Física Computacional - Mudanças recentes [pt-br]

Percolação 2D

Weslley342537 — Wed, 08 Jul 2026 13:26:02 GMT

O Potencial de Lennard-Jones

Luizamossi — Wed, 08 Jul 2026 12:00:18 GMT

Evolução Temporal e Termalização da Energia

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	* '''Regime Transiente (Termalização):''' Nos passos iniciais da simulação (antes da linha tracejada vermelha marcando 5000 MCS), observa-se uma queda abrupta e colossal da energia. Isso ocorre porque as posições iniciais das partículas foram geradas aleatoriamente no espaço contínuo da caixa bidimensional. Consequentemente, algumas partículas "nascem" sobrepostas ou demasiadamente próximas umas das outras. Devido ao forte termo repulsivo <math>r^{-12}</math> do potencial de Lennard-Jones, essa proximidade artificial gera uma energia positiva tendendo ao infinito. O algoritmo de Metropolis, buscando minimizar a energia, atua rejeitando as sobreposições e afastando essas partículas violentamente, o que causa o despencar imediato da curva de energia.		* '''Regime Transiente (Termalização):''' Nos passos iniciais da simulação (antes da linha tracejada vermelha marcando 5000 MCS), observa-se uma queda abrupta e colossal da energia. Isso ocorre porque as posições iniciais das partículas foram geradas aleatoriamente no espaço contínuo da caixa bidimensional. Consequentemente, algumas partículas "nascem" sobrepostas ou demasiadamente próximas umas das outras. Devido ao forte termo repulsivo <math>r^{-12}</math> do potencial de Lennard-Jones, essa proximidade artificial gera uma energia positiva tendendo ao infinito. O algoritmo de Metropolis, buscando minimizar a energia, atua rejeitando as sobreposições e afastando essas partículas violentamente, o que causa o despencar imediato da curva de energia.
	* '''Regime de Produção (Equilíbrio):''' Após o período de termalização, o sistema relaxa. A energia estabiliza-se e passa a variar em torno de um valor médio negativo. Estas ~~oscilações~~ visíveis não são ruído numérico ou erro do código, mas sim as flutuações térmicas naturais inerentes a um sistema no ensemble canônico. A magnitude dessas flutuações está intimamente ligada a propriedades macroscópicas do fluido, fornecendo a base para o cálculo da capacidade térmica a volume constante (<math>C_v</math>). Apenas os dados situados nesta região de equilíbrio são utilizados para o cálculo de médias e propriedades estruturais.		* '''Regime de Produção (Equilíbrio):''' Após o período de termalização, o sistema relaxa. A energia estabiliza-se e passa a variar em torno de um valor médio negativo. Estas variações visíveis não são ruído numérico ou erro do código, mas sim as flutuações térmicas naturais inerentes a um sistema no ensemble canônico. A magnitude dessas flutuações está intimamente ligada a propriedades macroscópicas do fluido, fornecendo a base para o cálculo da capacidade térmica a volume constante (<math>C_v</math>). Apenas os dados situados nesta região de equilíbrio são utilizados para o cálculo de médias e propriedades estruturais.

	== Estrutura do Fluido: Função de Distribuição Radial <math>g(r)</math> ==		== Estrutura do Fluido: Função de Distribuição Radial <math>g(r)</math> ==

Código:Wang-Landau em simulação do tipo Blume-Capel

Misalocin — Mon, 06 Jul 2026 20:08:17 GMT

Criou página com 'O código foi feito em um notebook de python, tendo duas células principais. A primeira é a que define as funções e faz o trabalho pesado de simular o Wang-Landau. <syntaxhighlight lang="python"> @njit def genLookup(side): ''' Cria uma tabela com o índice das células vizinhas dado um tamanho de grade ''' index = np.arange(side**2) up = (index - side) % (side**2) down = (index + side) % (side**2) left = np.where(index % side =...'

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O código foi feito em um notebook de python, tendo duas células principais. A primeira é a que define as funções e faz o trabalho pesado de simular o Wang-Landau.

<syntaxhighlight lang="python">
@njit
def genLookup(side):
'''
Cria uma tabela com o índice das células vizinhas dado um tamanho de grade
'''
index = np.arange(side**2)
up = (index - side) % (side**2)
down = (index + side) % (side**2)
left = np.where(index % side == 0, index - 1 + side, index - 1)
right = np.where((index + 1) % side == 0, index + 1 - side, index + 1)
return np.stack((up, down, left, right))

@njit
def simWangLandaw(state, lookup, indexE, histE, logf, logG, minE, maxE, mask, flatness, w):
'''
Executa a simulação de Wang-Landau de maneira que os valores estejam contidos
em um intervalo de energia (para paralelização)
'''

# Salva o número de partículas totais e o número de iterações
N = state.size
i = 0
conv = True

# Enquanto o histograma não estiver plano e o código não tiver rodado
# mais de 100.000.000 de vezes, evolui o sistema
while not flatHist(histE, minE, maxE, mask, flatness) and i<limIter:
i += 1
index = np.random.randint(0, N)
spin = state[index]
neiSum = state[lookup[0][index]] + state[lookup[1][index]] + \
state[lookup[2][index]] + state[lookup[3][index]]

newSpin = proposeSpin(spin)
dE = deltaE(spin, newSpin, neiSum)

# Calcula a nova energia devido a mudança de spin
newIndexE = indexE + dE

# Se tiver dentro do intervalo de enegrgia da simulação
if newIndexE >= minE and newIndexE <= maxE:
# Atualiza o spin com uma dada probabilidade
if np.random.random() < min(1.0, np.exp(logG[indexE] - logG[newIndexE])):
state[index] = newSpin # BC: atribui newSpin, não -spin
indexE = newIndexE

# Salva a energia no histograma de energias e incrementa
# o logarítmo da função g pelo valor logf
histE[indexE] += 1
logG[indexE] += logf

# Se a função não convergir com o valor de logf, registra no terminal
# e marca como não sendo possível convergir
if i >= limIter:
conv = False
total = 0
count = 0
minh = 1e12
for i in range(minE, maxE + 1):
h = histE[i]
if not mask[i]:
continue
elif h >= 10:
total += h
count += 1
if h < minh:
minh = h
print(w+1, " never converged, got at ", 100*minh/(total/count), "%")

# Retorna o estado e energia final, além da confirmação de convergência
return state, indexE, conv

@njit
def flatHist(hist, minE, maxE, mask, flatness):
'''
Verifica o quão plano o histograma de energias está
'''
# Cria duas variáveis para calcular a média
total = 0
count = 0
minVisits=10

# Soma todos os h que já passaram de um mínimo e conta quantos são eles
# Ignora as partes que nunca sairão de zero pela mask
for i in range(minE, maxE + 1):
h = hist[i]
if not mask[i]:
continue
elif h >= minVisits:
total += h
count += 1
else:
return False

# Se nenhum h foi contado, retorna falso
if count == 0:
return False

# Verifica se todos os valores de h são maiores que uma porcentagem da média
# Também ignora os valores que são sempre 0
for i in range(minE, maxE + 1):
h = hist[i]
if not mask[i]:
continue
elif h > minVisits and h < flatness * (total / count):
return False
return True

@njit(parallel=True)
def parallelWangLandau(N, lookup, numE, logfInit, bounds, mask, flatness=0.8):
'''
Executa o modelo de Wang-Landau em intervalos de energia de maneira
que seja possível rodar o código em paralelo para cada intervalo
'''
# Número de simulações paralelas
numSim = len(bounds) - 1

# Cria duas matrizes que armazenarão o conjunto de dados
# de cada processo
logG = np.zeros((numSim, numE))
histE = np.zeros((numSim, numE))

# Para cada núcleo do processador
for w in prange(numSim):

# Define o intervalo de energias daquele núcleo
minE = bounds[w]
maxE = bounds[w+1]

# Começa a simulação do estado de menor energia
state = np.ones(N, dtype=np.int16)
indexE = 0

# Enquanto a energia não alcança o valor mínimo, simula o programa
while indexE < minE:
idx = np.random.randint(0, N)
spin = state[idx]
neiSum = state[lookup[0][idx]] + state[lookup[1][idx]] + \
state[lookup[2][idx]] + state[lookup[3][idx]]
newSpin = proposeSpin(spin)
dE = deltaE(spin, newSpin, neiSum)

# Só aceita se a variação for positiva
if dE > 0:
state[idx] = newSpin
indexE += dE
else:
# Aleatoriamente aceita uma queda de energia
# evitando máximos locais
if np.random.random() < 0.05:
state[idx] = newSpin
indexE += dE
# Valor inicial do logarítmo do valor de f
logf = logfInit

# Se a simulação convergiu
conv = True

# Enquanto f é muito grande ou as simulações convergirem
while np.exp(logf) - 1 > minf and conv:

# Reseta o histograma de energia e executa uma nova simulação
histE[w, :] = 0
state, indexE, conv = simWangLandaw(state, lookup, indexE, histE[w],
logf, logG[w], minE, maxE, mask, flatness,w)
#Tira a raiz de f
logf *= 0.5

# Retorna o logarítmo da função G e o histograma de energia
return logG, histE

def wangLandau(N, lookup, numE, logf, numCores, mask, flatness=0.8):
'''
Chama parallelWangLandau e une (concatena/corrige offset) os
resultados de cada núcleo em um único par (lnG, histE) de tamanho numE.
'''
bounds = np.array([int(i * (numE - 1) / numCores) for i in range(numCores)] + [numE - 1])

lnGSplit, histESplit = parallelWangLandau(N, lookup, numE, logf, bounds, mask, flatness)

numSim = len(bounds) - 1

lnG = np.zeros(numE)
histE = np.zeros(numE)

sl = slice(bounds[0], bounds[1] + 1)
lnG[sl] = lnGSplit[0, sl]
histE[sl] = histESplit[0, sl] / np.mean(histESplit[0, sl][mask[sl]])

for w in range(1, numSim):
sl = slice(bounds[w], bounds[w+1] + 1)
overlap = bounds[w]
offset = lnG[overlap] - lnGSplit[w, overlap]
lnGSplit[w] += offset

lnG[sl] = lnGSplit[w, sl]
histE[sl] = histESplit[w, sl] / np.mean(histESplit[w, sl][mask[sl]])

return lnG, histE

def thermVar(lng, E, kbTs):
U = np.zeros_like(kbTs)
C = np.zeros_like(kbTs)
F = np.zeros_like(kbTs)
S = np.zeros_like(kbTs)
for i, kbT in enumerate(kbTs):
lnP = lng - E / kbT

M = np.max(lnP)
P = np.exp(lnP - M)
Zrel = np.sum(P)
lnZ = M + np.log(Zrel)
u = np.sum(E * P) / Zrel
u2 = np.sum(E**2 * P) / Zrel
U[i] = u
C[i] = (u2 - u**2) / kbT**2
F[i] = -kbT * lnZ
S[i] = (U[i] - F[i]) / kbT
return U, C, F, S
</syntaxhighlight>

Tendo isso, a implementação para o modelo de Ising segue abaixo
<syntaxhighlight lang="python">
@njit
def proposeSpin(spin):
'''
Define o possível novo spin como o oposto do spin atual
como definido no modelo de Ising
'''
return -spin

@njit
def deltaE(spin, newSpin, neiSum):
'''
Variação de energia total de um passo em valor de índice
'''
return np.int16(- (newSpin - spin) * neiSum)//4

gridSize = 32
logf = 1.0
# Número de núcleos do processador a serem utilizados
numCores = 12
# Valor mínimo para o valor 1-f
minf = 1e-8
# Limita o número de iterações para evitar que rode infinitamente
limIter = 100_000_000

N = gridSize**2
lookup = genLookup(gridSize)

simWangLandaw.recompile() # Recompila as funções em numba caso elas já tenham sido geradas
parallelWangLandau.recompile()

# Número de energias a serem visitadas, incluindo as impossíveis para que seja mantido o intervalo
# entre energias
numE = N + 1

# Máscara para os valores impossíveis
mask = np.ones(numE, dtype=bool)
mask[1] = mask[-2] = False

# Executa a simulação em si
lnG, histE = wangLandau(N, lookup, numE, logf, numCores, mask, flatness=0.95)
energies = - 2 + 4 * np.arange(numE)/N
energies = - energies[mask]
lnG = lnG[mask] + np.log(2) - np.mean((lnG[0],lnG[-1]))
histE = histE[mask]
</syntaxhighlight>

Após isso, pode-se extrair os dados e realizar as medidas escolhidas. O mesmo código acima para o modelo de Blume-Capel segue abaixo.

<syntaxhighlight lang="python">

@njit
@njit
def proposeSpin(spin):
'''
Função que sorteia um novo spin para uma dada partícula
'''
r = np.random.randint(0, 2)
if spin == 0:
return -1 if r == 0 else 1
elif spin == 1:
return 0 if r == 0 else -1
else:
return 0 if r == 0 else 1

@njit
def deltaE(spin, newSpin, neiSum):
'''
Função que calcula a variação de energia para o modelo estudado
DEVE retornar um inteiro
'''
return - (newSpin - spin) * neiSum + (newSpin**2 - spin**2)

gridSize = 32
logf = 1.0
# Número de núcleos do processador a serem utilizados
numCores = 12
# Valor mínimo para o valor 1-f
minf = 1e-8
# Limita o número de iterações para evitar que rode infinitamente
limIter = 100_000_000

N = gridSize**2
lookup = genLookup(gridSize)

simWangLandaw.recompile() # Recompila as funções em numba caso elas já tenham sido geradas
parallelWangLandau.recompile()

# Número de energias a serem visitadas, incluindo as impossíveis para que seja mantido o intervalo
# entre energias
numE = 4 * N + 1

# Máscara para os valores impossíveis
mask = np.ones(numE, dtype=bool)
mask[1] = mask[2] = mask[4] = mask[-2] = mask[-3] = mask[-4] = mask[-5] = mask[-7] = mask[-8] = False

# Executa a simulação em si
lnG, histE = wangLandau(N, lookup, numE, logf, numCores, mask, flatness=0.95)
energies = - 2 + 4 * np.arange(numE)/N
energies = - energies[mask]
lnG = lnG[mask] + np.log(2) - np.mean((lnG[0],lnG[-1]))
histE = histE[mask]
</syntaxhighlight>

Wang-Landau em simulação do tipo Blume-Capel

Misalocin — Mon, 06 Jul 2026 19:59:24 GMT

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(2 revisões intermediárias pelo mesmo usuário não estão sendo mostradas)
Linha 1:		Linha 1:
	~~==Introdução==~~

	O modelo de Wang-Landau<ref name=wanglandau/> já foi estudado amplamente, inclusive em outros trabalhos nessa mesma wiki. Ele é um método que tenta melhorar o algoritmo de Metrópoles e calcular a função de partição de um sistema, como o de Ising ou Blume-Capel.		O modelo de Wang-Landau<ref name=wanglandau/> já foi estudado amplamente, inclusive em outros trabalhos nessa mesma wiki. Ele é um método que tenta melhorar o algoritmo de Metrópoles e calcular a função de partição de um sistema, como o de Ising ou Blume-Capel.

	Como o modelo de Ising já tem a sua função de partição conhecida<ref name=beale/> e foi muito estudado, ele servirá como referência para o modelo a ser desenvolvido. Após se ter resultados exatos com a precisão esperada, ele será aplicado ao sistema de Blume-Capel mais simples (<math>D=J=1</math>), de maneira a se observar como a modificação do sistema muda as variáveis termodinâmicas dentro dele.		Como o modelo de Ising já tem a sua função de partição conhecida<ref name=beale/> e foi muito estudado, ele servirá como referência para o modelo a ser desenvolvido. Após se ter resultados exatos com a precisão esperada, ele será aplicado ao sistema de Blume-Capel mais simples (<math>D=J=1</math>), de maneira a se observar como a modificação do sistema muda as variáveis termodinâmicas dentro dele.

	Outro desafio menor explorado é a implementação do método em paralelo, de maneira a acelerar os resultados.		Outro desafio menor explorado é a implementação do método em paralelo, de maneira a acelerar os resultados. O código foi feito em python, utiliza uma rede quadrada de lado de tamanho 32 e pode ser acessado na página [[código:Wang-Landau em simulação do tipo Blume-Capel]]

	== Níveis de energia do sistema ==		== Níveis de energia do sistema ==
Linha 146:		Linha 144:
	E, tendo a distribuição de energia, constrói-se a distribuição canônica, isso é, a função densidade de probabilidade das energias a uma temperatura, de maneira simples, com uma transformação dos valores obtidos. Essa distribuição depende da temperatura e da energia e, normalmente, seria extremamente difícil de se modelar computacionalmente através do modelo de Metropoles. abaixo é mostrada a distribuição canônica na temperatura crítica.		E, tendo a distribuição de energia, constrói-se a distribuição canônica, isso é, a função densidade de probabilidade das energias a uma temperatura, de maneira simples, com uma transformação dos valores obtidos. Essa distribuição depende da temperatura e da energia e, normalmente, seria extremamente difícil de se modelar computacionalmente através do modelo de Metropoles. abaixo é mostrada a distribuição canônica na temperatura crítica.

	[[File:ising_pe.png\|~~800px~~\|center\|Gráfico da distribuição de probabilidade de cada energia do modelo de Ising com o erro na parte inferior.]]		[[File:ising_pe.png\|500px\|center\|Gráfico da distribuição de probabilidade de cada energia do modelo de Ising com o erro na parte inferior.]]

	E, por fim, as grandezas termodinâmicas são calculadas.		E, por fim, as grandezas termodinâmicas são calculadas.

	[[File:ising_gt.png\|~~800px~~\|center\|Figura com o gráfico da energia interna, energia livre de Helmholtz, calor interno e entropia no modelo de Ising. Cada um com o erro comparado com os resultado abaixo do respectivo gráfico.]]		[[File:ising_gt.png\|700px\|center\|Figura com o gráfico da energia interna, energia livre de Helmholtz, calor interno e entropia no modelo de Ising. Cada um com o erro comparado com os resultado abaixo do respectivo gráfico.]]

	Analisando os gráficos, percebe-se que o erro fica constantemente em valores menores que 10% das medidas, mostrando que ele é um método que gera resultados próximos dos reais de maneira consistente.		Analisando os gráficos, percebe-se que o erro fica constantemente em valores menores que 10% das medidas, mostrando que ele é um método que gera resultados próximos dos reais de maneira consistente.
Linha 162:		Linha 160:
	Aqui, o acréscimo do termo de magnetização desloca o pico de <math>g(E)<math>, de maneira que a função deixe de ser simétrica. Analisando a probabilidade <math>P(E)</math> na temperatura crítica de aproximadamente 1.403 <ref name=critempbc/>		Aqui, o acréscimo do termo de magnetização desloca o pico de <math>g(E)<math>, de maneira que a função deixe de ser simétrica. Analisando a probabilidade <math>P(E)</math> na temperatura crítica de aproximadamente 1.403 <ref name=critempbc/>

	[[File:blume_pe.png\|~~800px~~\|center\|Gráfico da distribuição de probabilidade de cada energia para o modelo de Blume-Capel.]]		[[File:blume_pe.png\|600px\|center\|Gráfico da distribuição de probabilidade de cada energia para o modelo de Blume-Capel.]]

	É possível ver que o formato é parecido com o caso de Ising, mas aqui a densidade se afasta dos valores mínimos e distribui de maneira mais uniforme a energia, tendo um pico mais baixo que o caso de Ising e, consequentemente, descidas maiores.		É possível ver que o formato é parecido com o caso de Ising, mas aqui a densidade se afasta dos valores mínimos e distribui de maneira mais uniforme a energia, tendo um pico mais baixo que o caso de Ising e, consequentemente, descidas maiores.
Linha 168:		Linha 166:
	Por fim, as grandezas termodinâmicas desse modelo são calculadas:		Por fim, as grandezas termodinâmicas desse modelo são calculadas:

	[[File:blume_gt.png\|~~800px~~\|center\|Figura com o gráfico da energia interna, energia livre de Helmholtz, calor interno para o caso do modelo de Blume-Capel.]]		[[File:blume_gt.png\|700px\|center\|Figura com o gráfico da energia interna, energia livre de Helmholtz, calor interno para o caso do modelo de Blume-Capel.]]

	Aqui, as simulações estão de acordo com a temperatura crítica estimada por se alinhar com o máximo do calor específico, pontos de inflexão da energia interna e da entropia, além do ponto de queda da energia livre de Helmholtz. Em comparação com o caso de Ising, os formatos são parecidos considerando o deslocamento da temperatura crítica. Uma diferença no formato entre os dois casos é mais evidente no calor específico e na entropia, onde a subida inicial apresenta um comportamento linear no caso de Blume-Capel e parabólico no Ising.		Aqui, as simulações estão de acordo com a temperatura crítica estimada por se alinhar com o máximo do calor específico, pontos de inflexão da energia interna e da entropia, além do ponto de queda da energia livre de Helmholtz. Em comparação com o caso de Ising, os formatos são parecidos considerando o deslocamento da temperatura crítica. Uma diferença no formato entre os dois casos é mais evidente no calor específico e na entropia, onde a subida inicial apresenta um comportamento linear no caso de Blume-Capel e parabólico no Ising.

			Embora não tenha uma solução exata, os resultados estão comparáveis a outras simulações feitas.<ref name=compare/>

	== Apêndice 1: Paralelização ==		== Apêndice 1: Paralelização ==
Linha 225:		Linha 225:

	<ref name=beale> P. D. Beale, '''Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model''', Phys. Rev. Lett. 76,78 (1996). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78</ref>		<ref name=beale> P. D. Beale, '''Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model''', Phys. Rev. Lett. 76,78 (1996). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78</ref>

			<ref name=critempbc>Zierenberg, J., Fytas, N.G., Weigel, M. et al. '''Scaling and universality in the phase diagram of the 2D Blume-Capel model.''' Eur. Phys. J. Spec. Top. 226, 789–804 (2017). https://doi.org/10.1140/epjst/e2016-60337-x</ref>

			<ref name=compare> Silva, C. J., Caparica, A. A., Plascak, J. A. '''Wang-Landau Monte Carlo simulation of the Blume-Capel model''' American Physical Society 73, (2006). https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.73.036702</ref>

	<ref name=bealesite> P. D. Beale, '''Ising Exact''', University of Colorado Boulder, https://spot.colorado.edu/~beale/IsingExactMathematica.html. Visitado em 06/07/2026</ref>		<ref name=bealesite> P. D. Beale, '''Ising Exact''', University of Colorado Boulder, https://spot.colorado.edu/~beale/IsingExactMathematica.html. Visitado em 06/07/2026</ref>

	<ref name=critempbc>Zierenberg, J., Fytas, N.G., Weigel, M. et al. Scaling and universality in the phase diagram of the 2D Blume-Capel model. Eur. Phys. J. Spec. Top. 226, 789–804 (2017). https://doi.org/10.1140/epjst/e2016-60337-x</ref>

	</references>		</references>

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Wang-Landau em simulação do tipo Blume-Capel

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Trabalhos 2026-1

Misalocin — Mon, 06 Jul 2026 15:03:27 GMT

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Linha 4:		Linha 4:
	===[[O Potencial de Lennard-Jones]] ===		===[[O Potencial de Lennard-Jones]] ===
	===[[Percolação 2D]] ===		===[[Percolação 2D]] ===
			===[[Wang-Landau em simulação do tipo Blume-Capel]]===

Wang-Landau em simulação do tipo Blume-Capel

Misalocin — Mon, 06 Jul 2026 15:02:35 GMT

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Distribuição de energia exata para modelo de Ising

Misalocin — Sun, 05 Jul 2026 23:43:50 GMT

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Linha 1:		Linha 1:
			Valores da distribuição <math>g(E)</math> exatos para o modelo de Ising com uma grade quadrada.

	== grade de tamanho 8 ==		== grade de tamanho 8 ==
	2,0,128,256,4672,17920,145408,712960,4274576,22128384,118551552,610683392,3150447680,16043381504,80748258688,396915938304,1887270677624,8582140066816,36967268348032,149536933509376,564033837424064,1971511029384704,6350698012553216,18752030727310592,50483110303426544,123229776338119424,271209458049836032,535138987032308224,941564975390477248,1469940812209435392,2027486077172296064,2462494093546483712,2627978003957146636,2462494093546483712,2027486077172296064,1469940812209435392,941564975390477248,535138987032308224,271209458049836032,123229776338119424,50483110303426544,18752030727310592,6350698012553216,1971511029384704,564033837424064,149536933509376,36967268348032,8582140066816,1887270677624,396915938304,80748258688,16043381504,3150447680,610683392,118551552,22128384,4274576,712960,145408,17920,4672,256,128,0,2		2,0,128,256,4672,17920,145408,712960,4274576,22128384,118551552,610683392,3150447680,16043381504,80748258688,396915938304,1887270677624,8582140066816,36967268348032,149536933509376,564033837424064,1971511029384704,6350698012553216,18752030727310592,50483110303426544,123229776338119424,271209458049836032,535138987032308224,941564975390477248,1469940812209435392,2027486077172296064,2462494093546483712,2627978003957146636,2462494093546483712,2027486077172296064,1469940812209435392,941564975390477248,535138987032308224,271209458049836032,123229776338119424,50483110303426544,18752030727310592,6350698012553216,1971511029384704,564033837424064,149536933509376,36967268348032,8582140066816,1887270677624,396915938304,80748258688,16043381504,3150447680,610683392,118551552,22128384,4274576,712960,145408,17920,4672,256,128,0,2

Distribuição de energia exata para modelo de Ising

Misalocin — Sun, 05 Jul 2026 23:42:15 GMT

Criou página com '== grade de tamanho 8 == 2,0,128,256,4672,17920,145408,712960,4274576,22128384,118551552,610683392,3150447680,16043381504,80748258688,396915938304,1887270677624,8582140066816,36967268348032,149536933509376,564033837424064,1971511029384704,6350698012553216,18752030727310592,50483110303426544,123229776338119424,271209458049836032,535138987032308224,941564975390477248,1469940812209435392,2027486077172296064,2462494093546483712,2627978003957146636,2462494093546483712,2027486...'

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Wang-Landau em simulação do tipo Blume-Capel

Misalocin — Sun, 05 Jul 2026 23:40:50 GMT

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
 ==Introdução==
-O modelo de Wang-Landau (REFERENCIA) já foi estudado amplamente anteriormente aqui na cadeira. Ele é um método que tenta melhorar o algoritmo de Metrópoles e calcular a função de partição de um sistema, como o de Ising ou Blume-Capel.
+O modelo de Wang-Landau (REFERENCIA) já foi estudado amplamente anteriormente aqui. Ele é um método que tenta melhorar o algoritmo de Metrópoles e calcular a função de partição de um sistema, como o de Ising ou Blume-Capel.
 Como o modelo de Ising já tem a sua função de partição conhecida (CITAÇÃO) e foi muito estudado, ele servirá como referência para o modelo a ser desenvolvido. Após se ter resultados exatos com a precisão esperada, Ele será aplicado ao sistema de Blume-Capel mais simples (<math>D=J=1</math>), de maneira a se observar como a modificação do sistema muda as variáveis termodinâmicas dentro dele.
 == Níveis de energia do sistema ==
@@ Linha 36: / Linha 38: @@
 Os estados impossíveis do modelo de Blume-Capel que varia de <math>\mathcal{H}=-N</math> a <math>\mathcal{H}=3N</math>, existem menos estados incessíveis do que o caso anterior, sendo eles:
-* <math>\mathcal{H}=-(N-1)</math>
+* <math>\mathcal{H}=-N+1</math>
-* <math>\mathcal{H}=-(N-2)</math>
+* <math>\mathcal{H}=-N+2</math>
-* <math>\mathcal{H}=-(N-4)</math>
+* <math>\mathcal{H}=-N+4</math>
 * <math>\mathcal{H}=N-1</math>
 * <math>\mathcal{H}=N-2</math>
@@ Linha 45: / Linha 47: @@
 * <math>\mathcal{H}=N-6</math>
 * <math>\mathcal{H}=N-7</math>

O Potencial de Lennard-Jones

Velasquez — Sun, 05 Jul 2026 20:45:08 GMT

Finite-Size Scaling (FSS)

← Edição anterior		Edição das 20h45min de 5 de julho de 2026
Linha 83:		Linha 83:

	O Escalonamento de Tamanho Finito é uma técnica que utilizamos para compreender o comportamento de um sistema finito no limite termodinâmico. Para isso, repetimos a simulação para diferentes números de partículas (N = 100, 256, 500, 1000) e calculamos a energia por partícula (E/N) em cada simulação. Então, geramos um gráfico em função de 1/N, visto que quando N tende ao infinito, 1/N tende a zero, e então onde a curva corta o eixo Y (X=0) temos o valor da energia no limite termodinâmico.		O Escalonamento de Tamanho Finito é uma técnica que utilizamos para compreender o comportamento de um sistema finito no limite termodinâmico. Para isso, repetimos a simulação para diferentes números de partículas (N = 100, 256, 500, 1000) e calculamos a energia por partícula (E/N) em cada simulação. Então, geramos um gráfico em função de 1/N, visto que quando N tende ao infinito, 1/N tende a zero, e então onde a curva corta o eixo Y (X=0) temos o valor da energia no limite termodinâmico.

			{\|
			[[Arquivo:Fss.png\|600px\|thumb\|center]]
			\|}

			Do nosso gráfico, obtivemos que a energia no limite termodinâmico é <math> E \approx -1.755 </math>.

	= Conclusão =		= Conclusão =

Arquivo:Fss.png

Velasquez — Sun, 05 Jul 2026 20:36:45 GMT

Velasquez carregou Arquivo:Fss.png

Página nova

O Potencial de Lennard-Jones

Velasquez — Sun, 05 Jul 2026 20:32:23 GMT

Metodologia

← Edição anterior		Edição das 20h32min de 5 de julho de 2026
(11 revisões intermediárias pelo mesmo usuário não estão sendo mostradas)
Linha 23:		Linha 23:
	=== Objetivos ===		=== Objetivos ===

	Com isso, agora buscamos estudar alguns parâmetros de um sistema simular um gás sob efeito das forças de interação entre átomos utilizando uma rede bidimensional com N partículas. Inicialmente, pretendemos implementar essa simulação para calcular a energia e o parâmetro de ordem g(r), a fim de simular esse sistema para diferentes temperaturas e identificar as fases do sistema. Em seguida, vamos analisar a série temporal da energia para calcular as barras de erros. Por fim, vamos aplicar o Finite-Size Scaling (FSS) para compreender o comportamento real do sistema no limite termodinâmico.		Com isso, agora buscamos estudar alguns parâmetros de um sistema simular um gás sob efeito das forças de interação entre átomos utilizando uma rede bidimensional com N partículas. Inicialmente, pretendemos implementar essa simulação para calcular a energia e o parâmetro de ordem g(r), a fim de simular esse sistema para diferentes temperaturas e identificar as fases do sistema. Em seguida, vamos encontrar o tempo de correlação pela função de autocorrelação e depois analisar a série temporal da energia para calcular as barras de erros. Por fim, vamos aplicar o Finite-Size Scaling (FSS) para compreender o comportamento real do sistema no limite termodinâmico.

	= Metodologia =		= Metodologia =
Linha 29:		Linha 29:
	Para realizar as simulações do Potencial de Lennard-Jones, simulamos uma rede bidimensional quadrada com N partículas que se deslocam na rede de forma aleatória, com condições de contorno periódicas e vizinhança esférica. Para isso, utilizamos métodos de Monte Carlo, em que a cada passo sorteamos N partículas (uma de cada vez) e calculamos a sua energia local. Então, escolhemos aleatoriamente outra posição para a partícula e, se a nova energia local for menor, trocamos a sua posição para a nova.		Para realizar as simulações do Potencial de Lennard-Jones, simulamos uma rede bidimensional quadrada com N partículas que se deslocam na rede de forma aleatória, com condições de contorno periódicas e vizinhança esférica. Para isso, utilizamos métodos de Monte Carlo, em que a cada passo sorteamos N partículas (uma de cada vez) e calculamos a sua energia local. Então, escolhemos aleatoriamente outra posição para a partícula e, se a nova energia local for menor, trocamos a sua posição para a nova.

	Todo o código foi realizado em Python3, no ambiente do Google Colab, com o uso das bibliotecas <i> Numpy, Matplotlib </i> e pode ser acessado no link a seguir:		Todo o código foi realizado em Python3, no ambiente do Google Colab, com o uso das bibliotecas <i> Numpy, Matplotlib, Numba </i> e pode ser acessado no link a seguir:

			https://colab.research.google.com/drive/1PeGA2pAOo4MMLUyam2wevbuhHsaLrJAm?usp=sharing

	= Resultados e Discussão =		= Resultados e Discussão =
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	* '''Caroço Repulsivo (Volume Excluído):''' Para distâncias curtas (<math>r^* < 0.9</math>), observa-se que <math>g(r) = 0</math>. Isso comprova fisicamente a inacessibilidade dessa região: é a manifestação da repulsão de curto alcance, evidenciando o diâmetro efetivo das partículas onde a sobreposição das nuvens eletrônicas é proibida.		* '''Caroço Repulsivo (Volume Excluído):''' Para distâncias curtas (<math>r^* < 0.9</math>), observa-se que <math>g(r) = 0</math>. Isso comprova fisicamente a inacessibilidade dessa região: é a manifestação da repulsão de curto alcance, evidenciando o diâmetro efetivo das partículas onde a sobreposição das nuvens eletrônicas é proibida.
	* '''Ordem de Curto Alcance (Camadas de Solvatação):''' O sistema apresenta um pico primário extremamente pronunciado em torno de <math>r^* \approx 1.12</math>. Este valor coincide analiticamente com o mínimo do poço atrativo do potencial de Lennard-Jones (<math>2^{1/6}\sigma</math>). Este pico representa a primeira camada de coordenação, ou seja, a "casca" de vizinhos mais próximos que circundam uma partícula. Os picos subsequentes (perto de <math>r^* = 2.2</math> e <math>3.2</math>), com amplitudes sucessivamente menores, representam a segunda e terceira camadas de vizinhos. A presença dessas variações indica uma forte ordem de curto alcance estrutural, uma assinatura de fluidos líquidos.		* '''Ordem de Curto Alcance (Camadas de Solvatação):''' O sistema apresenta um pico primário extremamente pronunciado em torno de <math>r^* \approx 1.12</math>. Este valor coincide analiticamente com o mínimo do poço atrativo do potencial de Lennard-Jones (<math>2^{1/6}\sigma</math>). Este pico representa a primeira camada de coordenação, ou seja, a "casca" de vizinhos mais próximos que circundam uma partícula. Os picos subsequentes (perto de <math>r^* = 2.2</math> e <math>3.2</math>), com amplitudes sucessivamente menores, representam a segunda e terceira camadas de vizinhos. A presença dessas variações indica uma forte ordem de curto alcance estrutural, uma assinatura de fluidos líquidos.
	* '''Limite de Longo Alcance:''' Para grandes distâncias, as interações intermoleculares decaem e as correlações espaciais desaparecem. A função suaviza-se e tende assintoticamente a <math>g(r) = 1</math> (linha tracejada cinza), que é o comportamento estatístico homogêneo esperado para distâncias macroscopicamente grandes.		* '''Limite de Longo Alcance:''' Para grandes distâncias, as interações intermoleculares decaem e as correlações espaciais desaparecem. A função suaviza-se e tende assintoticamente a <math>g(r) = 1</math> (linha tracejada cinza), que é o comportamento estatístico homogêneo esperado para distâncias macroscopicamente grandes. As pequenas flutuações observadas nessa região se devem ao tamanho finito do sistema simulado e das estatísticas de amostragem finitas das partículas.

	== Determinação do Tempo de Correlação ==		== Determinação do Tempo de Correlação ==

	O tempo de correlação de uma simulação é o tempo necessário entre duas configurações diferentes do nosso sistema para que sejam independentes. Para fazer esse cálculo, usamos a Função de Autocorrelação C(t) que mede o quanto a configuração atual do sistema se assemelha com a configuração há t passos. Por definição, temos que no instante t=0 a função é C(0) = 1, onde sua correlação é máxima, enquanto que o instante t em que C(t) = 1/e (aproximadamente 0.36) é o valor de t para o tempo de correlação que procuramos.		O tempo de correlação de uma simulação é o tempo necessário entre duas configurações diferentes do nosso sistema para que sejam independentes. Para fazer esse cálculo, usamos a Função de Autocorrelação C(t) que mede o quanto a configuração atual do sistema se assemelha com a configuração há t passos. Por definição, temos que no instante t=0 a função é C(0) = 1, onde sua correlação é máxima, enquanto que o instante t em que C(t) = 1/e (aproximadamente 0.36) é o valor de t para o tempo de correlação que procuramos.

			{\|
			[[Arquivo:Autocorrelacao.png\|600px\|thumb\|center]]
			\|}

			Observando o gráfico, vemos que o valor de <math> t \approx 102 \ MCS </math> corresponde a o C(t) = 1/e, encontrando o tempo de correlação da simulação. Com esse valor, sabemos que a cada pelo menos 103 passos para o sistema perder a maior parte da sua correlação temporal.

			Contudo, deve-se esclarecer que para obter mais precisão ainda nas nossas medidas devemos escolher amostras com <math> 2t </math> de "distância".

	== Análise de Blocos ==		== Análise de Blocos ==

	A análise de blocos é um método utilizado para encontrarmos o erro real da nossa simulação através da divisão das amostras em blocos. Dessa forma, podemos calcular a média da energia de cada bloco de amostras e utilizar como uma nova amostra, agora independente das outras. Assim, podemos calcular a variância dessas novas amostras e encontrar a variância real do sistema.		A análise de blocos é um método utilizado para encontrarmos o erro real da nossa simulação através da divisão das amostras em blocos. Dessa forma, podemos calcular a média da energia de cada bloco de amostras e utilizar como uma nova amostra, agora independente das outras. Assim, podemos calcular a variância dessas novas amostras e encontrar a variância real do sistema.

			{\|
			[[Arquivo:Analisedeblocos.png\|600px\|thumb\|center]]
			\|}

			Vemos que o valor da variância real é de <math> \sigma_{Real}^{2} \approx 25000</math>. No código, calculamos que o erro real é <math> \approx 1.589 </math>, visto que lidamos com 10000 passos salvos e também <math> erro_{Real} = ({\sigma_{Real}^{2}}/N_{dados})^{1/2} </math>. Enquanto que o erro ingênuo (o erro calculado pelo desvio padrão) foi de <math> \approx 0.101 </math>, o que deixa claro que as amostra são dependentes entre si e que não podemos usar esse método para calcular a variância e o erro.

	== Finite-Size Scaling (FSS) ==		== Finite-Size Scaling (FSS) ==

			O Escalonamento de Tamanho Finito é uma técnica que utilizamos para compreender o comportamento de um sistema finito no limite termodinâmico. Para isso, repetimos a simulação para diferentes números de partículas (N = 100, 256, 500, 1000) e calculamos a energia por partícula (E/N) em cada simulação. Então, geramos um gráfico em função de 1/N, visto que quando N tende ao infinito, 1/N tende a zero, e então onde a curva corta o eixo Y (X=0) temos o valor da energia no limite termodinâmico.

			= Conclusão =

			Vimos que a implementação do método de Monte Carlo e do algoritmo de Metropolis foram bem sucedidos na tentativa de simular um fluido sob o potencial de Lennard-Jones, de modo que conseguimos extrair propriedades termodinâmicas do sistema. O parâmetro de ordem g(r) foi a ferramenta crucial que possibilitou a identificação das diferentes fases do sistema. Além disso, percebemos que a dinâmica de Metropolis gera amostras altamente correlacionadas, o que nos levou a identificar o tempo de correlação necessário para obter amostras independentes e a utilizar o método de análise de blocos para encontrar o erro real das amostras, provando que o erro ingênuo subestima drasticamente as incertezas das amostras. Por fim, com o FSS conseguimos encontrar o valor da energia do sistema no limite termodinâmico.

	= Referências =		= Referências =

Wang-Landau em simulação do tipo Blume-Capel

Misalocin — Sun, 05 Jul 2026 18:47:17 GMT

Criou página com '==Introdução== O modelo de Wang-Landau (REFERENCIA) já foi estudado amplamente anteriormente aqui na cadeira. Ele é um método que tenta melhorar o algoritmo de Metrópoles e calcular a função de partição de um sistema, como o de Ising ou Blume-Capel. Como o modelo de Ising já tem a sua função de partição conhecida (CITAÇÃO) e foi muito estudado, ele servirá como referência para o modelo a ser desenvolvido. Após se ter resultados exatos com a precisã...'

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==Introdução==

O modelo de Wang-Landau (REFERENCIA) já foi estudado amplamente anteriormente aqui na cadeira. Ele é um método que tenta melhorar o algoritmo de Metrópoles e calcular a função de partição de um sistema, como o de Ising ou Blume-Capel.

Como o modelo de Ising já tem a sua função de partição conhecida (CITAÇÃO) e foi muito estudado, ele servirá como referência para o modelo a ser desenvolvido. Após se ter resultados exatos com a precisão esperada, Ele será aplicado ao sistema de Blume-Capel mais simples (<math>D=J=1</math>), de maneira a se observar como a modificação do sistema muda as variáveis termodinâmicas dentro dele.

== Níveis de energia do sistema ==

=== Modelo de Ising ===

No modelo de Ising sem um campo externo, sabe-se que a energia é dada por:

<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>}\sigma_i\sigma_j
</math>

O intervalo de energia coberto pelo sistema depende inteiramente do número de partículas <math>N</math> do sistema e da constante <math>J</math>. Aqui,considerando somente a interação entre vizinhos, os extremos são fáceis de serem visualizados e calculados. De maneira que o sistema completamente magnetizado, com todos os spins alinhados seja o ponto de menor energia, com <math>\mathcal{H}=-2NJ</math> e o máximo, com todos desalinhados, seja <math>\mathcal{H}=2NJ</math>

Tendo uma grade em geometria toroide, a mudança de um spin qualquer de <math>+1/2</math> para <math>-1/2</math> muda 4 termos da equação de um vez. Considerando o sistema com menor energia possível, com todos os spins alinhados. Desalinhar um spin mudaria 4 termos positivos para negativos, aumentando a energia do sistema em <math>4J</math>. Se outro spin for trocado, agora, há duas possibilidades:

* Vizinho do primeiro spin trocado, de maneira que a energia é incrementada em <math>+2J</math>
* Distante do primeiro spin trocado, de maneira que a energia é incrementada em <math>+4J</math>

Assim, é fácil ver que o sistema terá passos de energia sempre a distância <math>2J</math>, nunca tendo um múltiplo ímpar de energia, além de,nos extremos, ele pular um nível e fazer um passo de energia <math>4J</math> de uma vez.

=== Modelo de Blume-Capel ===

Aqui o sistema apresenta um parâmetro extra no hamiltoniano do sistema, representando que ter uma partícula com spin é mais custoso ao sistema do que ter uma partícula sem spin, de maneira que:

<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>}\sigma_i\sigma_j+D\sum_{k}\sigma_k^2
</math>

Esse termo torna menos óbvio os estados extremos do sistema. Mas ao considerar o sistema específico em que <math>D=J=1</math>, torna-se intuitivo novamente que os estados extremos são os mesmos de Ising, mas agora com o termo de magnetização que multiplica o <math>D</math> adicionando em ambos extremos <math>ND</math>. Aqui será tratado o caso onde <math>J=D=1</math>

Os estados impossíveis do modelo de Blume-Capel que varia de <math>\mathcal{H}=-N</math> a <math>\mathcal{H}=3N</math>, existem menos estados incessíveis do que o caso anterior, sendo eles:

* <math>\mathcal{H}=-(N-1)</math>
* <math>\mathcal{H}=-(N-2)</math>
* <math>\mathcal{H}=-(N-4)</math>
* <math>\mathcal{H}=N-1</math>
* <math>\mathcal{H}=N-2</math>
* <math>\mathcal{H}=N-3</math>
* <math>\mathcal{H}=N-4</math>
* <math>\mathcal{H}=N-6</math>
* <math>\mathcal{H}=N-7</math>

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Velasquez — Sun, 05 Jul 2026 18:02:58 GMT

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O Potencial de Lennard-Jones

Velasquez — Sun, 05 Jul 2026 17:59:07 GMT

Análise de Blocos

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(3 revisões intermediárias pelo mesmo usuário não estão sendo mostradas)
Linha 28:		Linha 28:

	Para realizar as simulações do Potencial de Lennard-Jones, simulamos uma rede bidimensional quadrada com N partículas que se deslocam na rede de forma aleatória, com condições de contorno periódicas e vizinhança esférica. Para isso, utilizamos métodos de Monte Carlo, em que a cada passo sorteamos N partículas (uma de cada vez) e calculamos a sua energia local. Então, escolhemos aleatoriamente outra posição para a partícula e, se a nova energia local for menor, trocamos a sua posição para a nova.		Para realizar as simulações do Potencial de Lennard-Jones, simulamos uma rede bidimensional quadrada com N partículas que se deslocam na rede de forma aleatória, com condições de contorno periódicas e vizinhança esférica. Para isso, utilizamos métodos de Monte Carlo, em que a cada passo sorteamos N partículas (uma de cada vez) e calculamos a sua energia local. Então, escolhemos aleatoriamente outra posição para a partícula e, se a nova energia local for menor, trocamos a sua posição para a nova.
	Todo o código foi realizado em Python3, no ambiente do Google Colab e pode ser acessado no link a seguir:
			Todo o código foi realizado em Python3, no ambiente do Google Colab, com o uso das bibliotecas <i> Numpy, Matplotlib </i> e pode ser acessado no link a seguir:

	= Resultados e Discussão =		= Resultados e Discussão =
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	== Determinação do Tempo de Correlação ==		== Determinação do Tempo de Correlação ==

			O tempo de correlação de uma simulação é o tempo necessário entre duas configurações diferentes do nosso sistema para que sejam independentes. Para fazer esse cálculo, usamos a Função de Autocorrelação C(t) que mede o quanto a configuração atual do sistema se assemelha com a configuração há t passos. Por definição, temos que no instante t=0 a função é C(0) = 1, onde sua correlação é máxima, enquanto que o instante t em que C(t) = 1/e (aproximadamente 0.36) é o valor de t para o tempo de correlação que procuramos.

	== Análise de Blocos ==		== Análise de Blocos ==

			A análise de blocos é um método utilizado para encontrarmos o erro real da nossa simulação através da divisão das amostras em blocos. Dessa forma, podemos calcular a média da energia de cada bloco de amostras e utilizar como uma nova amostra, agora independente das outras. Assim, podemos calcular a variância dessas novas amostras e encontrar a variância real do sistema.

	== Finite-Size Scaling (FSS) ==		== Finite-Size Scaling (FSS) ==

	= Referências =		= Referências =