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Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:22:36Z

Renan: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:21:09Z

Renan: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução da forma <math> G^n = G^n </math> e obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Arquivo:Estabilidade.gif

2025-01-08T01:13:14Z

Renan:

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:12:57Z

Renan: /* C.C e C.I */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A equação discretizada é dada por:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n </math>
Definimos:

<math> s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, </math>
para simplificar a notação, e escrevemos:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>

Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

<math> \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, </math>
onde:

<math>A</math> é a amplitude,
<math>k</math> é o número de onda,
<math>\omega</math> é a frequência angular discreta,
<math>x_i = i \Delta x</math> e <math>t_n = n \Delta t</math> são os pontos espaciais e temporais.
No esquema discreto:

<math> \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. </math>
Substituímos nas expressões de <math>\psi_i^{n+1}</math>, <math>\psi_i^n</math>, <math>\psi_i^{n-1}</math>, <math>\psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n</math>:

<math> \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. </math>
De forma semelhante:

<math> \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. </math>

Substituímos essas expressões na equação:

<math> \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
Dividimos tudo por <math>\psi_i^n</math>:

<math> e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. </math>

Para simplificar, usamos:

<math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), </math>
e

<math> e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). </math>
Substituímos e reorganizamos:

<math> \cos(\omega \Delta t) = 1 - s^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. </math>

Para que a solução seja estável, o módulo de <math>\cos(\omega \Delta t)</math> deve ser no máximo 1 (<math>|\cos(\omega \Delta t)| \leq 1</math>). Isso impõe a seguinte condição no termo <math>s^2</math>:

<math> s^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. </math>
Ou seja:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

<math>s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}</math> representa a relação entre os passos no tempo (<math>\Delta t</math>) e no espaço (<math>\Delta x</math>).
Se <math>s > 1</math>, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T00:50:13Z

Renan: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A Forma Contínua e discretização da equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T00:39:35Z

Renan: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A Forma Contínua e discretização da equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T00:23:02Z

Renan: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução da forma <math> G^n = G^n </math> e obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]