Exibir código-fonte para Equação de Fitzhugh-Nagumo

'''Grupo: Bernardo Boatini, Murilo Kessler Azambuja e Natália Ferrazzo'''

O objetivo deste trabalho é implementar e estudar a dinâmica do modelo FitzHungh-Nagumo, e das equações que o compõem, para potenciais 
de ação em células e tecidos excitáveis. O método computacional utilizado para resolver os problemas e implementar o modelo foi o 
FTCS (Forward Time Centered Space) e o método de Crank-Nicolson.

==Potencial de Ação em Neurônios==
A células vivas são sistemas eletricamente sensíveis, ou seja, podem reagir a estímulos elétricos. Isso se dá devido ao fato de que substâncias carregadas estão naturalmente vinculadas a seus processos internos de interação com o ambiente, principalmente por intermédio de canais iônicos e proteínas transmebrana como, por exemplo, a Bomba de Sódio e Potássio(Bomba Na⁺/K⁺ ATPase)[1].

Naturalmente todas as células vivas possuem um potencial de repouso(PR) elétrico, ou seja, uma diferença de potencial elétrico, em relação ao meio(cerca de 0,1); mantida por um equilíbrio químico de concentração de íons dentro e fora da membrana plasmática. 

Existem células que reagem estímulos elétricos apenas reestabelecendo o PR original por transporte passivo(sem gasto de energia) através da membrana, e estas são ditas células não-excitáveis. 

Por outro lado, existem células que sob a ação do mesmo estímulo produzem um tipo de resposta bem característica: potencial de ação(PA); um pulso elétrico intenso(capaz de inverter a polarização do Potencial de Membrana) que se propaga ao longo da membrana da célula, sustentado por uma cadeia de transportes ativos(com gasto de energia) e que não decai ao longo do tempo e espaço; a esse tipo de células damos o nome de excitáveis[1].

Os Neurônios são as células excitáveis do tecido nervoso(que constituem o encéfalo e medula espinhal, gânglios e nervos do reino animal) e com já vimos são capazes de gerar PA. Um potencial de ação pode assumir diversos formatos, mas ao longo do axônio(Figura 1) de um neurônio eles tendem a uma curva como a da Figura 2.

[[Arquivo:PA_axonio.png|400px|left|thumb|center|'''Figura 1 -'''Representação de um potencial de ação(vermelho) ao longo de um axônio de neurônio, partindo do soma neural em direção a arvore dentrítica.]]
[[Arquivo:PA1.png|600px|rigth|thumb|center|'''Figura 2 -'''Curva de um Potencial de Ação genérico no tempo, em um ponto do axônio de um neurônio.]]

Olhando para Figura 2 vemos alguns aspectos importantes:
* O potencial de ação necessita de um estímulo mínimo(limiar) para ser ativado, abaixo desse valor o estímulo decai como em uma célula não excitável;
* Acima desse limiar a célula segue o principio de "Tudo ou Nada", ou seja, assume o valor máximo possivel dentro de sua capacidade, independente do estímulo aplicado;
* A etapa de despolarização(crescimento) é brusca e varia mais rapidamente que a repolarização(decaimento);
* O período que contém a repolarização e hiperpolarização da membrana é chamado período refratário, e se caracteriza por não permitir que ocorra nenhum disparo até que a membrana atinja o potencial de repouso.


==Modelo==
===Ideia Fundamental===


==Método de Crank-Nicolson==
(explicar o método --> Natália)
===Equação de Nagumo Difusiva 1D===
(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Natália)

==Método FTCS==
(explicar o método --> Murilo)
===Equação de Recuperação 1D===
(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Murilo))
===Modelo FitzHung-Nagumo 2D===
(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Bernardo))

==Resultados==
===Equação de Nagumo Difusiva 1D===
(explicar os testes e os gráficos/animações --> Natália)
===Modelo FitzHung-Nagumo 1D===
(explicar os testes e os gráficos/animações --> Murilo)
===Modelo FitzHung-Nagumo 2D===
(explicar os testes e os gráficos/animações --> Bernardo)

==Referências==
*1. [https://www.ufrgs.br/mnemoforos/arquivos/potenciais2005.pdf Jorge A. Quillfeldt,"ORIGEM DOS POTENCIAIS ELÉTRICOS DAS CÉLULAS NERVOSAS"]
*2. [http://www.scholarpedia.org/article/FitzHugh-Nagumo_model Eugene M. Izhikevich and Richard FitzHugh, "FitzHugh-Nagumo model"]
*3. [https://tamiu-ir.tdl.org/bitstream/handle/2152.4/60/GARCIA-THESIS-2015.pdf?sequence=1&isAllowed=y Gabriel Perry Natanni Garcia, "NUMERICAL SIMULATION OF THE NAGUMO EQUATION BY FINITE DIFFERENCEMETHOD"]
*4. [https://hal.inria.fr/hal-00998828/document Binbin Xu, Stéphane Binczak, Sabir Jacquir, Oriol Pont, Hussein Yahia "Parameters Analysis of FitzHugh-Nagumo Model for a Reliable Simulation"]