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Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-06-01T15:23:04Z

Misalocin: Formatação

== Modelo de Ising ==

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>
</center>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<center>
<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será<ref name="mecEst" />:

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

Agora, consideremos o ensemble canonico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>
</center>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.
Importante ressaltar que soma é sobre <math>\lambda</math> e não sobre todas as energias, pois muitos estados podem gerar a mesma energia, então não é feita uma soma simples por todo o sistema.

Assim, o resultado é:

<center>
<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_\lambda' e^{-\beta E(\lambda')}}
</math>
</center>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quão ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<center>
<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>
</center>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Energia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o momento de quadrupolo magnético<ref name="point" />, definido como:

<center>
<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>
</center>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Onde o parâmetro <math>D</math> é chamado de campo cristalino. Nessa implementação do modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadrupolo pode ser substituido por um módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

Analisa-se o sistema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J \gg 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J \gg 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é aproximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T}<1</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-(|\mathcal{H}|)/T}>1</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que existem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico(TCP). Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipulam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> <ref name="point" />

=== Unidades Naturais ===
Antes de começar, é conveniente introduzir o conceito de unidades reduzidas. Como apenas razões entre os parâmetros físicos aparecerão nas equações finais, pode-se escolher uma constante como unidade de energia e utilizar unidades reduzidas, usando <math>k_B = 1</math> e tomando <math>J</math> como unidade de energia. Dessa forma, todas as grandezas passam a ser medidas em unidades de <math>J</math>, sendo comum trabalhar com as variáveis adimensionais

<center>
<math>T^* = \frac{k_B T}{J};</math>
<math>D^* = \frac{D}{J};</math>
<math>H^* = \frac{H}{J}.</math>
</center>

Ao longo deste trabalho, os asteriscos serão omitidos, e todas as grandezas são entendidas como estando em unidades reduzidas.

== Método Monte-Carlo ==

=== Algoritmo ===

Como o número de estados cresce exponencialmente com o número de partículas, não é possível calcular essa distribuição diretamente. Em vez disso, constrói-se uma sequência de estados através de atualizações locais dos spins.

O procedimento consiste em repetir os seguintes passos:

# Escolhe-se aleatoriamente uma partícula.
# Propõe-se um novo valor de spin para essa partícula, escolhido uniformemente entre os três valores possíveis <math>\sigma \in \{-1, 0, 1\}.</math>
# Calcula-se a variação de energia associada à mudança proposta: <math>\Delta E = E_{\text{novo}} - E_{\text{atual}}.</math>

Sabendo a variação de energia, pode-se então decidir se o sistema será ou não atualizado.

=== Probabilidade de transição ===

Partindo do balanço detalhado

<center>
<math>
P(i) W(i \rightarrow j) = P(j) W(j \rightarrow i),
</math>
</center>

E a probabilidade do sistema estar no estado <math>P(\lambda)</math> definida anteriormente, chega-se que:

<center><math>
\frac{P(\lambda_1 \to \lambda_2)}{P(\lambda_2 \to \lambda_1)} = e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

uma das maneiras de se definir <math>P</math> que resolvem esse sistema é o algoritmo de Metropolis <ref name="mecEst" />, aqui, a probabilidade de transição é:

<center><math>
P(\lambda_1 \to \lambda_2)=min\left(1,e^{\frac{E(\lambda_2)-E(\lambda_1)}{T}}\right)
</math></center>

Equivalentemente, gera-se um número aleatório uniforme <math>r \in [0,1)</math>. A atualização é aceita se

<center><math>
r < e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

essa solução garante,também, que a solução da cadeia de Markov seja exatamente a distribuição de Boltzmann.

Quando o spin aleatório sorteado for igual ao atual, o sistema deve também guardar essa mudança, isso se dá para que o sistema respeite o balanço detalhado e não assuma que a probabilidade de permanência em um estado seja nula.

==== Passo de Monte Carlo ====

Considere um sistema contendo <math>N</math> partículas em uma configuração <math>\lambda</math>. Em algoritmos de Monte Carlo, um passo elementar consiste na seleção de uma partícula e na tentativa de atualização de seu estado segundo a dinâmica escolhida (por exemplo, o algoritmo de Metropolis).

Como o número de partículas depende do tamanho do sistema, utilizar apenas o número de passos elementares dificulta a comparação entre simulações realizadas em redes de diferentes dimensões. Por esse motivo, define-se uma unidade de tempo computacional normalizada pelo tamanho do sistema.

O Passo de Monte Carlo (MCS) corresponde a NNN tentativas de atualização elementares. Dessa forma, após um MCS, cada partícula terá sido selecionada, em média, uma vez para possível atualização. Essa definição permite comparar de maneira consistente a evolução temporal e as grandezas medidas em sistemas de diferentes tamanhos.

== Implementação Computacional ==

Começa-se criando uma matriz <code>state</code>. Como esse código será executado diversas vezes com loops longos, diversos pontos devem ser otimizado para velocidade ao invés de legibilidade. O primeiro deles é o uso de uma tabela de referência <code>lookUp</code>. Ela é gerada uma vez sempre que o tamanho da grade é alterado e possui 2 índices, o primeiro (<code>i</code>) sendo a partícula que se quer saber a posição das células adjacentes, e o segundo é um valor de 0 a 3 que guarda, em ordem, o índice da partícula imediatamente acima, abaixo, a esquerda e a direita da partícula <code>i</code>.

Isso também permite que seja montado o sistema como periódico, onde a primeira e a última linha seriam vizinhas, assim como a primeira e última coluna. Isso é útil para diminuir os erros que surgem nas bordas, onde as partículas não teriam vizinhas nas quatro direções.

<syntaxhighlight lang="python">
def genLookup(side):
index = np.arange(side)

up = (index - side) % (side**2)
down = (index + side) % (side**2)
left = np.where(index % side == 0, index - 1 + side, index - 1)
right = np.where((index + 1) % side == 0, index + 1 - side, index + 1)

return np.stack((up, down, left, right))
</syntaxhighlight>

Após isso, é pode-se iniciar o sistema com uma matriz 1D de N partículas, onde N é o quadrado do tamanho desejado de um lado da grade. Usa-se matrizes 1D ao invés de 2D para maximizar a velocidade do código.

Com o sistema iniciado, se implementa o algoritmo de Metropolis em uma função que, quando aplicada sobre o estado <math>\lambda_i</math>, evolui-rá ele para outro estado com uma quantidade definida de passos, podendo ser um passo fundamental, um MCS, ou qualquer outro valor conveniente.

<syntaxhighlight lang="python">
def timeSteps(state, lookup, steps = 1, J = 1, D = 1, T = 1):
N = state.size
varE = 0.0

# Repete a função para a quantidade de passos dada
for i in range(steps):

# A cada passo, escolhe uma partícula e um spin aleatórios
index = np.random.randint(0, N)
oldSpin = state[index]
newSpin = np.random.randint(-1, 2)

# avança a iteração se os spins forem iguais
if newSpin == oldSpin:
continue

# Soma o estado dos vizinhos através da tabela de referência
neiSum = np.sum(state[lookup[:, index]])

# Calcula a mudança de energia do passo
dE = -J * (newSpin - oldSpin) * neiSum + D * (newSpin**2 - oldSpin**2)

# Verifica se o passo foi ou não aceito
if np.random.random() < np.exp(-dE / T):
state[index] = newSpin
varE += dE

# Retorna o estado depois de todos os passos e a variação de energia total
return state, varE
</syntaxhighlight>

Com todas essas etapas montadas, pode-se gerar a primeira simulação. Abaixo, pode-se analisar uma simulação com valores de D e T fixos e um número arbitrário de MCS

[[file:Evolução blume capel.gif|thumb|400px|center|Simulação da evolução de um sistema com parâmetros aleatórios]]

Aqui, pode-se observar a evolução de um único sistema, mas o grande trunfo do modelo de Blume-Capel é analisar os estados do sistema, especificamente o TCP. Para isso, uma única simulação não é suficiente, mas será necessário ver o estado de equilíbrio do sistema em um gráfico de Temperatura (T)/Campo cristalino (D) e analisar a magnetização média e o momento de quadrupolo médio.

Como foi dito anteriormente, essas duas medidas serão iguais em dois casos e diferentes em um. Então o gráfico Temperatura (T)/Campo cristalino (D) irá mostrar <math><M></math> e <math><Q></math>, além de um terceiro gráfico mostrando o módulo da diferença entre eles.

[[file:Blume Capel espaco de fase.gif|thumb|800px|center|Evolução da magnetização, momento de quadrupolo e a diferença de ambos em uma grande área, simulações utilizada para identificar a posição dos estados]]

Desenhando esses três gráficos, pode-se perceber que, onde o TCP teórico está próximo dos três estados de equilíbrio teóricos. Mas para avaliar se ele realmente é o TCP, é necessário verificar duas propriedades.

# Nele, o sistema não deve chegar a um estado de equilíbrio único, mas sim alternar entre os conhecidos;
# A vizinhança dele deve ser composta por simulações que levam a um estado bem definido.

Com isso, para avaliar o sistema, foram geradas várias simulações com diferentes valores de <math>T</math> e <math>D</math> dem volta do valor teórico para encontrar qual é o valor que se chega nessa simulação e, se for possível encontrá-lo, qual é o tamanho do ponto.

[[File:Blume Capel espaco de fase zoom.gif|thumb|800px|center|Espaços de fases Temperatura em y e D em x aproximado onde na região do PTC. A esquerda a evolução da magnetização do sistema, no meio a evolução do momento de quadrupolo e, a direita, o absoluto da diferença entre os dois. Um ponto vermelho localiza-se na previsão teórica do TCP, com três pontos azuis distribuídos ao seu redor mostrando pontos de simulação.]]

Definindo os pontos a serem simulados separadamente, pode-se animar a evolução do sistema com os devidos parâmetros.

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel Estado1.gif|thumb|300px|center|Estados onde Q é maior que E, com as partículas oscilando entre os três estados aleatoriamente.]]
| [[File:Blume Capel Estado2.gif|thumb|300px|center|Estados com Q e M próximos de 1, com a simulação estando de maneira quase homogênea em um único spin diferente de 0.]]
| [[File:Blume Capel Estado3.gif|thumb|300px|center|Estados com Q e M estão próximos de 0, com a maior parte das partículas estando com spin igual a 0.]]
|}
Além disso, pode-se também ver a evolução do estado no TCP:

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel PTC1.png|thumb|250px|center|Momento em que é observado o estado com Q e M baixos.]]
| [[File:Blume Capel PTC2.png|thumb|250px|center|Momento em que é observado o estado com Q e M altos.]]
| [[File:Blume Capel PTC3.png|thumb|250px|center|Momento em que é observado o estado com Q muito maior que M.]]
| [[File:Blume Capel PTC.gif|thumb|200px|center|Animação total onde os gráficos foram extraídos, clique para ver animado (aviso de luzes piscantes).]]
|}

== Conclusão ==

Esse trabalho deixou claro a existência de três estados possíveis, além de mostrar que em uma interface de estados o sistema muda voluntariamente entre os três diferentes estados. pode-se ver, parando o gráfico em alguns pontos específicos, que ele passou pelos três estados.

Assim, o código aqui descrito mostra claramente uma implementação do modelo de Blume-Capel capaz de simular os três estados e um ponto onde os três oscilam entre si aleatoriamente. É importante notar que a variação entre os estados não é tão clara no TCP, pois os estados com M próximo de 0 acabam sendo semelhantes devido ao número de alterações que ocorrem a todo MCS.

Mas o algoritmo aqui descrito está disponível na página [[Código:Modelo de Blume-Capel]] feito em Jupyter Notebook, é capaz de prever de maneira satisfatória a evolução de um sistema à partir das variáveis supridas à ele.

== Referências ==
<references>
<ref name="mecEst">Pathria, R. K.; Beale, Paul D.; ''Statistical Mechanics'', third edition; Elsevier Ltd, 2011; secções 3.4, 12.3, 16.2A</ref>
<ref name="point">Beale, Paul D.; ''Finite-size scaling study of the two-dimensional Blume-Capel model''; APS Journals, 1986; DOI https://doi.org/10.1103/PhysRevB.33.1717</ref>
</references>

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-06-01T13:37:01Z

Misalocin: /* Implementação Computacional */

== Modelo de Ising ==

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>
</center>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<center>
<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será<ref name="mecEst" />:

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

Agora, consideremos o ensemble canonico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>
</center>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.
Importante ressaltar que soma é sobre <math>\lambda</math> e não sobre todas as energias, pois muitos estados podem gerar a mesma energia, então não é feita uma soma simples por todo o sistema.

Assim, o resultado é:

<center>
<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_\lambda' e^{-\beta E(\lambda')}}
</math>
</center>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quão ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<center>
<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>
</center>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Energia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o momento de quadrupolo magnético<ref name="point" />, definido como:

<center>
<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>
</center>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Onde o parâmetro <math>D</math> é chamado de campo cristalino. Nessa implementação do modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadrupolo pode ser substituido por um módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

Analisa-se o sistema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é aproximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T<1}</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\mathcal{-|H| }/T>1}</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que existem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico(TCP). Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipulam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> <ref name="point" />

=== Unidades Naturais ===
Antes de começar, é conveniente introduzir o conceito de unidades reduzidas. Como apenas razões entre os parâmetros físicos aparecerão nas equações finais, pode-se escolher uma constante como unidade de energia e utilizar unidades reduzidas, usando <math>k_B = 1</math> e tomando <math>J</math> como unidade de energia. Dessa forma, todas as grandezas passam a ser medidas em unidades de <math>J</math>, sendo comum trabalhar com as variáveis adimensionais

<center>
<math>T^* = \frac{k_B T}{J};</math>
<math>D^* = \frac{D}{J};</math>
<math>H^* = \frac{H}{J}.</math>
</center>

Ao longo deste trabalho, os asteriscos serão omitidos, e todas as grandezas são entendidas como estando em unidades reduzidas.

== Método Monte-Carlo ==

=== Algoritmo ===

Como o número de estados cresce exponencialmente com o número de partículas, não é possível calcular essa distribuição diretamente. Em vez disso, constrói-se uma sequência de estados através de atualizações locais dos spins.

O procedimento consiste em repetir os seguintes passos:

# Escolhe-se aleatoriamente uma partícula.
# Propõe-se um novo valor de spin para essa partícula, escolhido uniformemente entre os três valores possíveis <math>\sigma \in \{-1, 0, 1\}.</math>
# Calcula-se a variação de energia associada à mudança proposta: <math>\Delta E = E_{\text{novo}} - E_{\text{atual}}.</math>

Sabendo a variação de energia, pode-se então decidir se o sistema será ou não atualizado.

=== Probabilidade de transição ===

Partindo do balanço detalhado

<center>
<math>
P(i) W(i \rightarrow j) = P(j) W(j \rightarrow i),
</math>
</center>

E a probabilidade do sistema estar no estado <math>P(\lambda)</math> definida anteriormente, chega-se que:

<center><math>
\frac{P(\lambda_1 \to \lambda_2)}{P(\lambda_2 \to \lambda_1)} = e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

uma das maneiras de se definir <math>P</math> que resolvem esse sistema é o algoritmo de Metropolis <ref name="mecEst" />, aqui, a probabilidade de transição é:

<center><math>
P(\lambda_1 \to \lambda_2)=min\left(1,e^{\frac{E(\lambda_2)-E(\lambda_1)}{T}}\right)
</math></center>

Equivalentemente, gera-se um número aleatório uniforme <math>r \in [0,1)</math>. A atualização é aceita se

<center><math>
r < e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

essa solução garante,também, que a solução da cadeia de Markov seja exatamente a distribuição de Boltzmann.

Quando o spin aleatório sorteado for igual ao atual, o sistema deve também guardar essa mudança, isso se dá para que o sistema respeite o balanço detalhado e não assuma que a probabilidade de permanência em um estado seja nula.

==== Passo de Monte Carlo ====

Considere um sistema contendo <math>N</math> partículas em uma configuração <math>\lambda</math>. Em algoritmos de Monte Carlo, um passo elementar consiste na seleção de uma partícula e na tentativa de atualização de seu estado segundo a dinâmica escolhida (por exemplo, o algoritmo de Metropolis).

Como o número de partículas depende do tamanho do sistema, utilizar apenas o número de passos elementares dificulta a comparação entre simulações realizadas em redes de diferentes dimensões. Por esse motivo, define-se uma unidade de tempo computacional normalizada pelo tamanho do sistema.

O Passo de Monte Carlo (MCS) corresponde a NNN tentativas de atualização elementares. Dessa forma, após um MCS, cada partícula terá sido selecionada, em média, uma vez para possível atualização. Essa definição permite comparar de maneira consistente a evolução temporal e as grandezas medidas em sistemas de diferentes tamanhos.

== Implementação Computacional ==

Começa-se criando uma matriz <code>state</code>. Como esse código será executado diversas vezes com loops longos, diversos pontos devem ser otimizado para velocidade ao invés de legibilidade. O primeiro deles é o uso de uma tabela de referência <code>lookUp</code>. Ela é gerada uma vez sempre que o tamanho da grade é alterado e possui 2 índices, o primeiro (<code>i</code>) sendo a partícula que se quer saber a posição das células adjacentes, e o segundo é um valor de 0 a 3 que guarda, em ordem, o índice da partícula imediatamente acima, abaixo, a esquerda e a direita da partícula <code>i</code>.

Isso também permite que seja montado o sistema como periódico, onde a primeira e a última linha seriam vizinhas, assim como a primeira e última coluna. Isso é útil para diminuir os erros que surgem nas bordas, onde as partículas não teriam vizinhas nas quatro direções.

<syntaxhighlight lang="python">
def genLookup(side):
index = np.arange(side)

up = (index - side) % (side**2)
down = (index + side) % (side**2)
left = np.where(index % side == 0, index - 1 + side, index - 1)
right = np.where((index + 1) % side == 0, index + 1 - side, index + 1)

return np.stack((up, down, left, right))
</syntaxhighlight>

Após isso, é pode-se iniciar o sistema com uma matriz 1D de N partículas, onde N é o quadrado do tamanho desejado de um lado da grade. Usa-se matrizes 1D ao invés de 2D para maximizar a velocidade do código.

Com o sistema iniciado, se implementa o algoritmo de Metropolis em uma função que, quando aplicada sobre o estado <math>\lambda_i</math>, evolui-rá ele para outro estado com uma quantidade definida de passos, podendo ser um passo fundamental, um MCS, ou qualquer outro valor conveniente.

<syntaxhighlight lang="python">
def timeSteps(state, lookup, steps = 1, J = 1, D = 1, T = 1):
N = state.size
varE = 0.0

# Repete a função para a quantidade de passos dada
for i in range(steps):

# A cada passo, escolhe uma partícula e um spin aleatórios
index = np.random.randint(0, N)
oldSpin = state[index]
newSpin = np.random.randint(-1, 2)

# avança a iteração se os spins forem iguais
if newSpin == oldSpin:
continue

# Soma o estado dos vizinhos através da tabela de referência
neiSum = np.sum(state[lookup[:, index]])

# Calcula a mudança de energia do passo
dE = -J * (newSpin - oldSpin) * neiSum + D * (newSpin**2 - oldSpin**2)

# Verifica se o passo foi ou não aceito
if np.random.random() < np.exp(-dE / T):
state[index] = newSpin
varE += dE

# Retorna o estado depois de todos os passos e a variação de energia total
return state, varE
</syntaxhighlight>

Com todas essas etapas montadas, pode-se gerar a primeira simulação. Abaixo, pode-se analisar uma simulação com valores de D e T fixos e um número arbitrário de MCS

[[file:Evolução blume capel.gif|thumb|400px|center|Simulação da evolução de um sistema com parâmetros aleatórios]]

Aqui, pode-se observar a evolução de um único sistema, mas o grande trunfo do modelo de Blume-Capel é analisar os estados do sistema, especificamente o TCP. Para isso, uma única simulação não é suficiente, mas será necessário ver o estado de equilíbrio do sistema em um gráfico de Temperatura (T)/Campo cristalino (D) e analisar a magnetização média e o momento de quadrupolo médio.

Como foi dito anteriormente, essas duas medidas serão iguais em dois casos e diferentes em um. Então o gráfico Temperatura (T)/Campo cristalino (D) irá mostrar <math><M></math> e <math><Q></math>, além de um terceiro gráfico mostrando o módulo da diferença entre eles.

[[file:Blume Capel espaco de fase.gif|thumb|800px|center|Evolução da magnetização, momento de quadrupolo e a diferença de ambos em uma grande área, simulações utilizada para identificar a posição dos estados]]

Desenhando esses três gráficos, pode-se perceber que, onde o TCP teórico está próximo dos três estados de equilíbrio teóricos. Mas para avaliar se ele realmente é o TCP, é necessário verificar duas propriedades.

# Nele, o sistema não deve chegar a um estado de equilíbrio único, mas sim alternar entre os conhecidos;
# A vizinhança dele deve ser composta por simulações que levam a um estado bem definido.

Com isso, para avaliar o sistema, foram geradas várias simulações com diferentes valores de <math>T</math> e <math>D</math> dem volta do valor teórico para encontrar qual é o valor que se chega nessa simulação e, se for possível encontrá-lo, qual é o tamanho do ponto.

[[File:Blume Capel espaco de fase zoom.gif|thumb|800px|center|Espaços de fases Temperatura em y e D em x aproximado onde na região do PTC. A esquerda a evolução da magnetização do sistema, no meio a evolução do momento de quadrupolo e, a direita, o absoluto da diferença entre os dois. Um ponto vermelho localiza-se na previsão teórica do TCP, com três pontos azuis distribuídos ao seu redor mostrando pontos de simulação.]]

Definindo os pontos a serem simulados separadamente, pode-se animar a evolução do sistema com os devidos parâmetros.

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel Estado1.gif|thumb|300px|center|Estados onde Q é maior que E, com as partículas oscilando entre os três estados aleatoriamente.]]
| [[File:Blume Capel Estado2.gif|thumb|300px|center|Estados com Q e M próximos de 1, com a simulação estando de maneira quase homogênea em um único spin diferente de 0.]]
| [[File:Blume Capel Estado3.gif|thumb|300px|center|Estados com Q e M estão próximos de 0, com a maior parte das partículas estando com spin igual a 0.]]
|}
Além disso, pode-se também ver a evolução do estado no TCP:

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel PTC1.png|thumb|250px|center|Momento em que é observado o estado com Q e M baixos.]]
| [[File:Blume Capel PTC2.png|thumb|250px|center|Momento em que é observado o estado com Q e M altos.]]
| [[File:Blume Capel PTC3.png|thumb|250px|center|Momento em que é observado o estado com Q muito maior que M.]]
| [[File:Blume Capel PTC.gif|thumb|200px|center|Animação total onde os gráficos foram extraídos, clique para ver animado (aviso de luzes piscantes).]]
|}

== Conclusão ==

Esse trabalho deixou claro a existência de três estados possíveis, além de mostrar que em uma interface de estados o sistema muda voluntariamente entre os três diferentes estados. pode-se ver, parando o gráfico em alguns pontos específicos, que ele passou pelos três estados.

Assim, o código aqui descrito mostra claramente uma implementação do modelo de Blume-Capel capaz de simular os três estados e um ponto onde os três oscilam entre si aleatoriamente. É importante notar que a variação entre os estados não é tão clara no TCP, pois os estados com M próximo de 0 acabam sendo semelhantes devido ao número de alterações que ocorrem a todo MCS.

Mas o algoritmo aqui descrito está disponível na página [[Código:Modelo de Blume-Capel]] feito em Jupyter Notebook, é capaz de prever de maneira satisfatória a evolução de um sistema à partir das variáveis supridas à ele.

== Referências ==
<references>
<ref name="mecEst">Pathria, R. K.; Beale, Paul D.; ''Statistical Mechanics'', third edition; Elsevier Ltd, 2011; secções 3.4, 12.3, 16.2A</ref>
<ref name="point">Beale, Paul D.; ''Finite-size scaling study of the two-dimensional Blume-Capel model''; APS Journals, 1986; DOI https://doi.org/10.1103/PhysRevB.33.1717</ref>
</references>

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-06-01T13:34:35Z

Misalocin:

== Modelo de Ising ==

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>
</center>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<center>
<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será<ref name="mecEst" />:

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

Agora, consideremos o ensemble canonico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>
</center>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.
Importante ressaltar que soma é sobre <math>\lambda</math> e não sobre todas as energias, pois muitos estados podem gerar a mesma energia, então não é feita uma soma simples por todo o sistema.

Assim, o resultado é:

<center>
<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_\lambda' e^{-\beta E(\lambda')}}
</math>
</center>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quão ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<center>
<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>
</center>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Energia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o momento de quadrupolo magnético<ref name="point" />, definido como:

<center>
<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>
</center>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Onde o parâmetro <math>D</math> é chamado de campo cristalino. Nessa implementação do modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadrupolo pode ser substituido por um módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

Analisa-se o sistema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é aproximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T<1}</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\mathcal{-|H| }/T>1}</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que existem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico(TCP). Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipulam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> <ref name="point" />

=== Unidades Naturais ===
Antes de começar, é conveniente introduzir o conceito de unidades reduzidas. Como apenas razões entre os parâmetros físicos aparecerão nas equações finais, pode-se escolher uma constante como unidade de energia e utilizar unidades reduzidas, usando <math>k_B = 1</math> e tomando <math>J</math> como unidade de energia. Dessa forma, todas as grandezas passam a ser medidas em unidades de <math>J</math>, sendo comum trabalhar com as variáveis adimensionais

<center>
<math>T^* = \frac{k_B T}{J};</math>
<math>D^* = \frac{D}{J};</math>
<math>H^* = \frac{H}{J}.</math>
</center>

Ao longo deste trabalho, os asteriscos serão omitidos, e todas as grandezas são entendidas como estando em unidades reduzidas.

== Método Monte-Carlo ==

=== Algoritmo ===

Como o número de estados cresce exponencialmente com o número de partículas, não é possível calcular essa distribuição diretamente. Em vez disso, constrói-se uma sequência de estados através de atualizações locais dos spins.

O procedimento consiste em repetir os seguintes passos:

# Escolhe-se aleatoriamente uma partícula.
# Propõe-se um novo valor de spin para essa partícula, escolhido uniformemente entre os três valores possíveis <math>\sigma \in \{-1, 0, 1\}.</math>
# Calcula-se a variação de energia associada à mudança proposta: <math>\Delta E = E_{\text{novo}} - E_{\text{atual}}.</math>

Sabendo a variação de energia, pode-se então decidir se o sistema será ou não atualizado.

=== Probabilidade de transição ===

Partindo do balanço detalhado

<center>
<math>
P(i) W(i \rightarrow j) = P(j) W(j \rightarrow i),
</math>
</center>

E a probabilidade do sistema estar no estado <math>P(\lambda)</math> definida anteriormente, chega-se que:

<center><math>
\frac{P(\lambda_1 \to \lambda_2)}{P(\lambda_2 \to \lambda_1)} = e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

uma das maneiras de se definir <math>P</math> que resolvem esse sistema é o algoritmo de Metropolis <ref name="mecEst" />, aqui, a probabilidade de transição é:

<center><math>
P(\lambda_1 \to \lambda_2)=min\left(1,e^{\frac{E(\lambda_2)-E(\lambda_1)}{T}}\right)
</math></center>

Equivalentemente, gera-se um número aleatório uniforme <math>r \in [0,1)</math>. A atualização é aceita se

<center><math>
r < e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

essa solução garante,também, que a solução da cadeia de Markov seja exatamente a distribuição de Boltzmann.

Quando o spin aleatório sorteado for igual ao atual, o sistema deve também guardar essa mudança, isso se dá para que o sistema respeite o balanço detalhado e não assuma que a probabilidade de permanência em um estado seja nula.

==== Passo de Monte Carlo ====

Considere um sistema contendo <math>N</math> partículas em uma configuração <math>\lambda</math>. Em algoritmos de Monte Carlo, um passo elementar consiste na seleção de uma partícula e na tentativa de atualização de seu estado segundo a dinâmica escolhida (por exemplo, o algoritmo de Metropolis).

Como o número de partículas depende do tamanho do sistema, utilizar apenas o número de passos elementares dificulta a comparação entre simulações realizadas em redes de diferentes dimensões. Por esse motivo, define-se uma unidade de tempo computacional normalizada pelo tamanho do sistema.

O Passo de Monte Carlo (MCS) corresponde a NNN tentativas de atualização elementares. Dessa forma, após um MCS, cada partícula terá sido selecionada, em média, uma vez para possível atualização. Essa definição permite comparar de maneira consistente a evolução temporal e as grandezas medidas em sistemas de diferentes tamanhos.

== Implementação Computacional ==

Começa-se criando uma matriz <code>state</code>. Como esse código será executado diversas vezes com loops longos, diversos pontos devem ser otimizado para velocidade ao invés de legibilidade. O primeiro deles é o uso de uma tabela de referência <code>lookUp</code>. Ela é gerada uma vez sempre que o tamanho da grade é alterado e possui 2 índices, o primeiro (<code>i</code>) sendo a partícula que se quer saber a posição das células adjacentes, e o segundo é um valor de 0 a 3 que guarda, em ordem, o índice da partícula imediatamente acima, abaixo, a esquerda e a direita da partícula <code>i</code>.

Isso também permite que seja montado o sistema como periódico, onde a primeira e a última linha seriam vizinhas, assim como a primeira e última coluna. Isso é útil para diminuir os erros que surgem nas bordas, onde as partículas não teriam vizinhas nas quatro direções.

<syntaxhighlight lang="python">
def genLookup(side):
index = np.arange(side)

up = (index - side) % (side**2)
down = (index + side) % (side**2)
left = np.where(index % side == 0, index - 1 + side, index - 1)
right = np.where((index + 1) % side == 0, index + 1 - side, index + 1)

return np.stack((up, down, left, right))
</syntaxhighlight>

Após isso, é pode-se iniciar o sistema com uma matriz 1D de N partículas, onde N é o quadrado do tamanho desejado de um lado da grade. Usa-se matrizes 1D ao invés de 2D para maximizar a velocidade do código.

Com o sistema iniciado, se implementa o algoritmo de Metropolis em uma função que, quando aplicada sobre o estado <math>\lambda_i</math>, evolui-rá ele para outro estado com uma quantidade definida de passos, podendo ser um passo fundamental, um MCS, ou qualquer outro valor conveniente.

<syntaxhighlight lang="python">
def timeSteps(state, lookup, steps = 1, J = 1, D = 1, T = 1):
N = state.size
varE = 0.0

# Repete a função para a quantidade de passos dada
for i in range(steps):

# A cada passo, escolhe uma partícula e um spin aleatórios
index = np.random.randint(0, N)
oldSpin = state[index]
newSpin = np.random.randint(-1, 2)

# avança a iteração se os spins forem iguais
if newSpin == oldSpin:
continue

# Soma o estado dos vizinhos através da tabela de referência
neiSum = np.sum(state[lookup[:, index]])

# Calcula a mudança de energia do passo
dE = -J * (newSpin - oldSpin) * neiSum + D * (newSpin**2 - oldSpin**2)

# Verifica se o passo foi ou não aceito
if np.random.random() < np.exp(-dE / T):
state[index] = newSpin
varE += dE

# Retorna o estado depois de todos os passos e a variação de energia total
return state, varE
</syntaxhighlight>

Com todas essas etapas montadas, pode-se gerar a primeira simulação. Abaixo, pode-se analisar uma simulação com valores de D e T fixos e um número arbitrário de MCS

[[file:Evolução blume capel.gif|thumb|400px|center|Simulação da evolução de um sistema com parâmetros aleatórios]]

Aqui, pode-se observar a evolução de um único sistema, mas o grande trunfo do modelo de Blume-Capel é analisar os estados do sistema, especificamente o TCP. Para isso, uma única simulação não é suficiente, mas será necessário ver o estado de equilíbrio do sistema em um gráfico de Temperatura (T)/Campo cristalino (D) e analisar a magnetização média e o momento de quadrupolo médio.

Como foi dito anteriormente, essas duas medidas serão iguais em dois casos e diferentes em um. Então o gráfico Temperatura (T)/Campo cristalino (D) irá mostrar <math><M></math> e <math><Q></math>, além de um terceiro gráfico mostrando o módulo da diferença entre eles.

[[file:Blume Capel espaco de fase.gif|frame|center|Evolução da magnetização, momento de quadrupolo e a diferença de ambos em uma grande área, simulações utilizada para identificar a posição dos estados]]

Desenhando esses três gráficos, pode-se perceber que, onde o TCP teórico está próximo dos três estados de equilíbrio teóricos. Mas para avaliar se ele realmente é o TCP, é necessário verificar duas propriedades.

# Nele, o sistema não deve chegar a um estado de equilíbrio único, mas sim alternar entre os conhecidos;
# A vizinhança dele deve ser composta por simulações que levam a um estado bem definido.

Com isso, para avaliar o sistema, foram geradas várias simulações com diferentes valores de <math>T</math> e <math>D</math> dem volta do valor teórico para encontrar qual é o valor que se chega nessa simulação e, se for possível encontrá-lo, qual é o tamanho do ponto.

[[File:Blume Capel espaco de fase zoom.gif|frame|center|Espaços de fases Temperatura em y e D em x aproximado onde na região do PTC. A esquerda a evolução da magnetização do sistema, no meio a evolução do momento de quadrupolo e, a direita, o absoluto da diferença entre os dois. Um ponto vermelho localiza-se na previsão teórica do TCP, com três pontos azuis distribuídos ao seu redor mostrando pontos de simulação.]]

Definindo os pontos a serem simulados separadamente, pode-se animar a evolução do sistema com os devidos parâmetros.

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel Estado1.gif|thumb|300px|center|Estados onde Q é maior que E, com as partículas oscilando entre os três estados aleatoriamente.]]
| [[File:Blume Capel Estado2.gif|thumb|300px|center|Estados com Q e M próximos de 1, com a simulação estando de maneira quase homogênea em um único spin diferente de 0.]]
| [[File:Blume Capel Estado3.gif|thumb|300px|center|Estados com Q e M estão próximos de 0, com a maior parte das partículas estando com spin igual a 0.]]
|}
Além disso, pode-se também ver a evolução do estado no TCP:

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel PTC1.png|thumb|250px|center|Momento em que é observado o estado com Q e M baixos.]]
| [[File:Blume Capel PTC2.png|thumb|250px|center|Momento em que é observado o estado com Q e M altos.]]
| [[File:Blume Capel PTC3.png|thumb|250px|center|Momento em que é observado o estado com Q muito maior que M.]]
| [[File:Blume Capel PTC.gif|thumb|200px|center|Animação total onde os gráficos foram extraídos, clique para ver animado (aviso de luzes piscantes).]]
|}

== Conclusão ==

Esse trabalho deixou claro a existência de três estados possíveis, além de mostrar que em uma interface de estados o sistema muda voluntariamente entre os três diferentes estados. pode-se ver, parando o gráfico em alguns pontos específicos, que ele passou pelos três estados.

Assim, o código aqui descrito mostra claramente uma implementação do modelo de Blume-Capel capaz de simular os três estados e um ponto onde os três oscilam entre si aleatoriamente. É importante notar que a variação entre os estados não é tão clara no TCP, pois os estados com M próximo de 0 acabam sendo semelhantes devido ao número de alterações que ocorrem a todo MCS.

Mas o algoritmo aqui descrito está disponível na página [[Código:Modelo de Blume-Capel]] feito em Jupyter Notebook, é capaz de prever de maneira satisfatória a evolução de um sistema à partir das variáveis supridas à ele.

== Referências ==
<references>
<ref name="mecEst">Pathria, R. K.; Beale, Paul D.; ''Statistical Mechanics'', third edition; Elsevier Ltd, 2011; secções 3.4, 12.3, 16.2A</ref>
<ref name="point">Beale, Paul D.; ''Finite-size scaling study of the two-dimensional Blume-Capel model''; APS Journals, 1986; DOI https://doi.org/10.1103/PhysRevB.33.1717</ref>
</references>

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-06-01T13:26:19Z

Misalocin:

== Modelo de Ising ==

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>
</center>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<center>
<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será<ref name="mecEst" />:

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

Agora, consideremos o ensemble canonico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>
</center>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.
Importante ressaltar que soma é sobre <math>\lambda</math> e não sobre todas as energias, pois muitos estados podem gerar a mesma energia, então não é feita uma soma simples por todo o sistema.

Assim, o resultado é:

<center>
<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_\lambda' e^{-\beta E(\lambda')}}
</math>
</center>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quão ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<center>
<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>
</center>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Energia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o momento de quadrupolo magnético<ref name="point" />, definido como:

<center>
<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>
</center>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Onde o parâmetro <math>D</math> é chamado de campo cristalino. Nessa implementação do modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadrupolo pode ser substituido por um módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

Analisa-se o sistema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é aproximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T<1}</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\mathcal{-|H| }/T>1}</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que existem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico(TCP). Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipulam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> <ref name="point" />

=== Unidades Naturais ===
Antes de começar, é conveniente introduzir o conceito de unidades reduzidas. Como apenas razões entre os parâmetros físicos aparecerão nas equações finais, pode-se escolher uma constante como unidade de energia e utilizar unidades reduzidas, usando <math>k_B = 1</math> e tomando <math>J</math> como unidade de energia. Dessa forma, todas as grandezas passam a ser medidas em unidades de <math>J</math>, sendo comum trabalhar com as variáveis adimensionais

<center>
<math>T^* = \frac{k_B T}{J};</math>
<math>D^* = \frac{D}{J};</math>
<math>H^* = \frac{H}{J}.</math>
</center>

Ao longo deste trabalho, os asteriscos serão omitidos, e todas as grandezas são entendidas como estando em unidades reduzidas.

== Método Monte-Carlo ==

=== Algoritmo ===

Como o número de estados cresce exponencialmente com o número de partículas, não é possível calcular essa distribuição diretamente. Em vez disso, constrói-se uma sequência de estados através de atualizações locais dos spins.

O procedimento consiste em repetir os seguintes passos:

# Escolhe-se aleatoriamente uma partícula.
# Propõe-se um novo valor de spin para essa partícula, escolhido uniformemente entre os três valores possíveis <math>\sigma \in \{-1, 0, 1\}.</math>
# Calcula-se a variação de energia associada à mudança proposta: <math>\Delta E = E_{\text{novo}} - E_{\text{atual}}.</math>

Sabendo a variação de energia, pode-se então decidir se o sistema será ou não atualizado.

=== Probabilidade de transição ===

Partindo do balanço detalhado

<center>
<math>
P(i) W(i \rightarrow j) = P(j) W(j \rightarrow i),
</math>
</center>

E a probabilidade do sistema estar no estado <math>P(\lambda)</math> definida anteriormente, chega-se que:

<center><math>
\frac{P(\lambda_1 \to \lambda_2)}{P(\lambda_2 \to \lambda_1)} = e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

uma das maneiras de se definir <math>P</math> que resolvem esse sistema é o algoritmo de Metropolis <ref name="mecEst" />, aqui, a probabilidade de transição é:

<center><math>
P(\lambda_1 \to \lambda_2)=min\left(1,e^{\frac{E(\lambda_2)-E(\lambda_1)}{T}}\right)
</math></center>

Equivalentemente, gera-se um número aleatório uniforme <math>r \in [0,1)</math>. A atualização é aceita se

<center><math>
r < e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

essa solução garante,também, que a solução da cadeia de Markov seja exatamente a distribuição de Boltzmann.

Quando o spin aleatório sorteado for igual ao atual, o sistema deve também guardar essa mudança, isso se dá para que o sistema respeite o balanço detalhado e não assuma que a probabilidade de permanência em um estado seja nula.

==== Passo de Monte Carlo ====

Considere um sistema contendo <math>N</math> partículas em uma configuração <math>\lambda</math>. Em algoritmos de Monte Carlo, um passo elementar consiste na seleção de uma partícula e na tentativa de atualização de seu estado segundo a dinâmica escolhida (por exemplo, o algoritmo de Metropolis).

Como o número de partículas depende do tamanho do sistema, utilizar apenas o número de passos elementares dificulta a comparação entre simulações realizadas em redes de diferentes dimensões. Por esse motivo, define-se uma unidade de tempo computacional normalizada pelo tamanho do sistema.

O Passo de Monte Carlo (MCS) corresponde a NNN tentativas de atualização elementares. Dessa forma, após um MCS, cada partícula terá sido selecionada, em média, uma vez para possível atualização. Essa definição permite comparar de maneira consistente a evolução temporal e as grandezas medidas em sistemas de diferentes tamanhos.

== Implementação Computacional ==

Começa-se criando uma matriz <code>state</code>. Como esse código será executado diversas vezes com loops longos, diversos pontos devem ser otimizado para velocidade ao invés de legibilidade. O primeiro deles é o uso de uma tabela de referência <code>lookUp</code>. Ela é gerada uma vez sempre que o tamanho da grade é alterado e possui 2 índices, o primeiro (<code>i</code>) sendo a partícula que se quer saber a posição das células adjacentes, e o segundo é um valor de 0 a 3 que guarda, em ordem, o índice da partícula imediatamente acima, abaixo, a esquerda e a direita da partícula <code>i</code>.

Isso também permite que seja montado o sistema como periódico, onde a primeira e a última linha seriam vizinhas, assim como a primeira e última coluna. Isso é útil para diminuir os erros que surgem nas bordas, onde as partículas não teriam vizinhas nas quatro direções.

<syntaxhighlight lang="python">
def genLookup(side):
index = np.arange(side)

up = (index - side) % (side**2)
down = (index + side) % (side**2)
left = np.where(index % side == 0, index - 1 + side, index - 1)
right = np.where((index + 1) % side == 0, index + 1 - side, index + 1)

return np.stack((up, down, left, right))
</syntaxhighlight>

Após isso, é pode-se iniciar o sistema com uma matriz 1D de N partículas, onde N é o quadrado do tamanho desejado de um lado da grade. Usa-se matrizes 1D ao invés de 2D para maximizar a velocidade do código.

Com o sistema iniciado, se implementa o algoritmo de Metropolis em uma função que, quando aplicada sobre o estado <math>\lambda_i</math>, evolui-rá ele para outro estado com uma quantidade definida de passos, podendo ser um passo fundamental, um MCS, ou qualquer outro valor conveniente.

<syntaxhighlight lang="python">
def timeSteps(state, lookup, steps = 1, J = 1, D = 1, T = 1):
N = state.size
varE = 0.0

# Repete a função para a quantidade de passos dada
for i in range(steps):

# A cada passo, escolhe uma partícula e um spin aleatórios
index = np.random.randint(0, N)
oldSpin = state[index]
newSpin = np.random.randint(-1, 2)

# avança a iteração se os spins forem iguais
if newSpin == oldSpin:
continue

# Soma o estado dos vizinhos através da tabela de referência
neiSum = np.sum(state[lookup[:, index]])

# Calcula a mudança de energia do passo
dE = -J * (newSpin - oldSpin) * neiSum + D * (newSpin**2 - oldSpin**2)

# Verifica se o passo foi ou não aceito
if np.random.random() < np.exp(-dE / T):
state[index] = newSpin
varE += dE

# Retorna o estado depois de todos os passos e a variação de energia total
return state, varE
</syntaxhighlight>

Com todas essas etapas montadas, pode-se gerar a primeira simulação. Abaixo, pode-se analisar uma simulação com valores de D e T fixos e um número arbitrário de MCS

[[file:Evolução blume capel.gif|frame|center|teste]]

Aqui, pode-se observar a evolução de um único sistema, mas o grande trunfo do modelo de Blume-Capel é analisar os estados do sistema, especificamente o TCP. Para isso, uma única simulação não é suficiente, mas será necessário ver o estado de equilíbrio do sistema em um gráfico de Temperatura (T)/Campo cristalino (D) e analisar a magnetização média e o momento de quadrupolo médio.

Como foi dito anteriormente, essas duas medidas serão iguais em dois casos e diferentes em um. Então o gráfico Temperatura (T)/Campo cristalino (D) irá mostrar <math><M></math> e <math><Q></math>, além de um terceiro gráfico mostrando o módulo da diferença entre eles.

[[file:Blume Capel espaco de fase.gif|frame|center|Evolução da magnetização, momento de quadrupolo e a diferença de ambos em uma grande área, simulações utilizada para identificar a posição dos estados]]

Desenhando esses três gráficos, pode-se perceber que, onde o TCP teórico está próximo dos três estados de equilíbrio teóricos. Mas para avaliar se ele realmente é o TCP, é necessário verificar duas propriedades.

# Nele, o sistema não deve chegar a um estado de equilíbrio único, mas sim alternar entre os conhecidos;
# A vizinhança dele deve ser composta por simulações que levam a um estado bem definido.

Com isso, para avaliar o sistema, foram geradas várias simulações com diferentes valores de <math>T</math> e <math>D</math> dem volta do valor teórico para encontrar qual é o valor que se chega nessa simulação e, se for possível encontrá-lo, qual é o tamanho do ponto.

[[File:Blume Capel espaco de fase zoom.gif|frame|center|Espaços de fases Temperatura em y e D em x aproximado onde na região do PTC. A esquerda a evolução da magnetização do sistema, no meio a evolução do momento de quadrupolo e, a direita, o absoluto da diferença entre os dois. Um ponto vermelho localiza-se na previsão teórica do TCP, com três pontos azuis distribuídos ao seu redor mostrando pontos de simulação.]]

Definindo os pontos a serem simulados separadamente, pode-se animar a evolução do sistema com os devidos parâmetros.

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel Estado1.gif|frame|center|Estados onde Q é maior que E, com as partículas oscilando entre os três estados aleatoriamente.]]
| [[File:Blume Capel Estado2.gif|frame|center|Estados com Q e M próximos de 1, com a simulação estando de maneira quase homogênea em um único spin diferente de 0.]]
|}

[[File:Blume Capel Estado3.gif|frame|center|Estados com Q e M estão próximos de 0, com a maior parte das partículas estando com spin igual a 0.]]

Além disso, pode-se também ver a evolução do estado no TCP:

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel PTC1.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q e M baixos.]]
| [[File:Blume Capel PTC2.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q e M altos.]]
|-
| [[File:Blume Capel PTC3.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q muito maior que M.]]
| [[File:Blume Capel PTC.gif|thumb|100px|center|Animação total onde os gráficos foram extraídos, clique para ver animado (aviso de luzes piscantes).]]
|}

== Conclusão ==

Esse trabalho deixou claro a existência de três estados possíveis, além de mostrar que em uma interface de estados o sistema muda voluntariamente entre os três diferentes estados. pode-se ver, parando o gráfico em alguns pontos específicos, que ele passou pelos três estados.

Assim, o código aqui descrito mostra claramente uma implementação do modelo de Blume-Capel capaz de simular os três estados e um ponto onde os três oscilam entre si aleatoriamente. É importante notar que a variação entre os estados não é tão clara no TCP, pois os estados com M próximo de 0 acabam sendo semelhantes devido ao número de alterações que ocorrem a todo MCS.

Mas o algoritmo aqui descrito está disponível na página [[Código:Modelo de Blume-Capel]] feito em Jupyter Notebook, é capaz de prever de maneira satisfatória a evolução de um sistema à partir das variáveis supridas à ele.

== Referências ==
<references>
<ref name="mecEst">Pathria, R. K.; Beale, Paul D.; ''Statistical Mechanics'', third edition; Elsevier Ltd, 2011; secções 3.4, 12.3, 16.2A</ref>
<ref name="point">Beale, Paul D.; ''Finite-size scaling study of the two-dimensional Blume-Capel model''; APS Journals, 1986; DOI https://doi.org/10.1103/PhysRevB.33.1717</ref>
</references>

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-06-01T13:25:14Z

Misalocin:

== Modelo de Ising ==

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>
</center>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<center>
<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será<ref name="mecEst" />:

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

Agora, consideremos o ensemble canonico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>
</center>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.
Importante ressaltar que soma é sobre <math>\lambda</math> e não sobre todas as energias, pois muitos estados podem gerar a mesma energia, então não é feita uma soma simples por todo o sistema.

Assim, o resultado é:

<center>
<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_\lambda' e^{-\beta E(\lambda')}}
</math>
</center>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quão ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<center>
<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>
</center>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Energia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o momento de quadrupolo magnético<ref name="point" />, definido como:

<center>
<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>
</center>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Onde o parâmetro <math>D</math> é chamado de campo cristalino. Nessa implementação do modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadrupolo pode ser substituido por um módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

Analisa-se o sistema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é aproximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T<1}</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\mathcal{-|H| }/T>1}</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que existem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico(TCP). Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipulam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> <ref name="point" />

=== Unidades Naturais ===
Antes de começar, é conveniente introduzir o conceito de unidades reduzidas. Como apenas razões entre os parâmetros físicos aparecerão nas equações finais, pode-se escolher uma constante como unidade de energia e utilizar unidades reduzidas, usando <math>k_B = 1</math> e tomando <math>J</math> como unidade de energia. Dessa forma, todas as grandezas passam a ser medidas em unidades de <math>J</math>, sendo comum trabalhar com as variáveis adimensionais

<center>
<math>T^* = \frac{k_B T}{J};</math>
<math>D^* = \frac{D}{J};</math>
<math>H^* = \frac{H}{J}.</math>
</center>

Ao longo deste trabalho, os asteriscos serão omitidos, e todas as grandezas são entendidas como estando em unidades reduzidas.

== Método Monte-Carlo ==

=== Algoritmo ===

Como o número de estados cresce exponencialmente com o número de partículas, não é possível calcular essa distribuição diretamente. Em vez disso, constrói-se uma sequência de estados através de atualizações locais dos spins.

O procedimento consiste em repetir os seguintes passos:

# Escolhe-se aleatoriamente uma partícula.
# Propõe-se um novo valor de spin para essa partícula, escolhido uniformemente entre os três valores possíveis <math>\sigma \in \{-1, 0, 1\}.</math>
# Calcula-se a variação de energia associada à mudança proposta: <math>\Delta E = E_{\text{novo}} - E_{\text{atual}}.</math>

Sabendo a variação de energia, pode-se então decidir se o sistema será ou não atualizado.

=== Probabilidade de transição ===

Partindo do balanço detalhado

<center>
<math>
P(i) W(i \rightarrow j) = P(j) W(j \rightarrow i),
</math>
</center>

E a probabilidade do sistema estar no estado <math>P(\lambda)</math> definida anteriormente, chega-se que:

<center><math>
\frac{P(\lambda_1 \to \lambda_2)}{P(\lambda_2 \to \lambda_1)} = e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

uma das maneiras de se definir <math>P</math> que resolvem esse sistema é o algoritmo de Metropolis <ref name="mecEst" />, aqui, a probabilidade de transição é:

<center><math>
P(\lambda_1 \to \lambda_2)=min\left(1,e^{\frac{E(\lambda_2)-E(\lambda_1)}{T}}\right)
</math></center>

Equivalentemente, gera-se um número aleatório uniforme <math>r \in [0,1)</math>. A atualização é aceita se

<center><math>
r < e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

essa solução garante,também, que a solução da cadeia de Markov seja exatamente a distribuição de Boltzmann.

Quando o spin aleatório sorteado for igual ao atual, o sistema deve também guardar essa mudança, isso se dá para que o sistema respeite o balanço detalhado e não assuma que a probabilidade de permanência em um estado seja nula.

==== Passo de Monte Carlo ====

Considere um sistema contendo <math>N</math> partículas em uma configuração <math>\lambda</math>. Em algoritmos de Monte Carlo, um passo elementar consiste na seleção de uma partícula e na tentativa de atualização de seu estado segundo a dinâmica escolhida (por exemplo, o algoritmo de Metropolis).

Como o número de partículas depende do tamanho do sistema, utilizar apenas o número de passos elementares dificulta a comparação entre simulações realizadas em redes de diferentes dimensões. Por esse motivo, define-se uma unidade de tempo computacional normalizada pelo tamanho do sistema.

O Passo de Monte Carlo (MCS) corresponde a NNN tentativas de atualização elementares. Dessa forma, após um MCS, cada partícula terá sido selecionada, em média, uma vez para possível atualização. Essa definição permite comparar de maneira consistente a evolução temporal e as grandezas medidas em sistemas de diferentes tamanhos.

== Implementação Computacional ==

Começa-se criando uma matriz <code>state</code>. Como esse código será executado diversas vezes com loops longos, diversos pontos devem ser otimizado para velocidade ao invés de legibilidade. O primeiro deles é o uso de uma tabela de referência <code>lookUp</code>. Ela é gerada uma vez sempre que o tamanho da grade é alterado e possui 2 índices, o primeiro (<code>i</code>) sendo a partícula que se quer saber a posição das células adjacentes, e o segundo é um valor de 0 a 3 que guarda, em ordem, o índice da partícula imediatamente acima, abaixo, a esquerda e a direita da partícula <code>i</code>.

Isso também permite que seja montado o sistema como periódico, onde a primeira e a última linha seriam vizinhas, assim como a primeira e última coluna. Isso é útil para diminuir os erros que surgem nas bordas, onde as partículas não teriam vizinhas nas quatro direções.

<syntaxhighlight lang="python">
def genLookup(side):
index = np.arange(side)

up = (index - side) % (side**2)
down = (index + side) % (side**2)
left = np.where(index % side == 0, index - 1 + side, index - 1)
right = np.where((index + 1) % side == 0, index + 1 - side, index + 1)

return np.stack((up, down, left, right))
</syntaxhighlight>

Após isso, é pode-se iniciar o sistema com uma matriz 1D de N partículas, onde N é o quadrado do tamanho desejado de um lado da grade. Usa-se matrizes 1D ao invés de 2D para maximizar a velocidade do código.

Com o sistema iniciado, se implementa o algoritmo de Metropolis em uma função que, quando aplicada sobre o estado <math>\lambda_i</math>, evolui-rá ele para outro estado com uma quantidade definida de passos, podendo ser um passo fundamental, um MCS, ou qualquer outro valor conveniente.

<syntaxhighlight lang="python">
def timeSteps(state, lookup, steps = 1, J = 1, D = 1, T = 1):
N = state.size
varE = 0.0

# Repete a função para a quantidade de passos dada
for i in range(steps):

# A cada passo, escolhe uma partícula e um spin aleatórios
index = np.random.randint(0, N)
oldSpin = state[index]
newSpin = np.random.randint(-1, 2)

# avança a iteração se os spins forem iguais
if newSpin == oldSpin:
continue

# Soma o estado dos vizinhos através da tabela de referência
neiSum = np.sum(state[lookup[:, index]])

# Calcula a mudança de energia do passo
dE = -J * (newSpin - oldSpin) * neiSum + D * (newSpin**2 - oldSpin**2)

# Verifica se o passo foi ou não aceito
if np.random.random() < np.exp(-dE / T):
state[index] = newSpin
varE += dE

# Retorna o estado depois de todos os passos e a variação de energia total
return state, varE
</syntaxhighlight>

Com todas essas etapas montadas, pode-se gerar a primeira simulação. Abaixo, pode-se analisar uma simulação com valores de D e T fixos e um número arbitrário de MCS

[[file:Evolução blume capel.gif|frame|center|teste]]

Aqui, pode-se observar a evolução de um único sistema, mas o grande trunfo do modelo de Blume-Capel é analisar os estados do sistema, especificamente o TCP. Para isso, uma única simulação não é suficiente, mas será necessário ver o estado de equilíbrio do sistema em um gráfico de Temperatura (T)/Campo cristalino (D) e analisar a magnetização média e o momento de quadrupolo médio.

Como foi dito anteriormente, essas duas medidas serão iguais em dois casos e diferentes em um. Então o gráfico Temperatura (T)/Campo cristalino (D) irá mostrar <math><M></math> e <math><Q></math>, além de um terceiro gráfico mostrando o módulo da diferença entre eles.

[[file:Blume Capel espaco de fase.gif|frame|center|Evolução da magnetização, momento de quadrupolo e a diferença de ambos em uma grande área, simulações utilizada para identificar a posição dos estados]]

Desenhando esses três gráficos, pode-se perceber que, onde o TCP teórico está próximo dos três estados de equilíbrio teóricos. Mas para avaliar se ele realmente é o TCP, é necessário verificar duas propriedades.

# Nele, o sistema não deve chegar a um estado de equilíbrio único, mas sim alternar entre os conhecidos;
# A vizinhança dele deve ser composta por simulações que levam a um estado bem definido.

Com isso, para avaliar o sistema, foram geradas várias simulações com diferentes valores de <math>T</math> e <math>D</math> dem volta do valor teórico para encontrar qual é o valor que se chega nessa simulação e, se for possível encontrá-lo, qual é o tamanho do ponto.

[[File:Blume Capel espaco de fase zoom.gif|frame|center|Espaços de fases Temperatura em y e D em x aproximado onde na região do PTC. A esquerda a evolução da magnetização do sistema, no meio a evolução do momento de quadrupolo e, a direita, o absoluto da diferença entre os dois. Um ponto vermelho localiza-se na previsão teórica do TCP, com três pontos azuis distribuídos ao seu redor mostrando pontos de simulação.]]

Definindo os pontos a serem simulados separadamente, pode-se animar a evolução do sistema com os devidos parâmetros.

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel Estado1.gif|frame|center|Estados onde Q é maior que E, com as partículas oscilando entre os três estados aleatoriamente.]]
| [[File:Blume Capel Estado2.gif|frame|center|Estados com Q e M próximos de 1, com a simulação estando de maneira quase homogênea em um único spin diferente de 0.]]
|}

[[File:Blume Capel Estado3.gif|frame|center|Estados com Q e M estão próximos de 0, com a maior parte das partículas estando com spin igual a 0.]]

Além disso, pode-se também ver a evolução do estado no TCP:

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel PTC1.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q e M baixos.]]
| [[File:Blume Capel PTC2.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q e M altos.]]
|-
| [[File:Blume Capel PTC3.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q muito maior que M.]]
| [[File:Blume Capel PTC.gif|thumb|420px|center|Animação total onde os gráficos foram extraídos, clique para ver animado (aviso de luzes piscantes).]]
|}

== Conclusão ==

Esse trabalho deixou claro a existência de três estados possíveis, além de mostrar que em uma interface de estados o sistema muda voluntariamente entre os três diferentes estados. pode-se ver, parando o gráfico em alguns pontos específicos, que ele passou pelos três estados.

Assim, o código aqui descrito mostra claramente uma implementação do modelo de Blume-Capel capaz de simular os três estados e um ponto onde os três oscilam entre si aleatoriamente. É importante notar que a variação entre os estados não é tão clara no TCP, pois os estados com M próximo de 0 acabam sendo semelhantes devido ao número de alterações que ocorrem a todo MCS.

Mas o algoritmo aqui descrito está disponível na página [[Código:Modelo de Blume-Capel]] feito em Jupyter Notebook, é capaz de prever de maneira satisfatória a evolução de um sistema à partir das variáveis supridas à ele.

== Referências ==
<references>
<ref name="mecEst">Pathria, R. K.; Beale, Paul D.; ''Statistical Mechanics'', third edition; Elsevier Ltd, 2011; secções 3.4, 12.3, 16.2A</ref>
<ref name="point">Beale, Paul D.; ''Finite-size scaling study of the two-dimensional Blume-Capel model''; APS Journals, 1986; DOI https://doi.org/10.1103/PhysRevB.33.1717</ref>
</references>

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-06-01T01:33:57Z

Misalocin:

== Modelo de Ising ==

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>
</center>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<center>
<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será<ref name="mecEst" />:

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

Agora, consideremos o ensemble canonico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>
</center>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.
Importante ressaltar que soma é sobre <math>\lambda</math> e não sobre todas as energias, pois muitos estados podem gerar a mesma energia, então não é feita uma soma simples por todo o sistema.

Assim, o resultado é:

<center>
<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_\lambda' e^{-\beta E(\lambda')}}
</math>
</center>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quão ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<center>
<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>
</center>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Energia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o momento de quadrupolo magnético<ref name="point" />, definido como:

<center>
<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>
</center>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Onde o parâmetro <math>D</math> é chamado de campo cristalino. Nessa implementação do modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadrupolo pode ser substituido por um módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

Analisa-se o sistema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é aproximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T<1}</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\mathcal{-|H| }/T>1}</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que existem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico(TCP). Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipulam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> <ref name="point" />

=== Unidades Naturais ===
Antes de começar, é conveniente introduzir o conceito de unidades reduzidas. Como apenas razões entre os parâmetros físicos aparecerão nas equações finais, pode-se escolher uma constante como unidade de energia e utilizar unidades reduzidas, usando <math>k_B = 1</math> e tomando <math>J</math> como unidade de energia. Dessa forma, todas as grandezas passam a ser medidas em unidades de <math>J</math>, sendo comum trabalhar com as variáveis adimensionais

<center>
<math>T^* = \frac{k_B T}{J};</math>
<math>D^* = \frac{D}{J};</math>
<math>H^* = \frac{H}{J}.</math>
</center>

Ao longo deste trabalho, os asteriscos serão omitidos, e todas as grandezas são entendidas como estando em unidades reduzidas.

== Método Monte-Carlo ==

=== Algoritmo ===

Como o número de estados cresce exponencialmente com o número de partículas, não é possível calcular essa distribuição diretamente. Em vez disso, constrói-se uma sequência de estados através de atualizações locais dos spins.

O procedimento consiste em repetir os seguintes passos:

# Escolhe-se aleatoriamente uma partícula.
# Propõe-se um novo valor de spin para essa partícula, escolhido uniformemente entre os três valores possíveis <math>\sigma \in \{-1, 0, 1\}.</math>
# Calcula-se a variação de energia associada à mudança proposta: <math>\Delta E = E_{\text{novo}} - E_{\text{atual}}.</math>

Sabendo a variação de energia, pode-se então decidir se o sistema será ou não atualizado.

=== Probabilidade de transição ===

Partindo do balanço detalhado

<center>
<math>
P(i) W(i \rightarrow j) = P(j) W(j \rightarrow i),
</math>
</center>

E a probabilidade do sistema estar no estado <math>P(\lambda)</math> definida anteriormente, chega-se que:

<center><math>
\frac{P(\lambda_1 \to \lambda_2)}{P(\lambda_2 \to \lambda_1)} = e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

uma das maneiras de se definir <math>P</math> que resolvem esse sistema é o algoritmo de Metropolis <ref name="mecEst" />, aqui, a probabilidade de transição é:

<center><math>
P(\lambda_1 \to \lambda_2)=min\left(1,e^{\frac{E(\lambda_2)-E(\lambda_1)}{T}}\right)
</math></center>

Equivalentemente, gera-se um número aleatório uniforme <math>r \in [0,1)</math>. A atualização é aceita se

<center><math>
r < e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

essa solução garante,também, que a solução da cadeia de Markov seja exatamente a distribuição de Boltzmann.

Quando o spin aleatório sorteado for igual ao atual, o sistema deve também guardar essa mudança, isso se dá para que o sistema respeite o balanço detalhado e não assuma que a probabilidade de permanência em um estado seja nula.

==== Passo de Monte Carlo ====

Considere um sistema contendo <math>N</math> partículas em uma configuração <math>\lambda</math>. Em algoritmos de Monte Carlo, um passo elementar consiste na seleção de uma partícula e na tentativa de atualização de seu estado segundo a dinâmica escolhida (por exemplo, o algoritmo de Metropolis).

Como o número de partículas depende do tamanho do sistema, utilizar apenas o número de passos elementares dificulta a comparação entre simulações realizadas em redes de diferentes dimensões. Por esse motivo, define-se uma unidade de tempo computacional normalizada pelo tamanho do sistema.

O Passo de Monte Carlo (MCS) corresponde a NNN tentativas de atualização elementares. Dessa forma, após um MCS, cada partícula terá sido selecionada, em média, uma vez para possível atualização. Essa definição permite comparar de maneira consistente a evolução temporal e as grandezas medidas em sistemas de diferentes tamanhos.

== Implementação Computacional ==

Começa-se criando uma matriz <code>state</code>. Como esse código será executado diversas vezes com loops longos, diversos pontos devem ser otimizado para velocidade ao invés de legibilidade. O primeiro deles é o uso de uma tabela de referência <code>lookUp</code>. Ela é gerada uma vez sempre que o tamanho da grade é alterado e possui 2 índices, o primeiro (<code>i</code>) sendo a partícula que se quer saber a posição das células adjacentes, e o segundo é um valor de 0 a 3 que guarda, em ordem, o índice da partícula imediatamente acima, abaixo, a esquerda e a direita da partícula <code>i</code>.

Isso também permite que seja montado o sistema como periódico, onde a primeira e a última linha seriam vizinhas, assim como a primeira e última coluna. Isso é útil para diminuir os erros que surgem nas bordas, onde as partículas não teriam vizinhas nas quatro direções.

<syntaxhighlight lang="python">
def genLookup(side):
index = np.arange(side)

up = (index - side) % (side**2)
down = (index + side) % (side**2)
left = np.where(index % side == 0, index - 1 + side, index - 1)
right = np.where((index + 1) % side == 0, index + 1 - side, index + 1)

return np.stack((up, down, left, right))
</syntaxhighlight>

Após isso, é pode-se iniciar o sistema com uma matriz 1D de N partículas, onde N é o quadrado do tamanho desejado de um lado da grade. Usa-se matrizes 1D ao invés de 2D para maximizar a velocidade do código.

Com o sistema iniciado, se implementa o algoritmo de Metropolis em uma função que, quando aplicada sobre o estado <math>\lambda_i</math>, evolui-rá ele para outro estado com uma quantidade definida de passos, podendo ser um passo fundamental, um MCS, ou qualquer outro valor conveniente.

<syntaxhighlight lang="python">
def timeSteps(state, lookup, steps = 1, J = 1, D = 1, T = 1):
N = state.size
varE = 0.0

# Repete a função para a quantidade de passos dada
for i in range(steps):

# A cada passo, escolhe uma partícula e um spin aleatórios
index = np.random.randint(0, N)
oldSpin = state[index]
newSpin = np.random.randint(-1, 2)

# avança a iteração se os spins forem iguais
if newSpin == oldSpin:
continue

# Soma o estado dos vizinhos através da tabela de referência
neiSum = np.sum(state[lookup[:, index]])

# Calcula a mudança de energia do passo
dE = -J * (newSpin - oldSpin) * neiSum + D * (newSpin**2 - oldSpin**2)

# Verifica se o passo foi ou não aceito
if np.random.random() < np.exp(-dE / T):
state[index] = newSpin
varE += dE

# Retorna o estado depois de todos os passos e a variação de energia total
return state, varE
</syntaxhighlight>

Com todas essas etapas montadas, pode-se gerar a primeira simulação. Abaixo, pode-se analisar uma simulação com valores de D e T fixos e um número arbitrário de MCS

[[file:Evolução blume capel.gif|frame|center|teste]]

Aqui, pode-se observar a evolução de um único sistema, mas o grande trunfo do modelo de Blume-Capel é analisar os estados do sistema, especificamente o TCP. Para isso, uma única simulação não é suficiente, mas será necessário ver o estado de equilíbrio do sistema em um gráfico de Temperatura (T)/Campo cristalino (D) e analisar a magnetização média e o momento de quadrupolo médio.

Como foi dito anteriormente, essas duas medidas serão iguais em dois casos e diferentes em um. Então o gráfico Temperatura (T)/Campo cristalino (D) irá mostrar <math><M></math> e <math><Q></math>, além de um terceiro gráfico mostrando o módulo da diferença entre eles.

[[file:Blume Capel espaco de fase.gif|frame|center|Evolução da magnetização, momento de quadrupolo e a diferença de ambos em uma grande área, simulações utilizada para identificar a posição dos estados]]

Desenhando esses três gráficos, pode-se perceber que, onde o TCP teórico está próximo dos três estados de equilíbrio teóricos. Mas para avaliar se ele realmente é o TCP, é necessário verificar duas propriedades.

# Nele, o sistema não deve chegar a um estado de equilíbrio único, mas sim alternar entre os conhecidos;
# A vizinhança dele deve ser composta por simulações que levam a um estado bem definido.

Com isso, para avaliar o sistema, foram geradas várias simulações com diferentes valores de <math>T</math> e <math>D</math> dem volta do valor teórico para encontrar qual é o valor que se chega nessa simulação e, se for possível encontrá-lo, qual é o tamanho do ponto.

[[File:Blume Capel espaco de fase zoom.gif|frame|center|Espaços de fases Temperatura em y e D em x aproximado onde na região do PTC. A esquerda a evolução da magnetização do sistema, no meio a evolução do momento de quadrupolo e, a direita, o absoluto da diferença entre os dois. Um ponto vermelho localiza-se na previsão teórica do TCP, com três pontos azuis distribuídos ao seu redor mostrando pontos de simulação.]]

Definindo os pontos a serem simulados separadamente, pode-se animar a evolução do sistema com os devidos parâmetros.

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel Estado1.gif|frame|center|Estados onde Q é maior que E, com as partículas oscilando entre os três estados aleatoriamente.]]
| [[File:Blume Capel Estado2.gif|frame|center|Estados com Q e M próximos de 1, com a simulação estando de maneira quase homogênea em um único spin diferente de 0.]]
|}

[[File:Blume Capel Estado3.gif|frame|center|Estados com Q e M estão próximos de 0, com a maior parte das partículas estando com spin igual a 0.]]

Além disso, pode-se também ver a evolução do estado no TCP:

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel PTC1.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q e M baixos.]]
| [[File:Blume Capel PTC2.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q e M altos.]]
|-
| [[File:Blume Capel PTC3.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q muito maior que M.]]
| [[File:Blume Capel PTC.gif|thumb|430px|center|Animação total onde os gráficos foram extraídos, clique para ver animado (aviso de luzes piscantes.]]
|}

== Conclusão ==

Esse trabalho deixou claro a existência de três estados possíveis, além de mostrar que em uma interface de estados o sistema muda voluntariamente entre os três diferentes estados. pode-se ver, parando o gráfico em alguns pontos específicos, que ele passou pelos três estados.

Assim, o código aqui descrito mostra claramente uma implementação do modelo de Blume-Capel capaz de simular os três estados e um ponto onde os três oscilam entre si aleatoriamente. É importante notar que a variação entre os estados não é tão clara no TCP, pois os estados com M próximo de 0 acabam sendo semelhantes devido ao número de alterações que ocorrem a todo MCS.

Mas o algoritmo aqui descrito está disponível na página [[Código:Modelo de Blume-Capel]] feito em Jupyter Notebook, é capaz de prever de maneira satisfatória a evolução de um sistema à partir das variáveis supridas à ele.

== Referências ==
<references>
<ref name="mecEst">Pathria, R. K.; Beale, Paul D.; ''Statistical Mechanics'', third edition; Elsevier Ltd, 2011; secções 3.4, 12.3, 16.2A</ref>
<ref name="point">Beale, Paul D.; ''Finite-size scaling study of the two-dimensional Blume-Capel model''; APS Journals, 1986; DOI https://doi.org/10.1103/PhysRevB.33.1717</ref>
</references>

Código:Modelo de Blume-Capel

2026-06-01T01:33:32Z

Misalocin: Criou página com '<syntaxhighlight lang="python"> import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib.animation as animation import numpy as np from IPython.display import HTML from numba import njit, prange </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="python"> # Cria uma tabela de referência com o mesmo tamanho # da matriz de estado. Essa matriz terá, para uma partícula de # índice 1, uma lista com os índices referente á um passo para cada # lado, usado para acelerar a simulação. @...'

<syntaxhighlight lang="python">
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
import numpy as np

from IPython.display import HTML
from numba import njit, prange
</syntaxhighlight>

<syntaxhighlight lang="python">
# Cria uma tabela de referência com o mesmo tamanho
# da matriz de estado. Essa matriz terá, para uma partícula de
# índice 1, uma lista com os índices referente á um passo para cada
# lado, usado para acelerar a simulação.
@njit
def genLookup(side):
index = np.arange(side**2)

up = (index - side) % (side**2)
down = (index + side) % (side**2)
left = np.where(index % side == 0, index - 1 + side, index - 1)
right = np.where((index + 1) % side == 0, index + 1 - side, index + 1)

return np.stack((up, down, left, right))

# Função que simula a mudança de um número predefinido de spins aleatoriamente
# Aceita a mudança se ela diminuir a energia, recusa se ela
# não ultrapassar o parâmetro de corte.
@njit
def timeSteps(state, lookup, steps = 1, J = 1, D = 1, T = 1):
N = state.size
varE = 0.0

# Repete a função para N passos
for i in range(steps):

# A cada passo, escolhe uma partícula e um spin aleatórios
index = np.random.randint(0, N)
oldSpin = state[index]
newSpin = np.random.randint(-1, 2)

# Pula se os spins forem iguais
if newSpin == oldSpin:
continue

# Soma o estado dos vizinhos através da tabela de referência
neiSum = state[lookup[0][index]] +\
state[lookup[1][index]] +\
state[lookup[2][index]] +\
state[lookup[3][index]]

# Calcula a mudança de energia do passo
dE = -J * (newSpin - oldSpin) * neiSum + D * (newSpin**2 - oldSpin**2)

# Verifica se o passo foi ou não aceito
if np.random.random() < np.exp(-dE / T):
state[index] = newSpin
varE += dE

# Retorna o estado depois de n passos e a variação de energia total
return state, varE

# Função que cria a animação
def aniSpaceEvol(states, D, temp, ene, step=10):
steps = np.shape(states)[0]
time = np.linspace(0,steps,steps)
side = int(np.sqrt(np.shape(states[0]))[0])
layout = """
SS0
SS1
SS2
"""

fig, axes = plt.subplot_mosaic(layout,
figsize=(6, 4),
dpi=72,
layout="constrained")

mag = np.abs( np.mean(states , axis=1))
qua = np.mean(np.abs( states), axis=1)

sysAx = axes['S']
eneAx = axes['0']
magAx = axes['1']
quaAx = axes['2']

sysLine = sysAx.imshow(
states[0].reshape((side,side)),
cmap=plt.get_cmap('plasma',3),
vmin=-1,
vmax=1,
)

cbar = fig.colorbar(sysLine, ax=sysAx)
cbar.set_ticks([-2./3, 0, 2./3])
cbar.set_ticklabels(['Spin -1', 'Spin 0', 'Spin +1'])

eneLine, = eneAx.plot([],[])
magLine, = magAx.plot([],[])
quaLine, = quaAx.plot([],[])

sysAx.set_xlim(-0.5,side-0.5)
eneAx.set_xlim(time[0],time[-1])
magAx.set_xlim(time[0],time[-1])
quaAx.set_xlim(time[0],time[-1])

magAx.sharex(eneAx)
quaAx.sharex(eneAx)

sysAx.set_ylim(-0.5,side-0.5)
eneAx.set_ylim(np.min(ene),np.max(ene))
magAx.set_ylim(0, 1)
quaAx.set_ylim(0, 1)

sysAx.set_title("Distribuição de spin")
eneAx.set_ylabel("Energia")
magAx.set_ylabel("Magnetização")
quaAx.set_ylabel("Quadripolo")

eneAx.tick_params(labelbottom=False)
magAx.tick_params(labelbottom=False)
quaAx.set_xlabel("Passos (MCS)")

sysAx.set_axis_off()
eneAx.grid()
magAx.grid()
quaAx.grid()

def update(frame):
sysLine.set_array(states[frame].reshape((side,side)))
eneLine.set_data(time[:frame], ene[:frame])
magLine.set_data(time[:frame], mag[:frame])
quaLine.set_data(time[:frame], qua[:frame])

sysAx.set_title(f"Temperatura = {temp:1.3f}; D = {D:.3f}")

return [sysLine, eneLine, magLine, quaLine]

anim = animation.FuncAnimation(
fig,
update,
frames=range(0, states.shape[0], step),
interval=50,
blit=True
)

plt.close(fig)
return anim

# Função utilizada para gerar os dados do espaço de fases.
# Utiliza o njit pela complexidade matemática.
# Recebe listas com os valores de D e T que se que simular
# além do tamanho da grade da simulação interna e quantos MCS se quer realizar
@njit
def genPhaseSpace(TStates, DStates, simSize, mcs, J=1.0):
N = simSize ** 2
nT = TStates.size
nD = DStates.size
M = np.zeros((steps, nT, nD))
Q = np.zeros((steps, nT, nD))

lookup = genLookup(simSize)

# utriliza-se o prange para aproveitar dos mútiplos núcleos da CPU
# Itera sobre os valores de T e D que se quer realizar a simulação
for i in prange(nT):
for j in range(nD):

# Cria um estrado inicial para o sitema, igual para todos
state = np.ones(N, dtype=np.int64)

# Calcula-se a Magnetização e o quadrupolo médio do sistema inicial
M[0, i, j] = np.sum(state) / N
Q[0, i, j] = np.sum(np.abs(state)) / N

# Realiza um número recebido de passos de monte carlo no sistema
for k in range(1,mcs):

# A energia após cada passo é descartada, pois não nos interessa aqui
state, _ = timeSteps(
state, lookup,
steps=N,
J=J,
D=DStates[j],
T=TStates[i]
)

# Salva os valors de M e Q no tempo k
M[k, i, j] = np.sum(state) / N
Q[k, i, j] = np.sum(np.abs(state)) / N
return M, Q

def aniPhaseSpace(M, Q, T, D, points = [], step=5):
N = M.shape[0]
extent = [D[0], D[-1], T[0], T[-1]]
frames = range(1, N + 1, step)

MFrames = [np.mean(M[:k], axis=0) for k in frames]
QFrames = [np.mean(Q[:k], axis=0) for k in frames]
MQFrames = [np.abs(m - q) for m, q in zip(MFrames, QFrames)]

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(14, 5), dpi=75, sharey=True)

imshow_kwargs = dict(origin='lower', aspect='auto', extent=extent,
interpolation='nearest', cmap="viridis", vmin = 0, vmax=1)
im0 = axes[0].imshow(MFrames[0], **imshow_kwargs)
im1 = axes[1].imshow(QFrames[0], **imshow_kwargs)
im2 = axes[2].imshow(MQFrames[0], **imshow_kwargs)

axes[0].set(ylabel="Temperatura T")
plt.colorbar(im2, ax=axes[-1], fraction=0.04, pad=0.04)
imTitle = fig.suptitle('', fontsize=12)

for ax, im, title in zip(axes,
[im0, im1, im2],
[
'<|M|> (Magnetização)',
'<Q> (Momento quadripolar)',
'|<M> - <Q>| (Diferença entre pontos)'
]):
for i, point in enumerate(points):
ax.plot(point[0], point[1], 'bo', label='Ponto simulados' if i == 0 else None)
ax.plot(1.965, 0.61, 'ro', label='PTC (teórico)')
ax.set(xlabel='D', title=title)
ax.legend()

def update(idx):
im0.set_array(MFrames[idx])
im1.set_array(QFrames[idx])
im2.set_array(MQFrames[idx])
imTitle.set_text(f'Tempo {list(frames)[idx]}/{N}')
return [im0, im1, im2, imTitle]

anim = animation.FuncAnimation(
fig, update,
frames=len(list(frames)),
interval=80,
blit=True
)
plt.tight_layout()
plt.close(fig)
return anim
</syntaxhighlight>

<syntaxhighlight lang="python">
gridSize = 20
mcs = 30_000
states = np.zeros((mcs,gridSize**2),dtype=int)

D, T, J = (1.965, 0.61, 1)

lookup = genLookup(gridSize)

states[0], E_i = timeSteps(
states[0].copy(),
lookup,
D = D,
T = T,
steps=50*gridSize**2
)

E = np.zeros(mcs)
side = int(np.sqrt(states[0].size))

E[0] = D * np.sum(states[0]**2)
E[0] += - J * np.sum(states[0] * (states[0][lookup[1]] + states[0][lookup[2]]))

for i in range(1,mcs):
states[i], E_i = timeSteps(
states[i-1].copy(),
lookup,
D = D,
T = T,
steps=gridSize**2
)
E[i] = E[i-1] + E_i

anim = aniSpaceEvol(states, step = 100, D=D, temp = T, ene = E/(gridSize**2))
anim.save('TCP.gif', writer='ffmpeg')
</syntaxhighlight>

<syntaxhighlight lang="python">
simSize = 20
gridSize = 50
mcs = 500
J = 1.0

TStates = np.linspace(0.1, 5.1, gridSize)
DStates = np.linspace(0.0, 5.0, gridSize)
M,Q = genPhaseSpace(TStates, DStates, simSize, mcs)

anim = aniPhaseSpace(
M, Q,
TStates, DStates,
points = [(1.965,0.91), (1.665,0.61), (2.265,0.61)],
step = 5
)

HTML(anim.to_jshtml())
anim.save('phaseSpace.gif', writer='ffmpeg')
</syntaxhighlight>

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-06-01T01:25:24Z

Misalocin:

== Essa página está em construção ==

== Modelo de Ising ==

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>
</center>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<center>
<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será<ref name="mecEst" />:

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

Agora, consideremos o ensemble canonico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>
</center>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.
Importante ressaltar que soma é sobre <math>\lambda</math> e não sobre todas as energias, pois muitos estados podem gerar a mesma energia, então não é feita uma soma simples por todo o sistema.

Assim, o resultado é:

<center>
<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_\lambda' e^{-\beta E(\lambda')}}
</math>
</center>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quão ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<center>
<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>
</center>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Energia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o momento de quadrupolo magnético<ref name="point" />, definido como:

<center>
<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>
</center>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Onde o parâmetro <math>D</math> é chamado de campo cristalino. Nessa implementação do modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadrupolo pode ser substituido por um módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

Analisa-se o sistema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é aproximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T<1}</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\mathcal{-|H| }/T>1}</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que existem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico(TCP). Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipulam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> <ref name="point" />

=== Unidades Naturais ===
Antes de começar, é conveniente introduzir o conceito de unidades reduzidas. Como apenas razões entre os parâmetros físicos aparecerão nas equações finais, pode-se escolher uma constante como unidade de energia e utilizar unidades reduzidas, usando <math>k_B = 1</math> e tomando <math>J</math> como unidade de energia. Dessa forma, todas as grandezas passam a ser medidas em unidades de <math>J</math>, sendo comum trabalhar com as variáveis adimensionais

<center>
<math>T^* = \frac{k_B T}{J};</math>
<math>D^* = \frac{D}{J};</math>
<math>H^* = \frac{H}{J}.</math>
</center>

Ao longo deste trabalho, os asteriscos serão omitidos, e todas as grandezas são entendidas como estando em unidades reduzidas.

== Método Monte-Carlo ==

=== Algoritmo ===

Como o número de estados cresce exponencialmente com o número de partículas, não é possível calcular essa distribuição diretamente. Em vez disso, constrói-se uma sequência de estados através de atualizações locais dos spins.

O procedimento consiste em repetir os seguintes passos:

# Escolhe-se aleatoriamente uma partícula.
# Propõe-se um novo valor de spin para essa partícula, escolhido uniformemente entre os três valores possíveis <math>\sigma \in \{-1, 0, 1\}.</math>
# Calcula-se a variação de energia associada à mudança proposta: <math>\Delta E = E_{\text{novo}} - E_{\text{atual}}.</math>

Sabendo a variação de energia, pode-se então decidir se o sistema será ou não atualizado.

=== Probabilidade de transição ===

Partindo do balanço detalhado

<center>
<math>
P(i) W(i \rightarrow j) = P(j) W(j \rightarrow i),
</math>
</center>

E a probabilidade do sistema estar no estado <math>P(\lambda)</math> definida anteriormente, chega-se que:

<center><math>
\frac{P(\lambda_1 \to \lambda_2)}{P(\lambda_2 \to \lambda_1)} = e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

uma das maneiras de se definir <math>P</math> que resolvem esse sistema é o algoritmo de Metropolis <ref name="mecEst" />, aqui, a probabilidade de transição é:

<center><math>
P(\lambda_1 \to \lambda_2)=min\left(1,e^{\frac{E(\lambda_2)-E(\lambda_1)}{T}}\right)
</math></center>

Equivalentemente, gera-se um número aleatório uniforme <math>r \in [0,1)</math>. A atualização é aceita se

<center><math>
r < e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

essa solução garante,também, que a solução da cadeia de Markov seja exatamente a distribuição de Boltzmann.

Quando o spin aleatório sorteado for igual ao atual, o sistema deve também guardar essa mudança, isso se dá para que o sistema respeite o balanço detalhado e não assuma que a probabilidade de permanência em um estado seja nula.

==== Passo de Monte Carlo ====

Considere um sistema contendo <math>N</math> partículas em uma configuração <math>\lambda</math>. Em algoritmos de Monte Carlo, um passo elementar consiste na seleção de uma partícula e na tentativa de atualização de seu estado segundo a dinâmica escolhida (por exemplo, o algoritmo de Metropolis).

Como o número de partículas depende do tamanho do sistema, utilizar apenas o número de passos elementares dificulta a comparação entre simulações realizadas em redes de diferentes dimensões. Por esse motivo, define-se uma unidade de tempo computacional normalizada pelo tamanho do sistema.

O Passo de Monte Carlo (MCS) corresponde a NNN tentativas de atualização elementares. Dessa forma, após um MCS, cada partícula terá sido selecionada, em média, uma vez para possível atualização. Essa definição permite comparar de maneira consistente a evolução temporal e as grandezas medidas em sistemas de diferentes tamanhos.

== Implementação Computacional ==

Começa-se criando uma matriz <code>state</code>. Como esse código será executado diversas vezes com loops longos, diversos pontos devem ser otimizado para velocidade ao invés de legibilidade. O primeiro deles é o uso de uma tabela de referência <code>lookUp</code>. Ela é gerada uma vez sempre que o tamanho da grade é alterado e possui 2 índices, o primeiro (<code>i</code>) sendo a partícula que se quer saber a posição das células adjacentes, e o segundo é um valor de 0 a 3 que guarda, em ordem, o índice da partícula imediatamente acima, abaixo, a esquerda e a direita da partícula <code>i</code>.

Isso também permite que seja montado o sistema como periódico, onde a primeira e a última linha seriam vizinhas, assim como a primeira e última coluna. Isso é útil para diminuir os erros que surgem nas bordas, onde as partículas não teriam vizinhas nas quatro direções.

<syntaxhighlight lang="python">
def genLookup(side):
index = np.arange(side)

up = (index - side) % (side**2)
down = (index + side) % (side**2)
left = np.where(index % side == 0, index - 1 + side, index - 1)
right = np.where((index + 1) % side == 0, index + 1 - side, index + 1)

return np.stack((up, down, left, right))
</syntaxhighlight>

Após isso, é pode-se iniciar o sistema com uma matriz 1D de N partículas, onde N é o quadrado do tamanho desejado de um lado da grade. Usa-se matrizes 1D ao invés de 2D para maximizar a velocidade do código.

Com o sistema iniciado, se implementa o algoritmo de Metropolis em uma função que, quando aplicada sobre o estado <math>\lambda_i</math>, evolui-rá ele para outro estado com uma quantidade definida de passos, podendo ser um passo fundamental, um MCS, ou qualquer outro valor conveniente.

<syntaxhighlight lang="python">
def timeSteps(state, lookup, steps = 1, J = 1, D = 1, T = 1):
N = state.size
varE = 0.0

# Repete a função para a quantidade de passos dada
for i in range(steps):

# A cada passo, escolhe uma partícula e um spin aleatórios
index = np.random.randint(0, N)
oldSpin = state[index]
newSpin = np.random.randint(-1, 2)

# avança a iteração se os spins forem iguais
if newSpin == oldSpin:
continue

# Soma o estado dos vizinhos através da tabela de referência
neiSum = np.sum(state[lookup[:, index]])

# Calcula a mudança de energia do passo
dE = -J * (newSpin - oldSpin) * neiSum + D * (newSpin**2 - oldSpin**2)

# Verifica se o passo foi ou não aceito
if np.random.random() < np.exp(-dE / T):
state[index] = newSpin
varE += dE

# Retorna o estado depois de todos os passos e a variação de energia total
return state, varE
</syntaxhighlight>

Com todas essas etapas montadas, pode-se gerar a primeira simulação. Abaixo, pode-se analisar uma simulação com valores de D e T fixos e um número arbitrário de MCS

[[file:Evolução blume capel.gif|frame|center|teste]]

Aqui, pode-se observar a evolução de um único sistema, mas o grande trunfo do modelo de Blume-Capel é analisar os estados do sistema, especificamente o TCP. Para isso, uma única simulação não é suficiente, mas será necessário ver o estado de equilíbrio do sistema em um gráfico de Temperatura (T)/Campo cristalino (D) e analisar a magnetização média e o momento de quadrupolo médio.

Como foi dito anteriormente, essas duas medidas serão iguais em dois casos e diferentes em um. Então o gráfico Temperatura (T)/Campo cristalino (D) irá mostrar <math><M></math> e <math><Q></math>, além de um terceiro gráfico mostrando o módulo da diferença entre eles.

[[file:Blume Capel espaco de fase.gif|frame|center|Evolução da magnetização, momento de quadrupolo e a diferença de ambos em uma grande área, simulações utilizada para identificar a posição dos estados]]

Desenhando esses três gráficos, pode-se perceber que, onde o TCP teórico está próximo dos três estados de equilíbrio teóricos. Mas para avaliar se ele realmente é o TCP, é necessário verificar duas propriedades.

# Nele, o sistema não deve chegar a um estado de equilíbrio único, mas sim alternar entre os conhecidos;
# A vizinhança dele deve ser composta por simulações que levam a um estado bem definido.

Com isso, para avaliar o sistema, foram geradas várias simulações com diferentes valores de <math>T</math> e <math>D</math> dem volta do valor teórico para encontrar qual é o valor que se chega nessa simulação e, se for possível encontrá-lo, qual é o tamanho do ponto.

[[File:Blume Capel espaco de fase zoom.gif|frame|center|Espaços de fases Temperatura em y e D em x aproximado onde na região do PTC. A esquerda a evolução da magnetização do sistema, no meio a evolução do momento de quadrupolo e, a direita, o absoluto da diferença entre os dois. Um ponto vermelho localiza-se na previsão teórica do TCP, com três pontos azuis distribuídos ao seu redor mostrando pontos de simulação.]]

Definindo os pontos a serem simulados separadamente, pode-se animar a evolução do sistema com os devidos parâmetros.

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel Estado1.gif|frame|center|Estados onde Q é maior que E, com as partículas oscilando entre os três estados aleatoriamente.]]
| [[File:Blume Capel Estado2.gif|frame|center|Estados com Q e M próximos de 1, com a simulação estando de maneira quase homogênea em um único spin diferente de 0.]]
|}

[[File:Blume Capel Estado3.gif|frame|center|Estados com Q e M estão próximos de 0, com a maior parte das partículas estando com spin igual a 0.]]

Além disso, pode-se também ver a evolução do estado no TCP:

{| style="width:100%"
|-
| [[File:Blume Capel PTC1.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q e M baixos.]]
| [[File:Blume Capel PTC2.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q e M altos.]]
|-
| [[File:Blume Capel PTC3.png|frame|center|Momento em que é observado o estado com Q muito maior que M.]]
| [[File:Blume Capel PTC.gif|thumb|430px|center|Animação total onde os gráficos foram extraídos, clique para ver animado (aviso de luzes piscantes.]]
|}

== Conclusão ==

Esse trabalho deixou claro a existência de três estados possíveis, além de mostrar que em uma interface de estados o sistema muda voluntariamente entre os três diferentes estados. pode-se ver, parando o gráfico em alguns pontos específicos, que ele passou pelos três estados.

Assim, o código aqui descrito mostra claramente uma implementação do modelo de Blume-Capel capaz de simular os três estados e um ponto onde os três oscilam entre si aleatoriamente. É importante notar que a variação entre os estados não é tão clara no TCP, pois os estados com M próximo de 0 acabam sendo semelhantes devido ao número de alterações que ocorrem a todo MCS.

Mas o algoritmo aqui descrito está disponível na página [[Código:Modelo de Blume-Capel]] feito em Jupyter Notebook, é capaz de prever de maneira satisfatória a evolução de um sistema à partir das variáveis supridas à ele.

== Referências ==
<references>
<ref name="mecEst">Pathria, R. K.; Beale, Paul D.; ''Statistical Mechanics'', third edition; Elsevier Ltd, 2011; secções 3.4, 12.3, 16.2A</ref>
<ref name="point">Beale, Paul D.; ''Finite-size scaling study of the two-dimensional Blume-Capel model''; APS Journals, 1986; DOI https://doi.org/10.1103/PhysRevB.33.1717</ref>
</references>

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-06-01T01:24:32Z

Misalocin: /* Implementação Computacional */

Arquivo:Blume Capel PTC.gif

2026-06-01T01:22:48Z

Misalocin:

Arquivo:Blume Capel PTC3.png

2026-06-01T01:22:16Z

Misalocin:

Arquivo:Blume Capel PTC1.png

2026-06-01T01:21:55Z

Misalocin:

Arquivo:Blume Capel PTC2.png

2026-06-01T01:21:29Z

Misalocin:

Arquivo:Blume Capel Estado3.gif

2026-05-31T22:38:23Z

Misalocin:

Arquivo:Blume Capel espaco de fase zoom.gif

2026-05-31T22:34:10Z

Misalocin:

Arquivo:Blume Capel Estado2.gif

2026-05-31T22:23:20Z

Misalocin:

Arquivo:Blume Capel Estado1.gif

2026-05-31T22:22:46Z

Misalocin:

Arquivo:Blume Capel espaco de fase.gif

2026-05-31T21:59:02Z

Misalocin: Misalocin carregada uma nova versão de Arquivo:Blume Capel espaco de fase.gif

Arquivo:Blume Capel espaco de fase.gif

2026-05-31T21:49:13Z

Misalocin:

Arquivo:Evolução blume capel.gif

2026-05-31T21:44:09Z

Misalocin: Misalocin carregada uma nova versão de Arquivo:Evolução blume capel.gif

== Descrição do arquivo ==
Animação mostrando a evolução de um sistema Blume-Capel com T=1 e D=2

Arquivo:Evolução blume capel.gif

2026-05-31T21:41:51Z

Misalocin: Misalocin carregada uma nova versão de Arquivo:Evolução blume capel.gif

== Descrição do arquivo ==
Animação mostrando a evolução de um sistema Blume-Capel com T=1 e D=2

Arquivo:Animacao blume capel generica.webp

2026-05-31T21:36:11Z

Misalocin:

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-31T21:22:07Z

Misalocin:

== Essa página está em construção ==

== Modelo de Ising ==

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>
</center>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<center>
<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será<ref name="mecEst" />:

<center>
<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>
</center>

Agora, consideremos o ensemble canonico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: <ref name="mecEst" />

<center>
<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>
</center>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.
Importante ressaltar que soma é sobre <math>\lambda</math> e não sobre todas as energias, pois muitos estados podem gerar a mesma energia, então não é feita uma soma simples por todo o sistema.

Assim, o resultado é:

<center>
<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_\lambda' e^{-\beta E(\lambda')}}
</math>
</center>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quão ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<center>
<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>
</center>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Energia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o momento de quadrupolo magnético<ref name="point" />, definido como:

<center>
<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>
</center>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Onde o parâmetro <math>D</math> é chamado de campo cristalino. Nessa implementação do modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadrupolo pode ser substituido por um módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

Analisa-se o sistema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<center>
<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>
</center>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é aproximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T<1}</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\mathcal{-|H| }/T>1}</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que existem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico(TCP). Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipulam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> <ref name="point" />

=== Unidades Naturais ===
Antes de começar, é conveniente introduzir o conceito de unidades reduzidas. Como apenas razões entre os parâmetros físicos aparecerão nas equações finais, pode-se escolher uma constante como unidade de energia e utilizar unidades reduzidas, usando <math>k_B = 1</math> e tomando <math>J</math> como unidade de energia. Dessa forma, todas as grandezas passam a ser medidas em unidades de <math>J</math>, sendo comum trabalhar com as variáveis adimensionais

<center>
<math>T^* = \frac{k_B T}{J};</math>
<math>D^* = \frac{D}{J};</math>
<math>H^* = \frac{H}{J}.</math>
</center>

Ao longo deste trabalho, os asteriscos serão omitidos, e todas as grandezas são entendidas como estando em unidades reduzidas.

== Método Monte-Carlo ==

=== Algoritmo ===

Como o número de estados cresce exponencialmente com o número de partículas, não é possível calcular essa distribuição diretamente. Em vez disso, constrói-se uma sequência de estados através de atualizações locais dos spins.

O procedimento consiste em repetir os seguintes passos:

# Escolhe-se aleatoriamente uma partícula.
# Propõe-se um novo valor de spin para essa partícula, escolhido uniformemente entre os três valores possíveis <math>\sigma \in \{-1, 0, 1\}.</math>
# Calcula-se a variação de energia associada à mudança proposta: <math>\Delta E = E_{\text{novo}} - E_{\text{atual}}.</math>

Sabendo a variação de energia, pode-se então decidir se o sistema será ou não atualizado.

=== Probabilidade de transição ===

Partindo do balanço detalhado

<center>
<math>
P(i) W(i \rightarrow j) = P(j) W(j \rightarrow i),
</math>
</center>

E a probabilidade do sistema estar no estado <math>P(\lambda)</math> definida anteriormente, chega-se que:

<center><math>
\frac{P(\lambda_1 \to \lambda_2)}{P(\lambda_2 \to \lambda_1)} = e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

uma das maneiras de se definir <math>P</math> que resolvem esse sistema é o algoritmo de Metropolis <ref name="mecEst" />, aqui, a probabilidade de transição é:

<center><math>
P(\lambda_1 \to \lambda_2)=min\left(1,e^{\frac{E(\lambda_2)-E(\lambda_1)}{T}}\right)
</math></center>

Equivalentemente, gera-se um número aleatório uniforme <math>r \in [0,1)</math>. A atualização é aceita se

<center><math>
r < e^{-\Delta E/T}.
</math></center>

essa solução garante,também, que a solução da cadeia de Markov seja exatamente a distribuição de Boltzmann.

Quando o spin aleatório sorteado for igual ao atual, o sistema deve também guardar essa mudança, isso se dá para que o sistema respeite o balanço detalhado e não assuma que a probabilidade de permanência em um estado seja nula.

==== Passo de Monte Carlo ====

Considere um sistema contendo <math>N</math> partículas em uma configuração <math>\lambda</math>. Em algoritmos de Monte Carlo, um passo elementar consiste na seleção de uma partícula e na tentativa de atualização de seu estado segundo a dinâmica escolhida (por exemplo, o algoritmo de Metropolis).

Como o número de partículas depende do tamanho do sistema, utilizar apenas o número de passos elementares dificulta a comparação entre simulações realizadas em redes de diferentes dimensões. Por esse motivo, define-se uma unidade de tempo computacional normalizada pelo tamanho do sistema.

O Passo de Monte Carlo (MCS) corresponde a NNN tentativas de atualização elementares. Dessa forma, após um MCS, cada partícula terá sido selecionada, em média, uma vez para possível atualização. Essa definição permite comparar de maneira consistente a evolução temporal e as grandezas medidas em sistemas de diferentes tamanhos.

== Implementação Computacional ==

Começa-se criando uma matriz <code>state</code>. Como esse código será executado diversas vezes com loops longos, diversos pontos devem ser otimizado para velocidade ao invés de legibilidade. O primeiro deles é o uso de uma tabela de referência <code>lookUp</code>. Ela é gerada uma vez sempre que o tamanho da grade é alterado e possui 2 índices, o primeiro (<code>i</code>) sendo a partícula que se quer saber a posição das células adjacentes, e o segundo é um valor de 0 a 3 que guarda, em ordem, o índice da partícula imediatamente acima, abaixo, a esquerda e a direita da partícula <code>i</code>.

Isso também permite que seja montado o sistema como periódico, onde a primeira e a última linha seriam vizinhas, assim como a primeira e última coluna. Isso é útil para diminuir os erros que surgem nas bordas, onde as partículas não teriam vizinhas nas quatro direções.

<syntaxhighlight lang="python">
def genLookup(side):
index = np.arange(side)

up = (index - side) % (side**2)
down = (index + side) % (side**2)
left = np.where(index % side == 0, index - 1 + side, index - 1)
right = np.where((index + 1) % side == 0, index + 1 - side, index + 1)

return np.stack((up, down, left, right))
</syntaxhighlight>

Após isso, é pode-se iniciar o sistema com uma matriz 1D de N partículas, onde N é o quadrado do tamanho desejado de um lado da grade. Usa-se matrizes 1D ao invés de 2D para maximizar a velocidade do código.

Com o sistema iniciado, se implementa o algoritmo de Metropolis em uma função que, quando aplicada sobre o estado <math>\lambda_i</math>, evolui-rá ele para outro estado com uma quantidade definida de passos, podendo ser um passo fundamental, um MCS, ou qualquer outro valor conveniente.

<syntaxhighlight lang="python">
def timeSteps(state, lookup, steps = 1, J = 1, D = 1, T = 1):
N = state.size
varE = 0.0

# Repete a função para a quantidade de passos dada
for i in range(steps):

# A cada passo, escolhe uma partícula e um spin aleatórios
index = np.random.randint(0, N)
oldSpin = state[index]
newSpin = np.random.randint(-1, 2)

# avança a iteração se os spins forem iguais
if newSpin == oldSpin:
continue

# Soma o estado dos vizinhos através da tabela de referência
neiSum = np.sum(state[lookup[:, index]])

# Calcula a mudança de energia do passo
dE = -J * (newSpin - oldSpin) * neiSum + D * (newSpin**2 - oldSpin**2)

# Verifica se o passo foi ou não aceito
if np.random.random() < np.exp(-dE / T):
state[index] = newSpin
varE += dE

# Retorna o estado depois de todos os passos e a variação de energia total
return state, varE
</syntaxhighlight>

Com todas essas etapas montadas, pode-se gerar a primeira simulação. Abaixo, pode-se analisar uma simulação com valores de D e T fixos e um número arbitrário de MCS

[IMAGEM]

Aqui, pode-se observar a evolução de um único sistema, mas o grande trunfo do modelo de Blume-Capel é analisar os estados do sistema, especificamente o TCP. Para isso, uma única simulação não é suficiente, mas será necessário ver o estado de equilíbrio do sistema em um gráfico de Temperatura (T)/Campo cristalino (D) e analisar a magnetização média e o momento de quadrupolo médio. Como foi dito anteriormente, essas duas medidas serão iguais em dois casos e diferentes em um. Para tornar mais claro o terceiro caso, onde o que importa é que <math><M></math> e <math><Q></math> sejam diferentes, também será desenhado o gráfico do módulo da diferença entre eles.

[IMAGEM]

Desenhando esses três gráficos, pode-se perceber que, onde o TCP teórico está próximo dos três estados de equilíbrio teóricos. Mas para avaliar se ele realmente é o TCP, é necessário verificar duas propriedades.

# Nele, o sistema não deve chegar a um estado de equilíbrio único, mas sim alternar entre os conhecidos;
# A vizinhança dele deve ser composta por simulações que levam a um estado bem definido.

Com isso, para avaliar o sistema, foram geradas várias simulações com diferentes valores de <math>T</math> e <math>D</math> dem volta do valor teórico para encontrar qual é o valor que se chega nessa simulação e, se for possível encontrá-lo, qual é o tamanho do ponto.

[IMAGEM]

== Conclusão ==

Esse trabalho deixou claro a existência de três estados possíveis, além de mostrar que em uma interface de estados o sistema muda voluntariamente entre diferentes estados. Porém, não foi possível determinar com certeza o TCP, pois, enquanto a borda entre o estado estático com spins fica claro quando comparado com os outros estados, o estado sem spin e com as partículas aleatórias acabam tendo uma divisão mais gradual.

Mesmo assim, o código aqui descrito mostra claramente uma implementação do modelo de Blume-Capel capaz de simular os três estados de maneira funcional.

== Referências ==
<references>
<ref name="mecEst">Pathria, R. K.; Beale, Paul D.; ''Statistical Mechanics'', third edition; Elsevier Ltd, 2011; secções 3.4, 12.3, 16.2A</ref>
<ref name="point">Beale, Paul D.; ''Finite-size scaling study of the two-dimensional Blume-Capel model''; APS Journals, 1986; DOI https://doi.org/10.1103/PhysRevB.33.1717</ref>
</references>

Arquivo:Evolução blume capel.gif

2026-05-31T21:21:42Z

Misalocin: Animação mostrando a evolução de um sistema Blume-Capel com T=1 e D=2

== Descrição do arquivo ==
Animação mostrando a evolução de um sistema Blume-Capel com T=1 e D=2

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-31T05:03:38Z

Misalocin: /* Probabilidade de transição */

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-31T05:02:45Z

Misalocin: Referências

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-31T03:11:18Z

Misalocin:

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-31T02:16:06Z

Misalocin: /* implementação */

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-31T02:14:30Z

Misalocin: /* Probabilidade de transição */

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-31T02:13:50Z

Misalocin:

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-30T03:12:56Z

Misalocin: Ajuste de sinal

== Essa página está em construção ==

== Teoria ==

=== Modelo de Ising ===

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano [CITATION]

<math>
H=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<math>
H_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será[CITATION]:

<math>
H=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

Agora, consideremos o ensamble canônico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: [CITATION]

<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.

Assim, o resultado é:

<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_{\lambda_n} e^{-\beta E(\lambda_n)}}
</math>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quâo ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Ennergia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>H</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o mmomento de quadripolo magnético[CITATION], definido como:

<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<math>
H= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

No modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadripolo pode ser substituido por um símples módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

O ponto mais interessante do modelo Blume-Capel é o ponto tri-crítico.

Analisa-se o sitema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<math>
H= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é approximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\tfrac{H}{T}}<1</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{\frac{|H|}{T}}>1</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que exitem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico. Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipuilam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> [CITATION]

== Método Monte-Carlo ==

Tendo definido todas as informações do modelo, pode-se agora

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.33.1717

https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Blume-Capel_bidimensional

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-30T03:12:14Z

Misalocin: Ajuste expoentes

== Essa página está em construção ==

== Teoria ==

=== Modelo de Ising ===

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano [CITATION]

<math>
H=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<math>
H_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será[CITATION]:

<math>
H=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

Agora, consideremos o ensamble canônico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: [CITATION]

<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.

Assim, o resultado é:

<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_{\lambda_n} e^{-\beta E(\lambda_n)}}
</math>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quâo ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Ennergia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>H</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o mmomento de quadripolo magnético[CITATION], definido como:

<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<math>
H= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

No modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadripolo pode ser substituido por um símples módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

O ponto mais interessante do modelo Blume-Capel é o ponto tri-crítico.

Analisa-se o sitema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<math>
H= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é approximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\tfrac{H}{T}}<1</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\frac{|H|}{T}}>1</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que exitem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico. Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipuilam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> [CITATION]

== Método Monte-Carlo ==

Tendo definido todas as informações do modelo, pode-se agora

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.33.1717

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Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-30T03:09:24Z

Misalocin:

== Essa página está em construção ==

== Teoria ==

=== Modelo de Ising ===

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano [CITATION]

<math>
H=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<math>
H_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será[CITATION]:

<math>
H=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

Agora, consideremos o ensamble canônico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: [CITATION]

<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.

Assim, o resultado é:

<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_{\lambda_n} e^{-\beta E(\lambda_n)}}
</math>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quâo ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Ennergia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>H</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o mmomento de quadripolo magnético[CITATION], definido como:

<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<math>
H= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

No modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadripolo pode ser substituido por um símples módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

O ponto mais interessante do modelo Blume-Capel é o ponto tri-crítico.

Analisa-se o sitema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<math>
H= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é approximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\frac{H/T}}<1</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\frac{|H|}{/T}}>1</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que exitem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico. Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipuilam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> [CITATION]

== Método Monte-Carlo ==

Tendo definido todas as informações do modelo, pode-se agora

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.33.1717

https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Blume-Capel_bidimensional

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-30T03:06:45Z

Misalocin:

== Essa página está em construção ==

== Teoria ==

=== Modelo de Ising ===

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano [CITATION]

<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será[CITATION]:

<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

Agora, consideremos o ensamble canônico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: [CITATION]

<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.

Assim, o resultado é:

<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_{\lambda_n} e^{-\beta E(\lambda_n)}}
</math>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quâo ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Ennergia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o mmomento de quadripolo magnético[CITATION], definido como:

<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

No modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadripolo pode ser substituido por um símples módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

O ponto mais interessante do modelo Blume-Capel é o ponto tri-crítico.

Analisa-se o sitema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é approximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T<1}</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\mathcal{-|H| }/T>1}</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que exitem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico. Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipuilam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> [CITATION]

== Método Monte-Carlo ==

Tendo definido todas as informações do modelo, pode-se agora

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.33.1717

https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Blume-Capel_bidimensional

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-30T03:01:46Z

Misalocin:

== Essa página está em construção ==

== Teoria ==

=== Modelo de Ising ===

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano [CITATION]

<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será[CITATION]:

<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

Agora, consideremos o ensamble canônico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: [CITATION]

<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.
Importante ressaltar que soma é sobre <math>\lambda</math> e não sobre todas as energias, pois muitos estados podem gerar a mesma energia, então não é feita uma soma simples por todo o sistema.

Assim, o resultado é:

<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_\lambda' e^{-\beta E(\lambda')}}
</math>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quâo ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Ennergia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o mmomento de quadripolo magnético[CITATION], definido como:

<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

No modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadripolo pode ser substituido por um símples módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

O ponto mais interessante do modelo Blume-Capel é o ponto tri-crítico.

Analisa-se o sitema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é approximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T<1}</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\mathcal{-|H| }/T>1}</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que exitem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico. Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipuilam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> [CITATION]

== Método Monte-Carlo ==

Tendo definido todas as informações do modelo, pode-se agora

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.33.1717

https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Blume-Capel_bidimensional

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-30T03:01:29Z

Misalocin:

== Essa página está em construção ==

== Teoria ==

=== Modelo de Ising ===

Considere um grupo de partículas com spin <math>1/2</math> que interagem com seus vizinhos mais próximos. Pode-se calcular a energia do sistema através do Hamiltoniano [CITATION]

<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j
</math>

Com <math>\sigma_i</math> representando o valor do spin da partícula <math>i</math>, podendo ser <math>\pm 1/2</math>. O somatório representa a energia potencial das partículas vizinhas, onde J representa o comportamento e a propensão ao alinhamento do sistema, podendo ser qualquer número real, no qual valores positivos de <math>J</math> diminuindo a energia quando os spins estão alinhados e, valores negativos a aumentando. Assim, quanto mais longe de 0 $J</math> estiver, mais o sistema tende a um extremo.

Consideremos agora a aplicação de um campo magnético <math>H</math> externo, paralelo a direção do spin. Esse campo irá adicionar uma energia ao sistema que será

<math>
\mathcal{H}_{Mag}=-H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

O termo negativo da equação surge pois a energia total do sistema será menor quando os spins estiverem alinhados com campo, com o mínimo de energia sendo <math>-HN</math>, onde todas as <math>N</math> partículas estão com o spin alinhado.

Assim, a energia total do sistema será[CITATION]:

<math>
\mathcal{H}=-J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j -H\sum_{n=1}^N\sigma_n
</math>

Agora, consideremos o ensamble canônico, isso é, o conjunto de todos os estados <math>\lambda</math> que o sistema pode estar. Se a energia do sistema for medida com todas as partículas dentro dele estiverem dispostas aleatoriamente, a probabilidade de encontrar o sistema na energia <math>E</math> é: [CITATION]

<math>
P(\lambda)\propto e^{-\beta E(\lambda)}
</math>

com <math>\beta=\frac{1}{k_b T}</math>. Considerando que a soma de todas as probabilidades é 1, deves-se dividir <math>e^{-\beta E}</math> pela soma de <math>e^{-\beta E_n(\lambda)}</math> para todos os estados <math>\lambda</math> ao qual o sistema pode ser encontrado.
Importante ressaltar que soma é sobre <math>\lambda</math> e não sobre todas as energias, pois muitos estados podem gerar a mesma energia, então não é feita uma soma simples por todo o sistema.

Assim, o resultado é:

<math>
P(\lambda)=\frac{e^{-\beta E(\lambda)}}{\sum_\lambda' e^{-\beta E(\lambda')}}
</math>

Outra coisa importante ainda do modelo de Ising é a magnetização, que representa o quâo ordenado o sistema é à partir do valor médio de todos os spins:

<math>
M=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\sigma_n
</math>

== Modelo de Blume-Capel ==

=== Ennergia do sistema ===

Esse modelo é uma extensão do modelo de Ising onde, ao invés de se trabalhar com partículas de spin <math>1/2</math> onde <math>\sigma_i\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>, trabalha-se com partículas de spin 1 com <math>\sigma_i\in \{-1,0,1\}</math>.

Essa mudança de um para três estados não muda de forma significativa o que foi visto anteriormente, mas adiciona um terceiro termo no hamiltoniano <math>\mathcal{H}</math>. Como aqui partículas podem ter spin nulo, define-se uma nova medida que está relacionada a quantidade de spins diferentes de zero, o mmomento de quadripolo magnético[CITATION], definido como:

<math>
Q= \sum_{n=1}^N\sigma_n^2
</math>

Esse momento também é adicionado a energia, pois sair do estado <math>\sigma = 0</math> adiciona energia aos sistema, isso faz com que o hamiltoniano completo seja:

<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j - H\sum_{n=1}^N\sigma_n + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

No modelo de Blume-Capel, o quadrado do momento de quadripolo pode ser substituido por um símples módulo, já que os spins serão -1,0 ou 1.

=== Ponto tri-crítico ===

O ponto mais interessante do modelo Blume-Capel é o ponto tri-crítico.

Analisa-se o sitema para um dado valor de J e considerando o sistema sem a presença de um campo magnético, de forma que a energia total seja:

<math>
\mathcal{H}= - J\sum_{<i,j>} \sigma_i \sigma_j + D\sum_{m=1}^N\sigma_m^2
</math>

Analisando esse sistema simplificado, considerando tempos muito grandes e dividindo tudo por J, o sistema tenderá a três possíveis estados de energia mínima:

* <math>D/J >> 0</math>: Aqui, o spin de cada partícula tem um peso grande sobre a energia total, o sistema tenderá a um estado onde grande parte dos spins são 0, logo, <math>M</math> e <math>Q</math> são próximos de 0.

* <math>T/J >> 0</math> e <math>D/J</math> coerente: Aqui, analisando-se <math>P(\lambda)</math>, como <math>\beta\propto T^{-1}</math>, beta é approximadamente 0 e a probabilidade de se encontrar o sistema em dada configuração é a mesma para todas as configurações. Nesse caso, é mais provável que o sistema esteja com <math>M\approx 0</math> e <math>Q > 0 </math> com as partículas com spins aleatórios.

* <math>T/J </math> e <math>D/J</math> coerentes: Aqui, analisando novamente <math>P(\lambda)</math>, estados onde a energia do sistema seja menor que zero serão favorecidos, pois estados positivos terão uma probabilidade menor que 1 (<math>e^{-\mathcal{H}/T<1}</math>) e estados de energia menor que zero terão uma probabilidade maior (<math>e^{-\mathcal{-|H| }/T>1}</math>), isso fará com que os spins tendam a se alinhar e <math>M</math> e <math>Q</math> serão próximos de 1

Considerando que exitem 3 regiões e se é possível mudar de uma para a outra, existe um ponto de interseção dos três estados. Esse ponto é chamado de ponto tri-crítico. Os valores de T e D desse ponto ainda não possuem um valor exato, mas aproximações numéricas estipuilam que eles devem ser <math>T\approx 0.610\pm0.005</math> e <math>D\approx 1.965\pm0.001</math> [CITATION]

== Método Monte-Carlo ==

Tendo definido todas as informações do modelo, pode-se agora

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.33.1717
https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Modelo_de_Blume-Capel_bidimensional

Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1

2026-05-27T17:34:19Z

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Trabalhos 2026-1

2026-05-27T17:28:16Z

Misalocin:

===[[Modelo de Potts -- 2D]] ===
===[[Simulação do Modelo de Lotka-Volterra]] ===
===[[Modelo Blume-Capel para partículas de spin 1]] ===