equação de Navier-Stokes, assim podemos ver que o primeiro termo da equação caracteriza a compressibilidade do fluido, o segundo termo representa uma difusão do campo de momentum (o sinal negativo indica que o campo de momentum diminui com o passar do tempo), o terceiro termo representa a viscosidade do fluido e <math> \mathbf{f} </math> é um ruído Gaussiano com estatísticas espaço-temporais dadas por

<center>
<math> \langle \mathbf{f}(t, \mathbf{r}) \rangle = 0,\ \langle\mathbf{f}(t, \mathbf{r})\mathbf{f}(t', \mathbf{r'})\rangle  = 2D \delta(t-t')\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r'}),</math>
</center>
onde <math> D </math> é a intensidade do ruído.

===Modelo no Discreto===

Como já foi dito antes, no modelo discreto é utilizado uma rede bidimensional hexagonal com número de ocupação máximo <math> M </math> para cada sítio da rede. Os agentes são divididos em seis tipos distintos de partículas ativas, cada uma se move em uma direção <math> \theta_i </math> (as diagonais do hexágono) e somente vai saltar para o sítio adjacente ao longo desta direção, com uma taxa que depende da ocupação do sítio em questão. Além disso, é possível que uma partícula se transforme em outra, com uma taxa <math> \sigma </math>, correspondendo assim a um ruído rotacional de cada partícula. Utilizando a notação utilizada em <ref NAME = BENJAMIN> </ref>, temos que a rede hexagonal é caracterizado pelo conjunto de vetores <math> \mathbf{R} </math> e a orientação ou tipo da partícula ativa pelo índice <math> i </math>. Desta forma o número de partículas do tipo <math> i </math> ocupando o sítio <math> \mathbf{R} </math> da rede é denotado por <math> A^{\theta_i}_{\mathbf{R}} </math>. Com o formalismo desenvolvido em <ref name=ALEXANDRE> Disponível em: https://arxiv.org/pdf/0709.1325.pdf Alexandre Lefèvre, Giulio Biroli, "DYNAMICS OF INTERACTING PARTICLE SYSTEMS: STOCHASTIC PROCESS AND FIELD THEORY" </ref>, temos que a teoria de campos nos fornece para o modelo uma ação dada por 

<center>

<math>
S = \int dt \sum_{\mathbf{R}} \Bigg \{ \sum_i \Bigg [ \hat{A}^{\theta_i}_{\mathbf{R}} \partial_t A^{\theta_i}_{\mathbf{R}} \qquad (2a)
</math>

<math>
-\gamma\Big (M-N_{\mathbf{R}+\mathbf{e}_{\theta_i}} \Big ) A^{\theta_i}_{\mathbf{R}} \Big ( e^{ \hat{A}^{\theta_i}_{\mathbf{R}+\mathbf{e}_{\theta_i}} -  \hat{A}^{\theta_i}_{\mathbf{R}}} - 1 \Big ) \Bigg ] \qquad (2b)
</math>

<math>
-\sum_{\langle i,j \rangle} \sigma A^{\theta_i}_{\mathbf{R}} \Big (e^{\hat{A}^{\theta_j}_{\mathbf{R}-\hat{A}{\theta_i}_{\mathbf{R}}}}-1 \Big ) \Bigg \}, \qquad (2c)
</math>

</center>

==Implementação==
Nessa secção serão colocados alguns detalhes da implementação da rede, das medidas e da dinâmica de Monte Carlo.

===Algoritmo===
A dinâmica de Monte Carlo foi implementada de forma que a cada MCS, N partículas do sistema são selecionadas aleatoriamente:

- Primeiramente a partícula decide se vai mudar seu sentido(<math>\theta</math>) sorteando um valor <math>d</math> através de uma distribuição gaussiana centrada em 0, com variância igula a intencidade do ruído <math> \sigma </math>;

- A nova direção é dada por <math>\theta + d.60°</math>;

- Depois disso a partícula tem probabilidade <math> 24/30 </math> de andar para o sitio vizinho naquela direção(se ele estiver vazio);

- Caso a partícula não decida andar naquela direção, ela se desloca na direção de outro sitio vizinho(se ele estiver vazio) sorteado aleatoriamente(emulando o comportamento difusivo).

===Redes Hexagonais===
Em modelos do tipo LGCA(Lattice Gas Celular Automata) o tipo de rede, bem como as topologias usadas, podem ser determinantes para as medidas e caracterizações do estado macroscópico. A simetria hexagonal se mostra uma boa alternativa para aumentar os graus de liberdade de uma partícula numa rede, quando comparada com a simetria quadrada. Na geometria hexagonal, assim como na quadrada, todos os sítios vizinhos possuem uma mesma distancia entre si só que com 6 graus de liberdade ao invés de quatro.

[[Arquivo: Hex_grid.png|thumb|upright=3|center|none|alt=Alt text|FIGURA 2: Imagem adaptada de <ref NAME = CELULAR></ref>. As setas duplas em verde sinalizam os sentidos que seguem trajetórias fechadas passando por só uma borda na topologia "armchair"(a) e "zigzag" (b)]]

Existem duas topologias possíveis em uma rede hexagonal: "zigzag" e "armchair"<ref NAME = CELULAR> HATZIKIROU, Haralambos et al. Extracting cellular automaton rules from physical Langevin equation models for single and collective cell migration. Journal of Mathematical Biology, [s. l.], 2017. </ref>, e a diferença das duas está principalmente na implementação das condições de contorno periódicas. No caso da topologia em "zigzag"(FIG.2a), o espaço é representado em um paralelogramo, e existem 4 sentidos em que  cruzando uma parede a partícula fecha sua trajetória sem ter que cruzar nova mente outra parede do sistema. Na topologia "armchair"(FIG.2b) por outro lado só existem 2 sentidos em que isso acontece.

===Sub-Box Sampling Method===
O método das subcaixas consiste em dividir o sistema em uma certa quantidade de subsistemas de interesse, permitindo observar a flutuação de densidades apenas nessas regiões.

Nesse trabalho o sistema foi dividido em 4 caixas de tamanho <math>L \times L</math>: 2 centradas no centro de massa horizontal do sistema e duas centradas na região horizontal "mais rarefeita", que consequentemente esta a uma distancia de <math> 3L</math> do centro de massa.

Quando os parâmetros permitem que haja separação de fase, duas subcaixas ficam posicionadas exatamente sobre o centro da fase liquida e a mesma coisa para a fase gasosa, permitindo uma medição mais precisa das flutuações de densidade sem considerar as regiões de fronteira.

Porém, essas flutuações se tornam especialmente relevantes no ponto crítico, onde o uso de subcaixas se torna especialmente importante na extração medidas para classificar a transição de fase do modelo em analise.

===Medida 1===
A primeira medida utilizada para comparar o MIPS com o Ising foi a incompressibilidade isotérmica dos subsistemas <math> \chi_L </math> definida da seguinte forma

<math> \chi_L = \frac{\langle N^{2} \rangle_L - \langle N \rangle_L^2}{\langle N \rangle_L}</math>

onde <math> \langle N \rangle_L </math> denota a média do número de partículas contidas em um subsistema de tamanho L.

(explicar com qual expoente se relaciona e como calcular o erro)

===Medida 2===
Explicar a medida 2

==Resultados==
Mostrar e explicar os Resultados

==Referência==
<references/>