Grupo - Eq. d Schrödinger não-lineares acopladas
Bósons são partículas de spin inteiro e possuem funções de onda simétricas. Tais partículas obedecem às estatísticas de Bose-Einstein, de forma que a existência de múltiplas partículas (deste tipo) indistinguíveis em um mesmo estado quântico é possível.
Condensado de Bose Einstein e Equação de Schrödinger Não-Linear
Para temperaturas muito próximas de zero absoluto, uma parte considerável de um sistema de muitos bósons vai se encontrar no seu estado de menor energia, ou seja, no mesmo estado de menor energia.
A acumulação de bósons neste estado fundamental é chamada de condensado de Bose-Einstein. Um dos fatos mais interessantes do ponto de vista experimental deste tipo de condensado é que fenômenos quânticos se tornam visíveis macroscopicamente.
No caso de temperaturas ultrafrias (em concordância com a maioria dos experimentos envolvendo átomos alcalinos), a dinâmica do estado de partículas condensadas pode ser modelada por meio da equação de Schrödinger não-linear. Neste caso o condensado é descrito por uma única função de onda Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(\vec{r}) } , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vert \psi(\vec{r})\vert^2 } é interpretado como a densidade de partícula, e consequentemente o número total de átomos é dado por:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N = \int d\vec{r}\vert \psi(\vec{r})\vert ^2 }
A energia associada a este estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(\vec{r}) } do condensado para bósons no estado fundamental é, de acordo com a teoria de campo médio, igual a
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \int d\vec{r}\left(\frac{\hbar^2}{2m}\vert \nabla \psi (\vec{r})\vert ^2 + V(\vec{r})\vert \psi (\vec{r})\vert ^2 + \frac{1}{2}U_{o}\vert \psi (\vec{r})\vert ^4 \right) }
A minimização desta energia no que diz respeito a variações infinitesimais de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(\vec{r}) } , com um número total de átomos constante, obtém-se a seguinte equação de Schrödinger não-linear
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r})}{\partial t} = -\frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2\psi(\vec{r}) + V(\vec{r})\psi(\vec{r}) + U_{o}\vert \psi(\vec{r})\vert ^2 \psi(\vec{r})}
Método Numérico
A equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser escrita em notação de operadores como
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = H\psi }
onde H representa o operador Hamiltoniano do sistema. Como H é um operador linear, uma possível discretização da equação acima é dada por
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar\frac{\psi^{n+1}_j - \psi^n_j}{\Delta t} = \sum_{k=0}^{N-1} H_{jk}\psi_{k}^n }
Esta forma é conhecida como uma forma explícita no tempo, uma vez que o valor futuro de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi } depende exclusivamente do valor atual de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi } . Em notação matricial, o desenvolvimento algébrico da expressão acima fornece
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^{n+1} = \left(\mathbf{I} - \frac{i\Delta t}{\hbar}\mathbf{H}\right)\Psi^n }
onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^n } é o vetor coluna com os valores de $ \psi $ no tempo n, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{I} } é a matriz identidade. Outra forma possível de discretização é a discretização implícita no tempo, dada por
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar\frac{\psi_j^{n+1}-\psi_j^n}{\Delta t} = \sum_{k=0}^{N-1} H_{jk}\psi_{k}^{n+1} }
em que o valor futuro de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi } depende tanto dos valores atual e futuro de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi } . É possível mostrar que a forma matricial que corresponde à equação acima é dada por
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^{n+!} = \left(\mathbf{I} + \frac{i\Delta t}{\hbar}\mathbf{H} \right)^{-1}\Psi^n }
O método de Crank-Nicolson, por sua vez, consiste em tomar a média dos esquemas explícito e implícito, de forma que
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar \frac{\psi^{n+1}_j - \psi^{n}_j}{\Delta t} = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{N-1} H_{jk}(\psi_k^n + \psi_k^{n+1}) }
Tal método, além de possuir alta acurácia, é incondicionalmente estável na integração de muitas equações diferenciais parciais. Tomando a versão matricial da equação de Schrödinger discretizada por Crank-Nicolson, obtém-se
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^{n+1} = \Psi^n - \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H}(\Psi^n + \Psi^{n+!}) }
ou ainda, por manipulação algébrica,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\mathbf{I} + \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H}\right)\Psi^{n+1} = \left(\mathbf{I} - \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H} \right)\Psi^n }
Isolando o termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^{n+1} } na expressão acima, encontra-se
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^n = \left(\mathbf{I} + \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H}\right)^{-1}\left(\mathbf{I} - \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H} \right)\Psi^n }
Implementação e Código
A integração da equação de Schrödinger pelo método de Crank-Nicolson
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^n = \left(\mathbf{I} + \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H}\right)^{-1}\left(\mathbf{I} - \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H} \right)\Psi^n }
pode ser reescrita na seguinte forma
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^{n+!} = \left(\mathbf{I} + \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H}\right)^{-1}\left[2\mathbf{I} - \left(\mathbf{I} + \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H}\right)\right]\Psi^n = \left[2\left( \mathbf{I} + \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H} \right)^{-1} - \mathbf{I} \right]\Psi^n }
Definindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{Q} = \frac{1}{2}\left[\mathbf{I} + \frac{i\Delta t}{2\hbar}\mathbf{H}\right] } , a equação acima pode ser expressa como
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^n = (\mathbf{Q}^{-1} - \mathbf{I})\Psi^n = \mathbf{Q}^{-1}\Psi^n - \Psi^n }
Portanto, a evolução dinâmica do sistema pode ser avaliada separando o processo em duas partes. Primeiramente, o sistema linear
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{Q}\boldsymbol{\chi} = \Psi^n }
é resolvido para o vetor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\chi} } e, em sequência, os valores da função de onda são atualizados de acordo com
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^{n+1} = \boldsymbol{\chi} - \Psi^n }
Uma matriz tridiagonal possui a seguinte forma
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \gamma_0 & 0 & \cdots & 0 \\ \alpha_0 & \beta_1 & \gamma_1 & \cdots & 0 \\ 0 & \alpha_1 & \beta_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \beta_{N-1} \end{bmatrix} }
ou seja, apenas os termos da diagonal principal e os termos imediatamente acima ou abaixo são não-nulos. Ela pode ser armazenada de forma mais compacta no formato
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_c = \begin{bmatrix} * & \beta_0 & \gamma_0 \\ \alpha_0 & \beta_1 & \gamma_1 \\ \alpha_1 & \beta_2 & \gamma_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \alpha_{N-2} & \beta_{N-1} & * \end{bmatrix} }
onde os elementos denotados por um asterisco não são utilizados.
Consequentemente, o sistema linear $ \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ pode ser resolvido pelo método de eliminação Gaussiana, também conhecido como algoritmo de Thomas neste caso. O procedimento é dividido em duas partes: por primeiro, a eliminação progressiva é realizada, que consiste em determinar equações lineares equivalentes que independam de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_i } . Neste passo, as equações recursivas para os novos elementos da diagonal principal Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta_i } e do vetor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{b} } são
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta'_i = \beta_i - \frac{\alpha_{i-1}}{\beta'_{i-1}}\gamma_{i-1}, \;\;\;\;\; i = 1, ..., N-1 }
e
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b'_i = b_i - \frac{\alpha_{i-1}}{\beta'_{i-1}}b'_{i-1}, \;\;\;\;\; i = 1, ..., N-1 }
com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta'_0 = \beta_0 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b'_0 = b_0 } . Na etapa seguinte, em que ocorre a chamada substituição regressiva, a última equação é resolvida para obter Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{N-1} = b'_{N-1}/\beta'_{N-1} } , e este resultado é inserido na equação anterior, gerando uma relação recursiva da forma
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i = \frac{b'_i - \gamma_i x_{i+1}}{\beta'_i}, \;\;\;\;\; i = N-2, ..., 0 }
Como a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{Q} }
é tridiagonal, o sistema linear Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{Q}\boldsymbol{\chi} = \Psi^n }
pode ser resolvido com o uso do algoritmo de Thomas para obter Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\chi}}
e, em sequência, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\chi} }
é utilizado para obter Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi^{n+1} }
.
O código abaixo foi implementado para integrar numericamente duas equações de Schrödinger não-lineares acopladas, que foram discretizadas sobre uma rede unidimensional da seguinte forma
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar\frac{\partial \psi_i}{\partial t} = -\omega(\psi_{i-1} + \psi_{i+1}) + V_i \psi_i + U_1 \vert \psi_i \vert^2\psi_i + U_2 \vert \phi_i \vert^2\psi }
e
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\hbar\frac{\partial \phi_i}{\partial t} = -\omega(\phi_{i-1}+\phi_{i+1}) + V_i \phi_i + U_1\vert \phi_i \vert^2\phi_i + U_2 \vert \psi_i \vert^2\phi_i }
que representam a evolução dinâmica de dois condensados de Bose-Einstein nesta mesma rede. O último termo de ambas as equações denota o acoplamento do sistema.
Para esta integração numérica, foram utilizados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=301} sítios, para um período total de 50 “segundos” e um passo de tempo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t = 0,001 } “segundos”, onde as unidades de tempo possuem aspas pois são adimensionais .
