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Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T04:26:38Z

Rrbds: /* Caso geral */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver analiticamente.

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t}\text{.} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2})\text{.} \quad\quad (7)\\
\end{align}</math>

Novamente, supomos soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t}\text{.} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas, obteremos o sistema linear para os <math>A_i</math>:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0\text{.}\\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero. Portanto:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 \text{.}</math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções de módulo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})}\text{.} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica se torna cada vez mais difícl de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\text{.} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Nota-se, mais uma vez, que a menor frequência em relação aos demais modos é aquela associada ao modo simétrico. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===
O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para construir as equações de movimento para o caso geral de <math>N</math> partículas, bem como para facilitar o cálculo das coordenadas normais e das autofrequências.<ref name=Marion2004/> No entanto, no presente trabalho, não utilizaremos o formalismo lagrangeano, montando as equações pelos argumentos já mostrados até agora, que envolvem a segunda lei de Newton. Para expressar as soluções gerais, utilizaremos o método de análise de Fourier, poupando-nos de grande parte da álgebra caso-a-caso envolvida em encontrar as autofrequências.

Não é difícil perceber que a segunda equação do sistema (7) tem a forma típica de uma equação de movimento para um oscilador interno (não adjacente às paredes). Desse modo, somando as forças atuantes pela segunda lei de Newton, a generalização das equações para o caso <math>N \geq 3</math> será:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N\text{.} \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.}\quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(\omega_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(\omega_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\text{.} \quad (14)
\end{align}
</math>

Através de uma demonstração que pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, as autofrequências podem ser escritas como:

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right)\text{.} \quad (15)
\end{align}
</math>

O argumento do seno sempre se encontra no primeiro quadrante, pois é positivo e é tal que:

:<math>\frac{m\pi}{2(N+1)} < \frac{N\pi}{2(N+1)} < \frac{(N+1)\pi}{2(N+1)} = \frac{\pi}{2}\text{.}</math>

Nota-se, portanto, que as frequências dos modos são sempre menores do que duas vezes a frequência natural (<math>\omega_{m} < 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math>). Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Simulações#Osciladores Lineares Acoplados|simulações apresentadas em seguida]], para diversos modos com <math>N=2,\,\text{...},\,5</math>), o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e o Teorema da Equipartição da Energia da mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo, <math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math>, deveriam tender a um mesmo valor; ou seja, que a energia deveria se distribuir igualmente entre os modos.<ref name=Lucero2021/>

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência no sistema que não era esperado, já que a energia aparenta se distribuir para modos específicos e de forma periódica.<ref name="FPUToriginal"/><ref name=Lucero2021/> Como pode ser observado nas [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Simulações#FPUT quadrático|simulações]], após um determinado tempo, o sistema volta a uma configuração de modos semelhante à inicial (no nosso caso, com apenas o primeiro modo).

== Implementação numérica ==
Vamos explicar nesta seção algumas das características principais dos programas e simulações apresentados neste trabalho.

A implementação dos sistemas de equações dos osciladores lineares é direta e se segue imediatamente da eq. (11), que vamos reproduzir aqui para facilitar a visualização.

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad \\
\end{cases}
</math>

A diferença entre esse sistema de equações e o sistema de equações do FPUT quadrático é apenas a inclusão de um termo quadrático. É trivial a alteração:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad \\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar as oscilações das partículas (uma vez que o número de partículas é maior, é mais difícil perceber os padrões de modos nos deslocamentos horizontais). Também é muito útil para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo desse sistema não linear, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas (é como se houvessem molas que conectam cada partícula verticalmente a suas vizinhas, mas sem molas na horizontal). Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional. Atentar que nessas simulações há apenas 30 partículas oscilando de fato. Duas estão presas nas paredes.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Essa simulação mostra que o sistema foi inicializado no modo 1. Já podemos perceber, no final da simulação, que o sistema começa a sair do modo 1 e entrar em uma mistura de modos.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Nessa simulação é possível perceber a recorrência do primeiro modo de oscilação. Após ter oscilado por um tempo considerável com uma mistura de modos, o sistema retorna ao modo inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T04:23:08Z

Rrbds: /* Introdução */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver analiticamente.

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t}\text{.} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2})\text{.} \quad\quad (7)\\
\end{align}</math>

Novamente, supomos soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t}\text{.} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas, obteremos o sistema linear para os <math>A_i</math>:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0\text{.}\\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero. Portanto:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 \text{.}</math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções de módulo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})}\text{.} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica se torna cada vez mais difícl de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\text{.} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Nota-se, mais uma vez, que a menor frequência em relação aos demais modos é aquela associada ao modo simétrico. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===
O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para construir as equações de movimento para o caso geral de <math>N</math> partículas, bem como para facilitar o cálculo das coordenadas normais e das autofrequências.<ref name=Marion2004/> No entanto, no presente trabalho, não utilizaremos o formalismo lagrangeano, montando as equações pelos argumentos já mostrados até agora, que envolvem a segunda lei de Newton. Para expressar as soluções gerais, utilizaremos o método de análise de Fourier, poupando-nos de grande parte da álgebra caso-a-caso envolvida em encontrar as autofrequências.

Não é difícil perceber que a segunda equação do sistema (7) tem a forma típica de uma equação de movimento para um oscilador interno (não adjacente às paredes). Desse modo, somando as forças atuantes pela segunda lei de Newton, a generalização das equações para o caso <math>N \geq 3</math> será:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N\text{.} \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.}\quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\text{.} \quad (14)
\end{align}
</math>

Através de uma demonstração que pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, as autofrequências podem ser escritas como:

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right)\text{.} \quad (15)
\end{align}
</math>

O argumento do seno sempre se encontra no primeiro quadrante, pois é positivo e é tal que:

:<math>\frac{m\pi}{2(N+1)} < \frac{N\pi}{2(N+1)} < \frac{(N+1)\pi}{2(N+1)} = \frac{\pi}{2}\text{.}</math>

Nota-se, portanto, que as frequências dos modos são sempre menores do que duas vezes a frequência natural (<math>\omega_{m} < 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math>). Utilizando essa expressão, podemos novamente obter as autofrequências do caso <math>N=2</math>, por exemplo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\omega_{0}\frac{1}{2} = \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\\
\omega_{2} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) = 2\omega_{0}\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\omega_{0} = \sqrt{\frac{3k}{m}}
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Simulações#Osciladores Lineares Acoplados|simulações apresentadas em seguida]], para diversos modos com <math>N=2,\,\text{...},\,5</math>), o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e o Teorema da Equipartição da Energia da mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo, <math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math>, deveriam tender a um mesmo valor; ou seja, que a energia deveria se distribuir igualmente entre os modos.<ref name=Lucero2021/>

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência no sistema que não era esperado, já que a energia aparenta se distribuir para modos específicos e de forma periódica.<ref name="FPUToriginal"/><ref name=Lucero2021/> Como pode ser observado nas [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Simulações#FPUT quadrático|simulações]], após um determinado tempo, o sistema volta a uma configuração de modos semelhante à inicial (no nosso caso, com apenas o primeiro modo).

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
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=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar as oscilações das partículas (uma vez que o número de partículas é maior, é mais difícil perceber os padrões de modos nos deslocamentos horizontais). Também é muito útil para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo desse sistema não linear, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas (é como se houvessem molas que conectam cada partícula verticalmente a suas vizinhas, mas sem molas na horizontal). Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional. Atentar que nessas simulações há apenas 30 partículas oscilando de fato. Duas estão presas nas paredes.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Essa simulação mostra que o sistema foi inicializado no modo 1. Já podemos perceber, no final da simulação, que o sistema começa a sair do modo 1 e entrar em uma mistura de modos.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Nessa simulação é possível perceber a recorrência do primeiro modo de oscilação. Após ter oscilado por um tempo considerável com uma mistura de modos, o sistema retorna ao modo inicial.
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== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T04:21:52Z

Rrbds: /* Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t}\text{.} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2})\text{.} \quad\quad (7)\\
\end{align}</math>

Novamente, supomos soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t}\text{.} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas, obteremos o sistema linear para os <math>A_i</math>:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0\text{.}\\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero. Portanto:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 \text{.}</math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções de módulo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})}\text{.} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica se torna cada vez mais difícl de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\text{.} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Nota-se, mais uma vez, que a menor frequência em relação aos demais modos é aquela associada ao modo simétrico. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===
O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para construir as equações de movimento para o caso geral de <math>N</math> partículas, bem como para facilitar o cálculo das coordenadas normais e das autofrequências.<ref name=Marion2004/> No entanto, no presente trabalho, não utilizaremos o formalismo lagrangeano, montando as equações pelos argumentos já mostrados até agora, que envolvem a segunda lei de Newton. Para expressar as soluções gerais, utilizaremos o método de análise de Fourier, poupando-nos de grande parte da álgebra caso-a-caso envolvida em encontrar as autofrequências.

Não é difícil perceber que a segunda equação do sistema (7) tem a forma típica de uma equação de movimento para um oscilador interno (não adjacente às paredes). Desse modo, somando as forças atuantes pela segunda lei de Newton, a generalização das equações para o caso <math>N \geq 3</math> será:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N\text{.} \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.}\quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\text{.} \quad (14)
\end{align}
</math>

Através de uma demonstração que pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, as autofrequências podem ser escritas como:

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right)\text{.} \quad (15)
\end{align}
</math>

O argumento do seno sempre se encontra no primeiro quadrante, pois é positivo e é tal que:

:<math>\frac{m\pi}{2(N+1)} < \frac{N\pi}{2(N+1)} < \frac{(N+1)\pi}{2(N+1)} = \frac{\pi}{2}\text{.}</math>

Nota-se, portanto, que as frequências dos modos são sempre menores do que duas vezes a frequência natural (<math>\omega_{m} < 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math>). Utilizando essa expressão, podemos novamente obter as autofrequências do caso <math>N=2</math>, por exemplo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\omega_{0}\frac{1}{2} = \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\\
\omega_{2} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) = 2\omega_{0}\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\omega_{0} = \sqrt{\frac{3k}{m}}
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Simulações#Osciladores Lineares Acoplados|simulações apresentadas em seguida]], para diversos modos com <math>N=2,\,\text{...},\,5</math>), o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e o Teorema da Equipartição da Energia da mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo, <math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math>, deveriam tender a um mesmo valor; ou seja, que a energia deveria se distribuir igualmente entre os modos.<ref name=Lucero2021/>

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência no sistema que não era esperado, já que a energia aparenta se distribuir para modos específicos e de forma periódica.<ref name="FPUToriginal"/><ref name=Lucero2021/> Como pode ser observado nas [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Simulações#FPUT quadrático|simulações]], após um determinado tempo, o sistema volta a uma configuração de modos semelhante à inicial (no nosso caso, com apenas o primeiro modo).

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar as oscilações das partículas (uma vez que o número de partículas é maior, é mais difícil perceber os padrões de modos nos deslocamentos horizontais). Também é muito útil para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo desse sistema não linear, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas (é como se houvessem molas que conectam cada partícula verticalmente a suas vizinhas, mas sem molas na horizontal). Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional. Atentar que nessas simulações há apenas 30 partículas oscilando de fato. Duas estão presas nas paredes.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Essa simulação mostra que o sistema foi inicializado no modo 1. Já podemos perceber, no final da simulação, que o sistema começa a sair do modo 1 e entrar em uma mistura de modos.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Nessa simulação é possível perceber a recorrência do primeiro modo de oscilação. Após ter oscilado por um tempo considerável com uma mistura de modos, o sistema retorna ao modo inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T02:16:02Z

Rrbds: /* Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t}\text{.} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2})\text{.} \quad\quad (7)\\
\end{align}</math>

Novamente, supomos soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t}\text{.} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas, obteremos o sistema linear para os <math>A_i</math>:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0\text{.}\\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero. Portanto:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 \text{.}</math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções de módulo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})}\text{.} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica se torna cada vez mais difícl de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\text{.} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Nota-se, mais uma vez, que a menor frequência em relação aos demais modos é aquela associada ao modo simétrico. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===
O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para construir as equações de movimento para o caso geral de <math>N</math> partículas, bem como para facilitar o cálculo das coordenadas normais e das autofrequências.<ref name=Marion2004/> No entanto, no presente trabalho, não utilizaremos o formalismo lagrangeano, montando as equações pelos argumentos já mostrados até agora, que envolvem a segunda lei de Newton. Para expressar as soluções gerais, utilizaremos o método de análise de Fourier, poupando-nos de grande parte da álgebra caso-a-caso envolvida em encontrar as autofrequências.

Não é difícil perceber que a segunda equação do sistema (7) tem a forma típica de uma equação de movimento para um oscilador interno (não adjacente às paredes). Desse modo, somando as forças atuantes pela segunda lei de Newton, a generalização das equações para o caso <math>N \geq 3</math> será:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N\text{.} \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.}\quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\text{.} \quad (14)
\end{align}
</math>

Através de uma demonstração que pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, as autofrequências podem ser escritas como:

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right)\text{.} \quad (15)
\end{align}
</math>

O argumento do seno sempre se encontra no primeiro quadrante, pois é positivo e é tal que:

:<math>\frac{m\pi}{2(N+1)} < \frac{N\pi}{2(N+1)} < \frac{(N+1)\pi}{2(N+1)} = \frac{\pi}{2}\text{.}</math>

Nota-se, portanto, que as frequências dos modos são sempre menores do que duas vezes a frequência natural (<math>\omega_{m} < 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math>). Utilizando essa expressão, podemos novamente obter as autofrequências do caso <math>N=2</math>, por exemplo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\omega_{0}\frac{1}{2} = \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\\
\omega_{2} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) = 2\omega_{0}\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\omega_{0} = \sqrt{\frac{3k}{m}}
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas [[Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou#Simulações#Osciladores Lineares Acoplados|simulações apresentadas em seguida]], para diversos modos com <math>N=2,\,\text{...},\,5</math>), o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e um argumento de mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo,<math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math> , deveriam tender a um mesmo valor [inserir referências].

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência que não era esperado. Como pode ser observado nas simulações [inserir referência da própria wiki], após um determinado tempo, o sistema volta ao modo em que o

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
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<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
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<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas. Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T01:47:40Z

Rrbds: /* Caso geral */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t}\text{.} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2})\text{.} \quad\quad (7)\\
\end{align}</math>

Novamente, supomos soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t}\text{.} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas, obteremos o sistema linear para os <math>A_i</math>:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0\text{.}\\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero. Portanto:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 \text{.}</math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções de módulo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})}\text{.} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica se torna cada vez mais difícl de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\text{.} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Nota-se, mais uma vez, que a menor frequência em relação aos demais modos é aquela associada ao modo simétrico. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===
O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para construir as equações de movimento para o caso geral de <math>N</math> partículas, bem como para facilitar o cálculo das coordenadas normais e das autofrequências.<ref name=Marion2004/> No entanto, no presente trabalho, não utilizaremos o formalismo lagrangeano, montando as equações pelos argumentos já mostrados até agora, que envolvem a segunda lei de Newton. Para expressar as soluções gerais, utilizaremos o método de análise de Fourier, poupando-nos de grande parte da álgebra caso-a-caso envolvida em encontrar as autofrequências.

Não é difícil perceber que a segunda equação do sistema (7) tem a forma típica de uma equação de movimento para um oscilador interno (não adjacente às paredes). Desse modo, somando as forças atuantes pela segunda lei de Newton, a generalização das equações para o caso <math>N \geq 3</math> será:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N\text{.} \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.}\quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\text{.} \quad (14)
\end{align}
</math>

Através de uma demonstração que pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, as autofrequências podem ser escritas como:

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right)\text{.} \quad (15)
\end{align}
</math>

O argumento do seno sempre se encontra no primeiro quadrante, pois é positivo e é tal que:

:<math>\frac{m\pi}{2(N+1)} < \frac{N\pi}{2(N+1)} < \frac{(N+1)\pi}{2(N+1)} = \frac{\pi}{2}\text{.}</math>

Nota-se, portanto, que as frequências dos modos são sempre menores do que duas vezes a frequência natural (<math>\omega_{m} < 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math>). Utilizando essa expressão, podemos novamente obter as autofrequências do caso <math>N=2</math>, por exemplo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\omega_{0}\frac{1}{2} = \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\\
\omega_{2} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) = 2\omega_{0}\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\omega_{0} = \sqrt{\frac{3k}{m}}
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas simulações apresentadas acima para diversos modos com <math>N=1,\,\text{...},\,5</math>) [inserir referência da própria wiki], o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e um argumento de mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo,<math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math> , deveriam tender a um mesmo valor [inserir referências].

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência que não era esperado. Como pode ser observado nas simulações [inserir referência da própria wiki], após um determinado tempo, o sistema volta ao modo em que o

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas. Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T01:46:46Z

Rrbds: /* Caso geral */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t}\text{.} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2})\text{.} \quad\quad (7)\\
\end{align}</math>

Novamente, supomos soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t}\text{.} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas, obteremos o sistema linear para os <math>A_i</math>:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0\text{.}\\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero. Portanto:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 \text{.}</math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções de módulo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})}\text{.} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica se torna cada vez mais difícl de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\text{.} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Nota-se, mais uma vez, que a menor frequência em relação aos demais modos é aquela associada ao modo simétrico. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===
O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para construir as equações de movimento para o caso geral de <math>N</math> partículas, bem como para facilitar o cálculo das coordenadas normais e das autofrequências.<ref name=Marion2004/> No entanto, no presente trabalho, não utilizaremos o formalismo lagrangeano, montando as equações pelos argumentos já mostrados até agora, que envolvem a segunda lei de Newton. Para expressar as soluções gerais, utilizaremos o método de análise de Fourier, poupando-nos de grande parte da álgebra caso-a-caso envolvida em encontrar as autofrequências.

Não é difícil perceber que a forma da segunda equação do sistema (7) será a forma típica de uma equação de movimento para um oscilador interno (não adjacente às paredes). Desse modo, somando as forças atuantes pela segunda lei de Newton, a generalização das equações para o caso <math>N \geq 3</math> será:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N\text{.} \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.}\quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\text{.} \quad (14)
\end{align}
</math>

Através de uma demonstração que pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, as autofrequências podem ser escritas como:

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right)\text{.} \quad (15)
\end{align}
</math>

O argumento do seno sempre se encontra no primeiro quadrante, pois é positivo e é tal que:

:<math>\frac{m\pi}{2(N+1)} < \frac{N\pi}{2(N+1)} < \frac{(N+1)\pi}{2(N+1)} = \frac{\pi}{2}\text{.}</math>

Nota-se, portanto, que as frequências dos modos são sempre menores do que duas vezes a frequência natural (<math>\omega_{m} < 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math>). Utilizando essa expressão, podemos novamente obter as autofrequências do caso <math>N=2</math>, por exemplo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\omega_{0}\frac{1}{2} = \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\\
\omega_{2} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) = 2\omega_{0}\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\omega_{0} = \sqrt{\frac{3k}{m}}
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas simulações apresentadas acima para diversos modos com <math>N=1,\,\text{...},\,5</math>) [inserir referência da própria wiki], o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e um argumento de mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo,<math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math> , deveriam tender a um mesmo valor [inserir referências].

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência que não era esperado. Como pode ser observado nas simulações [inserir referência da própria wiki], após um determinado tempo, o sistema volta ao modo em que o

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas. Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T01:23:20Z

Rrbds: /* Caso geral */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t}\text{.} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2})\text{.} \quad\quad (7)\\
\end{align}</math>

Novamente, supomos soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t}\text{.} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas, obteremos o sistema linear para os <math>A_i</math>:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0\text{.}\\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero. Portanto:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 \text{.}</math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções de módulo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})}\text{.} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica se torna cada vez mais difícl de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\text{.} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Nota-se, mais uma vez, que a menor frequência em relação aos demais modos é aquela associada ao modo simétrico. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===
O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para construir as equações de movimento para o caso geral de <math>N</math> partículas, bem como para facilitar o cálculo das coordenadas normais e das autofrequências.<ref name=Marion2004/> No entanto, no presente trabalho, não utilizaremos o formalismo lagrangeano, montando as equações pelos argumentos já mostrados até agora, que envolvem a segunda lei de Newton. Para expressar as soluções gerais, utilizaremos o método de análise de Fourier, poupando-nos de grande parte da álgebra caso-a-caso envolvida em encontrar as autofrequências.

Não é difícil perceber que a forma da segunda equação do sistema (7) será a forma típica de uma equação de movimento para um oscilador interno (não adjacente às paredes). Desse modo, somando as forças atuantes pela segunda lei de Newton, a generalização das equações para o caso <math>N \geq 3</math> será:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N\text{.} \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.}\quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\text{.} \\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\text{.} \quad (14)
\end{align}
</math>

E as frequências podem ser calculadas por (uma demonstração pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, supõe-se que as frequências dos modos são menores ou iguais a duas vezes a frequência natural, <math>\omega_{m} \le 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math> ):

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right)\text{.} \quad (15)
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas simulações apresentadas acima para diversos modos com <math>N=1,\,\text{...},\,5</math>) [inserir referência da própria wiki], o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e um argumento de mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo,<math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math> , deveriam tender a um mesmo valor [inserir referências].

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência que não era esperado. Como pode ser observado nas simulações [inserir referência da própria wiki], após um determinado tempo, o sistema volta ao modo em que o

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas. Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T00:32:50Z

Rrbds: /* Caso geral */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t}\text{.} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2})\text{.} \quad\quad (7)\\
\end{align}</math>

Novamente, supomos soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t}\text{.} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas, obteremos o sistema linear para os <math>A_i</math>:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0\text{.}\\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero. Portanto:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 \text{.}</math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções de módulo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})}\text{.} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica se torna cada vez mais difícl de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\text{.} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Nota-se, mais uma vez, que a menor frequência em relação aos demais modos é aquela associada ao modo simétrico. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===
O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para construir as equações de movimento para o caso geral de <math>N</math> partículas, bem como para facilitar o cálculo das coordenadas normais e das autofrequências.<ref name=Marion2004/> No entanto, no presente trabalho, não utilizaremos o formalismo lagrangeano, montando as equações pelos argumentos já mostrados até agora, que envolvem a segunda lei de Newton. Para expressar as soluções gerais, utilizaremos o método de análise de Fourier, poupando-nos de grande parte da álgebra caso-a-caso envolvida em encontrar as autofrequências.

Não é difícil perceber que a forma da segunda equação do sistema (7) será a forma típica de uma equação de movimento para um oscilador interno (não adjacente às paredes). Desse modo, somando as forças atuantes pela segunda lei de Newton, a generalização das equações para o caso <math>N \geq 3</math> será:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N \quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left[\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\right] \quad (14)
\end{align}
</math>

E as frequências podem ser calculadas por (uma demonstração pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, supõe-se que as frequências dos modos são menores ou iguais a duas vezes a frequência natural, <math>\omega_{m} \le 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math> ):

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right) \quad (15)
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas simulações apresentadas acima para diversos modos com <math>N=1,\,\text{...},\,5</math>) [inserir referência da própria wiki], o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e um argumento de mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo,<math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math> , deveriam tender a um mesmo valor [inserir referências].

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência que não era esperado. Como pode ser observado nas simulações [inserir referência da própria wiki], após um determinado tempo, o sistema volta ao modo em que o

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas. Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T00:21:17Z

Rrbds: /* N=2 */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t}\text{.} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2})\text{.} \quad\quad (7)\\
\end{align}</math>

Novamente, supomos soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t}\text{.} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas, obteremos o sistema linear para os <math>A_i</math>:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0\text{.}\\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero. Portanto:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 \text{.}</math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções de módulo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})}\text{.} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica se torna cada vez mais difícl de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\text{.} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Nota-se, mais uma vez, que a menor frequência em relação aos demais modos é aquela associada ao modo simétrico. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===

O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para encontrar as coordenadas normais, bem como as autofrequências [inserir referências]. No entanto, no presente trabalho, não precisamos fazer uso do formalismo lagrangeano. Será suficiente tratar o problema por análise de Fourier.

Podemos generalizar, para o caso de um N qualquer maior que 3, e obter as seguintes equações de movimento:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N \quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left[\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\right] \quad (14)
\end{align}
</math>

E as frequências podem ser calculadas por (uma demonstração pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, supõe-se que as frequências dos modos são menores ou iguais a duas vezes a frequência natural, <math>\omega_{m} \le 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math> ):

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right) \quad (15)
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas simulações apresentadas acima para diversos modos com <math>N=1,\,\text{...},\,5</math>) [inserir referência da própria wiki], o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e um argumento de mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo,<math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math> , deveriam tender a um mesmo valor [inserir referências].

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência que não era esperado. Como pode ser observado nas simulações [inserir referência da própria wiki], após um determinado tempo, o sistema volta ao modo em que o

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas. Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T00:20:29Z

Rrbds: /* N=3 */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2})\text{.} \quad\quad (7)\\
\end{align}</math>

Novamente, supomos soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t}\text{.} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas, obteremos o sistema linear para os <math>A_i</math>:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0\text{.}\\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero. Portanto:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 \text{.}</math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções de módulo:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})}\text{.} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica se torna cada vez mais difícl de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\text{.} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Nota-se, mais uma vez, que a menor frequência em relação aos demais modos é aquela associada ao modo simétrico. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===

O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para encontrar as coordenadas normais, bem como as autofrequências [inserir referências]. No entanto, no presente trabalho, não precisamos fazer uso do formalismo lagrangeano. Será suficiente tratar o problema por análise de Fourier.

Podemos generalizar, para o caso de um N qualquer maior que 3, e obter as seguintes equações de movimento:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N \quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left[\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\right] \quad (14)
\end{align}
</math>

E as frequências podem ser calculadas por (uma demonstração pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, supõe-se que as frequências dos modos são menores ou iguais a duas vezes a frequência natural, <math>\omega_{m} \le 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math> ):

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right) \quad (15)
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas simulações apresentadas acima para diversos modos com <math>N=1,\,\text{...},\,5</math>) [inserir referência da própria wiki], o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e um argumento de mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo,<math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math> , deveriam tender a um mesmo valor [inserir referências].

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência que não era esperado. Como pode ser observado nas simulações [inserir referência da própria wiki], após um determinado tempo, o sistema volta ao modo em que o

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas. Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-04T00:08:39Z

Rrbds: /* N=2 */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1})\text{.} \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t}\text{,} \quad (2)
\end{align}
</math>

onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos as expressões em (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obteremos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0\text{.} \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0\text{.} \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0\text{.} </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{,} \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}}\text{.} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são então denominadas as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t}\text{.} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math> x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \quad \text{,} \quad x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}\text{.}</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1), ficamos com:

:<math>\begin{align}
&m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
&m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima, e se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
&m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
&m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0\text{.}
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, a combinação linear dos deslocamentos <math>x_i</math> que produz as coordenadas normais é trabalhosa de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4) e pelas simulações abaixo, destaca-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico. Esse é um resultado geral de oscilações acopladas: quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004/>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Fica evidente a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2}) \quad (7)\\
\end{align}</math>

Supondo soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0 \\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 </math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad\quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad\quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica pode ser difícil de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Note-se a menor frequência do modo simétrico em relação aos demais modos. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===

O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para encontrar as coordenadas normais, bem como as autofrequências [inserir referências]. No entanto, no presente trabalho, não precisamos fazer uso do formalismo lagrangeano. Será suficiente tratar o problema por análise de Fourier.

Podemos generalizar, para o caso de um N qualquer maior que 3, e obter as seguintes equações de movimento:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N \quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left[\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\right] \quad (14)
\end{align}
</math>

E as frequências podem ser calculadas por (uma demonstração pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, supõe-se que as frequências dos modos são menores ou iguais a duas vezes a frequência natural, <math>\omega_{m} \le 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math> ):

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right) \quad (15)
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas simulações apresentadas acima para diversos modos com <math>N=1,\,\text{...},\,5</math>) [inserir referência da própria wiki], o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e um argumento de mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo,<math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math> , deveriam tender a um mesmo valor [inserir referências].

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência que não era esperado. Como pode ser observado nas simulações [inserir referência da própria wiki], após um determinado tempo, o sistema volta ao modo em que o

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas. Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-03T23:49:11Z

Rrbds: /* Osciladores Lineares Acoplados */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, seguindo a lei de Hooke; i.e., forças dadas pela forma <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar e minimizar o número de parâmetros das simulações, vamos considerar que, em todos os casos mostrados, todas as molas possuem as mesmas constantes de acoplamento linear <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1}) \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \quad (2)
\end{align}
</math>

Onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos a equação (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obtemos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0 \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0 \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math>\begin{align}
x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \\
x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}
\end{align}
</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1):

:<math>\begin{align}
m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima e subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, são trabalhosas de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4), note-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico: esse é um resultado geral de oscilações acopladas. Quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004></ref>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Note-se a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2}) \quad (7)\\
\end{align}</math>

Supondo soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0 \\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 </math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad\quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad\quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica pode ser difícil de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Note-se a menor frequência do modo simétrico em relação aos demais modos. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===

O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para encontrar as coordenadas normais, bem como as autofrequências [inserir referências]. No entanto, no presente trabalho, não precisamos fazer uso do formalismo lagrangeano. Será suficiente tratar o problema por análise de Fourier.

Podemos generalizar, para o caso de um N qualquer maior que 3, e obter as seguintes equações de movimento:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N \quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left[\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\right] \quad (14)
\end{align}
</math>

E as frequências podem ser calculadas por (uma demonstração pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, supõe-se que as frequências dos modos são menores ou iguais a duas vezes a frequência natural, <math>\omega_{m} \le 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math> ):

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right) \quad (15)
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas simulações apresentadas acima para diversos modos com <math>N=1,\,\text{...},\,5</math>) [inserir referência da própria wiki], o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e um argumento de mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo,<math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math> , deveriam tender a um mesmo valor [inserir referências].

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência que não era esperado. Como pode ser observado nas simulações [inserir referência da própria wiki], após um determinado tempo, o sistema volta ao modo em que o

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas. Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-03T23:43:58Z

Rrbds:

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza, Samuel Dieterich e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem dois objetivos principais: apresentar alguns resultados analíticos de osciladores lineares acoplados, comparando esses resultados com simulações computacionais; e implementar o modelo de osciladores acoplados com a adição de um termo quadrático, conforme inicialmente apresentado pelo artigo original do problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT), analisando os resultados. Apresentaremos algumas simulações dos casos bidimensionais, mas as análises de resultados serão restritas aos casos unidimensionais, por simplicidade.

== Introdução ==
Os '''osciladores''' talvez sejam os sistemas mais estudados em toda a Física, sendo capazes de modelar uma ampla gama de fenômenos, como, p. ex., pêndulos, circuitos eletrônicos e interações moleculares. O comportamento linear desse tipo de sistema, em particular, possui resultados analíticos bem conhecidos, facilitando o tratamento matemático de sistemas complexos que possam ser modelados por conjuntos de osciladores.

O problema de FPUT (Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam, Mary Tsingou) resulta da análise computacional de um sistema de partículas que apenas interagem com seus vizinhos, com interações modeladas por oscilações acopladas com a adição de um termo não-linear, que pode ser quadrático ou cúbico. O intuito original da simulação era estudar como tal sistema evolui para o equilíbrio térmico. Se as forças envolvidas forem estritamente lineares, a energia alocada em cada modo de vibração não se distribui entre os demais modos, e o sistema nunca atinge o equilíbrio térmico. Adicionando termos não lineares, supunha-se que, pelo Teorema da Equipartição da Energia, a energia total do sistema seria distribuída uniformemente entre os modos normais de vibração após um certo tempo, resultando no equilíbrio térmico do sistema. Entretanto, isso não foi observado nas simulações computacionais.

O caso foi estudado pela primeira vez em Los Alamos, nos Estados Unidos, e implementado no computador MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer Model I). Além dos três participantes coautores do artigo <ref name=FPUToriginal>Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf]</ref>, que relataram o caso em 1955, Mary Tsingou implementou o código e resolveu numericamente o sistema. Atualmente, por essa razão, o paradoxo é denominado pela sigla FPUT (Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou).<ref name=WeThankMTsingou>Grant, V. "We Thank Miss Mary Tsingou", National Security Science. Winter 2020: pp. 36-43. [Acessado 02 Maio 2022]. [https://www.lanl.gov/discover/publications/national-security-science/2020-winter/mary-tsingou.shtml]</ref>

A abordagem adotada no presente trabalho é a seguinte: inicialmente, serão apresentados alguns resultados teóricos bem conhecidos de osciladores lineares acoplados. Em seguida, compararemos esses resultados com simulações computacionais, a fim de exemplificar visualmente seu significado. Após apresentar as fundações teóricas desses casos mais simples em que as forças são lineares, trataremos do problema de FPUT em si, examinando a situação em que a interação não-linear se dá através de um termo quadrático nas coordenadas generalizadas utilizadas. Tal tratamento tem de ser majoritariamente computacional, já que as equações diferenciais envolvidas não são, em geral, fáceis de se resolver. [falta complementar]

== Osciladores Lineares Acoplados==

Um modelo geral de sistema unidimensional de osciladores lineares acoplados é ilustrado pela '''Figura 1'''. Para fins de simplificação do problema e minimização do número de parâmetros utilizados nas simulações, vamos considerar o caso em que todas as massas e constantes das molas sejam iguais, mesmo que essa suposição não seja estritamente necessária.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:OLA-modelo-geral.jpg|600px|left|thumb|center|'''Figura 1.''' Ilustração de um modelo geral unidimensional de oscilações acopladas. A figura foi criada por Paula Pandolfo, uma das integrantes do grupo.]]</li>
</center>

Cada partícula possui duas vizinhas com as quais interage por meio das molas, exceto as partículas localizadas nos extremos da cadeia, que possuem apenas uma partícula vizinha cada. As interações das partículas dos extremos das cadeias se restringem, portanto, à interação com uma vizinha e com uma mola conectada a uma das paredes externas à cadeia. Como este problema é unidimensional, a posição de cada partícula pode ser descrita por apenas um grau de liberdade. Vamos escolher os deslocamentos <math>x_i</math> em relação à respectiva posição de equilíbrio da partícula <math>i</math> como nossas coordenadas generalizadas, definindo como positivos os deslocamentos para a direita e negativos para a esquerda. No total, um sistema com <math>N</math> partículas terá, portanto, <math>N</math> graus de liberdade. Vamos tratar aqui o caso em que as forças das molas são lineares, i.e., dadas por <math>F=-kx</math>. '''Além disso, para simplificar, nos casos abaixo vamos considerar que todas as molas possuem as mesmas constantes <math>k</math> e todas as partículas possuem as mesmas massas <math>m</math>'''.

=== N=2 ===
'''Nota:''' O conteúdo abaixo segue aproximadamente a seção 12.2 de Marion e Thornton (2004).<ref name=Marion2004>Marion e Thornton, pp. 469-473</ref> Entretanto, há diversas modificações e inclusões. Por exemplo, na descrição das equações de movimento e nas definições dos modos normais.

Para nos familiarizarmos com este sistema, consideremos inicialmente o caso do oscilador linear acoplado mais simples, com apenas duas partículas (<math>N=2</math>), cada uma com massa <math>m</math>, e três molas com os mesmos valores de constantes, <math>k</math>.

Utilizando a segunda lei de Newton, mostra-se que as equações de movimento do sistema são:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -kx_{2} - k(x_{2}-x_{1}) \quad (1)\\
\end{align}</math>

Uma forma direta de se montar as equações de movimento de um sistema acoplado é pensar em termos dos deslocamentos em relação às posições de equilíbrio (<math>x_{i}</math>, com <math>i=1,2</math>, no sistema considerado aqui). Por exemplo, na primeira das equações acima, a partícula 1 está sujeita à força elástica da mola conectada à parede (termo <math>-kx_{1}</math>) e à força da mola conectada à partícula 2 (termo <math>-k(x_{1}-x_{2})</math>). Esse último termo é definido conforme o seguinte: caso a mola que está conectada às partículas 1 e 2 esteja comprimida, <math>x_{1}</math> deve ser maior que <math>x_{2}</math> e a partícula 1 estará sofrendo uma força que é contrária à compressão, ou seja, com sinal negativo. De modo semelhante para a partícula 2, mas nesse caso, devido à posição ocupada pela partícula 2 na cadeia, com <math>x_{1}</math> maior que <math>x_{2}</math>, o sentido da força contrária à compressão tem sinal positivo, manifestando a terceira lei de Newton.

Uma dificuldade imposta pelo sistema (1) é o fato das equações serem acopladas, que a aceleração da partícula 1 depende da posição da partícula 2, e vice-versa. Vamos supor que esse sistema de equações tenha soluções na seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \quad (2)
\end{align}
</math>

Onde <math>A_{1}</math> e <math>A_{2}</math> são constantes e <math>\omega</math> é uma frequência angular ainda indeterminada. Essa suposição é fisicamente justificável: sabemos que as soluções são oscilatórias, e exponenciais imaginárias podem ser escritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler. Se substituirmos a equação (2) na equação (1) e rearranjarmos os termos, obtemos:

:<math>\begin{align}
-mw^{2}A_{1}e^{-i\omega t} + 2kA_{1}e^{-i\omega t} -kA_{2}e^{-i\omega t} &= 0 \\
-mw^{2}A_{2}e^{-i\omega t} + 2kA_{2}e^{-i\omega t} -kA_{1}e^{-i\omega t} &= 0 \\
\end{align}</math>

Ou, eliminando as exponenciais e reagrupando termos:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})&A_{1} &-kA_{2} &= 0 \\
-k&A_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &= 0 \quad (3)\\
\end{align}</math>

O sistema de equações (3) apenas terá soluções não triviais se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham os <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k \\
-k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 </math>

O resultado desse determinante ser igual a zero é uma equação quadrática simples em <math>\omega^2</math>, sendo as soluções facilmente obtidas. Como para cada solução <math>\omega</math> existe uma solução <math>-\omega</math>, apresentaremos apenas o módulo das frequências:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{3k}{m}} \quad (4)
\end{align} </math>

<math>\omega_{1}</math> e <math>\omega_{2}</math> são as frequências características ou autofrequências do sistema. As soluções mais gerais do sistema de equações diferenciais lineares (1) vão ser então combinações lineares das soluções (2) com as frequências dadas por (4):

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} \quad (5)
\end{align}
</math>

Nota-se que cada uma das soluções é uma superposição (em geral) complicada que envolve as duas autofrequências. Isso é uma consequência direta do acoplamento presente no sistema (1). Para eliminar este acoplamento, vamos definir novas variáveis: <math>\eta_{1} = x_{1} + x_{2}</math> e <math>\eta_{2} = x_{1} - x_{2}</math>, ou

:<math>\begin{align}
x_{1} = \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2} \\
x_{2} = \frac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}
\end{align}
</math>

Substituindo essas expressões no sistema de equações (1):

:<math>\begin{align}
m(\ddot{\eta}_{1} + \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} + 3k\eta_{2} = 0 \\
m(\ddot{\eta}_{1} - \ddot{\eta}_{2}) + k\eta_{1} - 3k\eta_{2} = 0
\end{align}
</math>

Se somarmos as duas equações acima e subtrairmos a segunda da primeira, obtemos, respectivamente:

:<math>\begin{align}
m\ddot{\eta}_{1} + k\eta_{1} = 0 \\
m\ddot{\eta}_{2} + 3k\eta_{2} = 0
\end{align}
</math>

Reconhecemos imediatamente as equações acima como equações de osciladores harmônicos simples, desacopladas e, portanto, com soluções independentes. As soluções são dadas por

:<math>\begin{align}
\eta_{1}(t) &= c_{1}e^{i\omega_{1}t} + c_{2}e^{-i\omega_{1}t} \\
\eta_{2}(t) &= c_{3}e^{i\omega_{2}t} + c_{4}e^{-i\omega_{2}t} \quad (6)
\end{align}
</math>

<math>\eta_{1}</math> e <math>\eta_{2}</math> são chamadas de coordenadas normais. Por definição, são coordenadas que desacoplam as equações diferenciais do sistema e possuem soluções com frequências únicas, bem definidas. Sempre podem ser escritas como algum tipo de combinação linear das coordenadas originais. De modo semelhante, as coordenadas usuais do sistema sempre podem ser escritas como combinações lineares das coordenadas normais. No caso geral, para mais partículas, são trabalhosas de se encontrar. Note-se que, no caso de duas partículas, é simples encontrá-las meramente por inspeção. Se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = \dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{2}(0) = x_{1}(0) - x_{2}(0) = 0</math> e as constantes <math>c_{3}</math> e <math>c_{4}</math> vão ser iguais a zero, o que implica <math>\eta_{2}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>. Esse primeiro modo normal corresponderá a uma oscilação simétrica, em que as duas partículas oscilarão em fase, com frequência <math>\omega_{1}</math>. De modo semelhante, se impusermos as condições iniciais <math>x_{1}(0) = -x_{2}(0)</math> e <math>\dot{x}_{1}(0) = -\dot{x}_{2}(0)</math>, <math>\eta_{1}(t) = 0</math>, para todo <math>t</math>, e as partículas oscilarão fora de fase, com frequência <math>\omega_{2}</math>. Pelas expressões dadas em (4), note-se que a frequência associada ao modo simétrico é menor do que a frequência do modo antissimétrico: esse é um resultado geral de oscilações acopladas. Quanto maior o grau de simetria da oscilação, menor o valor da frequência.<ref name=Marion2004></ref>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 2''' e na '''Figura 3'''. Note-se a menor frequência do modo simétrico em relação ao modo antissimétrico. Além disso, podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2}= \sqrt{3}</math>. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas oscilam fora de fase.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2.png|'''Figura 2'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta no gráfico, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos no gráfico, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N2A.png|'''Figura 3'''.Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta, partícula da esquerda na simulação ao lado) e 2 (pontos vermelhos, partícula da direita na simulação ao lado). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 4''' e na '''Figura 5'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_simetrico.png|'''Figura 4'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
compara_anti.png|'''Figura 5'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1 (esquerda na simulação acima), conforme integração numérica (pontos vermelhos), em relação ao valor teórico (linha azul). Amplitude inicial de ~0.433. k=m=1. Amplitude inicial de ~0.433. N=2
</gallery>

=== N=3 ===

Seguindo a mesma lógica apresentada para <math>N=2</math> partículas, podemos montar as equações de movimento do sistema com <math>N=3</math> partículas. A única diferença é que a partícula central apenas está conectada a partículas vizinhas, não estando conectada a paredes externas:

:<math>\begin{align}
m\ddot{x}_{1} &= -kx_{1} - k(x_{1}-x_{2}) \\
m\ddot{x}_{2} &= -k(x_{2}-x_{1}) - k(x_{2}-x_{3}) \\
m\ddot{x}_{3} &= -kx_{3} - k(x_{3}-x_{2}) \quad (7)\\
\end{align}</math>

Supondo soluções do tipo

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) &= A_{1}e^{-i\omega t} \\
x_{2}(t) &= A_{2}e^{-i\omega t} \\
x_{3}(t) &= A_{3}e^{-i\omega t} \quad (8)
\end{align}
</math>

Substituindo (8) em (7) e seguindo os mesmos passos feitos para <math>N=2</math> partículas:

:<math>\begin{align}
(2k-mw^{2})A_{1} &-kA_{2} &+0A_{3} &= 0 \\
-kA_{1} &+(2k-mw^{2})A_{2} &-kA_{3} &= 0 \\
0A_{1} &-kA_{2} &+(2k-mw^{2})A_{3} &= 0 \\
\end{align}</math>

O sistema de equações acima apenas terá soluções não triviais se o determinante dos coeficientes dos <math>A_{i}</math> for igual a zero, i.e.:

:<math>\begin{vmatrix}
(2k-mw^{2}) & -k &0\\
-k & (2k-mw^{2}) &-k \\
0 & -k & (2k-mw^{2})
\end{vmatrix} = 0 </math>

A equação resultante é <math>(2k-m\omega^{2})^3 - 2k^2(2k-m\omega^2) = 0</math>. Simples de ser resolvida analiticamente por fatoração, esta equação tem as soluções:

:<math>\begin{align}
\omega_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}(2-\sqrt{2})} \quad\quad \omega_{2} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad\quad \omega_{3} = \sqrt{\frac{k}{m}(2+\sqrt{2})} \quad (9)
\end{align} </math>

Note-se que aqui já não é mais tão simples identificar as coordenadas normais. Além disso, embora tenha sido simples até aqui obter as autofrequências, o processo é tedioso e a equação característica pode ser difícil de se resolver analiticamente.

Podemos escrever as soluções da seguinte forma, de modo semelhante a como fizemos para <math>N=2</math>:

:<math>\begin{align}
x_{1}(t) = a_{1}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{1}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{1}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{1}^{6}e^{-i\omega_{3} t}\\
x_{2}(t) = a_{2}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{2}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{2}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{2}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \\
x_{3}(t) = a_{3}^{1}e^{i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{2}e^{-i\omega_{1} t} &+ a_{3}^{3}e^{i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{4}e^{-i\omega_{2} t} &+ a_{3}^{5}e^{i\omega_{3} t} &+ a_{3}^{6}e^{-i\omega_{3} t} \quad (10)
\end{align}
</math>

Alguns resultados das simulações para os modos desse caso podem ser observados na '''Figura 6''', na '''Figura 7''' e na '''Figura 8'''. Note-se a menor frequência do modo simétrico em relação aos demais modos. O modo simétrico consiste em uma oscilação em que todas as partículas estão em fase; no modo antissimétrico, as partículas 1 e 3 oscilam fora de fase, a 2 permanece parada. A novidade em relação ao caso de <math>N=2</math> é o surgimento de um novo modo, o modo 3, em que as partículas 1 e 3 oscilam em fase, e a partícula 2 oscila fora de fase em relação às partículas 1 e 3.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
PosOL1D-N3.png|'''Figura 6'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3A.png|'''Figura 7'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (linha azul). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5 para as partículas 1 e 3. N=3
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
posOL1D-N3m3.png|'''Figura 8'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio das partículas 1 (linha preta), 2 (linha vermelha) e 3 (pontos azuis). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35 para as partículas 1 e 3, e ~0.5 para a partícula 2. N=3
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

A concordância das frequências com os valores teóricos calculados pode ser vista na '''Figura 9''', na '''Figura 10''' e na '''Figura 11'''. Podemos observar a concordância com os valores teóricos encontrados para as frequências: <math>\omega_{1}=\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
compara_simetricoN3.png|'''Figura 9'''. Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
compara_antiN3.png|'''Figura 10'''. Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.5. N=3
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=300px>
compara_m3N3.png|'''Figura 11'''. Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional. Comparação entre os gráficos dos deslocamentos (x) em relação à posição de equilíbrio da partículas 1, conforme integração numérica (pontos pretos), em relação ao valor teórico (linha verde). k=m=1. Amplitude inicial de ~ 0.35. N=3
</gallery>

=== Caso geral ===

O formalismo lagrangeano fornece uma técnica poderosa para encontrar as coordenadas normais, bem como as autofrequências [inserir referências]. No entanto, no presente trabalho, não precisamos fazer uso do formalismo lagrangeano. Será suficiente tratar o problema por análise de Fourier.

Podemos generalizar, para o caso de um N qualquer maior que 3, e obter as seguintes equações de movimento:

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

O conjunto de equações (11) vai ser importante para a implementação numérica.

As soluções (5) e (10) apresentam um padrão. Se tomarmos apenas as partes reais das soluções, podemos redefinir as constantes duas a duas e escrever a solução geral como:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}a_{m}^{l}\cos(\omega_{m}t)\text{,} \quad \text{com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N \quad\\
\end{align}
</math>

As constantes <math>a_{m}^{l}</math> são chamadas de amplitudes dos modos normais e indicam o quanto de cada modo normal, de frequência bem definida, está presente na solução de cada <math>x_{l}(t)</math>. É possível mostrar (o que não faremos aqui por razões de tempo e espaço, mas pode ser consultado nas referências <ref name=Lucero2021>Lucero, Davi de Mello e Pinheiro Moreira, Pedro Augusto Franco. "O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de energia vista através de simulações computacionais". Revista Brasileira de Ensino de Física [online]. 2021, v. 43 [Acessado 1 Maio 2022]. [https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?lang=pt#]</ref>) que, usando condições de contorno <math>x_{0}(t) = x_{N+1}(t) = 0</math>, as soluções podem ser reescritas como

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sum_{m=1}^{N}c_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\quad (12)\\
\end{align}
</math>

É comum na literatura<ref name=Giordano2006>Giordano e Nakanishi, pp. 296-297</ref> redefinir a constante <math>c_{m}</math> da seguinte forma:

:<math>\begin{align}
x_{l}(t) &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{m=1}^{N}a_{m}\sin\left(\frac{lm\pi}{N+1}\right)\cos(w_{m}t) \text{, com}\quad l=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align}
</math>

A qualquer instante de tempo, os deslocamentos das partículas em relação às posições de equilíbrio podem ser escritos como uma soma de modos normais. Esses modos normais são ondas estacionárias. Ver, por exemplo, a '''Figura 12''', com os cinco primeiros modos.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:modos.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 12.''' Cinco primeiros modos de oscilação para um oscilador acoplado com N=32 partículas. Os gráficos correspondem à equação (12), no tempo <math>t=0</math>, com <math>c_{m}=1</math>.]]</li>
</center>

É possível, portanto, por uma transformada inversa, escrever

:<math>\begin{align}
a_{m} &= \sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin\left(\frac{im\pi}{N+1}\right) \text{, com}\quad m=1\text{,}\,\text{...}\text{,}\,N\\
\end{align} \quad (13)
</math>

As energias de cada modo podem ser escritas como (com <math>\dot{a}_{m}</math> representando a amplitude da velocidade do modo):

:<math>\begin{align}
E_{m} &= \frac{1}{2}\left[\left(\dot{a}_{m}^{2} + \omega_{m}^2a_{m}^2\right)\right] \quad (14)
\end{align}
</math>

E as frequências podem ser calculadas por (uma demonstração pode ser encontrada nas referências<ref name=Lucero2021></ref>, supõe-se que as frequências dos modos são menores ou iguais a duas vezes a frequência natural, <math>\omega_{m} \le 2\omega_{0} = 2\sqrt{k/m}</math> ):

:<math>\begin{align}
\omega_{m} &= 2\omega_{0}\sin\left(\frac{m\pi}{2(N+1)}\right) \quad (15)
\end{align}
</math>

Todas as expressões mostradas nesta seção são válidas mesmo para o caso de oscilações acopladas não lineares, como é o caso do FPUT.<ref name=Giordano2006></ref> [adicionar mais referências]

Podemos comparar, por exemplo, os valores que encontramos para as autofrequências nos casos <math>N=2</math> e <math>N=3</math> com os resultados da equação (15). Seja, por exemplo, <math>k=m=1</math>. Para <math>N=2</math>, pelas expressões (4), <math>\omega_{1} = 1</math> e <math>\omega_{2} = \sqrt{3}</math>, que são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15). De modo semelhante, para <math>N=3</math>, pelas expressões (9), <math>\omega_{1} =\sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, <math>\omega_{2} = \sqrt{2}</math> e <math>\omega_{3} =\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>, que também são os mesmos resultados fornecidos pela equação (15).

== Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT ==
Como já discutido, se as forças em um sistema de osciladores acoplados forem todas da forma da lei de Hooke, o sistema jamais alcançará o equilíbrio térmico, pois os modos têm independência linear entre si. Para fazer isso, temos de acrescentar termos não-lineares de interação. Vamos tratar aqui o primeiro caso estudado no artigo original,<ref name=FPUToriginal/> em que os termos não-lineares são quadráticos nas coordenadas <math>x_i</math>.

Para os osciladores internos, teremos então a seguinte equação de movimento:

:<math>m\ddot{x}_{i} = k_{1}\left[(x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i})\right] + k_{2}\left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Nessa equação, a constante <math>k_{1}</math> faz o papel da constante das molas <math>k</math> apresentada anteriormente para o caso puramente linear, enquanto <math>k_{2}</math> informa a intensidade da força não-linear. É importante ressaltar que nem todos os autores definem os termos quadráticos dessa forma. Atualmente é mais comum ver esses termos definidos como faz, por exemplo, Lucero et al., 2021<ref name=Lucero2021/>, que usa o sinal positivo entre os termos quadráticos, no interior dos colchetes. Podemos isolar a aceleração <math>\ddot{x}_{i}</math> nesta equação; vamos escolher <math>k_{1}/m = 1</math> e definir <math>\alpha \equiv k_{2}/m</math>. A equação fica então:

:<math>\ddot{x}_{i} = (x_{i+1} - x_{i}) + (x_{i-1} - x_{i}) + \alpha \left[(x_{i+1} - x_{i})^2 - (x_{i-1} - x_{i})^2 \right]</math>

Esperava-se teoricamente que, pelo Teorema de Equipartição da Energia, o comportamento desse sistema seria a termalização. Isso significa que, diferentemente dos sistemas lineares, em que, iniciado em um modo, o sistema permanece naquele modo para todo tempo <math>t>0</math> (como podemos perceber nas simulações apresentadas acima para diversos modos com <math>N=1,\,\text{...},\,5</math>) [inserir referência da própria wiki], o sistema tenderia a se tornar uma mistura complicada de modos a partir de um determinado tempo, e permanecer nesse estado. Uma análise normalmente é feita por meio de gráficos da distribuição de energia entre os modos.

Quando o sistema é linear, a energia total do sistema se reduz a uma soma <math>E=\sum_{k}^{N}E_{k}</math> das energias de cada modo. Essas energias são integrais do movimento, o que leva a <math>E_{k}(t) = E_{k}(0)</math>. Quando há termos não lineares, as energias dos modos normais não são mais integrais do movimento e um argumento de mecânica estatística sugere que as médias temporais das energias de cada modo,<math>E_{k}(t)=(1/t)\int_{0}^{t}E_{k}(\tau)d\tau</math> , deveriam tender a um mesmo valor [inserir referências].

O paradoxo ou problema de FPUT consiste em um comportamento de recorrência que não era esperado. Como pode ser observado nas simulações [inserir referência da própria wiki], após um determinado tempo, o sistema volta ao modo em que o

== Implementação numérica ==

:<math>
m\ddot{x}_{i} =
\begin{cases}
-kx_{1} - k(x_{1}-x_{2})\text{,} &\quad\text{se} \quad i = 1\\
-k(x_{i}-x_{i-1}) - k(x_{i}-x_{i+1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad 1<i<N \\
-kx_{N} - k(x_{N}-x_{N-1}) \text{,} &\quad\text{se} \quad i = N \quad\quad (11)\\
\end{cases}
</math>

== Simulações ==

=== Osciladores Lineares Acoplados ===

====N=2====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN2-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
OA1DN2-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=2
</gallery>

====N=3====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
OA1DN3-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN3-modo3.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas.
</gallery>

====N=4====

Embora não tenhamos feito análises para os casos de N=4 e N=5 partículas, abaixo seguem simulações dos modos desses osciladores acoplados lineares unidimensionais. Observa-se o mesmo padrão de aumento da frequência com o número do modo. O modo simétrico sempre apresenta menor frequência.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN4-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
OA1DN4-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=4
</gallery>

====N=5====

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo1.gif|Modo de oscilação simétrico (modo 1) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo2.gif|Modo de oscilação antissimétrico (modo 2) de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo3.gif|Modo de oscilação 3 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
OA1DN5-modo4.gif|Modo de oscilação 4 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
OA1DN5-modo5.gif|Modo de oscilação 5 de um oscilador linear acoplado unidimensional, simulado com k=m=1 para todas as massas e molas. N=5
</gallery>

====Bidimensional N=49 (Em um grid 7x7)====

Também implementamos uma simulação bidimensional de massas acopladas com as partículas vizinhas de cima, de baixo e dos lados. As partículas das fronteiras estão conectadas às paredes (em cima, embaixo e dos lados). A generalização do caso unidimensional é direta e foi razoavelmente simples de se implementar, uma vez estabelecida a condição inicial (colocar as partículas nas posições de equilíbrio, espaçadas igualmente em um grid, e deslocar randomicamente cada uma de sua posição de equilíbrio por um valor bem pequeno). A simulação mostra um comportamento que pode ser associado à dinâmica molecular.

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
OA2D-N49.gif| Nessa simulação, usamos k=1 e m=6 para diminuir a força e evitar sobreposições entre as partículas.
</gallery>

=== FPUT quadrático ===

Abaixo segue uma simulação em que as partículas são deslocadas das posições de equilíbrio verticalmente. Esse modelo é muito interessante para visualizar a propriedade de recorrência ao primeiro modo, embora não seja um modelo muito físico, porque as partículas oscilam apenas na vertical, acopladas às partículas vizinhas. Não há deslocamento na horizontal, e a simulação é na verdade uma simulação unidimensional.

Parâmetros da simulação com deslocamento vertical: <math>k = 1.0; m = 1.0; \alpha = 0.25; \Delta t = 0.01; L = 20.0; N = 32</math>.

<gallery class="center" mode=packed heights=250px>
fput_deslocamento_vertical_parte1.gif|'''Figura X.''' Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação podemos ver as primeiras iterações após a condição inicial proposta no trabalho original.
fput_deslocamento_vertical_parte2.gif|'''Figura X.''' Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado a vertical. Nessa animação vemos o sistema retornando a uma posição próxima da condição inicial.
</gallery>

== Programa ==

* [[Código em C e scripts para FPUT com deslocamento vertical]]

* [[Código em Python para simulações de osciladores lineares e FPUT quadrático]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". Thomson Learning, Belmont, 2004.
* Giordano, N.J., Nakanishi, H. "Computational Physics". 2nd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2006.

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-03T01:33:40Z

Rrbds: /* Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT */

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-03T01:30:32Z

Rrbds: /* Introdução */

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-03T00:49:43Z

Rrbds: /* Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT */

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-02T20:36:45Z

Rrbds: /* Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT */

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-02T20:02:04Z

Rrbds: /* Adição de Termos Não-Lineares: Problema de FPUT */

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-02T17:57:55Z

Rrbds: /* Caso geral */

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-02T17:35:27Z

Rrbds: /* Caso geral */

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-02T02:18:54Z

Rrbds: /* N=3 */

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-02T02:15:16Z

Rrbds: /* Osciladores Lineares Acoplados */

Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

2022-05-02T01:23:15Z

Rrbds: /* Introdução */

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T22:28:34Z

Rrbds:

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:''' Este trabalho tem como objetivo principal implementar numericamente o modelo de Gray-Scott, um tipo particular de sistema de reação-difusão, a fim de ilustrar, entre outras características, a emergência da complexidade através de equações de relativa simplicidade matemática. Para isso, primeiramente, será introduzida a formalidade do modelo: suas equações diferenciais e seus estados estacionários. Analisar-se-ão, também, as condições em que tais estados são estáveis ou não, e se aqueles que forem estáveis assim permanecem após a introdução de processos difusivos. Os resultados da implementação serão comparados com aqueles obtidos por uma das referências principais, ''Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems'', por Hiroki Sayama. A comparação mostrará uma boa concordância qualitativa, apesar de ficarem também perceptíveis discrepâncias com as simulações feitas por Sayama, indicando, possivelmente, uma alta sensibilidade dos resultados com a resolução utilizada.

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso este modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Uma maneira de compreender esse sistema é imaginá-lo como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao_gray_scott.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''' Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott. A linha azul mais externa corresponde a equação <math>F = 4 (F+k)^2</math>, que separa as regiões onde os estados estacionários não-triviais existem (esquerda da linha) e não existem (direita da linha). A linha vermelha, caracterizada por <math>(F+k)^2 = F \sqrt{k}</math> separa a região interna à linha azul em duas partes: uma maior, onde o ponto <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> é estável, e outra menor, onde ele é instável. Por fim, a linha verde separa as regiões em que esse ponto é um nó (esquerda da linha) ou um foco (direita da linha), a depender do sinal de <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 - 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. Ressalta-se que o encontro das linhas azul e vermelha ocorre em <math>(1/16, 1/16)</math>, sendo o ponto em que os estados <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> e <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> tornam-se o mesmo estado (quando <math>1-4a^2=0</math>).<ref name=Gros114/>]]

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Assim, esse ponto sempre será um ''ponto de sela''.<ref name=Gros113/> Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''. No caso, temos que:

::<math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>

::Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

::Como um fato adicional, podemos separar quando <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math> é um nó estável (''stable node'') de quando ele é um foco estável (''stable focus''). Um nó estável ocorre quando os autovalores da matriz jacobiana forem reais, enquanto o foco ocorrem quando forem complexo-conjugados. Sabendo que os autovalores podem ser escritos como<ref name=Sayama123>Sayama, p. 123</ref>

::<math>\lambda_{\pm} = \frac{\operatorname{Tr}(J_{R}) \pm \sqrt{(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 -4 \operatorname{det}(J_{R})}}{2}</math>

::Vemos que a fronteira entre nó e foco para o ponto é caracterizada por <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 = 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. O resultado de todas essas fronteiras é o diagrama de fases da '''Figura 1''', baseado no gráfico feito por Gros.<ref name=Gros114>Gros, p. 114</ref>

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Para este trabalho, interessa-nos apenas verificar se o estado estacionário <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> permanece estável após a introdução da difusão. Dispensaremos a análise do ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, pois nossas simulações não o incluirão como ponto estável, nem mesmo desconsiderando difusão.

Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir,<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref> como veremos nas simulações da seção de resultados.

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|700px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de simulações realizadas para mais valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens nas primeiras três linhas apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Nas imagens da última linha (coloridas), a concentração de <math>u</math> é maior nas áreas mais escuras. ]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F<4(F+k)^{2}</math> (à direita da curva laranja), ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões''' nesses casos.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.<ref name=Pearson/> Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T21:42:41Z

Rrbds: /* Descrição do Modelo */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:'''

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso este modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Uma maneira de compreender esse sistema é imaginá-lo como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao_gray_scott.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''' Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott. A linha azul mais externa corresponde a equação <math>F = 4 (F+k)^2</math>, que separa as regiões onde os estados estacionários não-triviais existem (esquerda da linha) e não existem (direita da linha). A linha vermelha, caracterizada por <math>(F+k)^2 = F \sqrt{k}</math> separa a região interna à linha azul em duas partes: uma maior, onde o ponto <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> é estável, e outra menor, onde ele é instável. Por fim, a linha verde separa as regiões em que esse ponto é um nó (esquerda da linha) ou um foco (direita da linha), a depender do sinal de <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 - 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. Ressalta-se que o encontro das linhas azul e vermelha ocorre em <math>(1/16, 1/16)</math>, sendo o ponto em que os estados <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> e <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> tornam-se o mesmo estado (quando <math>1-4a^2=0</math>).<ref name=Gros114/>]]

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Assim, esse ponto sempre será um ''ponto de sela''.<ref name=Gros113/> Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''. No caso, temos que:

::<math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>

::Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

::Como um fato adicional, podemos separar quando <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math> é um nó estável (''stable node'') de quando ele é um foco estável (''stable focus''). Um nó estável ocorre quando os autovalores da matriz jacobiana forem reais, enquanto o foco ocorrem quando forem complexo-conjugados. Sabendo que os autovalores podem ser escritos como<ref name=Sayama123>Sayama, p. 123</ref>

::<math>\lambda_{\pm} = \frac{\operatorname{Tr}(J_{R}) \pm \sqrt{(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 -4 \operatorname{det}(J_{R})}}{2}</math>

::Vemos que a fronteira entre nó e foco para o ponto é caracterizada por <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 = 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. O resultado de todas essas fronteiras é o diagrama de fases da '''Figura 1''', baseado no gráfico feito por Gros.<ref name=Gros114>Gros, p. 114</ref>

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Para este trabalho, interessa-nos apenas verificar se o estado estacionário <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> permanece estável após a introdução da difusão. Dispensaremos a análise do ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, pois nossas simulações não o incluirão como ponto estável, nem mesmo desconsiderando difusão.

Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir,<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref> como veremos nas simulações da seção de resultados.

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|700px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de simulações realizadas para mais valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens nas primeiras três linhas apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Nas imagens da última linha (coloridas), a concentração de <math>u</math> é maior nas áreas mais escuras. ]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.<ref name=Pearson/> Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T21:42:16Z

Rrbds: /* Bibliografia */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:'''

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso este modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Uma maneira de compreender esse sistema é imaginá-lo como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao_gray_scott.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''' Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott. A linha azul mais externa corresponde a equação <math>F = 4 (F+k)^2</math>, que separa as regiões onde os estados estacionários não-triviais existem (esquerda da linha) e não existem (direita da linha). A linha vermelha, caracterizada por <math>(F+k)^2 = F \sqrt{k}</math> separa a região interna à linha azul em duas partes: uma maior, onde o ponto <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> é estável, e outra menor, onde ele é instável. Por fim, a linha verde separa as regiões em que esse ponto é um nó (esquerda da linha) ou um foco (direita da linha), a depender do sinal de <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 - 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. Ressalta-se que o encontro das linhas azul e vermelha ocorre em <math>(1/16, 1/16)</math>, sendo o ponto em que os estados <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> e <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> tornam-se o mesmo estado (quando <math>1-4a^2=0</math>).<ref name=Gros114/>]]

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Assim, esse ponto sempre será um ''ponto de sela''.<ref name=Gros113/> Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''. No caso, temos que:

::<math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>

::Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

::Como um fato adicional, podemos separar quando <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math> é um nó estável (''stable node'') de quando ele é um foco estável (''stable focus''). Um nó estável ocorre quando os autovalores da matriz jacobiana forem reais, enquanto o foco ocorrem quando forem complexo-conjugados. Sabendo que os autovalores podem ser escritos como<ref name=Sayama123>Sayama, p. 123</ref>

::<math>\lambda_{\pm} = \frac{\operatorname{Tr}(J_{R}) \pm \sqrt{(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 -4 \operatorname{det}(J_{R})}}{2}</math>

::Vemos que a fronteira entre nó e foco para o ponto é caracterizada por <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 = 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. O resultado de todas essas fronteiras é o diagrama de fases da '''Figura 1''', baseado no gráfico feito por Gros.<ref name=Gros114>Gros, p. 114</ref>

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Para este trabalho, interessa-nos apenas verificar se o estado estacionário <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> permanece estável após a introdução da difusão. Dispensaremos a análise do ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, pois nossas simulações não o incluirão como ponto estável, nem mesmo desconsiderando difusão.

Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir,<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref> como veremos nas simulações da seção de resultados.

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|700px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de simulações realizadas para mais valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens nas primeiras três linhas apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Nas imagens da última linha (coloridas), a concentração de <math>u</math> é maior nas áreas mais escuras. ]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.<ref name=Pearson/> Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia principal ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T21:35:25Z

Rrbds: /* Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:'''

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso este modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Uma maneira de compreender esse sistema é imaginá-lo como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao_gray_scott.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''' Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott. A linha azul mais externa corresponde a equação <math>F = 4 (F+k)^2</math>, que separa as regiões onde os estados estacionários não-triviais existem (esquerda da linha) e não existem (direita da linha). A linha vermelha, caracterizada por <math>(F+k)^2 = F \sqrt{k}</math> separa a região interna à linha azul em duas partes: uma maior, onde o ponto <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> é estável, e outra menor, onde ele é instável. Por fim, a linha verde separa as regiões em que esse ponto é um nó (esquerda da linha) ou um foco (direita da linha), a depender do sinal de <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 - 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. Ressalta-se que o encontro das linhas azul e vermelha ocorre em <math>(1/16, 1/16)</math>, sendo o ponto em que os estados <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> e <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> tornam-se o mesmo estado (quando <math>1-4a^2=0</math>).<ref name=Gros114/>]]

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Assim, esse ponto sempre será um ''ponto de sela''.<ref name=Gros113/> Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''. No caso, temos que:

::<math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>

::Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

::Como um fato adicional, podemos separar quando <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math> é um nó estável (''stable node'') de quando ele é um foco estável (''stable focus''). Um nó estável ocorre quando os autovalores da matriz jacobiana forem reais, enquanto o foco ocorrem quando forem complexo-conjugados. Sabendo que os autovalores podem ser escritos como<ref name=Sayama123>Sayama, p. 123</ref>

::<math>\lambda_{\pm} = \frac{\operatorname{Tr}(J_{R}) \pm \sqrt{(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 -4 \operatorname{det}(J_{R})}}{2}</math>

::Vemos que a fronteira entre nó e foco para o ponto é caracterizada por <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 = 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. O resultado de todas essas fronteiras é o diagrama de fases da '''Figura 1''', baseado no gráfico feito por Gros.<ref name=Gros114>Gros, p. 114</ref>

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Para este trabalho, interessa-nos apenas verificar se o estado estacionário <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> permanece estável após a introdução da difusão. Dispensaremos a análise do ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, pois nossas simulações não o incluirão como ponto estável, nem mesmo desconsiderando difusão.

Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir,<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref> como veremos nas simulações da seção de resultados.

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|700px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de simulações realizadas para mais valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens nas primeiras três linhas apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Nas imagens da última linha (coloridas), a concentração de <math>u</math> é maior nas áreas mais escuras. ]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.<ref name=Pearson/> Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T21:28:40Z

Rrbds: /* Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:'''

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso este modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Uma maneira de compreender esse sistema é imaginá-lo como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao_gray_scott.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''' Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott. A linha azul mais externa corresponde a equação <math>F = 4 (F+k)^2</math>, que separa as regiões onde os estados estacionários não-triviais existem (esquerda da linha) e não existem (direita da linha). A linha vermelha, caracterizada por <math>(F+k)^2 = F \sqrt{k}</math> separa a região interna à linha azul em duas partes: uma maior, onde o ponto <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> é estável, e outra menor, onde ele é instável. Por fim, a linha verde separa as regiões em que esse ponto é um nó (esquerda da linha) ou um foco (direita da linha), a depender do sinal de <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 - 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. Ressalta-se que o encontro das linhas azul e vermelha ocorre em <math>(1/16, 1/16)</math>, sendo o ponto em que os estados <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> e <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> tornam-se o mesmo estado (quando <math>1-4a^2=0</math>).]]

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Assim, esse ponto sempre será um ''ponto de sela''.<ref name=Gros113/> Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''. No caso, temos que:

::<math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>

::Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

::Como um fato adicional, podemos separar quando <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math> é um nó estável (''stable node'') de quando ele é um foco estável (''stable focus''). Um nó estável ocorre quando os autovalores da matriz jacobiana forem reais, enquanto o foco ocorrem quando forem complexo-conjugados. Sabendo que os autovalores podem ser escritos como<ref name=Sayama123>Sayama, p. 123</ref>

::<math>\lambda_{\pm} = \frac{\operatorname{Tr}(J_{R}) \pm \sqrt{(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 -4 \operatorname{det}(J_{R})}}{2}</math>

::Vemos que a fronteira entre nó e foco para o ponto é caracterizada por <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 = 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. O resultado de todas essas fronteiras é o diagrama de fases da '''Figura 1''', baseado no gráfico feito por Gros.<ref name=Gros114>Gros, p. 114</ref>

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Para este trabalho, interessa-nos apenas verificar se o estado estacionário <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> permanece estável após a introdução da difusão. Dispensaremos a análise do ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, pois nossas simulações não o incluirão como ponto estável, nem mesmo desconsiderando difusão.

Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir,<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref> como veremos nas simulações da seção de resultados.

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|700px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de simulações realizadas para mais valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens nas primeiras três linhas apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Nas imagens da última linha (coloridas), a concentração de <math>u</math> é maior nas áreas mais escuras. ]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.<ref name=Pearson/> Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T21:03:31Z

Rrbds: /* Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:'''

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso este modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Uma maneira de compreender esse sistema é imaginá-lo como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Assim, esse ponto sempre será um ''ponto de sela''.<ref name=Gros113/> Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

[[Arquivo:bifurcacao_gray_scott.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''' Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott]]
:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''. No caso, temos que:

::<math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>

::Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

::Como um fato adicional, podemos separar quando <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math> é um nó estável (''stable node'') de quando ele é um foco estável (''stable focus''). Um nó estável ocorre quando os autovalores da matriz jacobiana forem reais, enquanto o foco ocorrem quando forem complexo-conjugados. Sabendo que os autovalores podem ser escritos como<ref name=Sayama123>Sayama, p. 123</ref>

::<math>\lambda_{\pm} = \frac{\operatorname{Tr}(J_{R}) \pm \sqrt{(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 -4 \operatorname{det}(J_{R})}}{2}</math>

::Vemos que a fronteira entre nó e foco para o ponto é caracterizada por <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 = 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. O resultado de todas essas fronteiras é o diagrama de fases da '''Figura 1''', baseado no gráfico feito por Gros.<ref name=Gros114>Gros, p. 114</ref>

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Para este trabalho, interessa-nos apenas verificar se o estado estacionário <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> permanece estável após a introdução da difusão. Dispensaremos a análise do ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, pois nossas simulações não o incluirão como ponto estável, nem mesmo desconsiderando difusão.

Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir,<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref> como veremos nas simulações da seção de resultados.

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
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{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
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|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
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</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|700px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de simulações realizadas para mais valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens nas primeiras três linhas apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Nas imagens da última linha (coloridas), a concentração de <math>u</math> é maior nas áreas mais escuras. ]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.<ref name=Pearson/> Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T20:41:18Z

Rrbds:

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:'''

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso este modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Uma maneira de compreender esse sistema é imaginá-lo como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Assim, esse ponto sempre será um ''ponto de sela''.<ref name=Gros113/> Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

[[Arquivo:bifurcacao_gray_scott.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''' Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott]]
:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''. No caso, temos que:

::<math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>

::Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

::Como um fato adicional, podemos separar quando <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math> é um nó estável (''stable node'') de quando ele é um foco estável (''stable focus''). Um nó estável ocorre quando os autovalores da matriz jacobiana forem reais, enquanto o foco ocorrem quando forem complexo-conjugados. Sabendo que os autovalores podem ser escritos como<ref name=Sayama123>Sayama, p. 123</ref>

::<math>\lambda_{\pm} = \frac{\operatorname{Tr}(J_{R}) \pm \sqrt{(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 -4 \operatorname{det}(J_{R})}}{2}</math>

::Vemos que a fronteira entre nó e foco para o ponto é caracterizada por <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 = 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. O resultado de todas essas fronteiras é o diagrama de fases da '''Figura 1''', baseado no gráfico feito por Gros.<ref name=Gros114>Gros, p. 114</ref>

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Para este trabalho, interessa-nos apenas verificar se o estado estacionário <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> permanece estável após a introdução da difusão. Dispensaremos a análise do ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, pois nossas simulações não o incluirão como ponto estável, nem mesmo desconsiderando difusão.

Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|700px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de simulações realizadas para mais valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens nas primeiras três linhas apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Nas imagens da última linha (coloridas), a concentração de <math>u</math> é maior nas áreas mais escuras. ]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.<ref name=Pearson/> Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T20:14:16Z

Rrbds: /* Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:'''

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Assim, o esse ponto sempre será um ''ponto de sela''.<ref name=Gros113/> Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

[[Arquivo:bifurcacao_gray_scott.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''' Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott]]
:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

::Como um fato adicional, podemos separar quando <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math> é um nó estável (''stable node'') de quando ele é um foco estável (''stable focus''). Um nó estável ocorre quando os autovalores da matriz jacobiana forem reais, enquanto o foco ocorrem quando forem complexo-conjugados. Sabendo que os autovalores podem ser escritos como<ref name=Sayama123>Sayama, p. 123</ref>

::<math>\lambda_{\pm} = \frac{\operatorname{Tr}(J_{R}) \pm \sqrt{(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 -4 \operatorname{det}(J_{R})}}{2}</math>

::Vemos que a fronteira entre nó e foco para o ponto é caracterizada por <math>(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 = 4 \operatorname{det}(J_{R})</math>. O resultado de todas essas fronteiras é o diagrama de fases da figura 1, baseado no gráfico feito por Gros.<ref name=Gros114>Gros, p. 114</ref>

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|700px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de simulações realizadas para mais valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens nas primeiras três linhas apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Nas imagens da última linha (coloridas), a concentração de <math>u</math> é maior nas áreas mais escuras. ]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.<ref name=Pearson/> Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T19:56:54Z

Rrbds: /* Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:'''

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao_gray_scott.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''' Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott]]
:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Assim, o esse ponto sempre será um ''ponto de sela''.<ref name=Gros113/> Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|700px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de simulações realizadas para mais valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens nas primeiras três linhas apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Nas imagens da última linha (coloridas), a concentração de <math>u</math> é maior nas áreas mais escuras. ]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.<ref name=Pearson/> Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Arquivo:Bifurcacao gray scott.png

2022-02-28T19:55:57Z

Rrbds: Diagrama de fases do termo de reação do modelo de Gray-Scott

Diagrama de fases do termo de reação do modelo de Gray-Scott

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T18:01:44Z

Rrbds: /* Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) */

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:'''

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''' Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott]]
:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Assim, o esse ponto sempre será um ''ponto de sela''.<ref name=Gros113/> Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|700px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de simulações realizadas para mais valores de <math>F</math> e <math>k</math>, em diversos tempos, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. As imagens nas primeiras três linhas apresentam concentração maior de <math>u</math> nas áreas mais claras. Nas imagens da última linha (coloridas), a concentração de <math>u</math> é maior nas áreas mais escuras. ]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson<ref name=Pearson/>), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.<ref name=Pearson/> Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T02:12:43Z

Rrbds:

'''Grupo:''' Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

'''Objetivo:'''

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dissemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u \\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''']]
:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T01:57:20Z

Rrbds: /* Introdução */

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.<ref name=Sayama259/>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dissemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''']]
:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T01:43:08Z

Rrbds: /* Implementação numérica */

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso relativamente simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dissemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas.<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref>

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''']]
:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>
</center>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T01:42:40Z

Rrbds: /* Descrição do Modelo */

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso relativamente simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dissemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas.<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref>

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266/> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''']]
:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T01:41:49Z

Rrbds: /* Introdução */

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso relativamente simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,<ref name=GS1>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.</ref><ref name=GS2>P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering
Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.</ref><ref name=GS3>P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.</ref> e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.<ref name=Pearson>J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. [https://webspace.science.uu.nl/~frank011/Classes/complexity/Literature/Pearson.pdf PDF]</ref> Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dissemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas.<ref name=Pearson/><ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref>

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''']]
:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T00:55:17Z

Rrbds: /* Resultados e discussão */

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''']]
:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 3'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 4.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 4''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 4''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 4''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T00:54:24Z

Rrbds: /* Implementação numérica */

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''']]
:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 2'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 2 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 2''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 2'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 3.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 3''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 3''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 3''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T00:53:41Z

Rrbds: /* Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) */

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

[[Arquivo:bifurcacao.png|right|thumb|600px|'''Figura 1:''']]
:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 1'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 1 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 1''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 2'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 3.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 3''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 3''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 3''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T00:50:04Z

Rrbds: /* Resultados e discussão */

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 1'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 1 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 1''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}
</center>

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 2'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>
</center>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<center>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 3.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>
</center>

Na '''Figura 3''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 3''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 3''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T00:42:43Z

Rrbds: /* Descrição do Modelo */

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266>Sayama, p. 266</ref> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:<ref name=Sayama266/>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, tem-se que <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 1'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 1 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 1''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 2'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 3.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>

Na '''Figura 3''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 3''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 3''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-28T00:38:37Z

Rrbds: /* Introdução */

== Introdução ==

''Sistemas de reação-difusão'' são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações <math>f_{i}</math> depende de termos '''de reação''' (funções <math>R_{i}</math> associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e '''de difusão''' (termos proporcionais ao laplaciano <math>\nabla^2 f_{i}</math>):<ref name=Sayama259>Sayama, p. 259</ref>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{f_{1}}}{\partial{t}} & = &R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{1}\nabla^2 f_{1}\\
\frac{\partial{f_{2}}}{\partial{t}} & = &R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{2}\nabla^2 f_{2}\\
&...&\\
\frac{\partial{f_{n}}}{\partial{t}} & = &R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n}) + D_{n}\nabla^2 f_{n}\\
\end{align}</math>

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266>Sayama, p. 166</ref> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 1'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 1 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 1''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 2'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 3.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>

Na '''Figura 3''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.059, 0.026), (0.060, 0.025), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.063, 0.034), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 3''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo dos pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 3''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-27T21:09:47Z

Rrbds:

== Introdução ==

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise''').<ref name=Sayama266>Sayama, p. 166</ref> Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, dessa forma, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto — ou seja, quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''); a concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

Já na segunda equação, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

Assim, <math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

Pode-se imaginar esse sistema como consistindo de duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação numérica ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 1'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 1 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 1''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 2'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 3.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>

Na '''Figura 3''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.055, 0.015), (0.060, 0.025), (0.059, 0.026), (0.0594, 0.046), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.062, 0.061), (0.063, 0.054), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040), (0.067, 0.046)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 3''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo de todos os pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 3''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

* [[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-27T20:42:02Z

Rrbds: /* Descrição do Modelo */

== Introdução ==

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

:<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise'''). Além dessa reação, ambas substâncias se difundem pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, portanto, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações abaixo:

:<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma. Em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto, i.e., quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta; e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''). A concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

De outro lado, na segunda das equações acima, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

<math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

O sistema pode ser imaginado como consistindo em duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 1'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 1 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 1''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 2'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 3.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>

Na '''Figura 3''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.055, 0.015), (0.060, 0.025), (0.059, 0.026), (0.0594, 0.046), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.062, 0.061), (0.063, 0.054), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040), (0.067, 0.046)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 3''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo de todos os pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 3''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

[[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Arquivo:Bifurcacao.png

2022-02-27T20:25:01Z

Rrbds: Diagrama de fase para o termo de reação do modelo de Gray-Scott

Diagrama de fase para o termo de reação do modelo de Gray-Scott

Modelo de Gray-Scott

2022-02-27T19:44:34Z

Rrbds: /* Resultados e discussão */

== Introdução ==

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise'''). Além dessa reação, ambas substâncias se difundem pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, portanto, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações abaixo:

<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma. Em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto, i.e., quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta; e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''). A concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

De outro lado, na segunda das equações acima, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

<math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

O sistema pode ser imaginado como consistindo em duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 1'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 1 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 1''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 2'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>k</math>.]]</li>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 3.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>

Na '''Figura 3''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.055, 0.015), (0.060, 0.025), (0.059, 0.026), (0.0594, 0.046), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.062, 0.061), (0.063, 0.054), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040), (0.067, 0.046)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 3''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo de todos os pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 3''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

[[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

Modelo de Gray-Scott

2022-02-27T19:44:12Z

Rrbds: /* Resultados e discussão */

== Introdução ==

== Descrição do Modelo ==

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação '''autocatalítica'''. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis <math>u</math> e <math>v</math>, a reação pode ser representada como

<math>u + 2v \to 3v</math>

Isso significa que uma molécula da substância <math>u</math> é transformada em uma molécula da substância <math>v</math> por meio da ação de outras duas moléculas da substância <math>v</math>, ou seja, <math>v</math> é um catalisador de sua própria produção (daí o termo '''autocatálise'''). Além dessa reação, ambas substâncias se difundem pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos '''reativos-difusivos''') e, portanto, as concentrações <math>u</math> e <math>v</math> mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., <math>3v \to u + 2v</math>) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações abaixo:

<math>\begin{align}
\frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\
\frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\
\end{align}</math>

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma. Em um dado ponto, a variação na concentração <math>u</math> aumenta proporcionalmente ao laplaciano de <math>u</math> naquele ponto, i.e., quando a concentração <math>u</math> na vizinhança desse ponto é alta; e proporcionalmente à taxa <math>F</math> de reposição de <math>u</math> (taxa de alimentação, ou ''feed rate''). A concentração <math>u</math> diminui com o termo reativo <math>-uv^2</math>, que representa a reação <math>u + 2v \to 3v</math>.

De outro lado, na segunda das equações acima, a concentração <math>v</math> aumenta com o termo reativo <math>uv^2</math> e também proporcionalmente ao laplaciano de <math>v</math> naquele ponto, mas diminui com a remoção de <math>v</math> a uma taxa <math>F+k</math>, mais rápida, portanto, do que a reposição de <math>u</math>.

<math>F</math> e <math>k</math> são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>.

O sistema pode ser imaginado como consistindo em duas substâncias <math>u</math> e <math>v</math>, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância <math>u</math>, mas não da substância <math>v</math>, e permite a saída da substância <math>v</math>, mas não da substância <math>u</math>.<ref name=reaction-difusion>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/#ready Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization]</ref>

== Análise de estabilidade ==
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

=== Soluções estacionárias sem difusão ===
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math> das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor <math>\partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0</math> nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (<math>D_{u} = D_{v} = 0</math>), obtém-se o seguinte sistema de equações:

:<math>\begin{align}
- & uv^2 + F(1-u) = 0\\
& uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\
\end{align}</math>

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis <math>u</math> e <math>v</math>:

:<math> F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) </math>

onde definiu-se o parâmetro auxiliar <math>\gamma = \frac{F+k}{F}</math>.

Substituindo <math>u</math> na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo <math>F+k =\gamma F</math>), ficamos com:

:<math>\left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)</math>

Evidentemente, <math>v = 0</math> é solução dessa equação, implicando em <math>u = 1</math>, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando <math>v \neq 0</math>, podemos dividir (4) por <math>v</math>, ficando com <math>-\gamma v^2 + v - \gamma F = 0</math>. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para <math>v</math>:

:<math>v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para <math>u</math> são:

:<math>u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})</math>

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( <math>1 - 4\gamma^2 F \geq 0</math> ). Por consequência:

:<math>4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2</math>, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias <math>(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})</math> do sistema:<ref name=Gros113>Gros, p. 113</ref>

:<math>\begin{align}
& u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\
& u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\
& u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\
\end{align}</math>

=== Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão) ===

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, <math>R_{i}(u,v)</math>. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que <math>R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)</math> e <math>R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v</math>. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

:<math>J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)</math>

Analisemos a estabilidade para os três pares <math>(u^{*}_{i},v^{*}_{i})</math> de soluções estacionárias:

* Para <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)</math>:

:<math>J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)</math>

:Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são justamente as entradas das diagonais; ou seja, <math>\lambda_{1} = -F</math> e <math>\lambda_{2} = -(F+k)</math>. Uma vez que <math>F</math> e <math>k</math> são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> é '''sempre estável'''.

* Para <math>(u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)</math>, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com <math>v \neq 0</math>. Desse modo, se dividirmos tal equação por <math>v</math>, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

:<math>u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)</math>

:Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

:<math>-2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)</math>

:<math>2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)</math>

:Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

:<math>J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)</math>

:Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

:<math>\Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)</math>

:Dividindo por <math>F(F+k)</math>:<ref name=Gros113/>

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1</math>

:onde se definiu <math>a = \gamma \sqrt{F}</math> ('''observação:''' este é o <math>\gamma</math> definido no Gros<ref name=Gros113/>). Nota-se que a condição de existência <math>a^2 \leq 1/4</math> para os dois pontos não-triviais é equivalente a <math>F \geq 4(F+k)^2</math>. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

:<math>\frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)</math>

:* Para o caso <math>i = 1</math> (sinal negativo em (11)), temos a cota superior <math>1-4a^2 < 1</math>. Portanto, <math>\Delta_{1} < 0</math> para todo <math>a</math> que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais ('''comentário:''' como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto <math>(u^{*}_{1}, v^{*}_{1})</math> '''nunca seja estável'''. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

:* Já para <math>i = 2</math> (sinal positivo em (11)), temos sempre que <math>\Delta_{2} > 0</math>. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores <math>\lambda_{i}</math> são complexos, eles serão conjugados e o traço será <math>\operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})</math>, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, ''basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável''.

::No caso, temos que <math>\operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2</math>. Esse traço é negativo quando <math>(v^{*}_{2})^2 > k</math> e positivo quando <math>(v^{*}_{2})^2 < k</math>; ou seja, <math>(u^{*}_{2}, v^{*}_{2})</math> '''é estável quando''' <math>v^{*}_{2} > \sqrt{k}</math> '''e instável quando''' <math>v^{*}_{2} < \sqrt{k}</math> (lembrando que <math>v^{*}_{2} > 0</math> para todo <math>F</math> e <math>k</math>). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>.

::Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:<ref name=Gros113/>

::<math>\frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}</math>

::Substituindo <math>v^{*}_{2} = \sqrt{k}</math>, obteremos ao final:<ref name=Gros113/>

::<math>(F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)</math>

::Que é uma relação entre <math>F</math> e <math>k</math> que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>.

=== Estabilidade dos estados estacionários (com difusão) ===

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz <math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}</math>, em que <math>D</math> é a matriz diagonal cujas entradas são <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>:<ref name=Sayama287-289>Sayama, pp. 287-289</ref>

:<math>D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}</math>

Se escrevermos, genericamente, que <math>J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

:<math>\left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}</math>

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (<math>\operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0</math>) e seu traço negativo (<math>\operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0</math>).<ref name=Sayama124>Sayama, p. 124</ref> Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:<ref name=Sayama287-289/>

:<math>\begin{align}
a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\
\end{align}</math>

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.<ref name=Sayama287-289/> Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> e <math>(u^{*}_{2},v^{*}_{2})</math>, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

* Para o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math>, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

:<math>\begin{align}
-FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\
D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\
\end{align}</math>

:Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto <math>(u^{*}_{0},v^{*}_{0})</math> '''é sempre estável, inclusive na presença de difusão.'''

:Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).<ref name=biology>[http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)]</ref> Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, '''o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing,''' uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial <math>(u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)</math> existir.<ref name=Gros115>Gros, p. 115</ref>

== Implementação ==

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, [[Modelo de Turing]]), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função <math>f(x,y,t)</math>:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}</math>

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}</math>

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, ou seja, fazendo <math>\Delta x = \Delta y = \Delta h</math>, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

:<math> \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]</math>

Usando a notação <math>f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}</math> e definindo as separações de pontos como <math>t_{n+1} = t_{n} + \Delta t</math>, <math>x_{i+1} = x_{i} + \Delta h</math>, <math>y_{j+1} = y_{j} + \Delta h</math>, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

:<math>\begin{align}
u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\
\end{align}</math>

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho <math>69 \times 69</math>. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com <math>(u, v) = (0, 1)</math>. Foram usadas condições de fronteira conforme a '''Figura 1'''.

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Condicao_fronteira.png|600px|left|thumb|center|'''Figura 1 -''' Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.]]</li>

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (''Up''), D (''Down''), L (''Left''), R (''Right''). Na '''Figura 1''', o elemento <math>1</math>, possui os vizinhos <math>U=D=5</math>, <math>R=L=6</math>; o elemento <math>2</math> possui como vizinhos <math>U=1</math>, <math>R=L=9</math> e <math>D=10</math>; o elemento <math>3</math> tem vizinhos <math>U=D=7</math>, <math>R=1</math> e <math>L=8</math>; e, finalmente, os vizinhos de <math>4</math> são <math>U=3</math>, <math>D=12</math>, <math>L=11</math> e <math>R=2</math>.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.<ref name=Sayama268>Sayama, p. 268</ref>

== Resultados e discussão ==

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.<ref name=Sayama268></ref>

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. A concentração é '''maior''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.015_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.015, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.020_k_0.050.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.02, 0.05)</math>, de t=0 até t=2000.|400px]]
|-
|}

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração <math>u</math>, com <math>(D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})</math>. Nos dois casos abaixo, a concentração é '''menor''' nas áreas mais claras.
|-
|[[Arquivo:U_Gs_f_0.030_k_0.055.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.055)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|[[Arquivo:U_gs_f_0.030_k_0.060.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text| Concentração de <math>u</math> para <math>(F, k) = (0.030, 0.060)</math>, de t=0 até t=2000.|500px]]
|-
|}

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;<ref name=Sayama268/> entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns outros exemplos de simulações:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Geral.png|800px|left|thumb|center|'''Figura 2'''. Exemplos de outras simulações realizadas para outros valores de <math>F</math> e <math>F</math>.]]</li>

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como <math>100 \times 100</math>, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, <math>\Delta h</math>.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Desmos.png|500px|left|thumb|center|'''Figura 3.''' Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. <math>F</math> está no eixo das ordenadas, <math>k</math> no eixo das abcissas. Ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]. A linha sólida é a curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>.]]</li>

Na '''Figura 3''' é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva <math>F=4(F+k)^{2}</math>, próximo à saliência, no intervalo <math>0.07<k<0.04</math> e <math>0.015<F<0.06</math>. Os pontos testados são os seguintes (não incluindo os pontos em azul e vermelho que já estão discriminados no gráfico):

(k,F) = {(0.050, 0.015), (0.050, 0.020), (0.051, 0.022), (0.055, 0.015), (0.055, 0.018), (0.055, 0.020), (0.055, 0.025), (0.055, 0.015), (0.060, 0.025), (0.059, 0.026), (0.0594, 0.046), (0.060, 0.030), (0.060, 0.040), (0.061, 0.038), (0.062, 0.061), (0.063, 0.054), (0.065, 0.035), (0.065, 0.040), (0.067, 0.046)}

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição <math>F>4(F+k)^{2}</math>, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math>. Como esse estado é sempre estável (ver [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Modelo_de_Gray-Scott#An.C3.A1lise_de_estabilidade]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, '''a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott'''.

Ainda em relação à '''Figura 3''', o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.06, 0.1)</math>, é um exemplo em que a taxa de alimentação de <math>u</math> é muito grande em relação à taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math>, de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial <math>(u, v) = (1, 0)</math> em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson - INCLUIR REFERÊNCIA), com <math>(k, F) = (0.03, 0.02)</math>, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (<math>F+k</math>) de <math>v</math> é muito grande em relação à taxa de alimentação de <math>u</math>, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de <math>u</math> é próxima de <math>0</math>.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.<ref name=pearson_classification>[https://mrob.com/pub/comp/xmorphia/pearson-classes.html#alp Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values]</ref> A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (''stripes''), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo <math>\nu</math> levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo <math>\xi</math>, que também não conseguimos observar).

No geral, a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo de todos os pontos mostrados no espaço de fases da '''Figura 3''', o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

== Programa ==

[[Simulação do Modelo de Gray-Scott]]

== Referências ==

<references/>

== Bibliografia ==
* C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
* H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.