Método de Verlet

Para o método de Euler implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:

$f^{'} (t) \approx \frac{f (t) - f (t - Δ t)}{Δ t}$

Então se $y (t) = f^{'} (t)$ a segunda derivada é $y^{'} (t) = f^{″} (t)$ , pela definição, da derivada a direita:

$y^{'} (t) = \lim_{Δ t \to 0} \frac{y (t + Δ t) - y (t)}{Δ t} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{f^{'} (t + Δ t) - f^{'} (t)}{Δ t}$

Logo utilizando as aproximações:

$\begin{aligned} f^{″} (t) & \approx \frac{1}{Δ t} (f^{'} (t + Δ t) - f^{'} (t)) \\ \approx \frac{1}{Δ t} (\frac{f (t + Δ t) - f (t + Δ t - Δ t)}{Δ t} - \frac{f (t) - f (t - Δ t)}{Δ t}) \\ \approx \frac{f (t + Δ t) + f (t - Δ t) - 2 f (t)}{{(Δ t)}^{2}} \end{aligned}$

Isolando então $f (t + Δ t)$ :

$\begin{aligned} f (t + Δ t) & = {(Δ t)}^{2} f^{″} (t) - f (t - Δ t) + 2 f (t) \end{aligned}$

Temos o método de Verlet. Podemos notar que precisamos conhecer $f (t)$ em dois tempos anteriores. Podemos utilizar outro algoritmo para o primeiro passo. Se $f (t) = x (t)$ é posição, então $f^{″} (t) = \ddot{x} (t) = a (x, t)$ logo podemos reescrever:

$\begin{aligned} x (t + Δ t) & = a (x, t) {(Δ t)}^{2} - x (t - Δ t) + 2 x (t) \end{aligned}$

Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada: $v (t) = \dot{x} (t) = \frac{x (t + Δ t) - x (t - Δ t)}{2 Δ t}$ Alternativamente podemos obter o mesmo resultado em termos da expansão de Taylor:

$\begin{aligned} x (t + Δ t) & = x (t) + v (t) Δ t + \frac{1}{2} a (t) Δ t^{2} + \frac{1}{6} a^{'} (t) Δ t^{3} + \dots \\ x (t - Δ t) & = x (t) - v (t) Δ t + \frac{1}{2} a (t) Δ t^{2} - \frac{1}{6} a^{'} (t) Δ t^{3} + \dots \end{aligned}$

Somando os dois termos, ficamos então com:

$x (t + Δ t) + x (t - Δ t) = 2 x (t) + a (t) Δ t^{2} + 𝒪 (Δ t^{4})$

Obtemos então não só o algoritmo de Verlet, além de que sabemos que é uma expansão até a terceir ordem. Então o erro envolvido na truncação é $𝒪 (Δ t^{4})$ , e este é o erro local, associao a um único passo.

Além disso, se fizermos a diferença, obtemos o algoritmo da velocidade:

$x (t + Δ t) + x (t - Δ t) = 2 v (t) + \frac{1}{3} a^{'} (t) Δ t^{3}$

Então:

$v (t) = \frac{x (t + Δ t) + x (t - Δ t)}{Δ t} - \frac{1}{3} a^{'} (t) Δ t^{2}$

Logo temos um erro $𝒪 (Δ t^{2})$ na velocidade. Além do erro de truncação associado ao método de dierenças finita e que decai com o decaimento de $Δ t$ , também podemos lembrar que um erro de arredondamento, pois o computador usa uma quantidade finita de memória para representar os números. Isto, é, existe um número $ϵ$ em que para qualquer número $α \leq ϵ$ então $1 + α = 1$ . $ϵ$ é o maior número que pode ser somado a $1$ sem alterar o resultado.

Exemplo

Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no método de Euler-Cromer: $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{k}{m} x = - ω^{2} x$

Podemos ressaltar ainda que $a = - ω^{2} x$ e $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ .

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0] ; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2] 
#Parâmetros
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)

#Método de Euler-Cormer para obter o primeiro passo:
x.append(x[0]+dt*v[0])  
t.append(dt)

#Método de Verlet:
for it in range(1,Np):
  x.append(-w2*x[it]*dt*dt-x[it-1]+2*x[it]) #Método de Verlet
  v.append((x[it+1]-x[it-1])/(2*dt))
  E.append(k*x[it]**2/2+m*v[it]**2/2)
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t[:len(t)-1],v) #Velocidade tem um elemento a menos
#plt.plot(t[:len(t)-1],E)
plt.plot(x[:len(x)-1],v)

Método Velocidade de Verlet

O método de verlet é similar ao leapfrog, mas é síncrono e não exige inicialização. Pela derivada à direita com uma variação de $Δ t / 2$ , obtemos uma equação para velocidade:

$a (t) \approx \frac{v (t + Δ t / 2) - v (t)}{Δ t / 2} ⟶ v (t + Δ t / 2) = v (t) + a (t) \frac{Δ t}{2} (1)$

Fazendo o mesmo processo do leapfrog para a posição:

$v (t + Δ t / 2) \approx \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} ⟶ x (t + Δ t) = x (t) + v (t + Δ t / 2) Δ t$

Ainda podemos reescrever, substituindo:

$x (t + Δ t) = x (t) + v (t) Δ t + a (t) \frac{Δ t^{2}}{2} (2)$

Isto é, partindo de um tempo $t$ onde conhecemos posição e velocidade, calculamos a velocidade em $t + \frac{Δ t}{2}$ e usamos essa velociade para calcular a poição em $t + Δ t$ . Agora para a velocidade no instante $t + Δ t$ , começamo com uma derivada centrada:

$v (t) = \frac{x (t + Δ t) - x (t - Δ t)}{2 Δ t} ⟶ v (t + Δ t) = \frac{x (t + 2 Δ t) - x (t)}{2 Δ t} (3)$

Então pegamos o método de Verlet e avançamos $Δ t$ :

$\begin{aligned} x (t + Δ t) & = a (t) Δ t^{2} - x (t - Δ t) + 2 x (t) \\ x (t + 2 Δ t) & = a (t + Δ t) Δ t^{2} - x (t) + 2 x (t + Δ t) \end{aligned}$

E substituímos na velocidade (equação 3):

$\begin{aligned} v (t + Δ t) & = \frac{a (t + Δ t) Δ t^{2} - x (t) + 2 x (t + Δ t) - x (t)}{2 Δ t} \\ = & a (t + Δ t) \frac{Δ t}{2} - + \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} \end{aligned}$

E usando então a equação para posição que encontramos (equação 2) para substituir $x (t + Δ t) - x (t)$ :

$\begin{aligned} v (t + Δ t) & = a (t + Δ t) \frac{Δ t}{2} + \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} \\ = & v (t) + (a (t + Δ t) + a (t)) \frac{Δ t}{2} \end{aligned}$

Então agora utilizamos a posição em $t + Δ t$ para encontrarmos a velocidade no mesmo instante. Temos então:

$\begin{aligned} x (t + Δ t) & = x (t) + v (t) Δ t + a (t) \frac{Δ t^{2}}{2} \\ v (t + Δ t) & = v (t) + (a (t + Δ t) + a (t)) \frac{Δ t}{2} \end{aligned}$

Ou ainda simplesmente escrevendo explicitamente a equação 1:

$\begin{aligned} v (t + \frac{Δ t}{2}) & = v (t) + a (t) \frac{Δ t}{2} \\ x (t + Δ t) & = x (t) + v (t + \frac{Δ t}{2}) Δ t \\ v (t + Δ t) & = v (t + \frac{Δ t}{2}) + a (t + Δ t) \frac{Δ t}{2} \end{aligned}$

Exemplo

Resolvendo o mesmo exemplo anterior, temos:

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0] ; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2] 
#Parâmetros
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)

#Método de Velocidade Verlet:
for it in range(Np):
  x.append(x[it]+v[it]*dt-w2*x[it]*dt**2/2)
  v.append(v[it]+(-w2*x[it+1]-w2*x[it])*dt/2)
  E.append(k*x[it]**2/2+m*v[it]**2/2)
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t,v)
#plt.plot(t,E)
plt.plot(x,v)

Principais materiais utilizados

The Second Derivative (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)
Verlet Method (Brasnislav K. Nikolic, Universidae de Delaware)

Método de Verlet

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