Em dinâmica molecular, medidas estáticas são medidas realizadas em um passo específico de tempo da simulação.

=Pair Distribution Function=

[[Image:Gr.png|thumb|300px|right|Representação do cálculo numérico de <math>g(r)</math>;]]

A ''Pair Distribution Function'' , ou "<math>g(r)</math>", é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância <math>r</math> dentro de um sistema de várias partículas.

Em um sistema de <math>N</math> partículas, o <math>g(r)</math> é definido como a média do número de partículas a uma distância <math>r</math>:

<center><math>
g(r)=\frac{V}{N^2}\langle\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\delta(r-|r_i-r_j|) \rangle
</math></center>

Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre <math>r</math> e <math>r+\Delta r</math> pesado pelo volume/área desta região.

<math>
g(r,\Delta r)=\frac{V_t}{N^2}\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\left[\frac{rect\left(\frac{r-|r_i-r_j|}{\Delta r}\right)}{V\left(r+\frac{\Delta r}{2}\right)-V\left(r-\frac{\Delta r}{2}\right)}\right]
</math></center>

Onde <math>V_t</math> é o/a volume/área total e <math>rect</math> é a função retangular.

Em resumo, o <math>g(r,\Delta r)</math> é a média dos [[Histogramas_e_Densidade_de_Probabilidade|histogramas]] do número de partículas em um ''bin'' de largura <math>\Delta r</math> a uma <math>r</math> feitos para cada partícula no sistema pesado pelo volume/área deste ''bin''.

==== Construção do Código ====

==== Resultados ====

[[Image:GR-D.png|400px|Resultado do cálculo de <math>g(r)</math>;]]

=Referências=
*Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). ''Understanding Molecular Simulation''. Academic Press.

= Psi 6=

No estudo do agrupamento de pontos equidistantes em um espaço 2D, é possível provar matematicamente que o formato formado pelos pontos que maximiza a utilização do espaço é o '''padrão hexagonal'''. Para dinâmicas moleculares com potenciais de Lennard-Jones com densidade suficientemente alta (rho ~) é possível observar que o padrão formado após o relaxamento (tempo suficiente para a rede se estabilizar) é de fato o padrão hexagonal.

O psi 6 é uma análise de o quão hexagonal um padrão de posições está em um certo tempo da simulação. É possível associar a cada partícula um valor que varia entre -1 e 1 da hexagonalidade do padrão de posições formado por ele e seus primeiros vizinhos (conjunto de partículas mais próximas). Com essa medida é possível quantificar diferentes regiões da "caixa" em que as partículas estão localizadas e então localizar possíveis "defeitos" no padrão hexagonal.

Para um padrão hexagonal perfeito, cada partícula apresenta 6 primeiros vizinhos, cada qual posicionado simetricamente em torno dessa. Analisando a simetria, cada vizinho consecutivo deve apresentar um ângulo de <math>\frac{\pi}{3}</math>. Buscando uma relação em que esta situação seja a situação de <math>\psi_6 = 1</math>, é possível definir que o <math>\psi_6 </math> vale:

<center><math>
\psi_6=\frac{1}{6}\sum_i^ncos(6\theta_i)
</math></center>

Onde i é o índice do i-ésimo vizinho e n é o número de primeiros vizinhos. Esta relação deixa específico que o caso de 6 primeiros vizinhos e <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> resulte em um valor de <math>\psi_6=1</math>.

== Implementação Computacional ==
[[Image:Neighbors.jpg|thumb|200px|right|Definição de vizinhança:O primeiro círculo pontilhado delimita os primeiros vizinhos, o segundo círculo pontilhado delimita os segundos vizinhos;]]

Pode-se separar a implementação computacional em dois procedimentos necesssários: Encontrar os primeiros vizinhos para cada partícula e então calcular, de fato, o valor de <math>\psi_6</math>.

=== Encontrando vizinhos ===

Por definição, os primeiros vizinhos de uma partícula são aquelas partículas que estão presentes em um anel mais próximo dela, como mostra a figura ao lado.

O problema de encontrar primeiros vizinhos é um problema bastante discutido em teoria da computação e diversos métodos foram desenvolvidos para efetuar esta tarefa. Desta forma a maioria dos métodos otimizados são de difícil implementação e então não serão tratados nesse verbete.

O método aqui citado é pouco otimizado, pois utiliza-se um for em <math>N^2</math>, porém de implementação razoavelmente simples. O método consiste em encontrar as partículas mais próximas da partícula-teste (partícula em que busca-se calcular o valor de <math>\psi_6</math>) baseando-se em outro valor já calculado, a medida do g(r), desta forma o valor de <math>\psi_6</math> resultará em um valor razoável ( >0.8 ) se os vizinhos dentro do raio medido no g(r) são de fato 6 e estão localizados em um padrão quase-hexagonal em torno da partícula-teste.

Para encontrar os primeiros vizinhos baseando-se no g(r), precisa-se observar qual a medida do primeiro pico no gráfico do g(r) e então definir este como uma distância de corte para a partícular ser ou não vizinha (isto é, um circulo com o raio da distância de corte ao redor da partícula-teste de forma que outras partículas dentro deste círculo são suas vizinhas). Neste caso, definem-se três vetores: "neighborsX" (que guarda a posição X do vizinho), "neighborsY"(que guarda a posição Y do vizinho) e "dNeighbors"(que guarda a distância do vizinho) e então faz-se o for em <math>N^2</math> buscando-se as distância menores que o raio de corte:

<pre>
for(i=0;i<NP;i++){
xOrg=xx[i];
yOrg=yy[i];
for(j=0;j<NP;j++){
x2=xx[j];
y2=yy[j];
if(i!=j){
if(distance(xOrg,yOrg,x2,y2)<radiusLimit)
{
neighborsX[k]=x2;
neighborsY[k]=y2;
dNeighbors[k]=distance(x2,y2,xOrg,yOrg);
k+=1;
}
}
}
</pre>

Portanto após esse algoritmo, temos guardadas as posições das partículas mais próximas. É importante ressaltar que o "for" em partícula-teste ainda não foi fechado, e ainda dentro deste mesmo loop serão calculados os valores de <math> \psi_6 </math>.

=== Calculando o Psi 6 ===

Tendo os valores de X e Y dos vizinhos da partícula-teste, podemos proceder para o cálculo do <math> \psi_6 </math>. Para este cálculo, precisamos dos ângulos que cada vizinho tem em relação a partícula-teste, isto é, setamos um referencial X-Y com a origem na partícula-teste e calculamos o ângulo que cada vizinho tem com o eixo X, este ângulo será chamado de <math> \phi </math> e será dado pela seguinte relação:

<center><math>

\phi_i=arctg\left(\frac{\Delta Y}{\Delta X}\right)

</math></center>

Na implementação em código fica:

<pre>
for(j=0;j<k;j++){
delX=neighborsX[j]-xx[i];
delY=neighborsY[j]-yy[i];

//Condições de contorno periódicas
delX=delX-rint(delX/Lx)*Lx;
delY=delY-rint(delY/Ly)*Ly;
// --- //

angle[j]=atan2(delY,delX);
if (angle[j]<0)
angle[j]=2*PI+angle[j];
psix[i]=0;

</pre>

Agora somente precisa-se realizar um algoritmo que ordene o vetor "angle" do menor para o maior ângulo, utilizando algoritmos de ordenamento (bubblesort, quicksort, etc) desta forma é possível calcular os <math> \theta_i </math>.

Feito o ordenamento do vetor, basta calcular a média do valor do <math> \psi_6 </math> de cada vizinho. Para isto, precisamos calcular os valores de <math> \theta_i </math> em função dos <math> \phi </math>, basta realizar a subtração do próximo vizinho no vetor pelo valor do ângulo do vizinho atual, dessa forma: <math> \theta_i = \psi_{i+1} - \psi_i </math> com exceção do último vizinho, que será o ângulo dele menos o do primeiro, desta forma a implementação fica:

<pre>

firstAngle=angle[0];
for(j=0;j<k-1;j++){
angle[j]=cos(6.*(angle[j+1]-angle[j]));
}
angle[k-1]=cos(6.*(firstAngle+2*PI-angle[k-1]));
for(j=0;j<k;j++){
psix[i]+=angle[j]/6.;
}
}
}
</pre>

E então está calculado o valor de <math> \psi_6 </math>, para facilitar a implementação é recomendado que este algoritmo seja uma função dentro de seu código e desta forma retorne o vetor "psix".

=== Exemplos ===

Para o caso de um potencial de Lennard-Jones, é possível observar resultados de mapas de <math> \psi_6 </math>, isto é, um mapa que mostra para cada partícula o seu valor da medida, da seguinte forma para cada valor de rho:

[[Image:Psix_0360.png|thumb|400px|left|Resultados para o caso de Lennard Jones para <math> \rho=0.360 </math>.]]
[[Image:Psix_0640.png|thumb|400px|Resultados para o caso de Lennard Jones para <math> \rho=0.640 </math>]]
[[Image:Psix_1.png|thumb|400px|Resultados para o caso de Lennard Jones para <math> \rho=1.000 </math>]]

== Aplicações em outras áreas ==
[[Image:Celulasdegrade.png|thumb|300px|right|Mapa neural de células de grade em que o valor de <math> \psi_6 </math> equivale 0,99.]]

No estudo do processamento da posição de um animal no cérebro de rato, são observados padrões hexagonais produzidos pelas chamadas "Células de grade", neurônios que disparam em certos locais específicos do espaço e tendem a formar padrões de grade (hexagonal). Em posse das posições de disparo desses neurônios é possível utilizar a medida do <math> \psi_6 </math> para determinar a "hexagonalidade" dos disparos, podendo-se realizar estudos da influência desse formato na interpretação geoespacial do animal.

Medidas estáticas

2016-08-01T18:26:47Z

Rmoreira: /* Exemplos */

Em dinâmica molecular, medidas estáticas são medidas realizadas em um passo específico de tempo da simulação.

=Pair Distribution Function=

[[Image:Gr.png|thumb|300px|right|Representação do cálculo numérico de <math>g(r)</math>;]]

A ''Pair Distribution Function'' , ou "<math>g(r)</math>", é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância <math>r</math> dentro de um sistema de várias partículas.

Em um sistema de <math>N</math> partículas, o <math>g(r)</math> é definido como a média do número de partículas a uma distância <math>r</math>:

<center><math>
g(r)=\frac{V}{N^2}\langle\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\delta(r-|r_i-r_j|) \rangle
</math></center>

Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre <math>r</math> e <math>r+\Delta r</math> pesado pelo volume/área desta região.

<math>
g(r,\Delta r)=\frac{V_t}{N^2}\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\left[\frac{rect\left(\frac{r-|r_i-r_j|}{\Delta r}\right)}{V\left(r+\frac{\Delta r}{2}\right)-V\left(r-\frac{\Delta r}{2}\right)}\right]
</math></center>

Onde <math>V_t</math> é o/a volume/área total e <math>rect</math> é a função retangular.

Em resumo, o <math>g(r,\Delta r)</math> é a média dos [[Histogramas_e_Densidade_de_Probabilidade|histogramas]] do número de partículas em um ''bin'' de largura <math>\Delta r</math> a uma <math>r</math> feitos para cada partícula no sistema pesado pelo volume/área deste ''bin''.

==== Construção do Código ====

==== Resultados ====

[[Image:GR-D.png|400px|Resultado do cálculo de <math>g(r)</math>;]]

=Referências=
*Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). ''Understanding Molecular Simulation''. Academic Press.

= Psi 6=

No estudo do agrupamento de pontos equidistantes em um espaço 2D, é possível provar matematicamente que o formato formado pelos pontos que maximiza a utilização do espaço é o '''padrão hexagonal'''. Para dinâmicas moleculares com potenciais de Lennard-Jones com densidade suficientemente alta (rho ~) é possível observar que o padrão formado após o relaxamento (tempo suficiente para a rede se estabilizar) é de fato o padrão hexagonal.

O psi 6 é uma análise de o quão hexagonal um padrão de posições está em um certo tempo da simulação. É possível associar a cada partícula um valor que varia entre -1 e 1 da hexagonalidade do padrão de posições formado por ele e seus primeiros vizinhos (conjunto de partículas mais próximas). Com essa medida é possível quantificar diferentes regiões da "caixa" em que as partículas estão localizadas e então localizar possíveis "defeitos" no padrão hexagonal.

Para um padrão hexagonal perfeito, cada partícula apresenta 6 primeiros vizinhos, cada qual posicionado simetricamente em torno dessa. Analisando a simetria, cada vizinho consecutivo deve apresentar um ângulo de <math>\frac{\pi}{3}</math>. Buscando uma relação em que esta situação seja a situação de <math>\psi_6 = 1</math>, é possível definir que o <math>\psi_6 </math> vale:

<center><math>
\psi_6=\frac{1}{6}\sum_i^ncos(6\theta_i)
</math></center>

Onde i é o índice do i-ésimo vizinho e n é o número de primeiros vizinhos. Esta relação deixa específico que o caso de 6 primeiros vizinhos e <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> resulte em um valor de <math>\psi_6=1</math>.

== Implementação Computacional ==
[[Image:Neighbors.jpg|thumb|200px|right|Definição de vizinhança:O primeiro círculo pontilhado delimita os primeiros vizinhos, o segundo círculo pontilhado delimita os segundos vizinhos;]]

Pode-se separar a implementação computacional em dois procedimentos necesssários: Encontrar os primeiros vizinhos para cada partícula e então calcular, de fato, o valor de <math>\psi_6</math>.

=== Encontrando vizinhos ===

Por definição, os primeiros vizinhos de uma partícula são aquelas partículas que estão presentes em um anel mais próximo dela, como mostra a figura ao lado.

O problema de encontrar primeiros vizinhos é um problema bastante discutido em teoria da computação e diversos métodos foram desenvolvidos para efetuar esta tarefa. Desta forma a maioria dos métodos otimizados são de difícil implementação e então não serão tratados nesse verbete.

O método aqui citado é pouco otimizado, pois utiliza-se um for em <math>N^2</math>, porém de implementação razoavelmente simples. O método consiste em encontrar as partículas mais próximas da partícula-teste (partícula em que busca-se calcular o valor de <math>\psi_6</math>) baseando-se em outro valor já calculado, a medida do g(r), desta forma o valor de <math>\psi_6</math> resultará em um valor razoável ( >0.8 ) se os vizinhos dentro do raio medido no g(r) são de fato 6 e estão localizados em um padrão quase-hexagonal em torno da partícula-teste.

Para encontrar os primeiros vizinhos baseando-se no g(r), precisa-se observar qual a medida do primeiro pico no gráfico do g(r) e então definir este como uma distância de corte para a partícular ser ou não vizinha (isto é, um circulo com o raio da distância de corte ao redor da partícula-teste de forma que outras partículas dentro deste círculo são suas vizinhas). Neste caso, definem-se três vetores: "neighborsX" (que guarda a posição X do vizinho), "neighborsY"(que guarda a posição Y do vizinho) e "dNeighbors"(que guarda a distância do vizinho) e então faz-se o for em <math>N^2</math> buscando-se as distância menores que o raio de corte:

<pre>
for(i=0;i<NP;i++){
xOrg=xx[i];
yOrg=yy[i];
for(j=0;j<NP;j++){
x2=xx[j];
y2=yy[j];
if(i!=j){
if(distance(xOrg,yOrg,x2,y2)<radiusLimit)
{
neighborsX[k]=x2;
neighborsY[k]=y2;
dNeighbors[k]=distance(x2,y2,xOrg,yOrg);
k+=1;
}
}
}
</pre>

Portanto após esse algoritmo, temos guardadas as posições das partículas mais próximas. É importante ressaltar que o "for" em partícula-teste ainda não foi fechado, e ainda dentro deste mesmo loop serão calculados os valores de <math> \psi_6 </math>.

=== Calculando o Psi 6 ===

Tendo os valores de X e Y dos vizinhos da partícula-teste, podemos proceder para o cálculo do <math> \psi_6 </math>. Para este cálculo, precisamos dos ângulos que cada vizinho tem em relação a partícula-teste, isto é, setamos um referencial X-Y com a origem na partícula-teste e calculamos o ângulo que cada vizinho tem com o eixo X, este ângulo será chamado de <math> \phi </math> e será dado pela seguinte relação:

<center><math>

\phi_i=arctg\left(\frac{\Delta Y}{\Delta X}\right)

</math></center>

Na implementação em código fica:

<pre>
for(j=0;j<k;j++){
delX=neighborsX[j]-xx[i];
delY=neighborsY[j]-yy[i];

//Condições de contorno periódicas
delX=delX-rint(delX/Lx)*Lx;
delY=delY-rint(delY/Ly)*Ly;
// --- //

angle[j]=atan2(delY,delX);
if (angle[j]<0)
angle[j]=2*PI+angle[j];
psix[i]=0;

</pre>

Agora somente precisa-se realizar um algoritmo que ordene o vetor "angle" do menor para o maior ângulo, utilizando algoritmos de ordenamento (bubblesort, quicksort, etc) desta forma é possível calcular os <math> \theta_i </math>.

Feito o ordenamento do vetor, basta calcular a média do valor do <math> \psi_6 </math> de cada vizinho. Para isto, precisamos calcular os valores de <math> \theta_i </math> em função dos <math> \phi </math>, basta realizar a subtração do próximo vizinho no vetor pelo valor do ângulo do vizinho atual, dessa forma: <math> \theta_i = \psi_{i+1} - \psi_i </math> com exceção do último vizinho, que será o ângulo dele menos o do primeiro, desta forma a implementação fica:

<pre>

firstAngle=angle[0];
for(j=0;j<k-1;j++){
angle[j]=cos(6.*(angle[j+1]-angle[j]));
}
angle[k-1]=cos(6.*(firstAngle+2*PI-angle[k-1]));
for(j=0;j<k;j++){
psix[i]+=angle[j]/6.;
}
}
}
</pre>

E então está calculado o valor de <math> \psi_6 </math>, para facilitar a implementação é recomendado que este algoritmo seja uma função dentro de seu código e desta forma retorne o vetor "psix".

=== Exemplos ===

Para o caso de um potencial de Lennard-Jones, é possível observar resultados de mapas de <math> \psi_6 </math>, isto é, um mapa que mostra para cada partícula o seu valor da medida, da seguinte forma para cada valor de rho:

[[Image:Psix_0360.png|thumb|400px|left|Resultados para o caso de Lennard Jones para <math> \rho=0.360 </math>.]]
[[Image:Psix_0640.png|thumb|400px|center|Resultados para o caso de Lennard Jones para <math> \rho=0.640 </math>]]
[[Image:Psix_1.png|thumb|400px|right|Resultados para o caso de Lennard Jones para <math> \rho=1.000 </math>]]

== Aplicações em outras áreas ==
[[Image:Celulasdegrade.png|thumb|300px|right|Mapa neural de células de grade em que o valor de <math> \psi_6 </math> equivale 0,99.]]

No estudo do processamento da posição de um animal no cérebro de rato, são observados padrões hexagonais produzidos pelas chamadas "Células de grade", neurônios que disparam em certos locais específicos do espaço e tendem a formar padrões de grade (hexagonal). Em posse das posições de disparo desses neurônios é possível utilizar a medida do <math> \psi_6 </math> para determinar a "hexagonalidade" dos disparos, podendo-se realizar estudos da influência desse formato na interpretação geoespacial do animal.

Arquivo:Psix 0640.png

2016-08-01T18:26:27Z

Rmoreira:

Arquivo:Psix 0360.png

2016-08-01T18:26:18Z

Rmoreira:

2016-08-01T18:17:09Z

Rmoreira:

2016-07-31T23:29:50Z

Rmoreira: /* Implementação Computacional */

Em dinâmica molecular, medidas estáticas são medidas realizadas em um passo específico de tempo da simulação.

=Pair Distribution Function=

[[Image:Gr.png|thumb|300px|right|Representação do cálculo numérico de <math>g(r)</math>;]]

A ''Pair Distribution Function'' , ou "<math>g(r)</math>", é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância <math>r</math> dentro de um sistema de várias partículas.

Em um sistema de <math>N</math> partículas, o <math>g(r)</math> é definido como a média do número de partículas a uma distância <math>r</math>:

<center><math>
g(r)=\frac{V}{N^2}\langle\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\delta(r-|r_i-r_j|) \rangle
</math></center>

Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre <math>r</math> e <math>r+\Delta r</math> pesado pelo volume/área desta região.

<math>
g(r,\Delta r)=\frac{V_t}{N^2}\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\left[\frac{rect\left(\frac{r-|r_i-r_j|}{\Delta r}\right)}{V\left(r+\frac{\Delta r}{2}\right)-V\left(r-\frac{\Delta r}{2}\right)}\right]
</math></center>

Onde <math>V_t</math> é o/a volume/área total e <math>rect</math> é a função retangular.

Em resumo, o <math>g(r,\Delta r)</math> é a média dos [[Histogramas_e_Densidade_de_Probabilidade|histogramas]] do número de partículas em um ''bin'' de largura <math>\Delta r</math> a uma <math>r</math> feitos para cada partícula no sistema pesado pelo volume/área deste ''bin''.

==== Construção do Código ====

==== Resultados ====

[[Image:GR-D.png|400px|Resultado do cálculo de <math>g(r)</math>;]]

=Referências=
*Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). ''Understanding Molecular Simulation''. Academic Press.

= Psi 6=

No estudo do agrupamento de pontos equidistantes em um espaço 2D, é possível provar matematicamente que o formato formado pelos pontos que maximiza a utilização do espaço é o '''padrão hexagonal'''. Para dinâmicas moleculares com potenciais de Lennard-Jones com densidade suficientemente alta (rho ~) é possível observar que o padrão formado após o relaxamento (tempo suficiente para a rede se estabilizar) é de fato o padrão hexagonal.

O psi 6 é uma análise de o quão hexagonal um padrão de posições está em um certo tempo da simulação. É possível associar a cada partícula um valor que varia entre -1 e 1 da hexagonalidade do padrão de posições formado por ele e seus primeiros vizinhos (conjunto de partículas mais próximas). Com essa medida é possível quantificar diferentes regiões da "caixa" em que as partículas estão localizadas e então localizar possíveis "defeitos" no padrão hexagonal.

Para um padrão hexagonal perfeito, cada partícula apresenta 6 primeiros vizinhos, cada qual posicionado simetricamente em torno dessa. Analisando a simetria, cada vizinho consecutivo deve apresentar um ângulo de <math>\frac{\pi}{3}</math>. Buscando uma relação em que esta situação seja a situação de <math>\psi_6 = 1</math>, é possível definir que o <math>\psi_6 </math> vale:

<center><math>
\psi_6=\frac{1}{6}\sum_i^ncos(6\theta_i)
</math></center>

Onde i é o índice do i-ésimo vizinho e n é o número de primeiros vizinhos. Esta relação deixa específico que o caso de 6 primeiros vizinhos e <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> resulte em um valor de <math>\psi_6=1</math>.

== Implementação Computacional ==

Pode-se separar a implementação computacional em dois procedimentos necesssários: Encontrar os primeiros vizinhos para cada partícula e então calcular, de fato, o valor de <math>\psi_6</math>.

=== Encontrando vizinhos ===

Por definição, os primeiros vizinhos de uma partícula são aquelas partículas que estão presentes em um anel mais próximo dela, como mostra a fig.

[[Image:Neighbors.jpg|400px|Definição de vizinhança;]]

O problema de encontrar primeiros vizinhos é um problema bastante discutido em teoria da computação e diversos métodos foram desenvolvidos para efetuar esta tarefa. Desta forma a maioria dos métodos otimizados são de difícil implementação e então não serão tratados nesse verbete.

O método aqui citado é pouco otimizado, pois utiliza-se um for em <math>N^2</math>, porém de implementação razoavelmente simples. O método consiste em encontrar as partículas mais próximas da partícula-teste (partícula em que busca-se calcular o valor de <math>\psi_6</math>) baseando-se em outro valor já calculado, a medida do g(r), desta forma o valor de <math>\psi_6</math> resultará em um valor razoável ( >0.8 ) se os vizinhos dentro do raio medido no g(r) são de fato 6 e estão localizados em um padrão quase-hexagonal em torno da partícula-teste.

Para encontrar os primeiros vizinhos baseando-se no g(r), precisa-se observar qual a medida do primeiro pico no gráfico do g(r) e então definir este como uma distância de corte para a partícular ser ou não vizinha (isto é, um circulo com o raio da distância de corte ao redor da partícula-teste de forma que outras partículas dentro deste círculo são suas vizinhas). Neste caso, definem-se três vetores: "neighborsX" (que guarda a posição X do vizinho), "neighborsY"(que guarda a posição Y do vizinho) e "dNeighbors"(que guarda a distância do vizinho) e então faz-se o for em <math>N^2</math> buscando-se as distância menores que o raio de corte:

<pre>
for(i=0;i<NP;i++){
xOrg=xx[i];
yOrg=yy[i];
for(j=0;j<NP;j++){
x2=xx[j];
y2=yy[j];
if(i!=j){
if(distance(xOrg,yOrg,x2,y2)<radiusLimit)
{
neighborsX[k]=x2;
neighborsY[k]=y2;
dNeighbors[k]=distance(x2,y2,xOrg,yOrg);
k+=1;
}
}
}
</pre>

Portanto após esse algoritmo, temos guardadas as posições das partículas mais próximas. É importante ressaltar que o "for" em partícula-teste ainda não foi fechado, e ainda dentro deste mesmo loop serão calculados os valores de <math> \psi_6 </math>.

=== Calculando o Psi 6 ===

Tendo os valores de X e Y dos vizinhos da partícula-teste, podemos proceder para o cálculo do <math> \psi_6 </math>. Para este cálculo, precisamos dos ângulos que cada vizinho tem em relação a partícula-teste, isto é, setamos um referencial X-Y com a origem na partícula-teste e calculamos o ângulo que cada vizinho tem com o eixo X, este ângulo será chamado de <math> \phi </math> e será dado pela seguinte relação:

<center><math>

\phi_i=arctg\left(\frac{\Delta Y}{\Delta X}\right)

</math></center>

Na implementação em código fica:

<pre>
for(j=0;j<k;j++){
delX=neighborsX[j]-xx[i];
delY=neighborsY[j]-yy[i];

//Condições de contorno periódicas
delX=delX-rint(delX/Lx)*Lx;
delY=delY-rint(delY/Ly)*Ly;
// --- //

angle[j]=atan2(delY,delX);
if (angle[j]<0)
angle[j]=2*PI+angle[j];
psix[i]=0;

</pre>

Agora somente precisa-se realizar um algoritmo que ordene o vetor "angle" do menor para o maior ângulo, utilizando algoritmos de ordenamento (bubblesort, quicksort, etc) desta forma é possível calcular os <math> \theta_i </math>.

Feito o ordenamento do vetor, basta calcular a média do valor do <math> \psi_6 </math> de cada vizinho. Para isto, precisamos calcular os valores de <math> \theta_i </math> em função dos <math> \phi </math>, basta realizar a subtração do próximo vizinho no vetor pelo valor do ângulo do vizinho atual, dessa forma: <math> \theta_i = \psi_{i+1} - \psi_i </math> com exceção do último vizinho, que será o ângulo dele menos o do primeiro, desta forma a implementação fica:

<pre>

firstAngle=angle[0];
for(j=0;j<k-1;j++){
angle[j]=cos(6.*(angle[j+1]-angle[j]));
}
angle[k-1]=cos(6.*(firstAngle+2*PI-angle[k-1]));
for(j=0;j<k;j++){
psix[i]+=angle[j]/k.;
}
}
}
</pre>

E então está calculado o valor de <math> \psi_6 </math>, para facilitar a implementação é recomendado que este algoritmo seja uma função dentro de seu código e desta forma retorne o vetor "psix".

=== Exemplos ===

Para o caso de um potencial de Lennard-Jones, é possível fazer observar resultados de mapas de <math> \psi_6 </math>, isto é, um mapa que mostra para cada partícula o seu valor da medida, da seguinte forma:

2016-06-20T02:20:51Z

Rmoreira:

Em dinâmica molecular, medidas estáticas são medidas que
= Psi 6=

No estudo do agrupamento de pontos equidistantes em um espaço 2D, é possível provar matematicamente que o formato formado pelos pontos que maximiza a utilização do espaço é o '''padrão hexagonal'''. Para dinâmicas moleculares com potenciais de Lennard-Jones com densidade suficientemente alta (rho ~) é possível observar que o padrão formado após o relaxamento (tempo suficiente para a rede se estabilizar) é de fato o padrão hexagonal.

O psi 6 é uma análise de o quão hexagonal um padrão de posições está em um certo tempo da simulação. É possível associar a cada partícula um valor que varia entre -1 e 1 da hexagonalidade do padrão de posições formado por ele e seus primeiros vizinhos (conjunto de partículas mais próximas). Com essa medida é possível quantificar diferentes regiões da "caixa" em que as partículas estão localizadas e então localizar possíveis "defeitos" no padrão hexagonal.

Para um padrão hexagonal perfeito, cada partícula apresenta 6 primeiros vizinhos, cada qual posicionado simetricamente em torno dessa. Analisando a simetria, cada vizinho consecutivo deve apresentar um ângulo de <math>\frac{\pi}{3}</math>. Buscando uma relação em que esta situação seja a situação de <math>\psi_6 = 1</math>, é possível definir que o <math>\psi_6 </math> vale:

<center><math>
\psi_6=\frac{1}{6}\sum_i^ncos(6\theta_i)
</math></center>

Onde i é o índice do i-ésimo vizinho e n é o número de primeiros vizinhos. Esta relação deixa específico que o caso de 6 primeiros vizinhos e <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> resulte em um valor de <math>\psi_6=1</math>.

== Implementação Computacional ==

Pode-se separar a implementação computacional em dois procedimentos necesssários: Encontrar os primeiros vizinhos para cada partícula e então calcular, de fato, o valor de <math>\psi_6</math>.

=== Encontrando vizinhos ===

Por definição, os primeiros vizinhos de uma partícula são aquelas partículas que estão presentes em um anel mais próximo dela, como mostra a fig.

O problema de encontrar primeiros vizinhos é um problema bastante discutido em teoria da computação e diversos métodos foram desenvolvidos para efetuar esta tarefa. Desta forma a maioria dos métodos otimizados são de difícil implementação e então não serão tratados nesse verbete. Se o leitor tiver interesse, entretanto, são recomendados as seguintes referências:

O método aqui citado é pouco otimizado, pois utiliza-se um for em <math>N^2</math>, porém de implementação razoavelmente simples. O método consiste em encontrar as 6 partículas mais próximas da partícula-teste (partícula em que busca-se calcular o valor de <math>\psi_6</math>), desta forma o valor de <math>\psi_6</math> resultará em um valor razoável ( >0.8 ) se os 6 vizinhos são de fato os primeiros vizinhos e estão localizados em um padrão quase-hexagonal em torno da partícula-teste.

Define-se dois vetores chamados ''neighborsX'',''neighborsY'' e ''dNeighbors'', que guardarão as posições X,Y e a distância do i-ésimo vizinho. Então os valores iniciais destes vetores recebem valores altos em relação as medidas da caixa (neste exemplo utilizou-se 20 para os dois lados), da seguinte forma:

<pre>
for(i=0;i<6;i++){
neighborsX[i]=999;
neighborsY[i]=999;
dNeighbors[i]=999;
}

</pre>

Após, realizar-se-á a busca pelas 6 partículas mais próximas da partícula-teste, como queremos calcular para todas as partículas (NP) presentes na simulação, faremos um "for" em <math>N^2</math> guardando as posições das duas partículas, é importante resetar os valores de dNeighbors toda vez que começa-se para outra partícula-teste. (Neste algoritmo chama-se a partícula-teste de "xOrg" (x original) e o possível vizinho de "x2") :

<pre>
for(i=0;i<NP;i++){
xOrg=xx[i];
yOrg=yy[i];
for(j=0;j<6;j++){
dNeighbors[j]=999.;
}
for(j=0;j<NP;j++){
x2=xx[j];
y2=yy[j];
</pre>

O próximo passo é de fato calcular a distância entre as partículas e testar se essa distância é menor que a maior distância presente no vetor dNeighbors. Isto é, o vetor dNeighbors começará com valores altos (999) e irá guardar partículas que tenham alguma distância menor que um valor presente em dNeighbors.

Também é importante ressaltar que esse algoritmo tomaria uma grande parte de tempo para sistemas com alto número de partículas, desta forma é bom setar um raio de corte para o cálculo da distância, isto é, os cálculos de se uma partícula é ou não vizinho somente serão calculados caso o possível vizinho esteja suficientemente perto da partícula-teste, suficientemente perto neste algoritmo é determinado utilizando a medida de g(r) (Explicada acima), pega-se um valor um pouco maior que o primeiro pico da g(r) e define-se como o "radiusLimit" (Raio limite) do codigo:

<pre>
if(i!=j){
//Calcula distância entre partícula-teste e possível vizinho
deltaX=fabs(x2-xOrg);
deltaY=fabs(y2-yOrg);
deltaX=deltaX-rint(deltaX/Lx)*Lx;
deltaY=deltaY-rint(deltaY/Ly)*Ly;
dNew=sqrt((deltaX*deltaX)+(deltaY*deltaY));
// --- //

if(dNew<radiusLimit) // Testa se a distância é menor que o raio limite
{
//Procura-se o maior valor presente em dNeighbors e salva-se com o nome de "dOld", bem como seu indíce como "index"
dOld=0;
for(k=0;k<6;k++){
if(dNeighbors[k]>dOld){
dOld=dNeighbors[k];
index=k;
}
}
// --- //

// Testa-se se a distância do possível vizinho é menor que a maior distância presente já em dNeighbors
if(dNew<dOld){
neighborsX[index]=x2;
neighborsY[index]=y2;
dNeighbors[index]=dNew;
}
}
}
}

</pre>

Portanto após esse algoritmo, temos guardadas as posições das 6 partículas mais próximas, é importante ressaltar que o "for" em partícula-teste ainda não foi fechado, e ainda dentro deste mesmo loop serão calculados os valores de <math> \psi_6 </math>.

=== Calculando o Psi 6 ===

Tendo os valores de X e Y dos vizinhos da partícula-teste, podemos proceder para o cálculo do <math> \psi_6 </math>. Para este cálculo, precisamos dos ângulos que cada vizinho tem em relação a partícula-teste, isto é, setamos um referencial X-Y com a origem na partícula-teste e calculamos o ângulo que cada vizinho tem com o eixo X, este ângulo será chamado de <math> \phi </math> e será dado pela seguinte relação:

<center><math>

\phi_i=arctg\left(\frac{\Delta Y}{\Delta X}\right)

</math></center>

Na implementação em código fica:

<pre>
for(j=0;j<6;j++){ // Calculating angles
delX=neighborsX[j]-xx[i];
delY=neighborsY[j]-yy[i];

//Condições de contorno periódicas
delX=delX-rint(delX/Lx)*Lx;
delY=delY-rint(delY/Ly)*Ly;
// --- //

angle[j]=atan2(delY,delX);
if (angle[j]<0)
angle[j]=2*PI+angle[j];
psix[i]=0;

</pre>

Agora somente precisa-se realizar um algoritmo que ordene o vetor "angle" do menor para o maior ângulo, desta forma é possível calcular os <math> \theta_i </math>

Feito o ordenamento do vetor, basta calcular a média do valor do <math> \psi_6 </math> de cada vizinho. Para isto, precisamos calcular os valores de <math> \theta_i </math> em função dos <math> \phi </math>, basta realizar a subtração do próximo vizinho no vetor pelo valor do ângulo do vizinho atual, dessa forma: <math> \theta_i = \psi_{i+1} - \psi_i </math> com exceção do último vizinho, que será o ângulo dele menos o do primeiro, desta forma a implementação fica:

<pre>

firstAngle=angle[0];
for(j=0;j<5;j++){
angle[j]=cos(6.*(angle[j+1]-angle[j]));
}
angle[5]=cos(6.*(firstAngle+2*PI-angle[5]));
for(j=0;j<6;j++){
psix[i]+=angle[j]/6.;
}
}
}
</pre>

E então está calculado o valor de <math> \psi_6 </math>, para facilitar a implementação é recomendado que este algoritmo seja uma função dentro de seu código e desta forma retorne o vetor "psix"

=Pair Distribution Function=

[[Image:Gr.png|thumb|300px|right|Representação do cálculo numérico de <math>g(r)</math>;]]

A ''Pair Distribution Function'' , ou "<math>g(r)</math>", é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância <math>r</math> dentro de um sistema de várias partículas.

Em um sistema de <math>N</math> partículas, o <math>g(r)</math> é definido como a média do número de partículas a uma distância <math>r</math>:

<center><math>
g(r)=\frac{V}{N^2}\langle\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\delta(r-|r_i-r_j|) \rangle
</math></center>

Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre <math>r</math> e <math>r+\Delta r</math> pesado pelo volume/área desta região.

<math>
g(r,\Delta r)=\frac{V_t}{N^2}\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\left[\frac{rect\left(\frac{r-|r_i-r_j|}{\Delta r}\right)}{V\left(r+\frac{\Delta r}{2}\right)-V\left(r-\frac{\Delta r}{2}\right)}\right]
</math></center>

Onde <math>V_t</math> é o/a volume/área total e <math>rect</math> é a função retangular.

Em resumo, o <math>g(r,\Delta r)</math> é a média dos [[Histogramas_e_Densidade_de_Probabilidade|histogramas]] do número de partículas em um ''bin'' de largura <math>\Delta r</math> a uma <math>r</math> feitos para cada partícula no sistema pesado pelo volume/área deste ''bin''.

==== Construção do Código ====

==== Resultados ====

[[Image:GR-D.png|400px|Resultado do cálculo de <math>g(r)</math>;]]

=Referências=
*Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). ''Understanding Molecular Simulation''. Academic Press.

Medidas estáticas

2016-06-20T02:15:06Z

Rmoreira:

Em dinâmica molecular, medidas estáticas são medidas que
= Psi 6=

No estudo do agrupamento de pontos equidistantes em um espaço 2D, é possível provar matematicamente que o formato formado pelos pontos que maximiza a utilização do espaço é o '''padrão hexagonal'''. Para dinâmicas moleculares com potenciais de Lennard-Jones com densidade suficientemente alta (rho ~) é possível observar que o padrão formado após o relaxamento (tempo suficiente para a rede se estabilizar) é de fato o padrão hexagonal.

O psi 6 é uma análise de o quão hexagonal um padrão de posições está em um certo tempo da simulação. É possível associar a cada partícula um valor que varia entre -1 e 1 da hexagonalidade do padrão de posições formado por ele e seus primeiros vizinhos (conjunto de partículas mais próximas). Com essa medida é possível quantificar diferentes regiões da "caixa" em que as partículas estão localizadas e então localizar possíveis "defeitos" no padrão hexagonal.

Para um padrão hexagonal perfeito, cada partícula apresenta 6 primeiros vizinhos, cada qual posicionado simetricamente em torno dessa. Analisando a simetria, cada vizinho consecutivo deve apresentar um ângulo de <math>\frac{\pi}{3}</math>. Buscando uma relação em que esta situação seja a situação de <math>\psi_6 = 1</math>, é possível definir que o <math>\psi_6 </math> vale:

<center><math>
\psi_6=\frac{1}{6}\sum_i^ncos(6\theta_i)
</math></center>

Onde i é o índice do i-ésimo vizinho e n é o número de primeiros vizinhos. Esta relação deixa específico que o caso de 6 primeiros vizinhos e <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> resulte em um valor de <math>\psi_6=1</math>.

== Implementação Computacional ==

Pode-se separar a implementação computacional em dois procedimentos necesssários: Encontrar os primeiros vizinhos para cada partícula e então calcular, de fato, o valor de <math>\psi_6</math>

=== Encontrando vizinhos ===

Por definição, os primeiros vizinhos de uma partícula são aquelas partículas que estão presentes em um anel mais próximo dela, como mostra a fig.

O problema de encontrar primeiros vizinhos é um problema bastante discutido em teoria da computação e diversos métodos foram desenvolvidos para efetuar esta tarefa. Desta forma a maioria dos métodos otimizados são de difícil implementação e então não serão tratados nesse verbete. Se o leitor tiver interesse, entretanto, são recomendados as seguintes referências:

O método aqui citado é pouco otimizado, pois utiliza-se um for em <math>N^2</math>, porém de implementação razoavelmente simples. O método consiste em encontrar as 6 partículas mais próximas da partícula-teste (partícula em que busca-se calcular o valor de <math>\psi_6</math>), desta forma o valor de <math>\psi_6</math> resultará em um valor razoável ( >0.8 ) se os 6 vizinhos são de fato os primeiros vizinhos e estão localizados em um padrão quase-hexagonal em torno da partícula-teste.

Define-se dois vetores chamados ''neighborsX'',''neighborsY'' e ''dNeighbors'', que guardarão as posições X,Y e a distância do i-ésimo vizinho. Então os valores iniciais destes vetores recebem valores altos em relação as medidas da caixa (neste exemplo utilizou-se 20 para os dois lados), da seguinte forma:

<pre>
for(i=0;i<6;i++){
neighborsX[i]=999;
neighborsY[i]=999;
dNeighbors[i]=999;
}

</pre>

Após, realizar-se-á a busca pelas 6 partículas mais próximas da partícula-teste, como queremos calcular para todas as partículas (NP) presentes na simulação, faremos um "for" em <math>N^2</math> guardando as posições das duas partículas, é importante resetar os valores de dNeighbors toda vez que começa-se para outra partícula-teste. (Neste algoritmo chama-se a partícula-teste de "xOrg" (x original) e o possível vizinho de "x2") :

<pre>
for(i=0;i<NP;i++){
xOrg=xx[i];
yOrg=yy[i];
for(j=0;j<6;j++){
dNeighbors[j]=999.;
}
for(j=0;j<NP;j++){
x2=xx[j];
y2=yy[j];
</pre>

O próximo passo é de fato calcular a distância entre as partículas e testar se essa distância é menor que a maior distância presente no vetor dNeighbors. Isto é, o vetor dNeighbors começará com valores altos (999) e irá guardar partículas que tenham alguma distância menor que um valor presente em dNeighbors.

Também é importante ressaltar que esse algoritmo tomaria uma grande parte de tempo para sistemas com alto número de partículas, desta forma é bom setar um raio de corte para o cálculo da distância, isto é, os cálculos de se uma partícula é ou não vizinho somente serão calculados caso o possível vizinho esteja suficientemente perto da partícula-teste, suficientemente perto neste algoritmo é determinado utilizando a medida de g(r) (Explicada acima), pega-se um valor um pouco maior que o primeiro pico da g(r) e define-se como o "radiusLimit" (Raio limite) do codigo:

<pre>
if(i!=j){
//Calcula distância entre partícula-teste e possível vizinho
deltaX=fabs(x2-xOrg);
deltaY=fabs(y2-yOrg);
deltaX=deltaX-rint(deltaX/Lx)*Lx;
deltaY=deltaY-rint(deltaY/Ly)*Ly;
dNew=sqrt((deltaX*deltaX)+(deltaY*deltaY));
// --- //

if(dNew<radiusLimit) // Testa se a distância é menor que o raio limite
{
//Procura-se o maior valor presente em dNeighbors e salva-se com o nome de "dOld", bem como seu indíce como "index"
dOld=0;
for(k=0;k<6;k++){
if(dNeighbors[k]>dOld){
dOld=dNeighbors[k];
index=k;
}
}
// --- //

// Testa-se se a distância do possível vizinho é menor que a maior distância presente já em dNeighbors
if(dNew<dOld){
neighborsX[index]=x2;
neighborsY[index]=y2;
dNeighbors[index]=dNew;
}
}
}
}

</pre>

Portanto após esse algoritmo, temos guardadas as posições das 6 partículas mais próximas, é importante ressaltar que o "for" em partícula-teste ainda não foi fechado, e ainda dentro deste mesmo loop serão calculados os valores de <math> \psi_6 </math>.

=== Calculando o Psi 6 ===

Tendo os valores de X e Y dos vizinhos da partícula-teste, podemos proceder para o cálculo do <math> \psi_6 </math>. Para este cálculo, precisamos dos ângulos que cada vizinho tem em relação a partícula-teste, isto é, setamos um referencial X-Y com a origem na partícula-teste e calculamos o ângulo que cada vizinho tem com o eixo X, este ângulo será chamado de <math> \phi </math> e será dado pela seguinte relação:

<center><math>

\phi_i=arctg\left(\frac{\Delta Y}{\Delta X}\right)

</math></center>

Na implementação em código fica:

<pre>
for(j=0;j<6;j++){ // Calculating angles
delX=neighborsX[j]-xx[i];
delY=neighborsY[j]-yy[i];

//Condições de contorno periódicas
delX=delX-rint(delX/Lx)*Lx;
delY=delY-rint(delY/Ly)*Ly;
// --- //

angle[j]=atan2(delY,delX);
if (angle[j]<0)
angle[j]=2*PI+angle[j];
psix[i]=0;

</pre>

Agora somente precisa-se realizar um algoritmo que ordene o vetor "angle" do menor para o maior ângulo, desta forma é possível calcular os <math> \theta_i </math>

Feito o ordenamento do vetor, basta calcular a média do valor do <math> \psi_6 </math> de cada vizinho. Para isto, precisamos calcular os valores de <math> \theta_i </math> em função dos <math> \phi </math>, basta realizar a subtração do próximo vizinho no vetor pelo valor do ângulo do vizinho atual, dessa forma: <math> \theta_i = \psi_{i+1} - \psi_i </math> com exceção do último vizinho, que será o ângulo dele menos o do primeiro, desta forma a implementação fica:

<pre>

firstAngle=angle[0];
for(j=0;j<5;j++){
angle[j]=cos(6.*(angle[j+1]-angle[j]));
}
angle[5]=cos(6.*(firstAngle+2*PI-angle[5]));
for(j=0;j<6;j++){
psix[i]+=angle[j]/6.;
}
}
}
</pre>

E então está calculado o valor de <math> \psi_6 </math>, para facilitar a implementação é recomendado que este algoritmo seja uma função dentro de seu código e desta forma retorne o vetor "psix"

=Pair Distribution Function=

[[Image:Gr.png|thumb|300px|right|Representação do cálculo numérico de <math>g(r)</math>;]]

A ''Pair Distribution Function'' , ou "<math>g(r)</math>", é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância <math>r</math> dentro de um sistema de várias partículas.

Em um sistema de <math>N</math> partículas, o <math>g(r)</math> é definido como a média do número de partículas a uma distância <math>r</math>:

<center><math>
g(r)=\frac{V}{N^2}\langle\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\delta(r-|r_i-r_j|) \rangle
</math></center>

Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre <math>r</math> e <math>r+\Delta r</math> pesado pelo volume/área desta região.

<math>
g(r,\Delta r)=\frac{V_t}{N^2}\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\left[\frac{rect\left(\frac{r-|r_i-r_j|}{\Delta r}\right)}{V\left(r+\frac{\Delta r}{2}\right)-V\left(r-\frac{\Delta r}{2}\right)}\right]
</math></center>

Onde <math>V_t</math> é o/a volume/área total e <math>rect</math> é a função retangular.

Em resumo, o <math>g(r,\Delta r)</math> é a média dos [[Histogramas_e_Densidade_de_Probabilidade|histogramas]] do número de partículas em um ''bin'' de largura <math>\Delta r</math> a uma <math>r</math> feitos para cada partícula no sistema pesado pelo volume/área deste ''bin''.

==== Construção do Código ====

==== Resultados ====

[[Image:GR-D.png|400px|Resultado do cálculo de <math>g(r)</math>;]]

=Referências=
*Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). ''Understanding Molecular Simulation''. Academic Press.