Exibir código-fonte para Difusão ambipolar em plasmas

== Equação da difusão ambipolar ==

Grupo: Gabriel,Rafael Abel e Thierre F. Conceição.
Email: l.massultra@gmail.com  , rafael.abel@ufrgs.br  e thierre.francisco@ufrgs.br

Esse trabalho tem como objetivo demonstrar uma resolução numérica para o caso unidimensional da difusão ambipolar de um plasma(gás formado de elétrons e íons). A difusão é o modo como um fluido se dilui em um meio. Estudar as equações que governam esse fenômeno e as formas de resolvê-las é de extremo interesse para a física de fluidos e de plasmas, entre outras áreas.
 


[[Arquivo: Da.jpeg|500 px]] [http://www.das.inpe.br/~alex/Ensino/cursos/proc_radI/aula_PR1_plasmas.pdf]

Quando a partição é removida ha uma pertubação instantanea na condição de equilibrio.Assim. ocorrendo uma expansão livre do plasma, os elétrons por ser mais leve difundem-se mais rápido que os íons devido a sua menor massa.

Essa separação de cargas gera um campo elétrico de polarização que aumenta a taxa de difusão dos íons e diminui a dos elétrons até que ocorra um equilíbrio.
Por inércia, os elétrons se movem além da posição de equilíbrio, e um campo elétrico é produzido na direção oposta. Esta sequência de movimentos se repete periodicamente, resultando em rápidas oscilações coletivas dos elétrons sobre os íons. 

Esses movimentos coletivos são caracterizados por uma frequência natural de oscilação(Oscilações de Langmuir).<ref name=esquema> https://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172001000200011 </ref>


[[Arquivo: Da1.jpeg|450 px]] [http://www.das.inpe.br/~alex/Ensino/cursos/proc_radI/aula_PR1_plasmas.pdf]


Como mostrado por Shimony e Cahn<ref name=Simony+Cahn64> Z. Shimony and J. H. Cahn, "Time-dependent ambipolar diffusion waves", The Physics of Fluids 8, 1704 (1965) </ref>, esse problema é descrito por uma equação de onda amortecida para a função de densidade <math>n(\vec r, t)</math>:

<math>\nabla^2 n(\vec r,t) = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2 n(\vec r,t)}{\partial t^2} + \alpha \frac{\partial n(\vec r,t)}{\partial t} \qquad (1)</math> , 

onde <math>u^2 = \nu_a D_a</math> e <math>\alpha = 1/D_a</math>, sendo <math>\nu_a</math> a frequências de colisão dos íons e elétrons nas patículas neutras, chamada frequência de colisão ambipolar e <math>D_a</math> o coeficiente de difusão ambipolar, que é calculado através de uma media dos coeficientes de difusão dos elétrons e íons.


Como tratamos do caso unidimensional, a equação 1 torna-se

<math>\frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial t^2} + \alpha \frac{\partial n(x,t)}{\partial t} \qquad (2)</math> .

== Aproximações ==

Podemos obter algumas estimativas aproximadas da eq.(1):

<math>\frac{\partial n(\vec r,t)}{\partial t} \approx	 \frac{n(\vec r,t)}{\tau^2} \qquad (3)</math> <ref name=Simony+Cahn64> Fundamentals of plama physics/J.A Bittencourt - 3rd ed. </ref>

<math>\frac{1}{\nu_a} \frac{\partial^2 n(\vec r,t)}{\partial t^2} \approx	 \frac{n(\vec r,t)}{\nu_a \tau^2} \qquad (4)</math> <ref name=Simony+Cahn64> Fundamentals of plama physics/J.A Bittencourt - 3rd ed. </ref>


Comparando as eq.(3) e (4),obtemos: <math>\tau = 1/\nu_a</math>. Observe que se <math>\nu_a \tau</math> >> 1, isto é, se o elétrons ou íons tem muitas colisões com partículas neutras durante o tempo característico para difusão <math>\tau</math>. Então o último termo na eq. (1) pode ser negligenciado. Como consequência durante todo tempo a concentração de elétron e íon são iguais: <math>n_e = n_i = n</math>, assim, a eq.(1) se reduz a seguinte equação de difusão:


<math>D_a\nabla^2 n(\vec r,t) = \frac{\partial n(\vec r,t)}{\partial t} \qquad (5)</math>

== O Método ==

A resolução numérica do problema foi baseada no artigo de Najafi e Izadi <ref name=Najafi+Izadi16> H. Najafi and F. Izadi, "Comparison of two finite-difference methods for solving the
damped wave equation", viXra, 2016 </ref>. Começamos com a forma mais usual de escrever a equação da onda amortecida unidimencional

<math> \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial t^2} + 2h \frac{\partial n(x,t)}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x^2} \qquad (6) </math>.


Fizemos trocas de variáveis, para a melhor adaptação do método descrito no artigo. Assim chamamos, <math>2h = \alpha u^2 = \nu_a</math> e <math>c^2 = u^2</math>.

Discretizando as variáveis do problema, temos que

<math>x_i = i\Delta x \qquad i = 0,1,2,...,I</math> ,

<math>t_k = k\Delta t \qquad k = 0,1,2,...,K</math>.

Substituindo as derivadas que aparecem na equação por diferenças finitas, obtemos:


<math> \frac{\partial^2 n}{\partial t^2} |_i^k = \frac{n_i^{k+1} - 2n_i^k + n_i^{k-1}}{\Delta t^2} - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^2 n}{\partial t^4}|_i^k + O(\Delta t^4) </math> ,

<math> \frac{\partial n}{\partial t} |_i^k = \frac{n_i^{k+1} -n_i^{k-1}}{2\Delta t} - \frac{\Delta t^2}{6}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + O(\Delta t^4) </math> ,

<math> \frac{\partial^2 n}{\partial x^2} |_i^k = \frac{n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k}{\Delta x^2} - \frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^2 n}{\partial x^4}|_i^k + O(\Delta x^4) </math>.

Substituindo essas relações na equação 6, obtemos:


<math> \left[ \frac{n_i^{k+1} - 2n_i^k + n_i^{k-1}}{\Delta t^2} - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial t^4}|_i^k + O(\Delta t^4)\right] + 2h\left[ \frac{n_i^{k+1} -n_i^{k-1}}{2\Delta t} - \frac{\Delta t^2}{6}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + O(\Delta t^4)\right] = c^2\left[ \frac{n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k}{\Delta x^2} - \frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial x^4}|_i^k + O(\Delta x^4)\right]  </math>.

Omitindo todos os temos de ordem <math>O\{\Delta t^2,\Delta x^2\}</math> e isolando <math>u_i^{k_1}</math>, obtemos

<math> u_i^{k+1} = \frac{1}{1 + h\Delta t}[2(1-s)n_i^k - (1 - h\Delta t)n_i^{k-1} + s(n_{i+1}^k + n_{i-1}^k)] \qquad (7) </math> ,


sendo <math> s = (c^2\Delta t^2/\Delta x^2) </math>.

Essa é a equação para resolver o problema para <math>k \geq 1</math>, porém o problema envolve uma derivada de segunda ordem no tempo, o que faz com que precisemos saber os dois passos anteriores para calcular o próximo. Então necessitamos ainda de uma maneira de determinar <math>u_i^1</math> a paritr de <math>u_i^0</math>, para então calcular os demais passos. Para isso assumimos que a função é inicialmente estacionária e fazemos 


<math>n_t(x,0) = 0 \Rightarrow \frac{n_i^1 - n_i^{-1}}{\Delta t} = 0 \Rightarrow n_i^1 = n_i^{-1}</math>.[https://vixra.org/pdf/1601.0341v1.pdf]


Substituindo na equação 7 para <math>k = 0</math> obtemos

<math> n_i^1 = \frac{1}{2}[2(1-s)n_i^0 + s(n_{i+1}^0 + n_{i-1}^0)] \qquad (8) </math>.

Com as equações 7 e 8, e tomando as devidas condições de contorno nas bordas (no caso desse trabalho usamos bordas fixas em 0 e também condições periódicas de contorno), podemos calcular a evolução temporal da função de densidade. Esse método é estável para <math>0 \leq s \leq 1</math> e seu erro é

<math> E\{n_i^k\} = - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial t^4}|_i^k - \frac{h\Delta t^2}{3}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + c^2\frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial x^4}|_i^k + O\{\Delta t^4, \Delta x^4\} </math>.

== Resultados e Discussão==

Aplicamos o método descrito acima para simular a evolução da densidade de um plasma se difundindo em um tubo de largura <math>L=10</math>. Fizemos o plasma inicialmente concentrado na região central do tubo: <math>n(x,0)=1</math> para <math>L/4 \leq x \leq 3L/4</math> e <math>n(x,0)=0</math> para <math>x</math> fora dessa região. Usamos <math>\Delta x = 0.1</math> e <math>\Delta t = 0.01</math>, que resulta em <math>s = 0.01\nu_aD_a</math>, e criamos gifs mostrando a evlução temporal da função de densidade para diferentes valores de <math>\nu_i</math> e <math>D_a</math>. Para garantir a estabilidade do método, essas constantes devem ser tais que <math> 0 \leq \nu_iD_a \leq (\Delta x / \Delta t)^2</math>.

Quanto à solução nas bordas, fizemos de duas manerias: A primeira foi com condições de contorno fixas em 0 (<math>n(0,t) = n(L,t) = 0</math>) e represenda o caso em que as bordas são um sumidouro, como se fosse um tubo aberto.
 
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Evolução temporal da densidade do plasma para diferentes valores de <math>\nu_a</math> =10 e <math>D_a</math> = 0.05 e 0.5
|-
|[[Arquivo:difusao_ambipolar_10_0.05.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|400px]]
|[[Arquivo:difusao_ambipolar_10_0.5.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|400px]]
|-
|}

Nos dois primeiros gráficos fixamos um valor de <math>\nu_a</math>, e variamos o valor de <math>D_a</math>.
Como é possível observar os gráficos acima tem um comportamento de acordo  com a eq.(3). O que já é esperado. Sabendo que por conta da frequência de colisão ser alta, o termo que carrega <math>u^2</math> da eq.(1), pode ser ignorado.

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Evolução temporal da densidade do plasma para diferentes valores de <math>\nu_a</math> =0.5 , 0.1 e <math>D_a</math> = 0.5
|-
|[[Arquivo:difusao_ambipolar_0.5_0.5.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|400px]]
|[[Arquivo:difusao_ambipolar_0.1_0.5.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|400px]]
|-
|}

Fixamos um valor de <math>D_a</math>, e variamos o valor de <math>\nu_a</math>.
Observamos um comportamento oscilatório. O que já é esperado, já que as colisões dos elétrons-íons nas partículas neutras é pequeno, assim, a difusão tem um caráter oscilatório.


Nesse segundo caso usamos condições de contorno periódicas (<math>n_{I+1}^k = n_0^k</math>) e representa o caso de um tubo fechado.

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Evolução temporal da densidade do plasma para diferentes valores de <math>\nu_a</math> e <math>D_a</math>
|-
|[[Arquivo:difusao_ambipolar_10_0.05PBC.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|400px]]
|[[Arquivo:difusao_ambipolar_10_0.5PBC.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|400px]]
|-
|[[Arquivo:difusao_ambipolar_0.5_0.5PBC.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|400px]]
|[[Arquivo:difusao_ambipolar_0.1_0.5PBC.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|400px]]
|-
|}



Podemos observar que <math>D_a</math> é o parâmetro que domina a velocidade com que que a densidade decai, o que é esperado, uma vez que um coeficiente de difusão maior faz o plasma se difundir mais rápido. 

Já <math>\nu_a</math> está relacionado à "suavidade" da distribuição, sendo que com frequências baixas começam a aparecer diversos picos de densidade e com frequências altas a densidade é uniforme.

== Programas Utilizados ==

Para implementar o método computacionalmente e criar os gifs foram usados códigos em python. O código abaixo é a solução para as bordas fixas em 0:

<source lang=sh>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import imageio

dt = 0.01
dx = 0.1
L = 10
T = 50

#constantes do plasma
nu_a = 0.1
Da = 0.5

#constantes para a eq da onda
c = np.sqrt(nu_a*Da)
h = nu_a/2
s = (c*dt/dx)**2

x = np.linspace(0, L, int(L/dx)) #array com as coordenadas espaciais
t = np.linspace(0, T, int(T/dt)) #array com as coordenadas temporais
n = np.zeros((len(t), len(x)))   #matriz com a densidade n(x,t)

#fazemos o plasma inicialmente concentrado em uma regiao
for i in range(int(len(x)/4),int(3*len(x)/4)):
    n[0,i] = 1
plt.plot(x,n[0]) #plota estado inicial da funcao
plt.title(r'$\nu_a=$'+str(nu_a)+'   $D_a=$'+str(Da))
plt.xlabel('L')
plt.ylabel('n(x)')
plt.ylim([0,1.1])
plt.xlim([0,L])
plt.text(8,0.9,'T = 0.0')
plt.savefig('n_0.png')
plt.clf()

#calculamos o próximo passo considerando dn/dt = 0 inicialmente    
for i in range(1,len(x)-1):
    n[1,i] = 0.5*(2*(1-s)*n[0,i] + s*(n[0,i+1] + n[0,i-1]))

#calculamos a posterior evolucao
for k in range(1, len(t)-1):
    for i in range(1,len(x)-1): #isso fixa os contornos em 0
        n[k+1,i] = (1/(1+h*dt))*(2*(1-s)*n[k,i] - (1-h*dt)*n[k-1,i] + s*(n[k,i+1] + n[k,i-1]))
    if k*dt - int(k*dt) == 0: #plota figuras para valores inteiros de t
       plt.plot(x,n[k])
       plt.title(r'$\nu_a=$'+str(nu_a)+'   $D_a=$'+str(Da))
       plt.xlabel('L')
       plt.ylabel('n(x)')
       plt.xlim([0,L])
       plt.ylim([0,1.1])
       plt.text(8,0.9,'T = '+str(k*dt))
       plt.savefig('n_'+str(int(k*dt))+'.png')
       plt.clf()
    
#criamos gifs usando os plots
images = []
for k in range(T):
    images.append(imageio.imread('n_'+str(k)+'.png'))
imageio.mimsave('difusao_ambipolar_'+str(nu_a)+'_'+str(Da)+'.gif', images, format='GIF', duration=1./10)
</source>

O código para as condições de contorno periódicas é levemente diferente, exigindo o acrécimo de duas duas linhas dentro do terceiro loop. Vale notar que aqui não nos preocupamos com o contorno no cáculo de <math>n_i^1</math> porque a função nos contornos é 0 nos primeiros passos, independente de adotarmos ou não contornos periódicos.

<source lang=sh>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import imageio

dt = 0.01
dx = 0.1
L = 10
T = 50

#constantes do plasma
nu_a = 0.1
Da = 0.5

#constantes para a eq da onda
c = np.sqrt(nu_a*Da)
h = nu_a/2
s = (c*dt/dx)**2

x = np.linspace(0, L, int(L/dx)) #array com as coordenadas espaciais
t = np.linspace(0, T, int(T/dt)) #array com as coordenadas temporais
n = np.zeros((len(t), len(x)))   #matriz com a densidade n(x,t)

#fazemos o plasma inicialmente concentrado em uma regiao
for i in range(int(len(x)/4),int(3*len(x)/4)):
    n[0,i] = 1
plt.plot(x,n[0]) #plota estado inicial da funcao
plt.title(r'$\nu_a=$'+str(nu_a)+'   $D_a=$'+str(Da))
plt.xlabel('L')
plt.ylabel('n(x)')
plt.ylim([0,1.1])
plt.xlim([0,L])
plt.text(8,0.9,'T = 0.0')
plt.savefig('n_0.png')
plt.clf()

#calculamos o próximo passo considerando dn/dt = 0 inicialmente    
for i in range(1,len(x)-1):
    n[1,i] = 0.5*(2*(1-s)*n[0,i] + s*(n[0,i+1] + n[0,i-1]))

#calculamos a posterior evolucao
for k in range(1, len(t)-1):
    for i in range(1,len(x)-1):
        n[k+1,i] = (1/(1+h*dt))*(2*(1-s)*n[k,i] - (1-h*dt)*n[k-1,i] + s*(n[k,i+1] + n[k,i-1]))
    #condicoes de contorno periodicas
    n[k+1,0] = (1/(1+h*dt))*(2*(1-s)*n[k,0] - (1-h*dt)*n[k-1,0] + s*(n[k,1] + n[k,-1]))
    n[k+1,-1] = (1/(1+h*dt))*(2*(1-s)*n[k,-1] - (1-h*dt)*n[k-1,-1] + s*(n[k,0] + n[k,-2]))
    if k*dt - int(k*dt) == 0: #plota figuras para valores inteiros de t
       plt.plot(x,n[k])
       plt.title(r'$\nu_a=$'+str(nu_a)+'   $D_a=$'+str(Da))
       plt.xlabel('L')
       plt.ylabel('n(x)')
       plt.xlim([0,L])
       plt.ylim([0,1.1])
       plt.text(8,0.9,'T = '+str(k*dt))
       plt.savefig('n_'+str(int(k*dt))+'.png')
       plt.clf()
    
#criamos gifs usando os plots
images = []
for k in range(T):
    images.append(imageio.imread('n_'+str(k)+'.png'))
imageio.mimsave('difusao_ambipolar_'+str(nu_a)+'_'+str(Da)+'PBC.gif', images, format='GIF', duration=1./10)

</source>

== Referências ==
<references/>