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Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:43:08Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=\frac{\partial y}{\partial t}dt+ \frac{\partial y}{\partial X_{t}}dX_{t}+ \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}y}{\partial X^2_{t}}dX^2_{t}</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=\frac{\partial g}{\partial t}dt+\frac{\partial g}{\partial S_{t}}dS_{t}+\frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}g}{\partial S^2_{t}}dS^2_{t}</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>\frac{\partial g}{\partial t}dt=0, \frac{\partial g}{\partial S_{t}}dS_{t}= \frac{1}{S_{t}}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_{t}}dS^2_{t}=-\frac{1}{S^2_{t}}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>exp(\frac{lnS_{t}}{S_{t_0}})=exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [\frac{\mu-\sigma ^2}{2}t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:42:18Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=\frac{\partial y}{\partial t}dt+ \frac{\partial y}{\partial X_{t}}dX_{t}+ \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}y}{\partial X^2_{t}}dX^2_{t}</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=\frac{\partial g}{\partial t}dt+\frac{\partial g}{\partial S_{t}}dS_{t}+\frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}g}{\partial S^2_{t}}dS^2_{t}</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>\frac{\partial g}{\partial t}dt=0, \frac{\partial g}{\partial S_{t}}dS_{t}= \frac{1}{S_{t}}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_{t}}(dS^2_{t})=-\frac{1}{S^2_{t}}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>exp(\frac{lnS_{t}}{S_{t_0}})=exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [\frac{\mu-\sigma ^2}{2}t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:40:43Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=\frac{\partial y}{\partial t}dt+ \frac{\partial y}{\partial X_{t}}dX_{t}+ \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}y}{\partial X^2_{t}}dX^2_{t}</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=\frac{\partial g}{\partial t}(dt)+\frac{\partial g}{(\partial S_{t}}(dS_{t})+\frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}g}{\partial S^2_{t}}dS^2_{t}</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>\frac{\partial g}{\partial t}dt=0, \frac{\partial g}{\partial S_{t}}dS_{t}= \frac{1}{S_{t}}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_{t}}(dS^2_{t})=-\frac{1}{S^2_{t}}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>exp(\frac{lnS_{t}}{S_{t_0}})=exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [\frac{\mu-\sigma ^2}{2}t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:40:02Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=\frac{\partial y}{\partial t}dt+ \frac{\partial y}{\partial X_{t}}dX_{t}+ \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}y}{\partial X^2_{t}}dX^2_{t}</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=\frac{\partial g}{\partial t}(dt)+\frac{\partial g}{(\partial S_{t}}(dS_{t})+\frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}g}{\partial S^2_{t}}dS^2_{t}</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>\frac{\partial g}{\partial t}dt=0, \frac{\partial g}{\partial S_{t}}dS_{t}= \frac{1}{S_{t}}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_{t}}(dS^2_{t})=-\frac{1}{S^2_{t}}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>exp(\frac{ln((S_{t})}{(S_{t_0)})})=exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [\frac{\mu-\sigma ^2}{2}t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:39:00Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=\frac{\partial y}{\partial t}dt+ \frac{\partial y}{\partial X_{t}}dX_{t}+ \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}y}{\partial X^2_{t}}dX^2_{t}</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=\frac{\partial g}{\partial t}(dt)+\frac{\partial g}{(\partial S_{t}}(dS_{t})+\frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}g}{\partial S^2_{t}}dS^2_{t}</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>\frac{\partial g}{\partial t}dt=0, \frac{\partial g}{\partial S_{t}}dS_{t}= \frac{1}{S_{t}}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_{t}}(dS^2_{t})=-\frac{1}{S^2_{t}}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>exp(\frac{ln((S_{t})}{(S_{t_0)})})=exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [\frac{(\mu-(\sigma ^2)}{2})t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

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OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:37:09Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=\frac{\partial y}{\partial t}dt+ \frac{\partial y}{\partial X_{t}}dX_{t}+ \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}y}{\partial X^2_{t}}dX^2_{t}</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=\frac{\partial g}{\partial t}(dt)+\frac{\partial g}{(\partial S_{t}}(dS_{t})+\frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}g}{\partial S^2_{t}}dS^2_{t}</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>\frac{\partial g}{\partial t}dt=0, \frac{\partial g}{\partial S_{t}}dS_{t}= \frac{1}{S_{t}}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_{t}}(dS^2_{t})=-\frac{1}{S^2_{t}}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>ln((S_{t})/(S_{t_0)})=(\mu-\frac{1}{2} \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

:<math>exp(\frac{ln((S_{t})}{(S_{t_0)})})=exp((\mu-\frac{1}{2} \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [(\mu-(\sigma ^2)/2)t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:36:26Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=\frac{\partial y}{\partial t}dt+ \frac{\partial y}{\partial X_{t}}dX_{t}+ \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}y}{\partial X^2_{t}}dX^2_{t}</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=\frac{\partial g}{\partial t}(dt)+\frac{\partial g}{(\partial S_{t}}(dS_{t})+\frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}g}{\partial S^2_{t}}dS^2_{t}</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>\frac{\partial g}{\partial t}dt=0, \frac{\partial g}{\partial S_{t}}dS_{t}= \frac{1}{S_{t}}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_{t}}(dS^2_{t})=-\frac{1}{S^2_{t}}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>ln((S_{t})/(S_{t_0)})=(\mu-\frac{1}{2} \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

:<math>exp(\frac{ln((S_{t})}{(S_{t_0)})})=exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [(\mu-(\sigma ^2)/2)t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:34:01Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=\frac{\partial y}{\partial t}dt+ \frac{\partial y}{\partial X_{t}}dX_{t}+ \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}y}{\partial X^2_{t}}dX^2_{t}</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=(\partial g)/(\partial t)(dt)+(\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})+1/2 (\partial ^{2}g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})</math>

:<math>dg(t, S_{t})=\frac{\partial g}{\partial t}(dt)+\frac{\partial g}{(\partial S_{t}}(dS_{t})+\frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}g}{\partial S^2_{t}}dS^2_{t}</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>(\partial g)/(\partial t)(dt)=0, (\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})= 1/(S_{t)}, (\partial ^2g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})=-1/(S^2_{t)}</math>

:<math>\frac{\partial g}{\partial t}dt=0, \frac{\partial g}{\partial S_{t}}dS_{t}= \frac{1}{S_{t}}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_{t}}(dS^2_{t})=-\frac{1}{S^2_{t}}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu-1/2 \sigma ²)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>ln((S_{t})/(S_{t_0)})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

:<math>exp(ln((S_{t})/(S_{t_0)}))=exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [(\mu-(\sigma ^2)/2)t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:28:55Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=(\partial y)/(\partial t)(dt)+ (\partial y)/(\partial X_{t)}(dX_{t})+1/2 (\partial ^{2}y)/(\partial X^2_{t)}(dX^2_{t})</math>

:<math>dy(t, X_{t})=\frac{\partial y}{\partial t}dt+ \frac{\partial y}{\partial X_{t}}dX_{t}+ \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2}y}{\partial X^2_{t)}}dX^2_{t}</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=(\partial g)/(\partial t)(dt)+(\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})+1/2 (\partial ^{2}g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>(\partial g)/(\partial t)(dt)=0, (\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})= 1/(S_{t)}, (\partial ^2g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})=-1/(S^2_{t)}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu-1/2 \sigma ²)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>ln((S_{t})/(S_{t_0)})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

:<math>exp(ln((S_{t})/(S_{t_0)}))=exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [(\mu-(\sigma ^2)/2)t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:26:16Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=(\partial y)/(\partial t)(dt)+ (\partial y)/(\partial X_{t)}(dX_{t})+1/2 (\partial ^{2}y)/(\partial X^2_{t)}(dX^2_{t})</math>

:<math>dy(t, X_{t})=\frac{\partial y)}{(\partial t)}(dt)+ (\partial y)/(\partial X_{t)}(dX_{t})+1/2 (\partial ^{2}y)/(\partial X^2_{t)}(dX^2_{t})</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=(\partial g)/(\partial t)(dt)+(\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})+1/2 (\partial ^{2}g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>(\partial g)/(\partial t)(dt)=0, (\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})= 1/(S_{t)}, (\partial ^2g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})=-1/(S^2_{t)}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu-1/2 \sigma ²)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>ln((S_{t})/(S_{t_0)})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

:<math>exp(ln((S_{t})/(S_{t_0)}))=exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [(\mu-(\sigma ^2)/2)t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:06:21Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=(\partial y)/(\partial t)(dt)+ (\partial y)/(\partial X_{t)}(dX_{t})+1/2 (\partial ^{2}y)/(\partial X^2_{t)}(dX^2_{t})</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=(\partial g)/(\partial t)(dt)+(\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})+1/2 (\partial ^{2}g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>(\partial g)/(\partial t)(dt)=0, (\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})= 1/(S_{t)}, (\partial ^2g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})=-1/(S^2_{t)}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu-1/2 \sigma ²)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>ln((S_{t})/(S_{t_0)})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

:<math>exp(ln((S_{t})/(S_{t_0)}))=exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [(\mu-(\sigma ^2)/2)t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:06:01Z

Vit: /* Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=(\partial y)/(\partial t)(dt)+ (\partial y)/(\partial X_{t)}(dX_{t})+1/2 (\partial ^{2}y)/(\partial X^2_{t)}(dX^2_{t})</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=(\partial g)/(\partial t)(dt)+(\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})+1/2 (\partial ^{2}g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>(\partial g)/(\partial t)(dt)=0, (\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})= 1/(S_{t)}, (\partial ^2g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})=-1/(S^2_{t)}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu-1/2 \sigma ²)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>ln((S_{t})/(S_{t_0)})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

:<math>exp(ln((S_{t})/(S_{t_0)}))=exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [(\mu-(\sigma ^2)/2)t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Arquivo:Bm.png.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Arquivo:Gbm.png.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T09:04:56Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

==Movimento Browniano Geométrico==

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=(\partial y)/(\partial t)(dt)+ (\partial y)/(\partial X_{t)}(dX_{t})+1/2 (\partial ^{2}y)/(\partial X^2_{t)}(dX^2_{t})</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=(\partial g)/(\partial t)(dt)+(\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})+1/2 (\partial ^{2}g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>(\partial g)/(\partial t)(dt)=0, (\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})= 1/(S_{t)}, (\partial ^2g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})=-1/(S^2_{t)}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu-1/2 \sigma ²)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>ln((S_{t})/(S_{t_0)})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

:<math>exp(ln((S_{t})/(S_{t_0)}))=exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [(\mu-(\sigma ^2)/2)t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

[[Bm.png.png|thumb|center|700px|'''Figura 2''': Comportamento do movimento browniano e sua distribuição de probabilidade.]]
[[Gbm.png.png|thumb|center|700px|'''Figura 3''': Comportamento do movimento browniano geométrico e sua distribuição de probabilidade.]]

Na coluna da esquerda das figuras observamos os possíveis caminhos e seu destino e na coluna direita observamos a distribuição de probabilidade de cada destino ser atingido. É possível observar que o movimento browniano geométrico não assume valores negativos e seu deslocamento é linear. Sua média, nesses valores, está centrada em 1. Já o movimento browniano geométrico, por ter distribuição gaussiana, a média é zero.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Arquivo:Bm.png

2022-05-17T09:04:03Z

Vit:

Arquivo:Gbm.png

2022-05-17T09:03:14Z

Vit:

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:59:02Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=(\partial y)/(\partial t)(dt)+ (\partial y)/(\partial X_{t)}(dX_{t})+1/2 (\partial ^{2}y)/(\partial X^2_{t)}(dX^2_{t})</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=(\partial g)/(\partial t)(dt)+(\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})+1/2 (\partial ^{2}g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>(\partial g)/(\partial t)(dt)=0, (\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})= 1/(S_{t)}, (\partial ^2g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})=-1/(S^2_{t)}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu-1/2 \sigma ²)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>ln((S_{t})/(S_{t_0)})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

:<math>exp(ln((S_{t})/(S_{t_0)}))=exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

:<math>N ~ [(\mu-(\sigma ^2)/2)t, \sigma ^2t]</math>

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:55:12Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a média e <math>\sigma</math> é a variância, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=(\partial y)/(\partial t)(dt)+ (\partial y)/(\partial X_{t)}(dX_{t})+1/2 (\partial ^{2}y)/(\partial X^2_{t)}(dX^2_{t})</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

:<math>dg(t, S_{t})=(\partial g)/(\partial t)(dt)+(\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})+1/2 (\partial ^{2}g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})</math>

Aplicando <math>g(S_t) = ln(S_t)</math>, temos que as derivadas parciais são:

:<math>(\partial g)/(\partial t)(dt)=0, (\partial g)/(\partial S_{t)}(dS_{t})= 1/(S_{t)}, (\partial ^2g)/(\partial S^2_{t)}(dS^2_{t})=-1/(S^2_{t)}</math>

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

:<math>dS^2_{t}=\sigma ^2S^2_{t}dt</math>

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação <math>dS_t</math> na equação <math>dg(t, S_t)</math> resulta em:

:<math>dg(S_{t})=(\mu-1/2 \sigma ²)dt+\sigma dW_{t}</math>

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

:<math>g(S_{t})-g(S_{t_0})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

:<math>ln((S_{t})/(S_{t_0)})=(\mu-1/2 \sigma^2)(T-t_{0})+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

:<math>exp(ln((S_{t})/(S_{t_0)}))=exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)(T-t_{0}))+\sigma (W_{t}-W_{t_0})</math>

Ou

:<math>S_{t}=S_{0}exp((\mu-1/2 \sigma ^2)t)+\sigma W_{t}</math>

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:42:10Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=(\partial y)/(\partial t)(dt)+ (\partial y)/(\partial X_{t)}(dX_{t})+1/2 (\partial ^{2}y)/(\partial X^2_{t)}(dX^2_{t})</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:39:23Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:35:56Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})= \frac_{(\partial y)}{(\partial t)}(dt)+\frac_{(\partial y)}{(\partial X_{t)}}(dX_{t})+1/2 \frac_{\partial ^{2}y)}{(\partial X^2_{t)}}(dX^2_{t})</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

:<math>g(S(t)) = ln(S(t))</math>

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:33:00Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy(t, X_{t})=(\partial y)/(\partial t)(dt)+(\partial y)/(\partial X_{t)}(dX_{t})+1/2 (\partial ^{2}y)/(\partial X^2_{t)}(dX^2_{t})</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

$$
g\left(S_t\right)=ln\left(S_t\right)
$$

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:30:12Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma t St dW, t \in[t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy\left(t,\:X_t\right)=\frac{\partial \:y}{\partial \:t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:\:y}{\partial \:\:X_t}\left(dX_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}y}{\partial \:\:X^2_t}\left(dX^2_t\right)</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

$$
g\left(S_t\right)=ln\left(S_t\right)
$$

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:25:57Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma St dWt, t \in [t_{0}, T]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy\left(t,\:X_t\right)=\frac{\partial y}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:y}{\partial \:X_t}\left(dX_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}y}{\partial \:X^2_t}\left(dX^2_t\right)</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

$$
g\left(S_t\right)=ln\left(S_t\right)
$$

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:25:10Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N ~ [0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma S{t} dW{t}, t\:\in \left[t_0,\:T\right]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy\left(t,\:X_t\right)=\frac{\partial y}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:y}{\partial \:X_t}\left(dX_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}y}{\partial \:X^2_t}\left(dX^2_t\right)</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

$$
g\left(S_t\right)=ln\left(S_t\right)
$$

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:24:55Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N \~[0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma S{t} dW{t}, t\:\in \left[t_0,\:T\right]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy\left(t,\:X_t\right)=\frac{\partial y}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:y}{\partial \:X_t}\left(dX_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}y}{\partial \:X^2_t}\left(dX^2_t\right)</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

$$
g\left(S_t\right)=ln\left(S_t\right)
$$

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:24:38Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N~[0, s-t]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma S{t} dW{t}, t\:\in \left[t_0,\:T\right]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy\left(t,\:X_t\right)=\frac{\partial y}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:y}{\partial \:X_t}\left(dX_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}y}{\partial \:X^2_t}\left(dX^2_t\right)</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

$$
g\left(S_t\right)=ln\left(S_t\right)
$$

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:24:07Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N\:~\:\left[0,\:s-t\right]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma S{t} dW{t}, t\:\in \left[t_0,\:T\right]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

:<math>dy\left(t,\:X_t\right)=\frac{\partial y}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:y}{\partial \:X_t}\left(dX_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}y}{\partial \:X^2_t}\left(dX^2_t\right)</math>

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

$$
g\left(S_t\right)=ln\left(S_t\right)
$$

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:23:23Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N\:~\:\left[0,\:s-t\right]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma S{t} dW{t}, t\:\in \left[t_0,\:T\right]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

$$
dy\left(t,\:X_t\right)=\frac{\partial y}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:y}{\partial \:X_t}\left(dX_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}y}{\partial \:X^2_t}\left(dX^2_t\right)
$$

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

$$
g\left(S_t\right)=ln\left(S_t\right)
$$

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:22:06Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma</math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N~\left[0,\:s-t\right]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma S{t} dW{t}, t\:\in \left[t_0,\:T\right]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

$$
dy\left(t,\:X_t\right)=\frac{\partial y}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:y}{\partial \:X_t}\left(dX_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}y}{\partial \:X^2_t}\left(dX^2_t\right)
$$

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

$$
g\left(S_t\right)=ln\left(S_t\right)
$$

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-17T08:20:11Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana. A fórmula do movimento browniano é dada por:

:<math>B\left(t\right)=\sigma W\left(t\right)</math>

Sendo <math>\sigma<math> é a variância e <math>W_{t}</math> o processo de Wiener. Sua distribuição normal é dada por:

<math>N\:~\:\left[0,\:s-t\right]</math>

Movimento Browniano Geométrico

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

<math>dS_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma S{t} dW{t}, t\:\in \left[t_0,\:T\right]</math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Para resolvermos a equação, apresentaremos rapidamente o lema de Itô, identidade para encontrar o diferencial de funções de processos estocásticos dependentes de tempo. É dado por:

$$
dy\left(t,\:X_t\right)=\frac{\partial y}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:y}{\partial \:X_t}\left(dX_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}y}{\partial \:X^2_t}\left(dX^2_t\right)
$$

Onde <math>y</math> é a função do processo estocástico dependente do tempo e <math>X_{t}</math> é o processo estocástico. Vamos renomear o processo estocástico para <math>S_{t}</math>. Agora, iremos aplicar transformação logarítmica, ferramenta que será relevante nos próximos passos.

$$
g\left(S_t\right)=ln\left(S_t\right)
$$

Aplicando o lema de Itô no nosso sistema:

$$
dg\left(t,\:S_t\right)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)+\frac{\partial \:g}{\partial \:S_t}\left(dS_t\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^{\:2}g}{\partial \:S^2_t}\left(dS^2_t\right)
$$

Aplicando $g(S_t) = ln(S_t)$, temos que as derivadas parciais são:

$$
\frac{\partial g}{\partial t}\left(dt\right)=0, \frac{\partial g}{\partial S_t}\left(dS_t\right)=\frac{1}{S_t}, \frac{\partial ^2g}{\partial S^2_t}\left(dS^2_t\right)=-\frac{1}{S^2_t}
$$

E utilizando propriedades de cálculo estocástico:

$$
dS^2_t=\sigma ^2S^2_tdt
$$

A substituição e desenvolvimento desses valores e a equação $dS_t$ na equação $dg(t, S_t)$ resulta em:

$$
dg\left(S_t\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ²\right)dt+\sigma \:dW_t
$$

Integrando ambos lados da equação, chegamos em:

$$
g\left(S_t\right)-g\left(S_{t_0}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

Aplicando o logaritmo em ambos lados da equação, como sugerido anteriormente, temos:

$$
ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)=\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)
$$

$$
exp\left(ln\left(\frac{S_t}{S_{t_0}}\right)\right)=exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

E finalmente chegamos na solução da equação diferencial estocástica do movimento browniano geométrico:

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)\left(T-t_0\right)+\sigma \left(W_t-W_{t_0}\right)\right)
$$

Ou

$$
S_t=S_{0\:}exp\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2\right)t+\sigma W_t\right)
$$

Sua distribuição normal é dada por:

$$
N\:~\:\left[\left(\mu -\frac{\sigma ^2}{2}\right)t,\:\sigma ^2t\right]
$$

Sendo o primeiro termo a média e o segundo a variância.

Graficamente, a diferença entre movimento browniano e movimento browniano geométrico é apresentado abaixo<ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. [ISBN 9780128014134](https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Especial:Fontes_de_livros/9780128014134)
. [https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0](https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0)</ref>:

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-10T18:29:52Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana.

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Sua dedução pode ser encontrada em <ref>Bess, Denis Fernandes Alves. Generalizações do Movimento Browniano e suas Aplicações à Física e Finanças. 2005. Dissertação de mestrado. Universidade Estadual Paulista. Página 122.</ref>. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

:<math> dS_{t}=\mu S_{_t} dt+\sigma S_{_t} dW_{t} </math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Sua solução é dada por:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Tal como MB é um processo de Markov, o movimento browniano geométrico também é: o futuro é determinado a partir do presente e não de eventos passados.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-10T18:29:24Z

Vit: /* Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana.

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Sua dedução pode ser encontrada em <ref>Bess, Denis Fernandes Alves. Generalizações do Movimento Browniano e suas Aplicações à Física e Finanças. 2005. Dissertação de mestrado. Universidade Estadual Paulista. Página 122.</ref>. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

:<math> dS_{t}=\mu S_{_t} dt+\sigma S_{_t} dW_{t} </math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Sua solução é dada por:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt)</math>

Tal como MB é um processo de Markov, o movimento browniano geométrico também é: o futuro é determinado a partir do presente e não de eventos passados.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma W_{t})</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-10T18:28:44Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

== Mercado de ações ==

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo:
Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não.
Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

[[Arquivo:StockPrices.png|thumb|center|700px|'''Figura 1''': Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).]]

== Movimento Browniano e Movimento Browniano Geométrico ==

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de grãos de pólen suspensos em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório era advindo de uma força vital do próprio pólen. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. O movimento do pólen sobre a água não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que esse movimento se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana.

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Sua dedução pode ser encontrada em <ref>Bess, Denis Fernandes Alves. Generalizações do Movimento Browniano e suas Aplicações à Física e Finanças. 2005. Dissertação de mestrado. Universidade Estadual Paulista. Página 122.</ref>. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

:<math> dS_{t}=\mu S_{_t} dt+\sigma S_{_t} dW_{t} </math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é a deriva ou deslocamento e <math>\sigma</math> é a volatilidade, ambas são constantes.

Sua solução é dada por:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt)</math>

Tal como MB é um processo de Markov, o movimento browniano geométrico também é: o futuro é determinado a partir do presente e não de eventos passados.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref>.

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro.
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(0)exp((\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt)</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diária e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener. O termo <math>\mu</math> é um parâmetro de taxa de crescimento, onde seu valor positivo sinaliza tendência de crescimento e negativo sinaliza tendência de queda.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana, gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não ocorrem os “jumps”, eventos maiores que afetam o cenário de maneira mais drástica (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973.</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento ''provável'' do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

=== Etapa 1: Adquirir os dados ===

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

[[Arquivo:MGLU3GoogleSheets.png|thumb|center|790px|'''Figura 2''': Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.]]

=== Etapa 2: Cálculos iniciais necessários ===

Precisamos da ''Taxa de Retorno Diária'', ''Volatilidade Diária'' e ''Desvio Médio'' para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

{| class="wikitable" style="font-style:italic;"
|- style="font-style:normal; font-weight:bold;"
! Mundo Financeiro
! Movimento Browniano Geométrico
|-
| Taxa de Retorno Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\mu</math>
|-
| Volatilidade Diária
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>\sigma</math>
|-
| Desvio Médio
| style="text-align:center; font-style:normal;" | <math>Drift</math>
|}

Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:

<math>\mu =\sum _{i=1}^n\left(\frac{xi}{n}\right)</math>

onde a soma de <math>xi</math> é a taxa de retorno anual, já <math>n</math> é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a ''Volatilidade Diária'':

<math>\sigma =\frac{\sum _{i=1}^n\left(xi-\mu \right)^2}{n}</math>

onde o somatório da diferença da ''Taxa de Retorno Diária'' menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de ''Volatilidade Anual''. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o ''Drift'', que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

<math>Drift=\mu -\frac{1}{2}\sigma ^2</math>

=== Etapa 3: Aplicar à simulação ===

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

<math>S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}</math>

onde <math>S\left(t\right)</math> é o preço futuro da ação, <math>S\left(0\right)</math> é o preço atual da ação e <math>Z</math> é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.

== Discussão e Resultados ==

Para a empresa em análise (Magazine Luiza) foi observado primeiramente o comportamento real do preço de fechamento da ação, como possível de se observar no gráfico abaixo. No eixo vertical temos o preço e no horizontal o tempo, a linha preta no meio demonstra o período em que a simulação irá começar a acontecer (intervalo entre 1 ano real e 1 ano simulado).

[[Arquivo:1OriginalPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, intervalo de dois anos.]]

Logo após a linha preta foi dado início às simulações, cada linha mostra um possível comportamento da ação, o usuário poderia (vendo o gráfico) tomar algum tipo de decisão e/ou criar um planejamento estratégico financeiro para os cenários onde o preço da ação é máximo após 1 ano (linha vertical preta) ou onde o valor é mínimo.

[[Arquivo:2SimulationPlot.jpeg|thumb|center|1000px|'''Figura 3''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

Por fim uma análise é feita comparando ambos os gráficos, é possível perceber que o caminho real que o preço da ação percorre está dentro do esperado para um cenário negativo, onde o preço da ação está em queda. A ideia seria que o usuário estivesse se planejado financeiramente para que o prejuízo não seja tão alto.

[[Arquivo:Comparision.jpg|thumb|center|1000px|'''Figura 4''':MGLU3 Stock Price, simulação do valor após um ano.]]

=== Funciona? ===

A pergunta que fica é: ''realmente funciona'' para prever o preço de uma ação?

A resposta é não. O mercado financeiro é muito mais complexo e possui um comportamento quase aleatório (se observado microeconomicamente), não é possível prever o preço de uma ação se baseando apenas no que ocorreu no passado, se fosse assim, a empresa que estudamos teria uma curva de crescimento indefinida, algo que não ocorre. Podemos sim fazer métodos matemáticos e estatísticos para analisar possíveis cenários, mas da forma em que fizemos esta ainda muito arcaico, porém serve bem para demonstração da ideia.

Como ''melhorar'' a simulação?

Podemos começar colocando pesos na geração de números aleatórios, onde cada ação (como mostrado na figura *, de empresas de varejo) influencia a outra, ou seja, se a maioria das empresas de varejo estão em queda isso deverá pesar, fazendo com que o próximo valor tenha uma probabilidade maior de cair também. Mas mesmo fazendo tudo o que foi comentado, teríamos apenas valores possíveis para o preço de uma ação, e nunca o valor certo. Concluindo, utilizar MBG (junto do método de Monte Carlo se possível) não será satisfatório para prever o preço de uma ação, mas sim para poder ver caminhos possíveis que a ação poderá tomar, fazendo com que o usuário consiga fazer um planejamento estratégico financeiro para evitar prejuízos e maximizar possíveis lucros.

=== Código para Simulação ===

Para gerar os gráficos acesse o link [[https://github.com/RicGary/MetCompC/tree/main/MonteCarloStock]].

Código utilizado para as simulações.

<source lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

"""
Previsão do valor de mercado MAGLU3

Data inicial: 02/01/2019
Data final: 19/04/2022
"""

Untreated = []

# Data original
OriginalDate = []
# Colocando o Valor do final do dia.
OriginalStockPrice = []

"""
Coluna | Significado
0 | Data
1 | Hora
2 | Open
3 | High
4 | Low
5 | Close
6 | Volume
"""

with open('STOCK.csv', 'r', encoding='utf8') as f:
for line in f:
Untreated.append(line.split(','))

Untreated.pop(0)

for i in Untreated:
"""
Open = float(i[1])
High = float(i[2])
Low = float(i[3])
"""
Close = float(i[4])

OriginalDate.append(i[0][0:9])
OriginalStockPrice.append(Close)

# Data para monte carlo
Date = OriginalDate[0:int(len(OriginalDate) / 2)]
# Stock final do dia monte carlo
StockPrice = OriginalStockPrice[0:int(len(OriginalDate) / 2)]

mean = np.nanmean(StockPrice)
std = np.nanstd(StockPrice)
var = np.nanstd(StockPrice) ** 2

#######################

# Stochastic Differential Equation (SDE):
# dS(t) = mu S(t) dt + sigma S(t) dW(t)

# Explicit Expression:
# S(t) = S0 exp( (mu - sigma^2/2) t + sigma W(t) )

######## Cte's ########

# drift coefficent
mu = mean - 0.5 * var
# number of steps
n = 100
# time in years
T = 1
# number of sims
M = 500
# initial stock price
S0 = StockPrice[-1]
# volatility
sigma = 0.3

######## Simulating GBM Paths ########

# calc each time step
dt = T / n

# simulation using numpy arrays
St = np.exp(
(mu - sigma ** 2 / 2) * dt
+ sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(M, n)).T
)

# include array of 1's
St = np.vstack([np.ones(M), St])

# multiply through by S0 and return the cumulative product of elements along a given simulation path (axis=0).
St = S0 * St.cumprod(axis=0)

######## Consider time intervals in years. ########

# Define time interval correctly
time = np.linspace(0, T, n + 1)

# Require numpy array that is the same shape as St
tt = np.full(shape=(M, n + 1), fill_value=time).T

######## Plotting. ########

def OriginalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(0, 2, num=len(OriginalDate))
plt.plot(Date_in_slice, OriginalStockPrice)
plt.title(f'MGLU3 - 2 Years.\nStart: {OriginalDate[0]}\nEnd: {OriginalDate[-1]}')
plt.xticks([0, 1, 2], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Stock Price R$')
plt.vlines(1, 0, 60, colors='black')
plt.ylim(0, 50)
plt.savefig("1OriginalPlot.jpeg")
if graph:
plt.show()

def FinalPlot(graph=False):
plt.figure(figsize=(19, 10))
Date_in_slice = np.linspace(-1, 0, num=int(len(OriginalDate) / 2))
plt.plot(Date_in_slice, StockPrice)

plt.plot(tt, St)
plt.xlabel("Date")
plt.ylabel("Stock Price $(S_t)$ R\$")

plt.xticks([-1, 0, 1], [Date[0], Date[int(len(Date) / 2)], Date[-1]])

# "Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n $S_0 = R${0}, \mu = {1}, \sigma = {2}$"
# $ for itallic, \sigma, \mu

plt.title(f"Realizations of Geometric Brownian Motion for Stock Price\n"
f"$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$\n"
f"$S\u2080$ = {StockPrice[-1]:.2f} $\u03BC$ = {mu:.2f} \u03C3 = {sigma}")
plt.ylim(0, 50)
plt.vlines(0, 0, 60, colors='black')
plt.savefig('2SimulationPlot.jpeg')

if graph:
plt.show()

OriginalPlot()
FinalPlot()
</source>

==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-03T00:33:54Z

Vit: /* Aplicação: Mercado Financeiro */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Resumo

== Introdução ==
=== Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico ===

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de corpúsculos biológicos e partículas inorgânicas suspensas em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório tratava-se de uma nova forma de vida. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. Não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que o movimento das partículas suspensas em água se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo (?)<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana.

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Sua dedução pode ser encontrada em <ref>Bess, Denis Fernandes Alves. Generalizações do Movimento Browniano e suas Aplicações à Física e Finanças. 2005. Dissertação de mestrado. Universidade Estadual Paulista. Página 122.</ref>. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

:<math> dS_{t}=\mu S_{_t} dt+\sigma S_{_t} dW_{t} </math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é percentagem de deriva ou deslocamento e percentagem de volatilidade são constantes.

Sua solução é dada por:

:<math> S(t)=S(o)e^{(\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt}</math>

Tal como MB é um processo de Markov, o movimento browniano geométrico também é: o futuro é determinado a partir do presente e não de eventos passados.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:
*Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
*Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
*Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref> ?

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(o)e^{(\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt}</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diaria e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana (similar ao mercado de ações real[ref]), gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não tem os “jumps” eventos maiores afetando o cenário (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, o modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==
== Discussão ==
==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-03T00:33:19Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Resumo

== Introdução ==
=== Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico ===

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de corpúsculos biológicos e partículas inorgânicas suspensas em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório tratava-se de uma nova forma de vida. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. Não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que o movimento das partículas suspensas em água se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo (?)<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana.

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Sua dedução pode ser encontrada em <ref>Bess, Denis Fernandes Alves. Generalizações do Movimento Browniano e suas Aplicações à Física e Finanças. 2005. Dissertação de mestrado. Universidade Estadual Paulista. Página 122.</ref>. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

:<math> dS_{t}=\mu S_{_t} dt+\sigma S_{_t} dW_{t} </math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é percentagem de deriva ou deslocamento e percentagem de volatilidade são constantes.

Sua solução é dada por:

:<math> S(t)=S(o)e^{(\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt}</math>

Tal como MB é um processo de Markov, o movimento browniano geométrico também é: o futuro é determinado a partir do presente e não de eventos passados.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento.
- Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
- Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
- Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref> ?

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(o)e^{(\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt}</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diaria e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana (similar ao mercado de ações real[ref]), gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não tem os “jumps” eventos maiores afetando o cenário (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, o modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==
== Discussão ==
==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-03T00:18:04Z

Vit:

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Resumo

== Introdução ==
=== Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico ===

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de corpúsculos biológicos e partículas inorgânicas suspensas em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório tratava-se de uma nova forma de vida. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. Não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que o movimento das partículas suspensas em água se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo (?)<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio (?). Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana.

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Sua dedução pode ser encontrada em <ref>Bess, Denis Fernandes Alves. Generalizações do Movimento Browniano e suas Aplicações à Física e Finanças. 2005. Dissertação de mestrado. Universidade Estadual Paulista. Página 122.</ref>. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

:<math> dS_{t}=\mu S_{_t} dt+\sigma S_{_t} dW_{t} </math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é percentagem de deriva ou deslocamento e percentagem de volatilidade são constantes.

Sua solução é dada por:

:<math> S(t)=S(o)e^{(\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt}</math>

Tal como MB é um processo de Markov, o movimento browniano geométrico também é: o futuro é determinado a partir do presente e não de eventos passados.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento.
- Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
- Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
- Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref> ?

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(o)e^{(\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt}</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diaria e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana (similar ao mercado de ações real[ref]), gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não tem os “jumps” eventos maiores afetando o cenário (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, o modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==
== Discussão ==
==Referências==

<references/>

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-02T04:39:51Z

Vit: /* Aplicação: Mercado Financeiro */

'''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier'''

Resumo

== Introdução ==
=== Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico ===

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de corpúsculos biológicos e partículas inorgânicas suspensas em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano <ref>R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).</ref>. Acreditava-se que esse movimento aleatório tratava-se de uma nova forma de vida. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. Não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que o movimento das partículas suspensas em água se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo (?)<ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 <ref>A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).</ref>, com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados <ref>Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester</ref><ref> A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi</ref>. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio (?). Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana.

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Sua dedução pode ser encontrada em <ref>Bess, Denis Fernandes Alves. Generalizações do Movimento Browniano e suas Aplicações à Física e Finanças. 2005. Dissertação de mestrado. Universidade Estadual Paulista. Página 122.</ref>. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

:<math> dS_{t}=\mu S_{_t} dt+\sigma S_{_t} dW_{t} </math>

Onde <math>S(t)</math> é processo estocástico, <math>W_{t}</math> um processo de Wiener, <math> \mu </math> é percentagem de deriva ou deslocamento e percentagem de volatilidade são constantes.

Sua solução é dada por:

:<math> S(t)=S(o)e^{(\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt}</math>

Tal como MB é um processo de Markov, o movimento browniano geométrico também é: o futuro é determinado a partir do presente e não de eventos passados.

=== Aplicação: Mercado Financeiro ===

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde.
O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) <ref>https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.</ref>.

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais.
Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento.
- Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. <ref>NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018). </ref>.
- Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
- Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível <ref>Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012). </ref>. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano <ref>Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).</ref> ?

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro
Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

:<math> S(t)=S(o)e^{(\mu-(\sigma ^2)/2)t+\sigma Wt}</math>

Onde <math>S(t)</math> é o valor futuro da ação, <math>S(o)</math> é o valor inicial da ação, <math> \mu</math> é o deslocamento (“drift”) diário, <math>\sigma</math> é a volatilidade diaria e <math>W_{t}</math> é o processo de Wiener.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana (similar ao mercado de ações real[ref]), gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não tem os “jumps” eventos maiores afetando o cenário (o caminho não é descontínuo) <ref>Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.</ref>

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, o modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica<ref>Black and Scholes, 1973; Merton, 1973</ref>.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

== Simulações ==
== Discussão ==

Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

2022-05-02T03:30:43Z

Vit: Criou página com ''''Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier''' Resumo == Introdução == === Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico === Em 1828, o biólogo Robert Brown observou...'

Trabalhos 2021/2

2022-05-02T03:26:44Z

Vit:

===[[Modelo de Gray-Scott]]===

===[[Equação de Fokker-Planck]]===

===[[Modelo Brusselator de Reação-Difusão]]===

===[[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou]]===

===[[Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações]]===

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T03:24:32Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T03:22:45Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T03:18:22Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T03:11:46Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T03:11:27Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T03:08:08Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T03:06:50Z

Vit: /* Introdução */

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T03:05:56Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T02:30:57Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T02:30:27Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */

Previsão de Mercado de Ações com Movimento Browniano Geométrico

2022-05-02T02:26:34Z

Vit: /* Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico */