Clusterização

2021-05-28T21:14:22Z

Mtdaastro: teoria e tal

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== Clusterização do Modelo de Ising ==
O modelo de Ising é definido como uma malha de tamanho L, quadrada quando em duas dimensões e cúbica quando em três dimensões, onde cada vértice apresenta um componente de spin de magnitude fixa que pode apontar para cima ou para baixo (+1 ou -1, respectivamente). O sistema pode ser descrito pelo seguinte hamiltoniano:

<math>H_{Ising} = -J \sum_{\langle ij \rangle} s_i s_j</math>

onde <math>s</math> representa o valor do spin e a soma é feita sobre os pares de vértices próximas que são conectadas com um acoplamento ferromagnético de força <math>J > 0</math>.

Para um modelo de Ising bidimensional (o tipo que consideramos) é possível calcular sua temperatura crítica exata como:

<math>T_c = \frac{2J}{\log(1 + \sqrt{2})} \simeq 2.269J</math>

Acima dessa temperatura o sistema está na ‘’’fase paramagnética‘’’, onde a magnetização média é nula, e abaixo dessa temperatura o sistema está na fase ‘’’fase ferromagnética’’’, onde a maioria dos spins se alinham e a magnetização se torna não-nula. Ao estudar o modelo de Ising em geral temos maior interesse no comportamento do sistema perto de <math>T_c</math>, onde o sistema forma grupos grandes de spins para cima ou para baixo. Esses grupos contribuem muito para a energia do sistema, causando muita flutuação quando ''flipam''.

O algoritmo de Metropolis é um ótimo algoritmo para realizar simulações do modelo de Ising. Porém, sua dinâmica de ''flip'' único é ineficiente especialmente quando próxima da temperatura crítica do sistema. As imprecisões estatísticas de quantidades como magnetização e energia interna do sistema aumentam quando próximo da temperatura crítica. Assim, quando esses grandes grupos de spins alinhados (clusters) ''flipam'', há grandes imprecisões. Essa imprecisão aumenta com o tamanho das flutuações, mas diminui com o número de medidas feitas na simulação, então para se estudar a região perto de <math>T_c</math> de modo mais preciso é necessário que a simulação aconteça por mais tempo. Porém, uma outra fraqueza do algoritmo de Metropolis é seu tempo de correlação <math>\tau</math> grande ao redor da temperatura crítica. Isso significa que o número de medidas de uma simulação é pequena, então para diminuir as imprecisões estatísticas causadas pelas poucas medidas é necessário rodar o algoritmo por mais tempo.

Uma das propriedades do modelo de Ising é o fato de flutuações grandes gerarem medidas mais imprecisas. Porém, o tempo de correlação e o modo como ele se comporta próximo a <math>T_c</math> é uma propriedade do algoritmo utilizado para estudar o sistema, e então é algo que pode ser otimizado.

=== Expoentes Críticos ===
Para estudar mais sobre a eficiência dos algoritmos no modelo de Ising podemos definir a temperatura reduzida como:

<math>t = \frac{T - T_c}{T_c}</math>

Essa grandeza indica o quão distante estamos da temperatura crítica <math>T_c</math>, de modo que para <math>t=0</math> estamos em <math>T_c</math>. A partir disso, e sabendo que <math>\xi</math> indica a largura médio dos clusters, temos que a expressão <math>\xi \sim |t|^{- \nu}</math> demonstra a divergência da largura de correlação (largura dos clusters). Se tratando do tempo, definimos <math>\tau \sim |t|^{-z \nu}</math> como o tempo de correlação da simulação, medido em passos de Monte Carlo por sítio da rede. O expoente <math>z</math>, chamado de expoente dinâmico, é um modo de quantificar a diferença de tempo que acontece devido à divergência. Um valor grande de <math>z</math> simboliza que <math>\tau</math> fica grande, por exemplo, fazendo uma simulação mais demorada e menos precisa quando próximo de <math>T_c</math>.

Combinando as duas equações vistas, podemos escrever que <math>\tau \sim \xi^z</math>. Essa relação indica que o tempo de correlação aumenta com o tamanho típico dos clusters. Considerando um sistema de tamanho finito porém (os tipos de sistema que simulamos), o valor máximo de <math>\xi</math> vai ser o tamanho <math>L</math> do sistema (e.g. um sistema <math>64</math>x<math>64</math> tem <math>L=64</math>). Podemos assim concluir que <math>\tau \sim L^z</math>.

Sabendo a temperatura crítica do sistema (para Ising 2D, <math>T_c = 2.269J</math> é possível usar a relação <math>\tau \sim L^z</math> para medir <math>z</math> por meio de simulações onde a temperatura do sistema é igual à temperatura crítica para vários tamanhos diferentes de <math>L</math>, plotando <math>\tau</math> versus <math>L</math> em escala logarítmica. A inclinação da reta que liga todos esses pontos nos dá o valor de <math>z</math>.

Por meio desse método, temos que o <math>z</math> do algoritmo de Metropolis é <math>z = 2.1655 \pm 0.0012</math> e o <math>z</math> do algoritmo de Wolff (um algoritmo de clusterização) é <math>z = 0.25 \pm 0.001</math>.

O motivo do tempo grande do algoritmo de Metropolis é a divergência do tamanho de correlação <math>\xi</math> próximo da temperatura crítica. Ao se aproximar de <math>T_c</math>, grandes regiões se formam onde todos os spins estão alinhados, e é demorado para que o algoritmo ''flipe'' essas regiões, dado que ele ''flipa'' os spins sítio por sítio.

Algoritmos de cluster, como o de Wolff, fazem uso da técnica de clusterização. Com isso, os algoritmos encontram agrupam spins alinhados em clusters que apontam para a mesma direção e ''flipam'' os spins desse cluster ao mesmo tempo. Algoritmos de clusterização permitem uma exploração mais efetivo do espaço de fase próximo da temperatura crítica por serem mais eficientes e de precisarem de menos iterações para terem medidas precisas.

=== Balanço Detalhado ===
Para respeitarmos o Balanço Detalhado, precisamos que a mudança da rede de um estado $<math>\nu</math> para um estado <math>\mu</math> ocorra com a mesma probabilidade da mudança de um estado <math>\mu</math> para <math>\nu</math>, denotamos essa mudança por: <math>A(\mu \to \nu) = A(\nu \to \mu)</math>, com <math>A(x \to y)</math> sendo a razão de aceitação da mudança de um estado <math>x</math> para um estado <math>y</math>.

Supondo que estamos mudando de um estado <math>\nu</math> para outro estado <math>\mu</math>, temos que a diferença de energia entre esses dois é resultado da quebra das ligações entre pares de spins orientados na mesma direção que não foram adicionados ao cluster, já que, não há uma garantia que a ''ida'' de <math> \nu \to \mu </math> quebre a mesma quantidade de ligações que a ''volta'' de <math> \mu \to \nu</math>. A probabilidade de não adicionarmos um spin vizinho ao cluster é dada por: <math>1 - P_{add}</math>; uma vez que <math>P_{add}</math> é a probabilidade de incluir esse spin no cluster.

Supondo que existam <math>m</math> ligações a serem quebradas na ''ida'' de <math>\nu \to \mu</math>, a probabilidade desse evento é dada por <math>(1-P_{add})^m</math>. Porém, o mesmo pode não valer para a ''volta'' de <math>\mu \to \nu</math>, em razão disso, precisamos analisar o caso em que não há o mesmo número de ligações a serem quebradas na ''volta'' e então a probabilidade será dada por <math>(1-P_{add})^n</math> com <math>n</math> sendo o número de ligações a serem quebradas de <math>\mu \to \nu</math>.

Consideramos agora que <math>E_{\nu}</math> e <math>E_{\mu}</math> sejam as energias associadas aos estados <math>\nu</math> e <math> \mu </math>, respectivamente, temos que: a cada <math> m</math> ligações que são quebradas de <math>\mu \to \nu</math> a energia aumenta com <math>+2J</math> e para cada <math>n</math> novas ligações geradas de <math>\mu \to \nu</math> a energia diminui com <math>-2J</math>. Pode-se escrever então que a diferença de energia entre <math>\mu</math> e <math>\nu</math> é dada por: <math>E_{\nu} - E_{\mu} = 2mJ -2nJ = 2J(m-n)</math>

Seguindo a definição do Balanço Detalhado e impondo que o Processo Markoviano dessas mudanças de estados descritas acima respeite a Distribuição de Boltzmann, precisamos que:
<math>
\frac{(1-P_{add})^m A(\mu \to \nu)}{(1-P_{add})^n A(\nu \to \mu) } = e^{-\beta(E_{\nu} - E_{\mu})} = (1-P_{add})^{m-n}\frac{A(\mu \to \nu)}{A(\nu \to \mu)}</math>, tal que,
<math>\frac{A(\mu \to \nu)}{A(\nu \to \mu)} = \big[e^{2\beta J}(1-P_{add})\big]^{n-m}\;\;\;\; \Longrightarrow P_{add} = 1-e^{-2\beta J} \Longrightarrow \frac{(1-P_{add})^m A(\mu \to \nu)}{(1-P_{add})^n A(\nu \to \mu) }=1 </math>
== Algoritmo de Wolf ==

=== Dinâmica do Algoritmo ===
O algoritmo de Wolff baseia-se principalmente em 4 passos. são estes:
*'''1 - ''' Escolhe-se um sítio aleatório da rede;
*'''2 - '''Entre seus 4 vizinhos, se o spin do vizinho for igual ao do sítio inicial, adicionamos o vizinho ao cluster com probabilidade <math> P_{add} = 1-e^{2\beta J}</math>
*'''3 - ''' Para cada vizinho que foi adicionado ao cluster no passo anterior, repetimos o processo do passo '''2''' adicionando os vizinhos desse vizinho que possuem spin na mesma direção com a mesma probabilidade <math>P_{add}</math>. Faz-se isso para todos os sítios que são adicionados ao cluster.
*'''4 - ''' Quando todos os vizinhos de todos os sítios adicionados ao cluster tiveram ao menos uma “chance” de serem adicionados ao cluster, ''flipamos'' o cluster.

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="2"|Dinâmica do algoritmo.
|-
|[[Arquivo:dinamica_wolff.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|Demonstração da dinâmica de clusterização do algoritmo na temperatura crítica <math>\; T_c = 2.269J </math>.|1080px]]
|-
|}

== Simulações ==
=== Animações ===
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="3"|Animações do algoritmo de Wolff em função da Temperatura <math>T</math>.
|-
|[[Arquivo:TC-.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|Simulação para temperatura abaixo da temperatura crítica <math>T_c</math>.|500px]]
|[[Arquivo:hTC.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|Simulação na temperatura crítica <math>T_c</math>.|500px]]
|[[Arquivo:TC+.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|Simulação para tempetura acima da temperatura crpitica <math>T_c</math>.|500px]]
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|}
'''Obs: Nossos gifs ficaram com mais de 2mb, limite da wiki, estamos refazendo...'''

== Propriedades do Algoritmo de Wolff ==
=== <math>P_{add}\;= \;1 - e^{-2\beta J} </math> ===
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!colspan="1"|Probabilidade em função da temperatura.
|-
|[[Arquivo:Prob.jpeg|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|Gráfico da probabilidade de aceitação <math>P_{add}</math> em função de <math>T</math>|300px]]
|-
|}

== Códigos Fonte ==
=== Função da Dinâmica de Clusterização ===
<source lang=Py>
def cluster_din(sitio):
stack = []
oldspin = s[sitio]
newspin = (-1)*s[sitio]
s[sitio] = newspin
sp=1
stack.append(sitio)

while (sp):
sp = sp-1
atual = stack[sp]
stack.pop()

for j in range(4):
nn=viz[atual][j]
if s[nn] == oldspin: #IF da orientação do vizinho
rfloat1 = rng.random()
if (rfloat1<prob) : #IF da inclusão no cluster
stack.append(nn)
sp = sp+1
s[nn] = newspin
return
</source>

== Referências ==

Física Computacional - Contribuições do usuário [pt-br]

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