Arquivo:Figura sir 03.png

2021-11-29T23:51:02Z

Schmokel:

Arquivo:Imagem 02.jpg

2021-11-29T23:44:51Z

Schmokel:

Arquivo:Figura sir 01.png

2021-11-29T23:40:25Z

Schmokel:

Código Modelo Sir

2021-11-29T19:06:09Z

Schmokel: Criou página com 'A primeira parte do código consiste na chamada das bibliotecas e na definição das constantes que serão utilizadas, o arquivo "mc.h" serve como suporte para gerar os númer...'

A primeira parte do código consiste na chamada das bibliotecas e na definição das constantes que serão utilizadas, o arquivo "mc.h" serve como suporte para gerar os números aleatórios e se encontra no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

<source lang="c">

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#include "mc.h"
#include <limits.h>
#include <string.h>

// ***************** CONSTANTES ************************************************************//

#define L 1000
#define L2 (L*L) // número total de indivíduos
#define TEMPO 100 // quantidade de passos
#define S 2 // estado dos suscetíveis
#define I 0 // estado dos infectados
#define R 1 // estado dos recuperados
#define BETA 0.1 // taxa de transmissão da doença
#define GAMA 0.3 // taxa de remoção da doença

// *****************************************************************************************//

</source>

A segunda parte do código define as funções ''SIR()'', ''inicializacao()'', ''openfiles()'', ''plot_func()''. A primeira função implementa a dinâmica do modelo SIR apresentada no fluxograma da WIKI, a segunda função inicializa os estados dos indivíduos do sistema e identifica a posição dos vizinhos de todos os sítios, a terceira função abre um arquivo pra escrever os resultados ao longo do tempo e a última função plota e salva a imagem da saída dos arquivos. Nesta parte do código também definimos as variáveis globais, onde ''s[]'' e ''viz[][]'', respectivamente, armazenam os estados dos indivíduos e a posição dos vizinhos. As variáveis ''infectado'', ''suscetível'' e ''recuperado'' dão a fração dos indivíduos infectados, suscetíveis e recuperados.

<source lang="c">
// ***************** FUNÇÕES ***************************************************************//

void SIR(void); // implementa a dinâmica SIR mostrado no fluxograma da WIKI
void inicializacao(int m); // inicializa os estados dos indivíduos do sistema e identifica a posição dos vizinhos de todos os sítios
void openfiles(int tempo); // abre um arquivo pra escrever os resultados ao longo do tempo
void plot_func(void); // plota e salva a imagem da saída dos arquivos

// ****************************************************************************************//

// ***************** VARIÁVEIS GLOBAIS ****************************************************//

int s[L2],viz[L2][5]; // s[L2] armazena os estados dos indivíduos // viz[L2][5] armazena a posição dos vizinhos
float infectado, suscetivel, recuperado; // fração de indivíduos infectados, suscetíveis e recuperados

// ****************************************************************************************//
</source>

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR, antes de entrar no loop é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR. A medida que o tempo avança é escrito os dados dos estados da fração da população em um arquivo texto, posteriormente após o loop é gerado um gráfico.

<source lang="c">
// ***************** MAIN *****************************************************************//

int main (void){

unsigned t;
seed = start_randomic();

inicializacao(0);
openfiles(0);

for (t=0;t<TEMPO;t++){

// ----- Cálculo dos estados dos indíviduos no instante de tempo t ------
SIR();

// ----- Armazenamento em um arquivo texto da fração dos estados dos indivíduos no tempo t ------
openfiles(j+1);
}

// ----- Plot dos dados ------
plot_func();

return 1;
}

// ****************************************************************************************//
</source>

<source lang="c">

// ****************** DEFINICAO DE FUNCOES ************************************************//

// PLOTA A FRAÇÃO DOS INDIVÍDUOS S. I. R. // OS PRINTF COMENTADOS PLOTAM A FUNÇÃO i(s)
void plot_func(void){

printf("plot \"output.txt\" u 1:2 w l title \"suscetivel s(t)\", \"output.txt\" u 1:3 w l title \"infectados i(t)\", \"output.txt\" u 1:4 w l title \"recuperados r(t)\"\n");
//printf("plot \"output.txt\" u 2:3 w l title \"i(s) numérico\" \n");
printf("set title \"Modelo SIR - β = 0.1 - γ = 0.3 - R0 = 0.333*s0\" \n");
//printf("f(x) = 0.25*log(x) -x +1 \n");
//printf("replot f(x) title \" i(s) analítico\"\n");
printf("set xlabel \"Tempo\" \n");
printf("set ylabel \"Fração da População N\" \n");
printf("set yrange [-0.3:1.1] \n");
printf("set term eps \n");
printf("set output \"imagem.eps\"\n");
printf("replot\n");
printf("set terminal wxt;\n");
}

// INICIALIZAÇÃO DOS DADOS
void inicializacao(int m){

unsigned long i,n1,n2,n3,n4;
int sitio;

//inicializando estados dos indivíduos na rede REDE
for(i=0;i<L2;i++){
if(FRANDOM < 0.998) s[i]= S;
else s[i]= I;
}

//contagem do número de estados S. I. R. na REDE
for(i=0;i<L2;i++){

if( s[i] == I){
infectado += 1;
}

if(s[i] == S){
suscetivel += 1;
}

if(s[i] == R){
recuperado += 1;
}
}

//Fração do número de indivíduos S. I. R.
suscetivel = suscetivel/L2;
infectado = infectado/L2;
recuperado = 0;

//identifica a posição dos vizinhos de todos os sítios
for (i=0;i<L2;i++) {

n1 = (i-L+L2)%L2;
n2 = (i+1)%L + (i/L)*L;
n3 = (i+L)%L2;
n4 = (i-1+L)%L + (i/L)*L;
//printf("%d %d %d %d %d\n",i,n1,n2,n3,n4);

sitio = i;
viz[i][0] = i;
viz[i][1] = n1;
viz[i][2] = n2;
viz[i][3] = n3;
viz[i][4] = n4;
//printf("%d %d %d %d %d\n",viz[i][0],viz[i][1],viz[i][2],viz[i][3],viz[i][4]);
}

return;
}

//FUNÇÃO DINÂMICA SIR
void SIR(void){

int celula,i,j,estado,chave;
float prob;

chave == 0;

for(i=0;i<L2;i++){

celula = FRANDOM*L2; //sorteia um indivíduo na REDE
estado = s[celula]; // determina o estado do indivíduo na REDE

for(j=1;j<5;j++) { //verifica se um dos vizinhos do indivíduo sorteado está infectado
if(s[viz[celula][j]] == I){
chave =1; //condição para verificar se um indivíduo suscetível pode se tornar infectado
}
}

if(chave == 1){

if(estado == S){

if(FRANDOM < BETA) //sorteia um número --> probabilidade do indivíduo S tornar-se I
s[celula] = I;
}

chave = 0;
}

if(estado == I){ //sorteia um número --> probabilidade do indivíduo I tornar-se R
if(FRANDOM < GAMA)
s[celula] = R;
}
}

//Zera o número de indivíduos sucsetível, infectado e recuperado
infectado = 0;
suscetivel = 0;
recuperado = 0;

//contagem do número de estados S. I. R. na REDE
for(i=0;i<L2;i++){

if( s[i] == I){
infectado += 1;
}

if(s[i] == S){
suscetivel += 1;
}

if(s[i] == R){
recuperado += 1;
}
}

//Fração do número de indivíduos S. I. R.
suscetivel = suscetivel/L2;
infectado = infectado/L2;
recuperado = recuperado/L2;

return;
}

/*ESCREVER NO ARQUIVO TEXTO OS DADOS OBTIDOS*/
void openfiles(int tempo){

FILE *fp;

char output[100];
sprintf(output,"output.txt");

fp = fopen(output,"a");
fprintf(fp,"%d %lf %lf %lf \n",tempo,suscetivel,infectado,recuperado);
fclose(fp);
}

</source>

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T19:04:54Z

Schmokel: /* Implementação modelo SIR */

2021-11-29T11:01:56Z

Schmokel: /* Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|Função do número de indivíduos em relação ao número de indivíduos suscetíveis.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0 </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|Função do número de indivíduos em relação ao número de indivíduos suscetíveis.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Arquivo:R0(S).png

2021-11-29T11:00:54Z

Schmokel:

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T10:36:20Z

Schmokel: /* Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|Função i(s)]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T10:08:28Z

Schmokel: /* Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math> para diferentes valores de <math> s_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|Função i(s)]]

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T10:04:30Z

Schmokel: /* Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math> para diferentes valores de <math> s_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500px|thumb|Função i(s)]]

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T10:02:49Z

Schmokel: /* Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math> para diferentes valores de <math> s_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|right|300px|thumb|Função i(s)]]

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

2021-10-22T00:53:26Z

Schmokel: /* Discretização na Forma Conservativa */

'''Grupo: Gabriel Schmökel e Julia Remus'''

O objetivo deste trabalho é buscar a solução das equações de águas rasas, por meio de métodos de integração numérica, para resolução de equações diferenciais parciais (EDP's) e posteriormente apresentar uma breve interpretação física das soluções. Demonstramos, nesta página, a derivação das equações, junto com a explicação de cada quantidade física presente. A discretização das equações de águas rasas conservativas e não conservativas são feitas por FTCS explícito, também foi aplicado FTCS implícito para as equações em uma forma simplificada, representada pela equação da deriva. Os resultados obtidos para equação simplificada são comparados com a solução exata, e exemplos mais complexos são solucionados para as formas conservativa e não conservativa. Ao final, uma comparação é feita entre os resultados das equações conservativas e dissipativas.

== Introdução ==

As equações de águas rasas têm aplicações físicas na previsão de tsunâmis, em fluxos atmosféricos, ondas de tempestade e fluxos planetários. Na descrição física dos problemas de fluxos de fluído em ondas, as equações de águas rasas em uma dimensão são dadas por:

<math>\dfrac{\partial \eta}{\partial t} + \dfrac{\partial u D}{\partial x} = 0 \qquad (1) </math>

<math>\dfrac{\partial \eta u}{\partial t} + \dfrac{\partial \left (\eta u^2 + \dfrac{1}{2}g \eta^2 \right)}{\partial x} = -g \eta \dfrac{\partial h}{\partial x} \qquad (2) </math>

As componentes da equação de águas rasas podem ser melhor interpretadas através da seguinte figura:

[[Arquivo:TSUNAMI3-06.png|600px|center|Componentes das equações de águas rasas]]

<math> \eta = \eta(x,t) </math> corresponde a amplitude da onda, <math> h=h(x) </math> determina a profundidade do mar em repouso, <math> D</math> é o deslocamento total da água, <math> u</math> é a velocidade do fluído. Resolvendo a EDP da equação de águas rasas, obtemos como a amplitude da onda se comporta ao longo do tempo e do espaço.

== Teoria ==

===Derivação das Equações de Águas Rasas===

Iremos demonstrar como chegamos nas equações de águas rasas em duas dimensões, nas formas conservativa e dissipativa, em representações do fluxo de descarga e de velocidade. Posteriormente, tendo as equações em 2D, iremos simplificar elas para a forma unidimensional. Neste processo de demonstração, iremos explicar a interpretação física de cada quantidade presente nas equações.

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:

<math> \nabla . (\rho \mathbf{u}) = \frac{d\rho}{dt} \qquad (3) </math>

<math> \frac{D \mathbf{u}}{Dt} +\frac{1}{\rho}\nabla p +\frac{1}{\rho} \nabla . \boldsymbol{\tau} +\mathbf{g} = 0 \qquad (4) </math>

A equação da continuidade em (3) descreve o balanço de massas para os elementos de volume infinitesimais que pertencem ao fluído, onde a quantidade do lado esquerdo da equação informa o fluxo de massa que entra e sai pelo elemento de volume, e a quantidade do lado direito está relacionada com a massa que se acumula ao longo do tempo <ref>Equação da continuidade mássica: balanços de massa diferenciais. Bloom Consultoria.Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=pEip-GvO0LM&list=PL1yqHjPQz-Lqjri07DqZ3RsSWJfICvdiu&index=3></ref>. Nesta expressão <math> \rho </math> é a densidade, e <math> \mathbf u=(u,v,w,t) </math> é o campo de velocidades, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z.

As equações de Navier-Stokes em (4) são balanços diferenciais da quantidade de movimento, obtidas através da aplicação da segunda lei de Newton em cada ponto do escoamento <ref>Equação de Navier-Stokes (Parte 1) - Derivadas materiais.
Bloom Consultoria.Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=FLoZODPpayM</ref> <ref>Equação de Navier-Stokes (Parte 2) - Equação diferencial da quantidade de movimento. Bloom Consultoria.Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=e06ZRzdO4iM</ref> <ref>Equação de Navier-Stokes (Parte 3) - Tensões Normais e Cisalhantes. Bloom Consultoria.Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=na2kGOSYNv8</ref>.

* <math> Du/Dt </math> é a aceleração da partícula fluída ao longo do campo de velocidade <math> \mathbf u=(u,v,w,t) </math>.
* <math> \nabla . \boldsymbol{\tau} / \rho</math> está associado as tensões tangenciais e normais atuando sobre os elementos de volume (<math> \boldsymbol{\tau} </math> é o tensor tensão, as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por <math> \tau_{ij} </math>, no qual <math> i </math> indica a direção e <math> j </math> o plano normal).
* <math> \nabla p / \rho </math> está associado as pressões que atuam sobre os elementos do fluído.
* <math> \mathbf{g} </math> é o vetor aceleração da gravidade atuando sobre os elementos infinitesimais de volume do fluído.

Introduzindo as condições de contorno para a superfície <math> z(x,y,t) </math> e para a profundidade do oceano <math> h(x,y) </math> <ref>SEGUR, Harvey; YAMAMOTO, Hiroki. Lecture 8: The Shallow-Water Equations.Disponível em: <https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html></ref>:

<math> \frac{D \eta}{Dt} = \frac{\partial \eta}{\partial t} +\mathbf{v} . \nabla \eta = w </math> , onde <math> z= \eta(x,y,t) \qquad (5) </math>

<math> \mathbf{u} . \nabla (z + h(x,y)) = 0 </math> , onde <math> z =-h(x,y) \qquad (6)</math>

<math> \eta </math> é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, <math> \mathbf{v} = (x,y,0) </math> é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.

A equação da continuidade em (3) pode ser simplificada pelo fato do fluído ser incompressível, isto implica que a densidade <math> \rho </math> é constante.

<math> \nabla . \mathbf{u} = 0 \qquad (7) </math>

Integrando a expressão da continuidade em (7), utilizando a regra da integral de Leibniz <ref>Leibniz integral rule. Disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule </ref>, com os limites indo de <math> -h(x,y) </math> até <math> \eta (x,y,t) </math> chegamos na seguinte expressão:

<math> \int_{-h}^{\eta} \nabla . \mathbf{u} = \int_{-h}^{\eta} \Big(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}\Big)dz =
\frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz +w \Big |_{-h}^{\eta} + \mathbf{u} . \nabla (z + h(x,y)) \Big |_{-h}^{\eta} -u \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} -v \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial y} \qquad (8) </math>

Teorema de Leibniz:

<math>\frac{d}{dx} \left (\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt \right )= f\big(x,b(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt \qquad (9)</math>

Substituindo as condições de contorno da profundidade (6) em (8) obtemos:

<math> \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz - w \Big |_{eta} -\mathbf{v} . \nabla \eta = 0 \qquad (10) </math>

Substituindo a condição de contorno da superfície (5) em (10):

<math> \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz + \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial u (\eta + h)}{\partial x}+ \frac{\partial v (\eta + h)}{\partial y} + \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} + \frac{\partial \eta}{\partial t} </math>

<math> \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (11) </math>

(11) é a primeira das equações das águas rasas que obtemos, onde <math> D </math> é o comprimento da água total do fundo do oceano até a amplitude da onda.
Podemos expressar (11) através do fluxo de descarga nas direções x e y, estas quantidades estão relacionadas com as velocidades da seguinte forma <ref name=MANUAL> IMAMURA, Fumihiko.Tsunami Modelling Manual.Disponível em: http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai3/J/projects/manual-ver-3.1.pdf </ref>:

<math> M = \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz = uD \qquad (12) </math>

<math> N = \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz = vD \qquad (13) </math>

Substituindo (12) e (13) em (11) chegamos na representação do fluxo de descarga para uma das equações de águas rasas.

<math> \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial M}{\partial x}+ \frac{\partial N}{\partial y} = 0 \qquad (14) </math>

Conhecendo as taxas dos fluxos de descarga em relação as regiões espaciais, podemos determinar a taxa da variação da amplitude da onda em relação ao tempo.

Vamos buscar obter as outras duas equações de águas rasas restantes, a partir das quantidades de movimento de Navier-Stokes. Nas componentes x,y e z temos:

<math> \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}
+ w\frac{\partial u}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_x = 0 \qquad (15) </math>

<math> \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}
+ w\frac{\partial v}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_y = 0 \qquad (16) </math>

<math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_z = 0 \qquad (17) </math>

Na componente z em (17) não consideramos a aceleração das partículas, pois a aceleração da gravidade é muito maior. Também tomamos como nulo as componentes <math> g_x</math> e <math> g_y</math> em (15) e (16), assim passamos a definir <math> g_z = g </math>. Neste momento estamos desconsiderando as forças de fricção, por isso o tensor tensão também é nulo.

Resolvendo equação diferencial da componente z em (17) podemos obter a pressão, a qual é hidrostática.

<math> \partial P = \rho g \partial z \Rightarrow P = \rho g (\eta - z) \qquad (18) </math>

Substituindo a pressão em (15):

<math> \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}
+ w\frac{\partial u}{\partial z} +g \frac{\partial \eta}{\partial x} =0 \qquad (19) </math>

Integrando a expressão (19), utilizando a regra da integral de Leibniz e as condições de contorno (5) e (6), com os limites indo de <math>-h(x,y)</math> até <math>\eta(x,y,t)</math> chegamos em outra das equações de águas rasas:

<math> \frac{\partial uD}{\partial t} + \frac{\partial u^{2}D}{\partial x} + \frac{\partial uvD}{\partial y}
+ \frac{g}{2} \frac{\partial D^2}{\partial x} =0 \qquad (20) </math>

Generalizando a equação (20), para a componente y, obtemos a última das equações de águas rasas:

<math> \frac{\partial vD}{\partial t} + \frac{\partial v^{2}D}{\partial y} + \frac{\partial uvD}{\partial x}
+ \frac{g}{2} \frac{\partial D^2}{\partial y} =0 \qquad (21) </math>

Na representação de fluxo de cargas as expressões (20) e (21) são apresentadas respectivamente como:

<math> \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (22) </math>

<math> \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (23) </math>

Com as equações de águas rasas (20), (21), (22) e (23) podemos calcular as taxas de variação dos fluxos de descarga em relação ao tempo. As equações (11), (20) e (21), na representação de velocidades, e as equações (14), (22) e (23), na representação do fluxo de descargas, são as equações de águas rasas conservativas.

Iremos buscar pelas equações de águas rasas não conservativas considerando o tensor de estresse <math> \boldsymbol{\tau} </math> em (4). Os elementos deste tensor são responsáveis por causar nas partículas tensões tangenciais e perpendiculares, onde as tensões tangenciais são representadas por elementos <math> \tau_{ij}</math> onde <math> i \ne j </math>, e as perpendiculares por elementos <math> \tau_{ij}</math> onde <math> i = j </math>.

Decompondo nas componentes x,y, e z de <math> \frac{1}{\rho} \nabla . \boldsymbol{\tau} </math> presente em (4) temos:

<math> \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{xx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{xy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{xz} \Big) \qquad (24) </math>

<math> \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{yx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{yy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{yz} \Big) \qquad (25) </math>

<math> \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{zx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{zy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{zz} \Big) \qquad (26) </math>

Considerando o fluído Newtoniano, então as tensões de cisalhamento serão proporcionais a uma taxa de deformação, onde a constante de deformidade é a viscosidade.

<math> \tau_{xy} = \tau_{yx} = \mu \Big( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \Big) \qquad (27) </math>

<math> \tau_{xz} = \tau_{zx} = \mu \Big( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \Big) \qquad (28) </math>

<math> \tau_{yz} = \tau_{zy} = \mu \Big( \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \Big) \qquad (29) </math>

Substituindo (27),(28) em (24), integrando em relação a componente z, utilizando a regra de Leibnz e as condições de contorno (5) e (6), obtemos:

<math> \int_{-h}^{\eta} \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{xx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{xy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{xz} \Big) = \frac{\tau_x}{\rho} -A \Big ( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}M \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} M \Big) \qquad (30) </math>

Onde <math> A </math> é a constante de viscosidade turbulenta, <math> \tau_x </math> é uma força de resistividade relativa ao movimento do fluído com o fundo do oceano na direção x. Podemos desconsiderar a constante de turbulência na situação em que não temos inclinações abrutas no fundo do mar <ref name=MANUAL> IMAMURA, Fumihiko.Tsunami Modelling Manual.Disponível em: http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai3/J/projects/manual-ver-3.1.pdf </ref>.

Considerando que o fluído é uniforme, então a expressão para <math> \frac{\tau_x}{\rho} é </math> é:

<math> \frac{\tau_x}{\rho} = \frac{fM}{2D^{2}}(M^{2}+N^{2})^{1/2} \qquad (31) </math>

Onde <math> f </math> é o coeficiente de fricção, porém o coeficiente de rugosidade de Manning <math> n </math> é mais usado, alguns valores deste coeficiente são
<ref> LINSLEY, Ray K.; FRANZINI, Joseph B. Water Resources Engineering. </ref>:

{| border="4" cellpadding="2"
! Material
! Coeficiente de Rugosidade de Manning <math> (n) </math>
|-
| Cimento puro e metal liso || 0,010
|-
| Terra lisa || 0,017
|-
| Pedras, ervas daninhas || 0,035
|-
| Péssimo relevo de canal || 0,060
|-
| Bom relevo de canal || 0,025
|}

O coeficiente de fricção <math> f </math> e o de rugosidade de Meanning <math> n </math> estão relacionados por:

<math> f = \frac{2gn^{2}}{D^{1/3}} \qquad (32) </math>

Substituindo (32) em (31) obtemos:

<math> \frac{\tau_x}{\rho} = \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (33) </math>

Generalizando a expressão (29) para a componente y.

<math> \frac{\tau_y}{\rho} = \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (34) </math>

Adicionando, repectivamente, (33) e (34) nas expressões (22) e (24), obtemos as equações de águas rasas considerando as forças de fricção do fundo do oceano.

<math> \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x} + \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} = 0 \qquad (35) </math>

<math> \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} +\frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} = 0 \qquad (36) </math>

As equações (14), (35) e (36), na representação do fluxo de descargas, são as equações de águas rasas não conservativas.

Em uma dimensão podemos expressar as equações de águas rasas eliminando a componente <math> y</math> das expressões (14),(35) e tomando o fluxo de descarga <math> N </math> como nulo.

<math>\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial M}{\partial x} = 0 \qquad (37) </math>

<math> \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + gD \frac{\partial \eta}{\partial x} +\frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M^2= 0 \qquad (38) </math>

===Simplificação das Equações de Águas Rasas===

As equações de águas rasas podem ser simplificadas para equação de advecção através das seguintes considerações:

* A velocidade do fluído é constante.
* A profundidade do fundo do oceano é constante.

De (39) e das considerações acima temos:

<math>\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x} = \frac{\partial \eta}{\partial t} +u\frac{\partial (\eta + h)}{\partial x} = \frac{\partial \eta}{\partial t} + u\frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 </math>

<math> \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + u\frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (39) </math>

=== Discretização na Forma Conservativa ===
Um modelo mais simples - desconsiderando a fricção, viscosidade do líquido e as forças de Coriolis sobre ele - pode ser obtido <ref>GARCÍA-NAVARRO, P; et al. The shallow water equations: An example of hyperbolic system. Espanha: 2008. Disponível em: <https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.571.1364&rep=rep1&type=pdf></ref><ref>KUHBACHER, Christian. Shallow Water: Derivation and Applications. Disponível em: <http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsiii/cms/papers/Kuehbacher2009.pdf></ref>. Para desenvolvê-lo são necessárias algumas premissas:

* O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção <math>\vec{z}</math>
* A aceleração na direção da velocidade na direção <math>\vec{z}</math> é zero
* As componentes das velocidades em <math>\vec{x}</math> e em <math>\vec{y}</math> (<math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math>) não variam em <math>\vec{z}</math>

O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:

<math>\dfrac{\partial D}{\partial t} + \dfrac{\partial Du}{\partial x} + \dfrac{\partial Dv}{\partial y} = 0 \qquad (40) </math>

<math>\dfrac{\partial Du}{\partial t} + \dfrac{\partial \left (\partial Du^2 + \dfrac{1}{2}g D^2 \right)}{\partial x} + \dfrac{Duv}{\partial y} = -gD\dfrac{\partial b}{\partial x} \qquad (41) </math>

<math>\dfrac{\partial Dv}{\partial t} + \dfrac{Duv}{\partial x} + \dfrac{\partial \left ( Dv^2 + \dfrac{1}{2}g D^2 \right)}{\partial y}= -gD\dfrac{\partial b}{\partial y}\qquad (42) </math>

Onde <math>D</math> é a altura do fluido desde a base, <math>\vec{u}, \vec{v}</math> são as velocidades médias na direções <math>\vec{x}, \vec{y}</math>, <math>g</math> é a constante gravitacional e <math>b(x, y)</math> é função que descreve a superfície onde acontece o movimento.

Para descrever numericamente as equações de águas rasas na forma conservativa foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.

<math>\dfrac{D^{t + \Delta t}_{i, j} - D^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Du)^t_ {i+1,j} - (Du)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Dv)^t_ {i,j+1} - (Dv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = 0 \qquad (43)</math>

<math>\dfrac{(Du)^{t + \Delta t}_{i, j} - (Du)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Du^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i+1, j} - (Du^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Duv)^t_{i, j+1} - (Duv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g D^{t}_{i, j} b_{x. i, j} \qquad (44) </math>

<math>\dfrac{(Dv)^{t + \Delta t}_{i, j} - (Dv)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Duv)^t_{i+1, j} - (Duv)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Dv^2 + 1/2 gD^2)^t_{i, j+1} - (Dv^2 + 1/2 gD^2)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g D^{t}_{i, j} b_{y. i, j} \qquad (45) </math>

Na situação em que temos as equações de águas rasas simplificadas por (39), aplicando FTCS explícito, a evolução temporal da amplitude da onda é:

<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} = \eta^{t}_{i, j} - \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^t_ {i+1,j} - \eta^t_{i-1, j}) \qquad (46)</math>

Aplicando FTCS implícito temos:

<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} + \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^{t+ \Delta t}_{i+1,j} - \eta^{t- \Delta t}_{i-1, j}) = \eta^{t}_{i, j} \qquad (47)</math>

=== Discretização na Forma não Conservativa ===

As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (16), (37) e (38), para descrever numericamente estas equações foi utilizada discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente na região temporal (FTCS).

Discretizando a expressão (16):

<math> \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (47) </math>

<math> \Rightarrow \frac{\eta(x,y,t + \Delta t) - \eta(x,y,-t)}{\Delta t} = - \frac{M(x + \Delta x,y,t) - M(x- \Delta x,y,t)}{2\Delta x} -\frac{N(x,y+ \Delta x,t) - N(x,y - \Delta y,t)}{2\Delta y} \qquad (48) </math>

<math> \eta_{i,j}^{n+1} = \eta_{i,j}^{n} -\Delta t\Bigg(\frac{M_{i+1,j}^{n}-M_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} + \frac{N_{i,j+1}^{n}-N_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y} \Bigg) \qquad (49) </math>

Discretizando a expressão (37):

<math> \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial t} = -\Bigg( \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x}+ \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \Bigg) \qquad (50) </math>

Definindo as quantidades:

<math> M2 \equiv \frac{M^2(x,y,t)}{D(x,y,t)}\qquad (51) </math>

<math> MN \equiv \frac{M(x,y,t)N(x,y,t)}{D(x,y,t)} \qquad (52) </math>

<math> f(x,y,t) \equiv \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (53) </math>

Das quantidades definidas e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos o respectivo avanço temporal para M:

<math> M_{i,j}^{n+1} = M_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{M2_{i+1,j}^n-M2_{i-1,j}^n}{2 \Delta x} +\frac{(MN)_{i,j+1}^n - (MN)_{i,j-1}^n}{2 \Delta y} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (54) </math>

Generalizando a expressão (54) para o fluxo de descarga N temos:

<math> N_{i,j}^{n+1} = N_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{N2_{i,j+1}^n-M2_{i,j-1}^n}{2\Delta y} +\frac{(MN)_{i+1,j}^n - (MN)_{i-1,j}^n}{2\Delta x} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta y} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (55) </math>

== Simulações Computacionais ==

=== Forma conservativa 1D e 2D ===

As equações (42),(43) e (44) foram implementadas em python para descrever a evolução temporal das variáveis <math> h</math>, <math> u </math> e <math> v </math> em duas dimensões.

As condições de contorno dos exemplos obedecem as expressões:

* <math>u(x_f, y) = - u(x_f - \Delta x, y)</math>

* <math>u(x_i, y) = - u(x_i + \Delta x, y)</math>

* <math>v(x, y_f) = - v(x, y_f - \Delta y)</math>

* <math>v(x, y_i) = - v(x, y_i + \Delta y)</math>

* Nos contornos de x: <math> \tfrac{\partial h}{\partial x} = 0</math>, discretizando essa derivada temos que: <math>h_{i(+/-)1, j} = h_{i, j}</math>

* Nos contornos de y: <math> \tfrac{\partial h}{\partial y} = 0</math>, discretizando essa derivada temos que: <math>h_{i, j(+/-)1} = h_{i, j}</math>

Para a solução do exemplo em 1D abaixo foi utilizado o mesmo código do conservativo 2D, porém desconsiderando a contribuição da direção <math>\vec{y}</math>.

==== Códigos das Equações Conservativas ====
O código 1 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e resolve os exemplos 1 e 2 que serão apresentados abaixo.

[[Código 1 - Forma Conservativa das Equações de Águas Rasas]]

O código 2 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e serve para comparar a solução numérica de (39) com a solução exata.

[[Código 2 - Método FTCS explícito]]

O código 3 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e serve para comparar a solução numérica de (40) com a solução exata.

[[Código 3 - Método FTCS implícito]]

==== Resultados ====

'''Comparação entre a solução exata e a numérica''': para verificar se o cálculo das equações de águas rasas utilizando FTCS explícito e implícito estão funcionando, partimos da situação simplificada das equações dadas por (45) e (46). Neste problema consideramos a velocidade e a profundidade constantes com os valores respectivos de 4.3 m/s e 2 m. O deslocamento de água inicial é representado por uma Gaussiana centrada em 80m, de amplitude 2 m e largura 70 m, nesta situação a solução exata de (39) é dada por:

<math> \eta = 2 + 3 \cdot exp \Big(-\frac{((x-80) -ut))^2}{70} \Big) </math>

Do código 2 obtemos as seguintes curvas ao longo do tempo. Vemos que a solução numérica por FTCS explícito se aproxima do resultado exato para tempos curtos e se afasta da solução exata a medida que o tempo avança.

[[Arquivo:Aguas rasas FTCS explicito.gif|thumb|400px|center|Comparação entre a solução exata e a numérica por FTCS explícito. Forma conservativa.]]

Do código 3 obtemos as seguintes curvas ao longo do tempo. Vemos que a solução numérica por FTCS implícito se aproxima do resultado analítico para tempos curtos e se afasta da solução exata a medida que o tempo avança, porém de forma mais lenta que o método explícito.

[[Arquivo:Aguas rasas FTCS implicito.gif|thumb|400px|center|Comparação entre a solução exata e a numérica por FTCS implícito. Forma conservativa.]]

<math> u \Delta t </math> deve ser significativamente menor que <math> \Delta x </math> para que os métodos FTCS funcionem.

'''Exemplo 1. Onda confinada em uma caixa com profundidade constante''': obtemos a evolução da amplitude da onda apresentada no GIF abaixo, através do código 1, utilizando que a profundidade é constante, e que tanto a velocidade quanto altura da onda são inicialmente funções gaussianas centradas no espaço.

[[Arquivo:conservativa-gausiana.gif|thumb|400px|center|Evolução da amplitude da onda em uma caixa. Forma conservativa]]

Podemos observar que a onda diminui sua amplitude a medida que ela se propaga no espaço. Posteriormente, são observados fenômenos de interferência construtiva e destrutiva devido a reflexão da onda com as paredes da caixa.

'''Exemplo 2. Onda confinada em uma caixa com profundidade variável''': utilizando a função <math>s = tanh(x)</math> foi possível simular uma onda chegando em uma praia, esse exemplo foi feito em 1D conservativo.

Para fazer esse exemplo usamos o código 1, porém desconsideramos as derivadas em <math>x</math> e inicializamos os vetores da altura e velocidade com a discretização em apenas uma dimensão (abaixo descrevemos está parte do código). Deve-se notar que o problema passa a ter um índice, pois a discretização não forma mais uma malha, então pode ser retirado um laço ''for'' do código.

<source lang='python'>
#%% Discretização do espaço x
x = np.linspace(L_x0, L_xf, NX)

#%% Condições iniciais da superficie e da agua

# Superficie
b = 5 * np.tanh((x- L_xf*0.3) / 2) # funcao tangente
b += np.full(shape=(np.shape(b)), fill_value=-np.min(b)) # aqui é somado só para a funcao comecar em zero

# Onda e velocidade
sigma = 1.0 # distribuicao da onda
sigma_v = 1.0 # distribuicao da onda

h_2d = 1.1 * max(b) * np.ones(shape=np.shape(x)) + np.exp(-((x)**2/(2*(sigma**2))))
h_2d -= b

u_2d = 0.08 * np.exp(-((x)**2/(2*(sigma_v**2))))
</source>

[[Arquivo:gif_conservativa_tanh.gif|thumb|400px|center|Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável. Forma conservativa]]

=== Forma dissipativa 2D ===

Os exemplos que seguem utilizam o código abaixo para calcular as equações de águas rasas não conservativa (38),(43) e (44) nos passos de tempo de <math> \eta </math>, <math> M </math>, <math> N </math>, onde as funções em python ''atualiza_eta'', ''atualiza_M'', e ''atualiza_N'' implementam computacionalmente isto. Para implementar estas funções e outras ideias do nosso programa, o seguinte código fonte da referência <ref> KOEHN, Daniel. 2D Shallow Water Equations. Disponível em: <https://github.com/daniel-koehn/Differential-equations-earth-system/blob/master/10_Shallow_Water_Equation_2D/01_2D_Shallow_Water_Equations.ipynb> </ref> foi usado como base.

==== Códigos das Equações Não Conservativas ====

O código 4 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e resolve o exemplo 3 que será apresentado abaixo.

[[Código 4 - Forma Não Conservativa das Equações de Águas Rasas]]

O código 5 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e resolve o exemplo 4 que será apresentado abaixo.

[[Código 5 - Forma Não Conservativa das Equações de Águas Rasas]]

==== Exemplo 3 - Onda Confinada em uma Caixa ====

Através do código 4 fizemos a simulação da propagação de uma onda em uma caixa de <math> L_x =100 </math> m e <math> L_y = 100 </math> m em uma profundidade <math>h(x,y)=50</math> m. O fluxo de descarga e o deslocamento do volume de água inicial, ambas com suas devidas unidades físicas, são Gaussianas centradas em 80, com amplitude igual a 1 e largura igual a 70.

Exemplo 3 com coeficiente de Manning igual a 0.025.

[[Arquivo:Aguas rasas FTCS n=0.025.gif|thumb|400px|center|Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade de 50 metros, coeficiente de Manning n = 0.025. Forma dissipativa.]]

Exemplo 3 com coeficiente de Manning igual a 20.0.

[[Arquivo:Aguas rasas não conservativo n=20.gif|thumb|400px|center|Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade de 50 metros, coeficiente de Manning n = 20. Forma dissipativa.]]

Dos gráficos acima, podemos observar que quanto maior for o coeficiente de Manning mais rápida a onda irá atenuar a sua amplitude. Está observação faz sentido, já que as forças de fricção sobre o fluído são maiores na situação em que o coeficiente de Manning tem maior valor.

==== Exemplo 4 - Tsunami ====

Simulação da propagação de uma onda em uma caixa de <math> L_x =500</math> <math> m </math> e <math> L_y =500 </math> <math> m </math>, em uma profundidade variável, que respeita a função tangente hiperbólica. O fluxo de descarga e o deslocamento do volume de água inicial, ambas com suas devidas unidades físicas, são Gaussianas centradas em 300, com amplitude igual a 2 e largura igual a 500.

[[Arquivo:Tsunami.gif|thumb|400px|center|Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variáel, coeficiente de Manning n = 0.025. Forma dissipativa.]]

A medida que o fundo do oceano diminui sua profundidade a velocidade da onda diminui e a amplitude aumenta. Está simulação mostra o comportamento físico da propagação de um Tsunami em direção ao litoral.

== Comparação entre Métodos ==

=== Onda confinada em uma caixa ===

Abaixo é mostrado o gráfico de evolução temporal da altura da onda em três pontos distintos do sistema (utilizando os mesmos parâmetros que foi aplicado ao método conservativo com a onda em uma caixa de profundidade constante em todos os outros métodos). Pode-se perceber que com o passar do tempo o movimento das duas equações começa a divergir, mesmo com o fator de fricção baixo.

[[Arquivo:unificacao_comparacoes.png|thumb|center|700px|Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo]]

Para o método 1D é de se esperar que exista menos interferências entre as ondas, pois só existe parede nos finais do sistema, além disso, a onda só precisa se espalhar em uma direção, então a sua amplitude é maior.

[[Arquivo:unificacao_comparacoes_1D.png|thumb|center|700px|Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo 2D e conservativo 1D]]

Também é possível perceber a diferença entre métodos observando apenas em uma direção (<math>\vec{x}</math>), por causa dos termos de fricção e viscosidade.

[[Arquivo:unificacao_comparacoes_1D_mesmo.png|thumb|center|700px|Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo 1D]]

== Referências ==
<references/>

Equação de Águas Rasas

2021-10-22T00:49:51Z

Schmokel: /* Discretização na Forma não Conservativa */

'''Grupo: Gabriel Schmökel e Julia Remus'''

O objetivo deste trabalho é buscar a solução das equações de águas rasas, por meio de métodos de integração numérica, para resolução de equações diferenciais parciais (EDP's) e posteriormente apresentar uma breve interpretação física das soluções. Demonstramos, nesta página, a derivação das equações, junto com a explicação de cada quantidade física presente. A discretização das equações de águas rasas conservativas e não conservativas são feitas por FTCS explícito, também foi aplicado FTCS implícito para as equações em uma forma simplificada, representada pela equação da deriva. Os resultados obtidos para equação simplificada são comparados com a solução exata, e exemplos mais complexos são solucionados para as formas conservativa e não conservativa. Ao final, uma comparação é feita entre os resultados das equações conservativas e dissipativas.

== Introdução ==

As equações de águas rasas têm aplicações físicas na previsão de tsunâmis, em fluxos atmosféricos, ondas de tempestade e fluxos planetários. Na descrição física dos problemas de fluxos de fluído em ondas, as equações de águas rasas em uma dimensão são dadas por:

<math>\dfrac{\partial \eta}{\partial t} + \dfrac{\partial u D}{\partial x} = 0 \qquad (1) </math>

<math>\dfrac{\partial \eta u}{\partial t} + \dfrac{\partial \left (\eta u^2 + \dfrac{1}{2}g \eta^2 \right)}{\partial x} = -g \eta \dfrac{\partial h}{\partial x} \qquad (2) </math>

As componentes da equação de águas rasas podem ser melhor interpretadas através da seguinte figura:

[[Arquivo:TSUNAMI3-06.png|600px|center|Componentes das equações de águas rasas]]

<math> \eta = \eta(x,t) </math> corresponde a amplitude da onda, <math> h=h(x) </math> determina a profundidade do mar em repouso, <math> D</math> é o deslocamento total da água, <math> u</math> é a velocidade do fluído. Resolvendo a EDP da equação de águas rasas, obtemos como a amplitude da onda se comporta ao longo do tempo e do espaço.

== Teoria ==

===Derivação das Equações de Águas Rasas===

Iremos demonstrar como chegamos nas equações de águas rasas em duas dimensões, nas formas conservativa e dissipativa, em representações do fluxo de descarga e de velocidade. Posteriormente, tendo as equações em 2D, iremos simplificar elas para a forma unidimensional. Neste processo de demonstração, iremos explicar a interpretação física de cada quantidade presente nas equações.

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:

<math> \nabla . (\rho \mathbf{u}) = \frac{d\rho}{dt} \qquad (3) </math>

<math> \frac{D \mathbf{u}}{Dt} +\frac{1}{\rho}\nabla p +\frac{1}{\rho} \nabla . \boldsymbol{\tau} +\mathbf{g} = 0 \qquad (4) </math>

A equação da continuidade em (3) descreve o balanço de massas para os elementos de volume infinitesimais que pertencem ao fluído, onde a quantidade do lado esquerdo da equação informa o fluxo de massa que entra e sai pelo elemento de volume, e a quantidade do lado direito está relacionada com a massa que se acumula ao longo do tempo <ref>Equação da continuidade mássica: balanços de massa diferenciais. Bloom Consultoria.Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=pEip-GvO0LM&list=PL1yqHjPQz-Lqjri07DqZ3RsSWJfICvdiu&index=3></ref>. Nesta expressão <math> \rho </math> é a densidade, e <math> \mathbf u=(u,v,w,t) </math> é o campo de velocidades, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z.

As equações de Navier-Stokes em (4) são balanços diferenciais da quantidade de movimento, obtidas através da aplicação da segunda lei de Newton em cada ponto do escoamento <ref>Equação de Navier-Stokes (Parte 1) - Derivadas materiais.
Bloom Consultoria.Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=FLoZODPpayM</ref> <ref>Equação de Navier-Stokes (Parte 2) - Equação diferencial da quantidade de movimento. Bloom Consultoria.Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=e06ZRzdO4iM</ref> <ref>Equação de Navier-Stokes (Parte 3) - Tensões Normais e Cisalhantes. Bloom Consultoria.Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=na2kGOSYNv8</ref>.

* <math> Du/Dt </math> é a aceleração da partícula fluída ao longo do campo de velocidade <math> \mathbf u=(u,v,w,t) </math>.
* <math> \nabla . \boldsymbol{\tau} / \rho</math> está associado as tensões tangenciais e normais atuando sobre os elementos de volume (<math> \boldsymbol{\tau} </math> é o tensor tensão, as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por <math> \tau_{ij} </math>, no qual <math> i </math> indica a direção e <math> j </math> o plano normal).
* <math> \nabla p / \rho </math> está associado as pressões que atuam sobre os elementos do fluído.
* <math> \mathbf{g} </math> é o vetor aceleração da gravidade atuando sobre os elementos infinitesimais de volume do fluído.

Introduzindo as condições de contorno para a superfície <math> z(x,y,t) </math> e para a profundidade do oceano <math> h(x,y) </math> <ref>SEGUR, Harvey; YAMAMOTO, Hiroki. Lecture 8: The Shallow-Water Equations.Disponível em: <https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html></ref>:

<math> \frac{D \eta}{Dt} = \frac{\partial \eta}{\partial t} +\mathbf{v} . \nabla \eta = w </math> , onde <math> z= \eta(x,y,t) \qquad (5) </math>

<math> \mathbf{u} . \nabla (z + h(x,y)) = 0 </math> , onde <math> z =-h(x,y) \qquad (6)</math>

<math> \eta </math> é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, <math> \mathbf{v} = (x,y,0) </math> é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.

A equação da continuidade em (3) pode ser simplificada pelo fato do fluído ser incompressível, isto implica que a densidade <math> \rho </math> é constante.

<math> \nabla . \mathbf{u} = 0 \qquad (7) </math>

Integrando a expressão da continuidade em (7), utilizando a regra da integral de Leibniz <ref>Leibniz integral rule. Disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule </ref>, com os limites indo de <math> -h(x,y) </math> até <math> \eta (x,y,t) </math> chegamos na seguinte expressão:

<math> \int_{-h}^{\eta} \nabla . \mathbf{u} = \int_{-h}^{\eta} \Big(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}\Big)dz =
\frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz +w \Big |_{-h}^{\eta} + \mathbf{u} . \nabla (z + h(x,y)) \Big |_{-h}^{\eta} -u \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} -v \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial y} \qquad (8) </math>

Teorema de Leibniz:

<math>\frac{d}{dx} \left (\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt \right )= f\big(x,b(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt \qquad (9)</math>

Substituindo as condições de contorno da profundidade (6) em (8) obtemos:

<math> \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz - w \Big |_{eta} -\mathbf{v} . \nabla \eta = 0 \qquad (10) </math>

Substituindo a condição de contorno da superfície (5) em (10):

<math> \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz + \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial u (\eta + h)}{\partial x}+ \frac{\partial v (\eta + h)}{\partial y} + \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} + \frac{\partial \eta}{\partial t} </math>

<math> \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (11) </math>

(11) é a primeira das equações das águas rasas que obtemos, onde <math> D </math> é o comprimento da água total do fundo do oceano até a amplitude da onda.
Podemos expressar (11) através do fluxo de descarga nas direções x e y, estas quantidades estão relacionadas com as velocidades da seguinte forma <ref name=MANUAL> IMAMURA, Fumihiko.Tsunami Modelling Manual.Disponível em: http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai3/J/projects/manual-ver-3.1.pdf </ref>:

<math> M = \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz = uD \qquad (12) </math>

<math> N = \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz = vD \qquad (13) </math>

Substituindo (12) e (13) em (11) chegamos na representação do fluxo de descarga para uma das equações de águas rasas.

<math> \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial M}{\partial x}+ \frac{\partial N}{\partial y} = 0 \qquad (14) </math>

Conhecendo as taxas dos fluxos de descarga em relação as regiões espaciais, podemos determinar a taxa da variação da amplitude da onda em relação ao tempo.

Vamos buscar obter as outras duas equações de águas rasas restantes, a partir das quantidades de movimento de Navier-Stokes. Nas componentes x,y e z temos:

<math> \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}
+ w\frac{\partial u}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_x = 0 \qquad (15) </math>

<math> \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}
+ w\frac{\partial v}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_y = 0 \qquad (16) </math>

<math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_z = 0 \qquad (17) </math>

Na componente z em (17) não consideramos a aceleração das partículas, pois a aceleração da gravidade é muito maior. Também tomamos como nulo as componentes <math> g_x</math> e <math> g_y</math> em (15) e (16), assim passamos a definir <math> g_z = g </math>. Neste momento estamos desconsiderando as forças de fricção, por isso o tensor tensão também é nulo.

Resolvendo equação diferencial da componente z em (17) podemos obter a pressão, a qual é hidrostática.

<math> \partial P = \rho g \partial z \Rightarrow P = \rho g (\eta - z) \qquad (18) </math>

Substituindo a pressão em (15):

<math> \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}
+ w\frac{\partial u}{\partial z} +g \frac{\partial \eta}{\partial x} =0 \qquad (19) </math>

Integrando a expressão (19), utilizando a regra da integral de Leibniz e as condições de contorno (5) e (6), com os limites indo de <math>-h(x,y)</math> até <math>\eta(x,y,t)</math> chegamos em outra das equações de águas rasas:

<math> \frac{\partial uD}{\partial t} + \frac{\partial u^{2}D}{\partial x} + \frac{\partial uvD}{\partial y}
+ \frac{g}{2} \frac{\partial D^2}{\partial x} =0 \qquad (20) </math>

Generalizando a equação (20), para a componente y, obtemos a última das equações de águas rasas:

<math> \frac{\partial vD}{\partial t} + \frac{\partial v^{2}D}{\partial y} + \frac{\partial uvD}{\partial x}
+ \frac{g}{2} \frac{\partial D^2}{\partial y} =0 \qquad (21) </math>

Na representação de fluxo de cargas as expressões (20) e (21) são apresentadas respectivamente como:

<math> \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (22) </math>

<math> \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (23) </math>

Com as equações de águas rasas (20), (21), (22) e (23) podemos calcular as taxas de variação dos fluxos de descarga em relação ao tempo. As equações (11), (20) e (21), na representação de velocidades, e as equações (14), (22) e (23), na representação do fluxo de descargas, são as equações de águas rasas conservativas.

Iremos buscar pelas equações de águas rasas não conservativas considerando o tensor de estresse <math> \boldsymbol{\tau} </math> em (4). Os elementos deste tensor são responsáveis por causar nas partículas tensões tangenciais e perpendiculares, onde as tensões tangenciais são representadas por elementos <math> \tau_{ij}</math> onde <math> i \ne j </math>, e as perpendiculares por elementos <math> \tau_{ij}</math> onde <math> i = j </math>.

Decompondo nas componentes x,y, e z de <math> \frac{1}{\rho} \nabla . \boldsymbol{\tau} </math> presente em (4) temos:

<math> \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{xx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{xy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{xz} \Big) \qquad (24) </math>

<math> \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{yx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{yy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{yz} \Big) \qquad (25) </math>

<math> \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{zx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{zy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{zz} \Big) \qquad (26) </math>

Considerando o fluído Newtoniano, então as tensões de cisalhamento serão proporcionais a uma taxa de deformação, onde a constante de deformidade é a viscosidade.

<math> \tau_{xy} = \tau_{yx} = \mu \Big( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \Big) \qquad (27) </math>

<math> \tau_{xz} = \tau_{zx} = \mu \Big( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \Big) \qquad (28) </math>

<math> \tau_{yz} = \tau_{zy} = \mu \Big( \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \Big) \qquad (29) </math>

Substituindo (27),(28) em (24), integrando em relação a componente z, utilizando a regra de Leibnz e as condições de contorno (5) e (6), obtemos:

<math> \int_{-h}^{\eta} \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{xx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{xy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{xz} \Big) = \frac{\tau_x}{\rho} -A \Big ( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}M \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} M \Big) \qquad (30) </math>

Onde <math> A </math> é a constante de viscosidade turbulenta, <math> \tau_x </math> é uma força de resistividade relativa ao movimento do fluído com o fundo do oceano na direção x. Podemos desconsiderar a constante de turbulência na situação em que não temos inclinações abrutas no fundo do mar <ref name=MANUAL> IMAMURA, Fumihiko.Tsunami Modelling Manual.Disponível em: http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai3/J/projects/manual-ver-3.1.pdf </ref>.

Considerando que o fluído é uniforme, então a expressão para <math> \frac{\tau_x}{\rho} é </math> é:

<math> \frac{\tau_x}{\rho} = \frac{fM}{2D^{2}}(M^{2}+N^{2})^{1/2} \qquad (31) </math>

Onde <math> f </math> é o coeficiente de fricção, porém o coeficiente de rugosidade de Manning <math> n </math> é mais usado, alguns valores deste coeficiente são
<ref> LINSLEY, Ray K.; FRANZINI, Joseph B. Water Resources Engineering. </ref>:

{| border="4" cellpadding="2"
! Material
! Coeficiente de Rugosidade de Manning <math> (n) </math>
|-
| Cimento puro e metal liso || 0,010
|-
| Terra lisa || 0,017
|-
| Pedras, ervas daninhas || 0,035
|-
| Péssimo relevo de canal || 0,060
|-
| Bom relevo de canal || 0,025
|}

O coeficiente de fricção <math> f </math> e o de rugosidade de Meanning <math> n </math> estão relacionados por:

<math> f = \frac{2gn^{2}}{D^{1/3}} \qquad (32) </math>

Substituindo (32) em (31) obtemos:

<math> \frac{\tau_x}{\rho} = \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (33) </math>

Generalizando a expressão (29) para a componente y.

<math> \frac{\tau_y}{\rho} = \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (34) </math>

Adicionando, repectivamente, (33) e (34) nas expressões (22) e (24), obtemos as equações de águas rasas considerando as forças de fricção do fundo do oceano.

<math> \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x} + \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} = 0 \qquad (35) </math>

<math> \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} +\frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} = 0 \qquad (36) </math>

As equações (14), (35) e (36), na representação do fluxo de descargas, são as equações de águas rasas não conservativas.

Em uma dimensão podemos expressar as equações de águas rasas eliminando a componente <math> y</math> das expressões (14),(35) e tomando o fluxo de descarga <math> N </math> como nulo.

<math>\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial M}{\partial x} = 0 \qquad (37) </math>

<math> \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + gD \frac{\partial \eta}{\partial x} +\frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M^2= 0 \qquad (38) </math>

===Simplificação das Equações de Águas Rasas===

As equações de águas rasas podem ser simplificadas para equação de advecção através das seguintes considerações:

* A velocidade do fluído é constante.
* A profundidade do fundo do oceano é constante.

De (39) e das considerações acima temos:

<math>\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x} = \frac{\partial \eta}{\partial t} +u\frac{\partial (\eta + h)}{\partial x} = \frac{\partial \eta}{\partial t} + u\frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 </math>

<math> \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + u\frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (39) </math>

=== Discretização na Forma Conservativa ===
Um modelo mais simples - desconsiderando a fricção, viscosidade do líquido e as forças de Coriolis sobre ele - pode ser obtido <ref>GARCÍA-NAVARRO, P; et al. The shallow water equations: An example of hyperbolic system. Espanha: 2008. Disponível em: <https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.571.1364&rep=rep1&type=pdf></ref><ref>KUHBACHER, Christian. Shallow Water: Derivation and Applications. Disponível em: <http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsiii/cms/papers/Kuehbacher2009.pdf></ref>. Para desenvolvê-lo são necessárias algumas premissas:

* O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção <math>\vec{z}</math>
* A aceleração na direção da velocidade na direção <math>\vec{z}</math> é zero
* As componentes das velocidades em <math>\vec{x}</math> e em <math>\vec{y}</math> (<math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math>) não variam em <math>\vec{z}</math>

O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:

<math>\dfrac{\partial D}{\partial t} + \dfrac{\partial Du}{\partial x} + \dfrac{\partial Dv}{\partial y} = 0 \qquad (39) </math>

<math>\dfrac{\partial Du}{\partial t} + \dfrac{\partial \left (\partial Du^2 + \dfrac{1}{2}g D^2 \right)}{\partial x} + \dfrac{Duv}{\partial y} = -gD\dfrac{\partial b}{\partial x} \qquad (40) </math>

<math>\dfrac{\partial Dv}{\partial t} + \dfrac{Duv}{\partial x} + \dfrac{\partial \left ( Dv^2 + \dfrac{1}{2}g D^2 \right)}{\partial y}= -gD\dfrac{\partial b}{\partial y}\qquad (41) </math>

Onde <math>D</math> é a altura do fluido desde a base, <math>\vec{u}, \vec{v}</math> são as velocidades médias na direções <math>\vec{x}, \vec{y}</math>, <math>g</math> é a constante gravitacional e <math>b(x, y)</math> é função que descreve a superfície onde acontece o movimento.

Para descrever numericamente as equações de águas rasas na forma conservativa foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.

<math>\dfrac{D^{t + \Delta t}_{i, j} - D^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Du)^t_ {i+1,j} - (Du)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Dv)^t_ {i,j+1} - (Dv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = 0 \qquad (42)</math>

<math>\dfrac{(Du)^{t + \Delta t}_{i, j} - (Du)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Du^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i+1, j} - (Du^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Duv)^t_{i, j+1} - (Duv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g D^{t}_{i, j} b_{x. i, j} \qquad (43) </math>

<math>\dfrac{(Dv)^{t + \Delta t}_{i, j} - (Dv)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(Duv)^t_{i+1, j} - (Duv)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(Dv^2 + 1/2 gD^2)^t_{i, j+1} - (Dv^2 + 1/2 gD^2)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g D^{t}_{i, j} b_{y. i, j} \qquad (44) </math>

Na situação em que temos as equações de águas rasas simplificadas por (39), aplicando FTCS explícito, a evolução temporal da amplitude da onda é:

<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} = \eta^{t}_{i, j} - \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^t_ {i+1,j} - \eta^t_{i-1, j}) \qquad (45)</math>

Aplicando FTCS implícito temos:

<math>\eta^{t + \Delta t}_{i, j} + \frac{u\Delta t}{2dx} (\eta^{t+ \Delta t}_{i+1,j} - \eta^{t- \Delta t}_{i-1, j}) = \eta^{t}_{i, j} \qquad (46)</math>

=== Discretização na Forma não Conservativa ===

As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (16), (37) e (38), para descrever numericamente estas equações foi utilizada discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente na região temporal (FTCS).

Discretizando a expressão (16):

<math> \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (47) </math>

<math> \Rightarrow \frac{\eta(x,y,t + \Delta t) - \eta(x,y,-t)}{\Delta t} = - \frac{M(x + \Delta x,y,t) - M(x- \Delta x,y,t)}{2\Delta x} -\frac{N(x,y+ \Delta x,t) - N(x,y - \Delta y,t)}{2\Delta y} \qquad (48) </math>

<math> \eta_{i,j}^{n+1} = \eta_{i,j}^{n} -\Delta t\Bigg(\frac{M_{i+1,j}^{n}-M_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} + \frac{N_{i,j+1}^{n}-N_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y} \Bigg) \qquad (49) </math>

Discretizando a expressão (37):

<math> \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial t} = -\Bigg( \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x}+ \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \Bigg) \qquad (50) </math>

Definindo as quantidades:

<math> M2 \equiv \frac{M^2(x,y,t)}{D(x,y,t)}\qquad (51) </math>

<math> MN \equiv \frac{M(x,y,t)N(x,y,t)}{D(x,y,t)} \qquad (52) </math>

<math> f(x,y,t) \equiv \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (53) </math>

Das quantidades definidas e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos o respectivo avanço temporal para M:

<math> M_{i,j}^{n+1} = M_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{M2_{i+1,j}^n-M2_{i-1,j}^n}{2 \Delta x} +\frac{(MN)_{i,j+1}^n - (MN)_{i,j-1}^n}{2 \Delta y} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (54) </math>

Generalizando a expressão (54) para o fluxo de descarga N temos:

<math> N_{i,j}^{n+1} = N_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{N2_{i,j+1}^n-M2_{i,j-1}^n}{2\Delta y} +\frac{(MN)_{i+1,j}^n - (MN)_{i-1,j}^n}{2\Delta x} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta y} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (55) </math>

== Simulações Computacionais ==

=== Forma conservativa 1D e 2D ===

As equações (42),(43) e (44) foram implementadas em python para descrever a evolução temporal das variáveis <math> h</math>, <math> u </math> e <math> v </math> em duas dimensões.

As condições de contorno dos exemplos obedecem as expressões:

* <math>u(x_f, y) = - u(x_f - \Delta x, y)</math>

* <math>u(x_i, y) = - u(x_i + \Delta x, y)</math>

* <math>v(x, y_f) = - v(x, y_f - \Delta y)</math>

* <math>v(x, y_i) = - v(x, y_i + \Delta y)</math>

* Nos contornos de x: <math> \tfrac{\partial h}{\partial x} = 0</math>, discretizando essa derivada temos que: <math>h_{i(+/-)1, j} = h_{i, j}</math>

* Nos contornos de y: <math> \tfrac{\partial h}{\partial y} = 0</math>, discretizando essa derivada temos que: <math>h_{i, j(+/-)1} = h_{i, j}</math>

Para a solução do exemplo em 1D abaixo foi utilizado o mesmo código do conservativo 2D, porém desconsiderando a contribuição da direção <math>\vec{y}</math>.

==== Códigos das Equações Conservativas ====
O código 1 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e resolve os exemplos 1 e 2 que serão apresentados abaixo.

[[Código 1 - Forma Conservativa das Equações de Águas Rasas]]

O código 2 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e serve para comparar a solução numérica de (39) com a solução exata.

[[Código 2 - Método FTCS explícito]]

O código 3 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e serve para comparar a solução numérica de (40) com a solução exata.

[[Código 3 - Método FTCS implícito]]

==== Resultados ====

'''Comparação entre a solução exata e a numérica''': para verificar se o cálculo das equações de águas rasas utilizando FTCS explícito e implícito estão funcionando, partimos da situação simplificada das equações dadas por (45) e (46). Neste problema consideramos a velocidade e a profundidade constantes com os valores respectivos de 4.3 m/s e 2 m. O deslocamento de água inicial é representado por uma Gaussiana centrada em 80m, de amplitude 2 m e largura 70 m, nesta situação a solução exata de (39) é dada por:

<math> \eta = 2 + 3 \cdot exp \Big(-\frac{((x-80) -ut))^2}{70} \Big) </math>

Do código 2 obtemos as seguintes curvas ao longo do tempo. Vemos que a solução numérica por FTCS explícito se aproxima do resultado exato para tempos curtos e se afasta da solução exata a medida que o tempo avança.

[[Arquivo:Aguas rasas FTCS explicito.gif|thumb|400px|center|Comparação entre a solução exata e a numérica por FTCS explícito. Forma conservativa.]]

Do código 3 obtemos as seguintes curvas ao longo do tempo. Vemos que a solução numérica por FTCS implícito se aproxima do resultado analítico para tempos curtos e se afasta da solução exata a medida que o tempo avança, porém de forma mais lenta que o método explícito.

[[Arquivo:Aguas rasas FTCS implicito.gif|thumb|400px|center|Comparação entre a solução exata e a numérica por FTCS implícito. Forma conservativa.]]

<math> u \Delta t </math> deve ser significativamente menor que <math> \Delta x </math> para que os métodos FTCS funcionem.

'''Exemplo 1. Onda confinada em uma caixa com profundidade constante''': obtemos a evolução da amplitude da onda apresentada no GIF abaixo, através do código 1, utilizando que a profundidade é constante, e que tanto a velocidade quanto altura da onda são inicialmente funções gaussianas centradas no espaço.

[[Arquivo:conservativa-gausiana.gif|thumb|400px|center|Evolução da amplitude da onda em uma caixa. Forma conservativa]]

Podemos observar que a onda diminui sua amplitude a medida que ela se propaga no espaço. Posteriormente, são observados fenômenos de interferência construtiva e destrutiva devido a reflexão da onda com as paredes da caixa.

'''Exemplo 2. Onda confinada em uma caixa com profundidade variável''': utilizando a função <math>s = tanh(x)</math> foi possível simular uma onda chegando em uma praia, esse exemplo foi feito em 1D conservativo.

Para fazer esse exemplo usamos o código 1, porém desconsideramos as derivadas em <math>x</math> e inicializamos os vetores da altura e velocidade com a discretização em apenas uma dimensão (abaixo descrevemos está parte do código). Deve-se notar que o problema passa a ter um índice, pois a discretização não forma mais uma malha, então pode ser retirado um laço ''for'' do código.

<source lang='python'>
#%% Discretização do espaço x
x = np.linspace(L_x0, L_xf, NX)

#%% Condições iniciais da superficie e da agua

# Superficie
b = 5 * np.tanh((x- L_xf*0.3) / 2) # funcao tangente
b += np.full(shape=(np.shape(b)), fill_value=-np.min(b)) # aqui é somado só para a funcao comecar em zero

# Onda e velocidade
sigma = 1.0 # distribuicao da onda
sigma_v = 1.0 # distribuicao da onda

h_2d = 1.1 * max(b) * np.ones(shape=np.shape(x)) + np.exp(-((x)**2/(2*(sigma**2))))
h_2d -= b

u_2d = 0.08 * np.exp(-((x)**2/(2*(sigma_v**2))))
</source>

[[Arquivo:gif_conservativa_tanh.gif|thumb|400px|center|Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável. Forma conservativa]]

=== Forma dissipativa 2D ===

Os exemplos que seguem utilizam o código abaixo para calcular as equações de águas rasas não conservativa (38),(43) e (44) nos passos de tempo de <math> \eta </math>, <math> M </math>, <math> N </math>, onde as funções em python ''atualiza_eta'', ''atualiza_M'', e ''atualiza_N'' implementam computacionalmente isto. Para implementar estas funções e outras ideias do nosso programa, o seguinte código fonte da referência <ref> KOEHN, Daniel. 2D Shallow Water Equations. Disponível em: <https://github.com/daniel-koehn/Differential-equations-earth-system/blob/master/10_Shallow_Water_Equation_2D/01_2D_Shallow_Water_Equations.ipynb> </ref> foi usado como base.

==== Códigos das Equações Não Conservativas ====

O código 4 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e resolve o exemplo 3 que será apresentado abaixo.

[[Código 4 - Forma Não Conservativa das Equações de Águas Rasas]]

O código 5 foi escrito na linguagem [https://www.python.org/ ''Python''] e resolve o exemplo 4 que será apresentado abaixo.

[[Código 5 - Forma Não Conservativa das Equações de Águas Rasas]]

==== Exemplo 3 - Onda Confinada em uma Caixa ====

Através do código 4 fizemos a simulação da propagação de uma onda em uma caixa de <math> L_x =100 </math> m e <math> L_y = 100 </math> m em uma profundidade <math>h(x,y)=50</math> m. O fluxo de descarga e o deslocamento do volume de água inicial, ambas com suas devidas unidades físicas, são Gaussianas centradas em 80, com amplitude igual a 1 e largura igual a 70.

Exemplo 3 com coeficiente de Manning igual a 0.025.

[[Arquivo:Aguas rasas FTCS n=0.025.gif|thumb|400px|center|Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade de 50 metros, coeficiente de Manning n = 0.025. Forma dissipativa.]]

Exemplo 3 com coeficiente de Manning igual a 20.0.

[[Arquivo:Aguas rasas não conservativo n=20.gif|thumb|400px|center|Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade de 50 metros, coeficiente de Manning n = 20. Forma dissipativa.]]

Dos gráficos acima, podemos observar que quanto maior for o coeficiente de Manning mais rápida a onda irá atenuar a sua amplitude. Está observação faz sentido, já que as forças de fricção sobre o fluído são maiores na situação em que o coeficiente de Manning tem maior valor.

==== Exemplo 4 - Tsunami ====

Simulação da propagação de uma onda em uma caixa de <math> L_x =500</math> <math> m </math> e <math> L_y =500 </math> <math> m </math>, em uma profundidade variável, que respeita a função tangente hiperbólica. O fluxo de descarga e o deslocamento do volume de água inicial, ambas com suas devidas unidades físicas, são Gaussianas centradas em 300, com amplitude igual a 2 e largura igual a 500.

[[Arquivo:Tsunami.gif|thumb|400px|center|Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variáel, coeficiente de Manning n = 0.025. Forma dissipativa.]]

A medida que o fundo do oceano diminui sua profundidade a velocidade da onda diminui e a amplitude aumenta. Está simulação mostra o comportamento físico da propagação de um Tsunami em direção ao litoral.

== Comparação entre Métodos ==

=== Onda confinada em uma caixa ===

Abaixo é mostrado o gráfico de evolução temporal da altura da onda em três pontos distintos do sistema (utilizando os mesmos parâmetros que foi aplicado ao método conservativo com a onda em uma caixa de profundidade constante em todos os outros métodos). Pode-se perceber que com o passar do tempo o movimento das duas equações começa a divergir, mesmo com o fator de fricção baixo.

[[Arquivo:unificacao_comparacoes.png|thumb|center|700px|Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo]]

Para o método 1D é de se esperar que exista menos interferências entre as ondas, pois só existe parede nos finais do sistema, além disso, a onda só precisa se espalhar em uma direção, então a sua amplitude é maior.

[[Arquivo:unificacao_comparacoes_1D.png|thumb|center|700px|Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo 2D e conservativo 1D]]

Também é possível perceber a diferença entre métodos observando apenas em uma direção (<math>\vec{x}</math>), por causa dos termos de fricção e viscosidade.

[[Arquivo:unificacao_comparacoes_1D_mesmo.png|thumb|center|700px|Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo 1D]]

== Referências ==
<references/>