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Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:58:29Z

Pvinig: /* Evolução temporal das Densidades */

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do '''caso 1''':

[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do '''caso 2''':

[[Arquivo:densi2.png | 400px | center]]

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:

a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|500px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Histograma de sobrevivência=

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.1

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

[[Arquivo:extint.png|600px|center]]

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

https://colab.research.google.com/drive/1rbqqgJCIgYKkt9WxhnDBJruGcXHlXiTZ?usp=sharing

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:57:21Z

Pvinig: /* Histograma de sobrevivência */

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do caso 1:

[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do caso 2:

[[Arquivo:densi2.png | 400px | center]]

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:

a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|500px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Histograma de sobrevivência=

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.1

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

[[Arquivo:extint.png|600px|center]]

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

https://colab.research.google.com/drive/1rbqqgJCIgYKkt9WxhnDBJruGcXHlXiTZ?usp=sharing

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:46:44Z

Pvinig: /* Correlação de densidades */

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do caso 1:

[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do caso 2:

[[Arquivo:densi2.png | 400px | center]]

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:

a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|500px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Histograma de sobrevivência=

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.2

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

[[Arquivo:extint.png|600px|center]]

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

https://colab.research.google.com/drive/1rbqqgJCIgYKkt9WxhnDBJruGcXHlXiTZ?usp=sharing

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:45:59Z

Pvinig: /* Código */

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do caso 1:

[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do caso 2:

[[Arquivo:densi2.png | 400px | center]]

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:
a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|500px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Histograma de sobrevivência=

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.2

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

[[Arquivo:extint.png|600px|center]]

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

https://colab.research.google.com/drive/1rbqqgJCIgYKkt9WxhnDBJruGcXHlXiTZ?usp=sharing

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:43:05Z

Pvinig:

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do caso 1:

[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do caso 2:

[[Arquivo:densi2.png | 400px | center]]

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:
a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|500px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Histograma de sobrevivência=

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.2

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

[[Arquivo:extint.png|600px|center]]

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Arquivo:Extint.png

2026-06-03T15:38:26Z

Pvinig:

Arquivo:Densi2.png

2026-06-03T15:25:17Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:21:53Z

Pvinig:

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super populacão de presas

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:
a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Arquivo:Fpredadores150.png

2026-06-03T12:00:13Z

Pvinig:

Arquivo:Fpredadadores100.png

2026-06-03T12:00:04Z

Pvinig:

Arquivo:Fpredadores1.png

2026-06-03T11:59:49Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-02T17:42:05Z

Pvinig:

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-02T17:27:54Z

Pvinig:

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-02T17:27:42Z

Pvinig:

=Introdução=

texto de: [3] O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-02T17:11:58Z

Pvinig:

=Introdução=

O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T23:14:31Z

Pvinig:

=Introdução=

O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusteres.]]</li>

</ul></div>

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Arquivo:Densidade.png

2026-05-30T23:05:41Z

Pvinig:

Arquivo:Correlacao.png

2026-05-30T22:23:23Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T22:22:13Z

Pvinig:

=Introdução=

O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusteres.]]</li>

</ul></div>

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em \cite.

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Arquivo:Sim 3.png

2026-05-30T21:49:35Z

Pvinig:

Arquivo:Sim 2.png

2026-05-30T21:49:27Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:42:17Z

Pvinig:

Arquivo:Sim 1.png

2026-05-30T21:41:18Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:30:09Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:16:49Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:14:58Z

Pvinig: /* Introdução */

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:14:21Z

Pvinig: /* Introdução */

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:13:54Z

Pvinig: introdução

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-27T16:56:24Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka volterra, on-grid...... pagina em construção.

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-27T16:55:43Z

Pvinig: Criou página com 'Simulação do Modelo de Lotka volterra, on-grid...... pagina em contrução.'

Simulação do Modelo de Lotka volterra, on-grid...... pagina em contrução.

Trabalhos 2026-1

2026-05-27T16:54:40Z

Pvinig:

===[[Modelo de Potts -- 2D]] ===
===[[Simulação do Modelo de Lotka-Volterra]] ===