Equação de Kuramoto–Sivashinsky

André Becho Guimarães

Este trabalho tem como objetivo estudar o comportamento das soluções para a equação de Kuramoto-Sivashinsky de contorno periódico, para isso são utilizados dois métodos: diferenças finitas e fast fourier transform. Os resultados obtidos são apresentados e discussões são feitas sob à luz da teoria de caos.

Equação

A equação de Kuramoto-Sivashinsky (KS) foi inicialmente proposta por Yoshiki Kuramoto e Gregory Sivashinsky para a modelagem das instabilidades da frente de uma chama laminar.

$u_{t}+u_{xx}+u_{xxxx}+{\frac {1}{2}}u_{x}^{2}=0$

No entanto, a forma diferencial $v=u_{x}$ da equação foi descoberta independentemente na área de dinâmica de fluidos, onde ficou mais conhecida para a modelagem de filmes finos.

$v_{t}+v_{xx}+v_{xxxx}+vv_{x}=0$

A equação apresenta comportamentos caóticos ao ser estudada em geometrias anelares, ou seja, condições de contorno periódicas; por isso esse será o caso estudado aqui.

Métodos de Solução

Diferenças Finitas (FTCS)

O método mais simples foi aplicado a fim de entender o comportamento da equação. Tentativas de linearização resultaram em uma equação de comportamento muito distinto do descrito na literatura; e portanto, não é de nosso interesse estudá-la. É importante relembrar que a aplicação do método FTCS não é recomendado no caso de não linearidades pois o método tem baixa precisão e pode acumular erros.

Como esperado, a solução numérica teve sua estabilidade atrelada à suas condições iniciais; ou seja, a solução é instável (exceto em casos bem específicos, onde ela se comporta de forma análoga à equação da difusão).

Solução FTCS de condição inicial $\sin {\left({\frac {\pi }{20}}x\right)}^{2}$

Solução FTCS de condição inicial $\sin {\left({\frac {\pi }{10}}x\right)}^{2}$

Método Espectral (FFT)

Utilizando o método fft em conjunto com as propriedades da transformada de fourier, pode-se resolver a EDP utilizando a forma de derivada espectral. Esse método possui alta precisão e é capaz de incorporar o comportamento ondulatório de soluções, algo característico da equação de Kuramoto-Sivashinsky.

A derivada espectral é caracterizada pela transformada de fourier de uma derivada, o que facilita a resolução de equações diferenciais parciais:

${\mathcal {F}}(v_{x})=ik{\mathcal {F}}(v)\longrightarrow v_{x}={\mathcal {F^{-1}}}\left(ik{\mathcal {F}}(v)\right)$.

Essa propriedade permite que a resolução da parte espacial da equação de Kuramoto-Sivashinsky diferencial seja dada por

$v_{t}={\mathcal {F^{-1}}}(k^{2}{\hat {v}})-{\mathcal {F^{-1}}}(k^{4}{\hat {v}})-{\frac {v{\mathcal {F^{-1}}}(ik{\hat {v}})}{2}}$,

onde ${\hat {v}}\equiv {\mathcal {F}}(v)$. A parte temporal também pode ser resolvida da mesma forma, mas o método de Runge-Kutta (RK45) foi aplicado em seu lugar por sua maior simplicidade e velocidade de processamento.

Resultados e Discussões

Através do método espectral foi possível estudar o comportamento da Equação de Kuramoto-Sivashinsky em sua forma diferencial. Para uma melhor interpretação das soluções, os dados são dispostos em dois modelos de gráfico: um gif em que a passagem de tempo é representada pela mudança de frames, e um gráfico com escala de cores; onde os eixos representam o tempo e o espaço.

Solução espectral de condição inicial $\sin {\left({\frac {2\pi }{3}}x\right)}^{2}$

Mapa temporal de condição inicial $\sin {\left({\frac {2\pi }{3}}x\right)}^{2}$

Ao partir de uma condição inicial senoidal, a equação se mantém estável por longos períodos de tempo, o que atrasa a chegada de seu comportamento mais característico: a formação de faixas. Esse comportamento é mais perceptível ao se analisar o mapa temporal da solução, deixando clara a tendência da equação de concentrar mínimos e máximos próximos, gerando picos e vales que se relacionam de forma complexa. No entanto, é fácil perceber que o comportamento simulado não é caótico e sim quase periódico. Isso está atrelado a um fator muito importante para o estudo da equação, o tamanho da periodicidade simulada, ou seja, seu domínio (L).

Caos gerado pelo Domínio (L)

É esperado que a solução para a equação dependa das condições iniciais escolhidas, mas uma relação entre a solução e o tamanho do domínio estudado é algo bem mais surpreendente. A equação KS apresenta esse comportamento inesperado e por isso é objeto de estudo até mesmo em teorias de caos. Sua forma simples apresenta três elementos importantes:

Um termo crescente, com funcionamento inverso à equação do calor:

$-v_{xx}$;

um termo dissipador, responsável pelo amortecimento de picos e vales estreitos:

$-v_{xxxx}$;

e um termo não linear, provavelmente responsável pelo comportamento ondulatório da equação, transferindo energia entre os estados crescentes e amortecidos:

$-vv_{x}$.

A soma desses comportamentos faz com que em domínios periódicos pequenos, a equação consiga se manter estável, atingindo resultados constantes ou ondas planas. Isso pode ser identificado nas soluções abaixo, que apesar de possuírem a mesma condição inicial ( $\sin {\left({\frac {2\pi }{L}}x\right)}^{2}$ ), são mapeadas em domínios de tamanhos diferentes.

Solução espectral para $L=1$

Mapa temporal para $L=1$

Solução espectral para $L=2$

Mapa temporal para $L=2$

Solução espectral para $L=5$

Mapa temporal para $L=5$

É notável a diferença entre as soluções encontradas, mas alguns pontos merecem destaque. Primeiramente existe uma forte relação entre a mudança de fase da equação e seu domínio, ou seja, domínios pequenos são atraídos mais rapidamente para a solução final; enquanto domínios maiores tendem a se manter estáveis por mais tempo. Por outro lado, a solução final tem forma mais simples para domínios pequenos, enquanto domínios maiores tendem a apresentar padrões mais intrincados.

A fim de estudar o caos gerado pela equação, é necessário que pequenas variações (ruído) sejam inseridas. Para tanto, a condição inicial se manteve a mesma já estudada, mas somada à valores gerados aleatoriamente a partir do intervalo $[-0.01,0.01]$ para cada ponto do domínio.

Mapa temporal para $L=1$ sem ruído

Mapa temporal para $L=2$ sem ruído

Mapa temporal para $L=5$ sem ruído

Mapa temporal para $L=1$ com ruído

Mapa temporal para $L=2$ com ruído

Mapa temporal para $L=5$ com ruído

Ao analisar as soluções com ruído é possível perceber a sensibilidade de cada solução às condições iniciais. A solução de domínio $L=1$ se manteve quase inalterada, atingindo um resultado muito similar ao da solução original. Já o domínio $L=2$ apresentou uma sensibilidade muito maior às pequenas variações do ruído; inicialmente a solução aparenta seguir o mesmo caminho, mas aos poucos deformidades começam a surgir e a solução perde suas simetrias e periodicidades. Por fim, a solução de domínio $L=5$ teve seu comportamento quase completamente alterado; sua maior estabilidade deixa de estar presente e seus padrões não apresentam qualquer simetria.

Como é possível perceber, com o aumento de L as soluções para a equação de Kuramoto-Sivashinsky se tornam caóticas, apresentando padrões muito sensíveis às condições iniciais. Para entender melhor a sensibilidade de cada domínio, as soluções a seguir terão um único ponto de diferença entre si: seu ponto central será somado a valores levemente maiores até que seu comportamento geral seja alterado. Isso permitirá identificar os limites de atração para as soluções de cada domínio. Para fins de melhor comparação, a condição inicial já utilizada será repetida para todos os domínios: $\sin {\left({\frac {2\pi }{L}}x\right)}^{2}$.

Antes de analisar os resultados é importante destacar um ponto essencial da implementação do algoritmo: a discretização espacial é feita de forma a manter "dx" constante, independentemente do tamanho do domínio estudado. Ou seja, ao aumentar o tamanho do domínio, sua resolução permanece inalterada. Isso torna o algoritmo mais preciso, permitindo que domínios maiores mantenham a mesma precisão de domínios menores. Por outro lado, isso torna o processamento de domínios maiores lento e ineficaz, limitando o estudo a domínios de escala próxima a $L=10$.

Domínio L=1

Mapa temporal para $L=1$ com ruído pontual 0

Mapa temporal para $L=1$ com ruído pontual 0.405326

Para o domínio $L=1$ o comportamento da solução quase não é alterado pela alteração de um único ponto, é necessária uma alteração significativa para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente $\pm 0.405326$ em um único ponto. É fácil perceber mudanças gerais de comportamento que tornaram as faixas mais oscilantes e menos estáveis; além de um aumento da diferença entre mínimos e máximos.

Domínio L=2

Mapa temporal para $L=2$ com ruído pontual 0

Mapa temporal para $L=2$ com ruído pontual 0.00005

Para o domínio $L=2$ o comportamento da solução é bem sensível à alterações de um único ponto, é suficiente uma pequena alteração para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente $\pm 0.00005$ em um único ponto. É fácil perceber pequenas mudanças de comportamento na solução, principalmente a partir de $t=100$.

Domínio L=5

Mapa temporal para $L=5$ com ruído pontual 0

Mapa temporal para $L=5$ com ruído pontual 0.0000001

Para o domínio $L=5$ o comportamento da solução é extremamente sensível à alterações de um único ponto, é suficiente uma alteração quase infinitesimal para que o comportamento comece a se alterar. O ponto preciso de transição é infinitesimal e por isso não é possível definir um limite exato; mas para os testes feitos, é possível dizer com segurança que a transição entre as soluções ocorre para alterações de aproximadamente $\pm 0.0000001$ em um único ponto. As alterações geradas em um único ponto demoram a se espalhar em um domínio tão grande, mas já é possível notar uma quebra de simetria na parte central da solução, principalmente a partir de $t=100$.

Discussão Final

Os resultados encontrados pelas soluções parecem consistentes com a literatura já existente. O comportamento marcante da equação KS é facilmente identificado pelas faixas próximas e oscilantes; além das rápidas mudanças entre máximos e mínimos, que simulam bem o comportamento desejado de uma chama laminar. Por outro lado, um comportamento especial da equação também foi notável: a apresentação de comportamentos caóticos se intensifica para domínios maiores.

É contra intuitivo pensar que ao aumentar o tamanho do domínio estudado possa torná-lo mais sensível à pequenas mudanças, mas a equação KS nos demonstra o oposto. Uma mudança infinitesimal não é capaz de alterar o resultado significativamente em domínios pequenos como $L=1$, mas altera quase completamente o resultado em domínios maiores como $L=5$. Isso provavelmente ocorre pela periodicidade do domínio, ou seja, uma pequena mudança no centro do domínio propaga alterações que se anulam ao se encontrarem na periodicidade do contorno. Para domínios pequenos, essas alterações se anulam rapidamente, impedindo que a solução se altere de forma drástica; já domínios maiores sofrem grandes alterações antes que as perturbações consigam se anular, modificando a solução de forma mais crítica.

O comportamento caótico da equação é conhecido e descrito pela literatura, mas a validação do mesmo reforça o poder numérico do método espectral utilizado; além da grande importância do algoritmo FFT para a resolução de problemas complexos como o estudado aqui.

Códigos em Python

Diferenças Finitas (FTCS)

#Importação de bibliotecas
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from PIL import Image
import glob


#Parâmetros Gerais
h = 1
dt = 1/20
k = dt/h
beta = 0
m = 1

L = 20
t_max = 260
X = np.arange(L)
plot = 1


#Declaração das condições iniciais
F = np.zeros(L)
for i in range(L):
  F[i] = np.sin(2*np.pi*i/L)**2
G = F.copy()
t = 0

V = np.zeros((t_max,L))
T = np.arange(t,t_max) * k*h


#Atualização temporal
while t < t_max:
  V[t][0:] = F[0:]
  if t%10==0:
    fig = plt.figure(figsize=(5,5))
    plt.plot(X,F,label='tempo:{}'.format(t*k*h))
    plt.xlabel("X")
    plt.ylabel("u(x,t)")
    plt.legend()
    plt.ylim(-5,5)
    fig.savefig('./grafs/%c.PNG'% (plot))
    plt.close()
    plot+=1

  #Casos extremo esquerdo com contorno periódico
  G[0] = F[0] + k * F[0]**m * (F[L-1] - F[1]) + k*beta/h**2 * (F[L-3] - F[3] + 3 * (F[1] - F[L-1])) + k/h**3 * ((4-h**2) * (F[2] + F[L-2]) + F[0] * (2*h**2 - 6) - F[4] - F[L-4])
  G[1] = F[1] + k * F[1]**m * (F[0  ] - F[2]) + k*beta/h**2 * (F[L-2] - F[4] + 3 * (F[2] - F[0  ])) + k/h**3 * ((4-h**2) * (F[3] + F[L-1]) + F[1] * (2*h**2 - 6) - F[5] - F[L-3])
  G[2] = F[2] + k * F[2]**m * (F[1  ] - F[3]) + k*beta/h**2 * (F[L-1] - F[5] + 3 * (F[3] - F[1  ])) + k/h**3 * ((4-h**2) * (F[4] + F[0  ]) + F[2] * (2*h**2 - 6) - F[6] - F[L-2])
  G[3] = F[3] + k * F[3]**m * (F[2  ] - F[4]) + k*beta/h**2 * (F[0  ] - F[6] + 3 * (F[4] - F[2  ])) + k/h**3 * ((4-h**2) * (F[5] + F[1  ]) + F[3] * (2*h**2 - 6) - F[7] - F[L-1])

  #Casos gerais com contorno periódico
  G[4:L-4] = F[4:L-4] + k * F[4:L-4]**m * (F[3:L-5] - F[5:L-3]) + k*beta/h**2 * (F[1:L-7] - F[7:L-1] + 3 * (F[5:L-3] - F[3:L-5])) + k/h**3 * ((4-h**2) * (F[6:L-2] + F[2:L-6]) + F[4:L-4] * (2*h**2 - 6) - F[8:] - F[0:L-8])


  #Casos extremo direito com contorno periódico
  G[L-4] = F[L-4] + k * F[L-4]**m * (F[L-5] - F[L-3]) + k*beta/h**2 * (F[L-7] - F[L-1] + 3 * (F[L-3] - F[L-5])) + k/h**3 * ((4-h**2) * (F[L-2] + F[L-6]) + F[L-4] * (2*h**2 - 6) - F[0] - F[L-8])
  G[L-3] = F[L-3] + k * F[L-3]**m * (F[L-4] - F[L-2]) + k*beta/h**2 * (F[L-6] - F[0  ] + 3 * (F[L-2] - F[L-4])) + k/h**3 * ((4-h**2) * (F[L-1] + F[L-5]) + F[L-3] * (2*h**2 - 6) - F[1] - F[L-7])
  G[L-2] = F[L-2] + k * F[L-2]**m * (F[L-3] - F[L-1]) + k*beta/h**2 * (F[L-5] - F[1  ] + 3 * (F[L-1] - F[L-3])) + k/h**3 * ((4-h**2) * (F[0  ] + F[L-4]) + F[L-2] * (2*h**2 - 6) - F[2] - F[L-6])
  G[L-1] = F[L-1] + k * F[L-1]**m * (F[L-2] - F[0  ]) + k*beta/h**2 * (F[L-4] - F[2  ] + 3 * (F[0  ] - F[L-2])) + k/h**3 * ((4-h**2) * (F[1  ] + F[L-3]) + F[L-1] * (2*h**2 - 6) - F[3] - F[L-5])

  #Propagação para próxima iteração
  F = G.copy()
  t +=1


#Criação do GIF
frames = (Image.open(f) for f in sorted(glob.glob("./grafs/*.PNG")))
frame_one = next(frames)
frame_one.save("animado.gif", format="GIF", append_images=frames, save_all=True, duration=300, loop=0)

Método Espectral (FFT)

#Importação de bibliotecas
from scipy.fft import fft, ifft, fftshift
from scipy import integrate
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from PIL import Image
import glob

#Parâmetros Gerais
L = 3
N = L*100
t_max = 120

dx = L/N

X = np.arange(0,L,dx)
K = 4*np.pi/L * np.arange(-L/2,L/2,dx)
K = fftshift(K)

#Forma diferencial da Equação KS
def KS(t,F,K=K):
  fourier = fft(F)
  return ifft(K**2 * fourier) - ifft(K**4 * fourier) - F/2 * ifft(K * 1j* fourier)

#Forma integral da Equação KS
def IKS(t,F,K=K):
  fourier = fft(F)
  return ifft(K**2 * fourier) - ifft(K**4 * fourier) - (ifft(K * 1j* fourier))**2

#Declaração das condições iniciais
F0 = np.sin(2*np.pi*X/L)**2 + 0j
plot = 1

V = []
T = []


#Solução por RK45
sol=integrate.RK45(KS,0,F0,t_max)

while sol.t < t_max:
  T.append(sol.t)
  V.append(sol.y)
  sol.step()


#Criação dos Frames
for i in range(len(T)//500):
  t = T[i*500]
  y = V[i*500]
  fig = plt.figure(figsize=(5,5))
  plt.plot(X,y.real,label='tempo:%.2f'% (t))
  plt.xlabel('X')
  plt.ylabel('v(x,t)')
  plt.legend(loc='upper right')
  plt.ylim(-5,5)
  fig.savefig('./grafs/%c.PNG'% (i+1))
  plt.close()


# Criação do GIF
frames = (Image.open(f) for f in sorted(glob.glob("./grafs/*.PNG")))
frame_one = next(frames)
frame_one.save("animado.gif", format="GIF", append_images=frames, save_all=True, duration=150, loop=0)



#Criação mapa de cores real
fig = plt.figure(figsize=(5,5))
graf = plt.pcolormesh(X,T,np.array(V).real,cmap="inferno",vmin=-5,vmax=5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('t')
cbar = fig.colorbar(graf)
cbar.ax.set_title('v(x,t)')
fig.savefig("mapa_temporal.png")
plt.close()

Referências

1. Brunton SL, Kutz JN. 2019. Data-Driven Science and Engineering: Machine Learning, Dynamical Systems, and Control. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108380690
2. Kuramoto, Yoshiki. 1978. Diffusion-Induced Chaos in Reaction Systems. Progress of Theoretical Physics Supplement 64: 346–67. https://doi.org/10.1143/PTPS.64.346.
3. Bhatt, Harish, e Abhinandan Chowdhury. 2019. A compact fourth-order implicit-explicit Runge-Kutta type scheme for numerical solution of the Kuramoto-Sivashinsky equation. arXiv. http://arxiv.org/abs/1911.12183.
4. Kudryashov, N.A., e S.F. Lavrova. 2021. Dynamical Features of the Generalized Kuramoto-Sivashinsky Equation. Chaos, Solitons & Fractals 142 (janeiro): 110502. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110502.
5. Papageorgiou, Demetrios T., e Yiorgos S. Smyrlis. 1991. The Route to Chaos for the Kuramoto-Sivashinsky Equation. Theoretical and Computational Fluid Dynamics 3 (1): 15–42. https://doi.org/10.1007/BF00271514.
6. Baez, John C., Steve Huntsman e Cheyne Weis. 2022. The Kuramoto–Sivashinky Equation. American Mathematical Society https://www.ams.org/journals/notices/202209/noti2548/noti2548.html?adat=October%202022&trk=2548&galt=none&cat=column&pdfissue=202209&pdffile=rnoti-p1581.pdf