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2021-03-30T13:56:43Z

Vitorrauber:

Belousov-Zhabotinsky

2021-03-30T13:54:30Z

Vitorrauber:

== Belousov-Zhabotinsky Reaction ==

A reação de Belousov-Zhabotinsky<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref> <ref name=Paper>HArzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO3− + 5CH2(CO2H)2 + 3H+ → 3BrCH(CO2H)2 + 4CO2 + 5H2O + 2CH2O2, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico. A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.

[[Arquivo:BZReaction.gif|thumb|center|none|alt=Alt text|Reação de Belousov-Zhabotinsky em uma placa de Petri.|480px]]

== Oregonator ==
Oregonator<ref name=Paper>HArzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO3 -, B = 5CH2(COOH)2; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)2 (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO2; Y = Br-; Z = forma oxidada do catalisador e f = Coeficiente estequiométrico.

{|
| || || A + Y || <math>\longrightarrow</math> || X + P
|-
| || || X + Y || <math>\longrightarrow</math> || 2 P
|-
| || || A + X || <math>\longrightarrow</math> || 2 X + 2 Z
|-
|
|
| align="right"|2 X
| <math>\longrightarrow</math> || A + P
|-
|
|
| align="right" | B + Z
| <math>\longrightarrow</math> || <math>\frac{1}{2}f</math> Y
|}

Aplicando, então, as equações de taxa, onde v é a taxa da reação e ki corresponde às constantes de taxa de reação:

{|
| || || v1 = k1 [A][Y] || || || || || || || || v2 = k2 [X][Y] || || || || || || || || v3 = k3 [A][X] || || || || || || || || v4 = k4 [X]2 || || || || || || || || v5 = k5 [B][Z]
|}

Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:

: <math>\frac{d [X]}{d\tau}= k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + k_{3} [A] [X] - 2k_{4} [X]^2 </math>
: <math>\frac{d [Y]}{d\tau}= -k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + \frac{1}{2}f k_5 [B] [Z]</math>
: <math>\frac{d [Z]}{d\tau}= 2k_{3} [A] [X] - k_5 [B] [Z] </math>

A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:

{|
| || || <math>x \equiv \tfrac{2k_{4}[X]}{k_{3}[Y]}</math>|| || || || || || || || <math>y \equiv \tfrac{k_{2}[X]}{k_{3}[A]}</math> || || || || || || || || <math>z \equiv \tfrac{k_{5}k_{4}[B][Z]}{(k_{3}[A])^{2}}</math> || || || || || || || || <math> t \equiv k_{5}[B] \tau</math>
|}

A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:

{|
| || || <math>\tfrac{dx}{dt} = \tfrac{qy - xy + x(1-x)}{\epsilon}</math>|| || || || || || || || <math>\tfrac{dy}{dt} = \tfrac{-qy - xy + fz}{\epsilon '}</math> || || || || || || || || <math>\tfrac{dz}{dt} = x - z</math>
|}

Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math>, é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>
, portanto, <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math> então as equações são reduzidos para:

: <math> \epsilon \frac{dx}{dt}= x(1-x) + f\frac{q-x}{q+x}z </math>
: <math>\frac{dz}{dt}= x-z</math>

Dessa forma, o modelo de Oregonator mostra a forma típica de um sistema de feedback químico, ou seja, a variável x, que será reescrito como u, funciona como um ativador, enquanto a variável z, que será reescrita como v, tem o papel de inibidor. Se para as equações termos associados à difusão são adicionados, onde Du e Dv são os coeficientes de difusão adimensionais, e <math>\nabla^{2}</math> é o operador Laplaciano, então, o sistema torna-se:

: <math> \epsilon \frac{du}{dt}= u(1-u) + f\frac{q-u}{q+u}v + D_{u} \nabla^{2}u</math>
: <math>\frac{dv}{dt}= u-v + D_{v} \nabla^{2}v</math>

== Implementação ==
Antes de discretizarmos a equação para que assim possamos utiliza-la em um código, explicaremos brevemente métodos e fórmulas utilizados para isso.

=== Método FTCS (Forward Time Centered Space)<ref name=wiki>https://pt.wikipedia.org/wiki/Esquema_FTCS</ref> ===
De modo a resolver numericamente as equações descritas acima, serão utilizado o método FTCS (Forward Time Centered Space), que consiste em um método para resolver equações parciais através da derivada parcial de primeira ordem no tempo por uma diferença finita e progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço por uma diferença centrada, como vemos logo abaixo:

: <math> \frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(h,t+dt) - f(h,dt)}{\Delta t} = \frac{f_{i}^{n+1} - f_{i}^{n}}{\Delta t}</math>
: <math>\frac{\partial^{2}f}{\partial h^{2}} \approx \frac{f(h, t-dt) - 2f(h, t) + f(h, t+1)}{\Delta h^{2}} = \frac{f_{i}^{n-1} - 2f_{i}^{n} + f_{i}^{n+1}}{\Delta h^{2}}</math>

=== Laplaciano ===
...para a aplicação em vetores de duas dimensões, o laplaciano será aplicado desta forma:
:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}</math>
:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f(x+dh,y,t)+f(x-dh,y,t)+f(x,y+dh,t)+f(x,y-dh,t)-4f(x,y,t)}{dh^{2}} </math>
De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:
:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f_{R}+f_{L}+f_{U}+f_{D}-4f_{C}}{dh^{2}} </math>

=== Aplicação dos Métodos para a Reação de Belousov-Zhabotinsky ===
Considerando a equação <math> \epsilon \frac{\partial u}{\partial t}= u(1-u) + f\frac{q-u}{q+u}v + D_{u} \nabla^{2}u</math>:

:<math> \epsilon \frac{u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^{n}}{Dt}= u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+f_{U}+u_{D}-4u_{C}}{Dh^{2}}\right)</math>

:<math> u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^{n}= \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{Dh^{2}}\right)\right]\frac{Dt}{\epsilon}</math>

:<math> u_{i,j}^{n+1} = u_{C} + \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{Dh^{2}}\right)\right]\frac{Dt}{\epsilon}</math>

Considerando a equação <math>\frac{\partial v}{\partial t}= u-v + D_{v} \nabla^{2}v</math>:

:<math> \frac{v_{i,j}^{n+1} - v_{i,j}^{n}}{Dt}= u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}}\right) </math>

:<math> v_{i,j}^{n+1} - v_{i,j}^{n}= \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}} \right)\right] Dt </math>

:<math> v_{i,j}^{n+1} = v_{C} + \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}} \right)\right] Dt </math>

== teste ==

condições iniciais

<math> u_{i,j}^{0} = 1 </math> se 0 < 8(0.01i - 0.5) < (0.01j - 0.5) senão = 0

<math> v_{i,j}^{0} = 1 </math> se 0 < -(0.01j - 0.5) < 8(0.01i - 0.5) senão = 0

<math> u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} + \frac{(u_{i,j}^{n}( 1 - u_{i,j}^{n}) - fv_{i,j}^{n}(u_{i,j}^{n} - q)}{(u_{i,j}^{n} + q) + \nabla u(\frac{(u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n})}{Dh^2})}\frac{dt}{e} </math>

<math> v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} + (u_{i,j}^{n} - v_{i,j}^{n} + \nabla v (\frac{(v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n})}{Dh^2})dt </math>

== Resultados ==

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 1.0e^{-3}, 1)</math> <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
|-
|[[Arquivo:U20k.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|BZ da concentração de <math> u </math> até t = 20k.|500px]]
|[[Arquivo:V20k.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|BZ da concentração de <math> v </math> até t = 20k.|500px]]
|-
|}

== Referências ==

<references/>

Arquivo:U20k.gif

2021-03-30T13:51:40Z

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