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Percolação 2D

2026-06-24T15:53:30Z

Pvinig:

==Introdução==

O objetivo deste trabalho é estudar, por meio de simulações de Monte Carlo, o problema da '''percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional'''. A percolação é um modelo estatístico simples, mas bastante útil para investigar como a conectividade de um sistema desordenado muda quando um determinado parâmetro é variado.

Esse tipo de problema aparece em diferentes contextos físicos e aplicados, como o escoamento de fluidos em meios porosos, a condução elétrica em materiais desordenados, a propagação de incêndios, a conectividade em redes e a transmissão de doenças em populações estruturadas. Em todos esses casos, a questão central é parecida: existe ou não um caminho conectado que atravessa o sistema?

Neste trabalho, considera-se uma rede quadrada de tamanho <math>L \times L</math>. Cada sítio da rede pode estar ocupado ou vazio. A ocupação de cada sítio ocorre aleatoriamente, com probabilidade <math>p</math>. Para cada valor de <math>p</math>, várias redes independentes são geradas. Em seguida, verifica-se se existe algum aglomerado de sítios ocupados conectando duas bordas opostas da rede. Quando isso acontece, dizemos que a rede percola.

O sistema apresenta uma transição entre dois regimes principais. Para valores baixos de <math>p</math>, os sítios ocupados formam apenas pequenos aglomerados isolados. Para valores altos de <math>p</math>, surge um aglomerado dominante que atravessa a rede. O valor crítico que separa esses dois comportamentos é chamado de '''limiar de percolação''', indicado por <math>p_c</math>.

Para a percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional, considerando apenas vizinhos de cima, baixo, esquerda e direita, o valor crítico esperado no limite de uma rede infinita é aproximadamente

<math>
p_c \approx 0.5927.
</math>

A proposta deste trabalho é reproduzir numericamente esse comportamento, estudar os efeitos de tamanho finito, calcular barras de erro, analisar o tempo de computação, identificar o parâmetro de ordem e apresentar os diferentes regimes do sistema.

==Definição do problema==

O sistema estudado é uma rede quadrada bidimensional com <math>L^2</math> sítios. Cada sítio pode assumir um de dois estados:

<math>
n_i =
\begin{cases}
1, & \text{sítio ocupado},\\
0, & \text{sítio vazio}.
\end{cases}
</math>

A ocupação de cada sítio é determinada pela probabilidade <math>p</math>. Para cada posição da rede, sorteia-se um número aleatório <math>r</math>, uniformemente distribuído no intervalo <math>[0,1]</math>. Se <math>r < p</math>, o sítio é ocupado. Caso contrário, o sítio permanece vazio.

Assim, quanto maior o valor de <math>p</math>, maior é a fração média de sítios ocupados na rede. Por exemplo, para <math>p=0.30</math>, aproximadamente 30% dos sítios estarão ocupados. Para <math>p=0.80</math>, aproximadamente 80% dos sítios estarão ocupados.

Dois sítios ocupados são considerados conectados quando são vizinhos diretos. Neste trabalho, utiliza-se a vizinhança de quatro primeiros vizinhos, isto é, cada sítio pode se conectar apenas com os sítios imediatamente acima, abaixo, à esquerda e à direita. As diagonais não são consideradas conexões.

A vizinhança adotada pode ser representada esquematicamente por

<math>
\begin{matrix}
& \uparrow & \\
\leftarrow & n_i & \rightarrow\\
& \downarrow &
\end{matrix}
</math>

Um '''aglomerado''' é definido como um conjunto de sítios ocupados conectados entre si. O sistema é dito '''percolante''' quando existe pelo menos um aglomerado que conecta duas bordas opostas da rede. Neste trabalho, considera-se que há percolação quando um aglomerado conecta a borda superior à inferior ou a borda esquerda à direita.

==Método de Monte Carlo==

O método de Monte Carlo é utilizado porque o sistema é gerado a partir de processos aleatórios. Uma única rede não representa necessariamente o comportamento médio do sistema. Por isso, para cada valor de <math>p</math> e para cada tamanho de rede <math>L</math>, são geradas várias realizações independentes.

O procedimento geral da simulação é:

<div><ul>
<li>Escolher o tamanho da rede <math>L</math>;</li>
<li>Escolher a probabilidade de ocupação <math>p</math>;</li>
<li>Gerar uma matriz aleatória <math>L \times L</math>;</li>
<li>Marcar cada sítio como ocupado com probabilidade <math>p</math>;</li>
<li>Identificar os aglomerados de sítios ocupados;</li>
<li>Verificar se algum aglomerado conecta duas bordas opostas;</li>
<li>Calcular as grandezas de interesse;</li>
<li>Repetir o processo muitas vezes para obter médias estatísticas e barras de erro.</li>
</ul></div>

De forma resumida, o algoritmo pode ser escrito como:

<math>
\begin{array}{l}
\text{Para cada tamanho } L: \\
\quad \text{Para cada probabilidade } p: \\
\quad\quad \text{Para cada realização independente:} \\
\quad\quad\quad \text{Gerar uma rede aleatória;} \\
\quad\quad\quad \text{Identificar os aglomerados;} \\
\quad\quad\quad \text{Verificar se a rede percola;} \\
\quad\quad\quad \text{Calcular } S_{\max} \text{ e outras grandezas.}
\end{array}
</math>

A identificação dos aglomerados foi feita por rotulagem de componentes conectados. Nesse procedimento, cada grupo de sítios ocupados conectados recebe um rótulo. Depois disso, verifica-se quais rótulos aparecem nas bordas da rede. Se o mesmo rótulo aparece em duas bordas opostas, então esse aglomerado atravessa o sistema e a rede percola.

==Regimes físicos da percolação==

O modelo de percolação apresenta dois regimes principais, separados por uma região crítica.

No '''regime subcrítico''', isto é, para <math>p < p_c</math>, há poucos sítios ocupados. Os aglomerados formados são pequenos e desconectados. Não existe um caminho contínuo atravessando o sistema.

Na '''região crítica''', isto é, para <math>p \approx p_c</math>, os aglomerados tornam-se maiores, mais ramificados e mais irregulares. Pequenas variações em <math>p</math> podem alterar de forma significativa a probabilidade de percolação.

No '''regime supercrítico''', isto é, para <math>p > p_c</math>, aparece um aglomerado dominante que atravessa a rede. Nesse caso, há conectividade de longo alcance.

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fig01_fases_percolacao.png|900px|thumb|center|Figura 1: Exemplos visuais da percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional. Os sítios vazios aparecem em branco, os sítios ocupados aparecem em cinza e o maior aglomerado aparece destacado em preto. Para valores baixos de p, os aglomerados são pequenos e desconectados. Perto de p_c, aparecem estruturas maiores e ramificadas. Para valores altos de p, surge um aglomerado dominante atravessando o sistema.]]</li>
</ul></div>

A Figura 1 ilustra os três regimes. Para <math>p=0.40</math>, a rede está abaixo do limiar crítico e não apresenta conectividade de longo alcance. Para <math>p \approx 0.5927</math>, o sistema está próximo da região crítica. Para <math>p=0.75</math>, há um aglomerado grande que atravessa a rede, caracterizando o regime percolante.

==Probabilidade de percolação==

A primeira grandeza analisada foi a probabilidade de percolação, indicada por <math>R_L(p)</math>. Para um tamanho de rede <math>L</math> e uma probabilidade de ocupação <math>p</math>, essa grandeza é definida por

<math>
R_L(p) = \frac{N_{\text{perc}}}{N_{\text{total}}},
</math>

onde <math>N_{\text{perc}}</math> é o número de realizações em que a rede percolou e <math>N_{\text{total}}</math> é o número total de realizações simuladas.

Quando <math>R_L(p) \approx 0</math>, quase nenhuma rede percola. Quando <math>R_L(p) \approx 1</math>, quase todas as redes percolam. Perto do limiar crítico <math>p_c</math>, a probabilidade de percolação cresce rapidamente.

No limite de uma rede infinita, a transição entre os regimes não percolante e percolante seria abrupta. Entretanto, como as simulações são feitas em redes finitas, a transição aparece suavizada. Esse efeito é uma consequência do tamanho finito do sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fig02_probabilidade_percolacao.png|700px|thumb|center|Figura 2: Probabilidade de percolação R_L(p) em função da probabilidade de ocupação p para diferentes tamanhos de rede. A linha vertical tracejada indica o valor crítico esperado p_c aproximadamente igual a 0.5927.]]</li>
</ul></div>

A Figura 2 mostra a probabilidade de percolação para diferentes tamanhos de rede. Para valores pequenos de <math>p</math>, a probabilidade de percolação é próxima de zero. Para valores grandes de <math>p</math>, a probabilidade se aproxima de um. A transição ocorre próxima de <math>p \approx 0.5927</math>, em concordância com o valor esperado para a rede quadrada bidimensional.

Também é possível observar que a curva se torna mais inclinada conforme o tamanho da rede aumenta. Isso indica que redes maiores se aproximam melhor do comportamento esperado no limite termodinâmico.

==Barras de erro==

Como o método de Monte Carlo é estatístico, é necessário estimar as incertezas associadas às grandezas medidas.

No caso da probabilidade de percolação, cada realização pode ser vista como um evento binário: a rede percola ou não percola. Dessa forma, a incerteza estatística pode ser estimada por uma expressão binomial:

<math>
\sigma_R =
\sqrt{
\frac{R_L(p)\,[1-R_L(p)]}{N_{\text{total}}}
}.
</math>

Essa expressão mostra que a incerteza diminui quando o número de realizações independentes aumenta. Portanto, simulações com mais amostras produzem curvas mais suaves e barras de erro menores.

Para outras grandezas, como o tamanho médio do maior aglomerado, as barras de erro foram calculadas usando o erro padrão da média:

<math>
\sigma_{\bar{x}} =
\frac{\sigma_x}{\sqrt{N_{\text{total}}}},
</math>

onde <math>\sigma_x</math> é o desvio padrão das medidas individuais e <math>N_{\text{total}}</math> é o número de realizações independentes.

As barras de erro são especialmente importantes perto da região crítica, onde as flutuações entre diferentes realizações tornam-se maiores.

==Parâmetro de ordem==

O parâmetro de ordem escolhido para caracterizar a transição foi a fração da rede pertencente ao maior aglomerado. Essa grandeza é definida como

<math>
S_{\max} =
\frac{N_{\max}}{L^2},
</math>

onde <math>N_{\max}</math> é o número de sítios ocupados no maior aglomerado da rede.

Esse parâmetro mede a presença de conectividade macroscópica. Abaixo do limiar crítico, o maior aglomerado ocupa apenas uma pequena fração da rede. Acima do limiar crítico, surge um aglomerado dominante, e <math>S_{\max}</math> cresce de forma significativa.

Assim, <math>S_{\max}</math> funciona como um parâmetro de ordem para o problema de percolação. Ele é pequeno no regime não percolante e torna-se grande no regime percolante.

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fig03_parametro_ordem.png|700px|thumb|center|Figura 3: Parâmetro de ordem S_max em função da probabilidade de ocupação p. O crescimento de S_max indica o surgimento de um aglomerado dominante no regime percolante.]]</li>
</ul></div>

A Figura 3 apresenta o comportamento de <math>S_{\max}</math> em função de <math>p</math>. Para valores baixos de <math>p</math>, o maior aglomerado representa uma fração pequena da rede. Conforme <math>p</math> aumenta e se aproxima de <math>p_c</math>, ocorre um crescimento acentuado. Para valores acima de <math>p_c</math>, o maior aglomerado passa a ocupar uma parte significativa do sistema.

==Suscetibilidade geométrica==

Além do parâmetro de ordem, também foi calculada uma grandeza análoga à suscetibilidade, associada ao tamanho médio dos aglomerados finitos. Essa grandeza é útil porque indica o aumento das flutuações perto da região crítica.

A suscetibilidade geométrica pode ser escrita como

<math>
\chi =
\frac{\sum_s s^2 n_s}{\sum_s s n_s},
</math>

onde <math>s</math> é o tamanho de um aglomerado e <math>n_s</math> é o número de aglomerados de tamanho <math>s</math>. No cálculo, o maior aglomerado é excluído, pois no regime supercrítico ele pode corresponder ao aglomerado percolante.

A grandeza <math>\chi</math> mede o tamanho típico dos aglomerados finitos. Perto do limiar crítico, os aglomerados tornam-se maiores e mais ramificados, fazendo com que <math>\chi</math> apresente um máximo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fig04_suscetibilidade.png|700px|thumb|center|Figura 4: Suscetibilidade geométrica em função da probabilidade de ocupação p. O pico próximo à região crítica indica o aumento do tamanho médio dos aglomerados finitos.]]</li>
</ul></div>

A Figura 4 mostra a suscetibilidade geométrica em função de <math>p</math>. O pico próximo de <math>p_c</math> indica que, nessa região, as flutuações do sistema são mais intensas. Esse comportamento é característico de fenômenos críticos.

==Análise de tamanho finito==

A análise de tamanho finito é uma parte essencial deste trabalho. Como as simulações são feitas em redes com tamanho limitado, a transição não aparece de forma perfeitamente abrupta. Em vez disso, cada tamanho <math>L</math> apresenta uma curva suavizada.

Foram simuladas redes de diferentes tamanhos, como

<math>
L = 20,\ 40,\ 80,\ 120.
</math>

Para cada tamanho, foi estimado um limiar efetivo <math>p_c(L)</math>. Uma forma simples de estimar esse valor é encontrar o ponto em que a probabilidade de percolação é igual a 0.5:

<math>
R_L[p_c(L)] = 0.5.
</math>

Esse valor representa a probabilidade de ocupação na qual metade das redes simuladas percola.

Em sistemas finitos, <math>p_c(L)</math> pode se desviar do valor crítico do sistema infinito. Porém, conforme <math>L</math> aumenta, espera-se que <math>p_c(L)</math> se aproxime de <math>p_c</math>. Para a percolação bidimensional, esse deslocamento pode ser analisado aproximadamente pela relação

<math>
p_c(L) - p_c(\infty) \propto L^{-1/\nu},
</math>

com

<math>
\nu = \frac{4}{3}.
</math>

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fig05_tamanho_finito_pc.png|700px|thumb|center|Figura 5: Estimativa do limiar crítico efetivo p_c(L) em função de L^{-1/nu}, com nu = 4/3. A extrapolação para L^{-1/nu} tendendo a zero corresponde ao limite de tamanho infinito.]]</li>
</ul></div>

A Figura 5 mostra a estimativa de <math>p_c(L)</math> em função de <math>L^{-1/\nu}</math>. A extrapolação para <math>L^{-1/\nu} \to 0</math> corresponde ao limite de tamanho infinito. O resultado esperado é que essa extrapolação se aproxime de <math>p_c \approx 0.5927</math>.

Essa análise mostra como os resultados numéricos dependem do tamanho do sistema e permite comparar os dados simulados com o valor crítico conhecido.

==Colapso de escala==

Uma forma adicional de verificar a consistência da análise de tamanho finito é usar uma variável de escala. Perto do ponto crítico, a probabilidade de percolação pode ser escrita aproximadamente como uma função da combinação

<math>
(p-p_c)L^{1/\nu}.
</math>

Assim, ao representar <math>R_L(p)</math> em função de <math>(p-p_c)L^{1/\nu}</math>, curvas de diferentes tamanhos <math>L</math> tendem a se aproximar de uma curva universal.

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fig06_colapso_escala.png|700px|thumb|center|Figura 6: Colapso de escala aproximado para a probabilidade de percolação. As curvas para diferentes tamanhos de rede são representadas em função da variável de escala (p-p_c)L^{1/nu}.]]</li>
</ul></div>

A Figura 6 mostra o colapso de escala aproximado. As curvas não precisam coincidir perfeitamente, pois as simulações foram feitas com tamanhos finitos e número finito de amostras. Mesmo assim, a aproximação entre elas indica que o comportamento observado é compatível com a teoria de escala para percolação.

==Tempo de computação==

O tempo de computação também foi analisado. Para cada realização, é necessário gerar uma rede aleatória e identificar seus aglomerados. Como a rede possui <math>L^2</math> sítios, o custo computacional tende a crescer aproximadamente com a área da rede.

Assim, espera-se que o tempo por realização cresça aproximadamente como

<math>
t \propto L^2.
</math>

O tempo total da simulação depende também do número de valores de <math>p</math> e do número de realizações independentes. De forma aproximada,

<math>
t_{\text{total}}
\propto
N_p \times N_{\text{amostras}} \times L^2,
</math>

onde <math>N_p</math> é o número de valores de <math>p</math> simulados e <math>N_{\text{amostras}}</math> é o número de realizações independentes para cada valor de <math>p</math>.

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fig07_tempo_computacao.png|700px|thumb|center|Figura 7: Tempo médio de computação por realização em função do tamanho linear da rede L. A curva de referência proporcional a L² indica o comportamento esperado para um algoritmo que percorre todos os sítios da rede.]]</li>
</ul></div>

A Figura 7 mostra o tempo médio de computação por realização em função de <math>L</math>. A curva medida é comparada com uma referência proporcional a <math>L^2</math>. Esse resultado confirma que redes maiores exigem mais tempo de processamento, pois possuem mais sítios a serem gerados e analisados.

==Resumo dos parâmetros usados==

Os principais parâmetros utilizados nas simulações foram escolhidos de modo a permitir a análise da transição de percolação, dos efeitos de tamanho finito, das barras de erro e do tempo de computação.

<div><ul>
<li><math>L</math>: representa o tamanho linear da rede quadrada. Foram utilizadas redes com <math>L = 20</math>, <math>L = 40</math>, <math>L = 80</math> e <math>L = 120</math>. Como a rede possui dimensões <math>L \times L</math>, o número total de sítios é dado por <math>L^2</math>.</li>

<li><math>p</math>: representa a probabilidade de ocupação de cada sítio da rede. Os valores simulados foram escolhidos no intervalo entre <math>0.35</math> e <math>0.80</math>, de modo a incluir tanto o regime não percolante quanto o regime percolante.</li>

<li><math>N_{\text{amostras}}</math>: representa o número de realizações independentes feitas para cada par de valores <math>(L,p)</math>. Neste trabalho, foram usadas <math>100</math> realizações para cada ponto simulado.</li>

<li>Vizinhança: foi usada a vizinhança de quatro primeiros vizinhos. Assim, um sítio ocupado pode se conectar apenas com os sítios ocupados acima, abaixo, à esquerda e à direita. As conexões diagonais não foram consideradas.</li>

<li><math>p_c</math>: representa o limiar crítico esperado para a percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional. O valor teórico usado como referência foi <math>p_c \approx 0.5927</math>.</li>
</ul></div>

==Discussão dos resultados==

Os resultados obtidos reproduzem qualitativamente o comportamento esperado para a percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional.

A probabilidade de percolação apresenta uma transição clara em torno de <math>p \approx 0.5927</math>. Para valores menores que esse limiar, quase nenhuma realização apresenta um aglomerado atravessando a rede. Para valores maiores, a maior parte das redes passa a percolar.

A análise do parâmetro de ordem <math>S_{\max}</math> mostra o surgimento de um aglomerado dominante no regime supercrítico. Esse resultado é consistente com a interpretação física da percolação como uma transição entre um regime sem conectividade macroscópica e um regime com conectividade de longo alcance.

A suscetibilidade geométrica apresenta um pico próximo à região crítica, indicando que os aglomerados finitos atingem tamanhos maiores perto do limiar de percolação. Esse comportamento é típico de sistemas críticos, nos quais as flutuações aumentam significativamente na vizinhança do ponto crítico.

A análise de tamanho finito mostra que a transição se torna mais definida à medida que <math>L</math> aumenta. Redes pequenas apresentam maior suavização da transição, enquanto redes maiores se aproximam melhor do comportamento esperado para o sistema infinito.

Por fim, a análise do tempo de computação mostra que o custo cresce aproximadamente com o número de sítios da rede. Esse resultado é esperado, pois cada realização exige a geração e a análise de uma matriz com <math>L^2</math> posições.

==Conclusão==

Neste trabalho, foi estudado o problema da percolação de sítios em uma rede quadrada bidimensional usando simulações de Monte Carlo. O modelo consiste em ocupar aleatoriamente os sítios de uma rede com probabilidade <math>p</math> e verificar se existe um aglomerado conectado atravessando o sistema.

Os resultados mostram a existência de uma transição entre uma fase não percolante e uma fase percolante. Essa transição ocorre próxima ao valor crítico esperado

<math>
p_c \approx 0.5927.
</math>

Foram calculadas a probabilidade de percolação, o parâmetro de ordem associado ao maior aglomerado e uma suscetibilidade geométrica relacionada aos aglomerados finitos. Também foram estimadas barras de erro a partir de realizações independentes e realizada uma análise de tamanho finito usando diferentes valores de <math>L</math>.

A simulação confirma que, para redes finitas, a transição é suavizada, mas torna-se mais abrupta conforme o tamanho da rede aumenta. A extrapolação de tamanho finito permite comparar os resultados numéricos com o valor crítico conhecido para o sistema infinito.

Além disso, a análise do tempo de computação mostra que o custo cresce aproximadamente com <math>L^2</math>, refletindo o aumento do número de sítios da rede.

Portanto, a percolação 2D é um problema adequado para estudar Monte Carlo, transições críticas, efeitos de tamanho finito, barras de erro, parâmetros de ordem e regimes físicos distintos de maneira visual e computacionalmente acessível.

==Referências==

<div><ul>
<li>Stauffer, D.; Aharony, A. <i>Introduction to Percolation Theory</i>. Taylor & Francis.</li>
<li>Newman, M. E. J.; Ziff, R. M. Efficient Monte Carlo algorithm and high-precision results for percolation. <i>Physical Review Letters</i>, 85, 4104, 2000.</li>
<li>Grimmett, G. <i>Percolation</i>. Springer.</li>
</ul></div>

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:58:29Z

Pvinig: /* Evolução temporal das Densidades */

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do '''caso 1''':

[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do '''caso 2''':

[[Arquivo:densi2.png | 400px | center]]

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:

a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|500px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Histograma de sobrevivência=

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.1

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

[[Arquivo:extint.png|600px|center]]

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

https://colab.research.google.com/drive/1rbqqgJCIgYKkt9WxhnDBJruGcXHlXiTZ?usp=sharing

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:57:21Z

Pvinig: /* Histograma de sobrevivência */

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do caso 1:

[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do caso 2:

[[Arquivo:densi2.png | 400px | center]]

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:

a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|500px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Histograma de sobrevivência=

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.1

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

[[Arquivo:extint.png|600px|center]]

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

https://colab.research.google.com/drive/1rbqqgJCIgYKkt9WxhnDBJruGcXHlXiTZ?usp=sharing

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:46:44Z

Pvinig: /* Correlação de densidades */

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do caso 1:

[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do caso 2:

[[Arquivo:densi2.png | 400px | center]]

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:

a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|500px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Histograma de sobrevivência=

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.2

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

[[Arquivo:extint.png|600px|center]]

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

https://colab.research.google.com/drive/1rbqqgJCIgYKkt9WxhnDBJruGcXHlXiTZ?usp=sharing

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:45:59Z

Pvinig: /* Código */

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do caso 1:

[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do caso 2:

[[Arquivo:densi2.png | 400px | center]]

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:
a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|500px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Histograma de sobrevivência=

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.2

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

[[Arquivo:extint.png|600px|center]]

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

https://colab.research.google.com/drive/1rbqqgJCIgYKkt9WxhnDBJruGcXHlXiTZ?usp=sharing

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:43:05Z

Pvinig:

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super população de presas

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:

Para a simulação do caso 1:

[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

Mas para a simulação do caso 2:

[[Arquivo:densi2.png | 400px | center]]

Onde se vê claramente a densidade de presas saturadas em todo o tempo.

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:
a = b = 0.45

c = 0.1

f = 0.3

e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|500px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Histograma de sobrevivência=

Além disto, para o 'caso 2' foram modificados o parâmetros 'a' e o parâmetro 'b', ficando com os seguintes parâqmetros:

a = 0.2

b = 0.5

c = 0.2

f = 0.2

Onde agora, o sitema tende à extinção. foram realizadas 2000 simulações, e plotamos o tempo em que cada simulação tendeu a extinção.

Para acelerar o tempo de execução e aumentar a frequência de interação das espécies, foi utilizada uma grade de lado L=15

[[Arquivo:extint.png|600px|center]]

Aqui pode se observar que em algum momento do tempo, todos os ecossistemas foram levados à extinção e a maioria deles foi extinta logo na primeira dezena de passos

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Arquivo:Extint.png

2026-06-03T15:38:26Z

Pvinig:

Arquivo:Densi2.png

2026-06-03T15:25:17Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-03T15:21:53Z

Pvinig:

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

''' caso 1 '''

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

alem disto foi simulado o caso com os parâmetros

'''caso 2'''

a = 0.45

b = 0.3

c = 0.4

f = 0.2

e uma caixa de tamanho L=50

que representa o caso onde os predadores não possuem tanto apetite pelas presas, ou as presas se especializaram em fugir dos predadores

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores1.png|400px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadadores100.png|420px|thumb|center]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:Fpredadores150.png|400px|thumb|center]]</li>

</ul></div>

Onde aqui, em apenas 150 mcs a grupo de predadores foi extinto, levando a uma super populacão de presas

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação de 2500 passos.
Onde os parâmetros usados foram os mesmos do caso 1:
a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Arquivo:Fpredadores150.png

2026-06-03T12:00:13Z

Pvinig:

Arquivo:Fpredadadores100.png

2026-06-03T12:00:04Z

Pvinig:

Arquivo:Fpredadores1.png

2026-06-03T11:59:49Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-02T17:42:05Z

Pvinig:

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3
e uma caixa de tamanho L=50

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-02T17:27:54Z

Pvinig:

=Introdução=

texto de[3]: O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-02T17:27:42Z

Pvinig:

=Introdução=

texto de: [3] O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

[3] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Lotka-Volterra_Estoc%C3%A1sticas

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-06-02T17:11:58Z

Pvinig:

=Introdução=

O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusters.]]</li>

</ul></div>

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T23:14:31Z

Pvinig:

=Introdução=

O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

a = b = 0.45
c = 0.1
f = 0.3

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusteres.]]</li>

</ul></div>

=Correlação de densidades=

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em [1].

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Para analisar a correlação foram realizados uma simulação em uma grid de tamanho L=100 em 2500 passos.

[[Arquivo:correlacao.png|400px|center]]

Aqui fica evidente que o máximo da correlação xy (presa-predador) aparenta atraso em relação as correlações xx e yy em t=0 o que representa o um tempo de resposta do ecossistema às variações temporais. Todavia conforme o sistema evolui no tempo, fica evidente que as correlações vão tendendo ao equilíbrio.

=Evolução temporal das Densidades=

Além disto, a evolução da densidade de presas e predadores durante o tempo evoluiu da seguinte forma:
[[Arquivo:Densidade.png | 400px | center]]

Onde podemos ver claramente uma periodicidade nas densidades, onde a diminuição da densidade de predadores induz um crescimento de presas que por sua vez induz um crescimento no numero de predadores, mas quando o numero de predadores aumenta novamente, acaba induzindo uma redução no numero de presas. Sendo assim um sistema periódico, conforme o esperado.

=Código=

O código usado para fazer estas simulações se encontra em:

=Referencias=

[1] TOMÉ, Tânia; DE OLIVEIRA, Mário J. Stochastic approach to predator-prey models. Physical Review E, 2009.

[2] SCHERER, Cláudio. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Arquivo:Densidade.png

2026-05-30T23:05:41Z

Pvinig:

Arquivo:Correlacao.png

2026-05-30T22:23:23Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T22:22:13Z

Pvinig:

=Introdução=

O modelo de Lotka-Volterra foi desenvolvido originalmente na década de 1920, de maneira independente por Vito Volterra e Alfred Lotka, e é utilizado para descrever a dinâmica de populações com relações de predatismo. Em sua forma mais simples, as equações de Lotka-Volterra podem ser escritas como

<math>

\begin{cases}

\dot{x} = x(a - by)\\

\dot{y} = y(-c + fx)

\end{cases}

</math>

onde <math>x</math> e <math>y</math> denotam, respectivamente, a densidade populacional de presas e de predadores, e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>f</math> são constantes positivas.

Pode-se interpretar os parâmetros da seguinte maneira:
*<math>a</math>: taxa de crescimento livre da presa;
*<math>b</math>: taxa de predação;
*<math>c</math>: taxa de mortalidade livre do predador;
*<math>f</math>: taxa de crescimento do predador devido à predação;

Nesse modelo simples, não há competição entre indivíduos de uma mesma espécie e não há limite ecológico para o sustento das populações; ou seja, a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores.
Assim, consideramos o modelo como colapsado, quando todo espaço esta ocupado por presas ou quando todos as presas são devoradas e os predadores morrem de fome.

=Método de Monte Carlo=

As simulações começa gerando uma matriz de dimensão LxL, onde inicialmente cada espaço da matriz é preenchido com um valor sorteado entre 0 e 2, onde 0 representa espaços vazios, 1 representa presas e 2 representa predadores.
Então em cada passo temporal de nossa simulação, sorteamos um espaço dentro da nossa matriz, se o espaço estiver vazio ou ocupado por uma presa, pulamos o passo e sorteamos novamente. Quando uma presa é selecionada, verificamos se há uma presa imediatamente próxima a este predador, então o predador tem uma chance p_pred de devorar ou não a presa.

Definimos um numero N de passos mas a simulação pode acabar antes caso o sistema colapse.

A seguir uma simulação de 4000 passos feita em cima dos seguintes parâmetros:

<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 1.png|400px|thumb|center| Figura 1: Grade iniciada com os lugares selecionados de forma aleatória]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 2.png|420px|thumb|center| Figura 2: Simulação com 2000 passos realizados]]</li>

<li style="display: inline-block;">[[Arquivo:sim 3.png|400px|thumb|center| Figura 3: Simulação em seu estado Final, com 4000 passos. O sistema mantém uma coexistência, porém fica evidente o agrupamento de presas em clusteres.]]</li>

</ul></div>

Para as simulações, também verificamos as correlações de densidade entre presas e predadores, seguindo a análise feita em \cite.

A correlação temporal estatística entre as espécies, mostra as oscilações induzidas pela predação, através da função de autocorrelação e da correlação cruzada no estado estacionário. Sendo <math> \rho_x(t) </math> a densidade global de presas e <math> \rho_y(t)</math> a densidade de predadores no tempo t, a flutuação em torno do valor esperado é <math> \delta \rho_\alpha(t) = \rho_\alpha(t) - \langle \rho_\alpha \rangle </math>.

A correlação temporal estatística <math> C_{\alpha \beta}(\tau) </math> entre as espécies <math>\alpha </math> e <math> \beta </math> onde <math> \alpha, \beta \in \{x, y\} </math> em um tempo <math>\tau</math> então será:

<math>
C_{\alpha \beta}(\tau) = L^2 \left[ \frac{1}{T - \tau} \sum_{t=1}^{T-\tau} \delta \rho_\alpha(t) \delta \rho_\beta(t+\tau) \right]

</math>

Arquivo:Sim 3.png

2026-05-30T21:49:35Z

Pvinig:

Arquivo:Sim 2.png

2026-05-30T21:49:27Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:42:17Z

Pvinig:

Arquivo:Sim 1.png

2026-05-30T21:41:18Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:30:09Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:16:49Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:14:58Z

Pvinig: /* Introdução */

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:14:21Z

Pvinig: /* Introdução */

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-30T21:13:54Z

Pvinig: introdução

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-27T16:56:24Z

Pvinig:

Simulação do Modelo de Lotka volterra, on-grid...... pagina em construção.

Simulação do Modelo de Lotka-Volterra

2026-05-27T16:55:43Z

Pvinig: Criou página com 'Simulação do Modelo de Lotka volterra, on-grid...... pagina em contrução.'

Simulação do Modelo de Lotka volterra, on-grid...... pagina em contrução.

Trabalhos 2026-1

2026-05-27T16:54:40Z

Pvinig:

===[[Modelo de Potts -- 2D]] ===
===[[Simulação do Modelo de Lotka-Volterra]] ===