Lançamento Oblíquo Estocástico

2024-08-17T05:04:14Z

Lucasmm:

Lançamento Oblíquo Estocástico

2024-08-17T04:49:20Z

Lucasmm:

Lançamento Oblíquo Estocástico

2024-08-17T04:48:57Z

Lucasmm: Criou página com 'O lançamento oblíquo é um clásico problema da mecanica, onde um projétil e lançado com velocidade inicial <math>v</math> em uma direção que faz um angulo <math>\theta</math> com a horizontal. Nesse casso iremos considerar o movimento com arrasto em que a força de resistencia do ar é oposta ao movimento e proporcional a velocidade <math> F_{Ar}=-kv </math> O objetivo é descrever o movimento do projétil em duas dimensões, levando em consideração tanto a f...'

Equação de Ginzburg-Landau complexa

2024-05-15T17:38:23Z

Lucasmm: /* Soluções */

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) é uma das equações não lineares mais estudadas da física. Ela oferece uma descrição geral de sistemas com uma fraca dependência não linear. Quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

Em especial, para <math>b = 0</math> e <math>c = 0</math>, ela se reduz para a equação de Ginzburg-Landau real. E, para <math>b \rightarrow + \infty </math> e <math>c \rightarrow + \infty</math>, ela se reduz à equação de Schrödinger não linear. Ela descreve uma variedade enorme de fenômenos, como:

* Ondas não lineares;
* Transições de fase de segunda ordem;
* Supercondutividade;
* Superfluidez;
* Condensado de Bose-Einstein.

== Dedução ==

[[File:Phase_space_circle.png|thumb|right|Figura 1 - Espaço de fase do oscilador harmônico. Fonte - Cross, M., & Greenside, H. (2009)]]

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde <math>E</math> é a energia, <math>q</math> e <math>p</math> a coordenada e seu respectivo momento, <math>m</math> é a massa e <math>\omega_0</math> a frequência angular

<math>
E = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_0^2 q^2.
</math>

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, <math>q \rightarrow q/m^{1/2}</math> e <math>p \rightarrow p m^{1/2}</math>, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de <math>\omega_0 q</math> e <math>p</math>

<math>
E = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega_0^2 q^2.
</math>

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde <math>R</math> é a amplitude e <math>\phi</math> a fase

<math>
\dot{R} = 0, \quad \dot{\phi} = \omega_0.
</math>

Define-se, então, a variável complexa <math>A = R e^{i \phi}</math>, portanto a equação acima pode ser reescrita como

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A.
</math>

Ao realizar a transformação de variável <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math>, com <math>\chi \in \mathbb{R}</math>, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear <math>f(A, A^*)</math> tal que

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A + f(A, A^*)
</math>

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math> e <math>A^* \rightarrow A^* e^{-i \chi}</math>, a função <math>f(A, A^*)</math> deve satisfazer

<math>
f(A e^{i \chi}, A^* e^{-i \chi}) = f(A, A^*) e^{i \chi},
</math>

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir <math>f(A, A^*)</math> em potências de <math>A</math> e <math>A^*</math> até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

<math>
f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 = \alpha_{1r} + i \alpha_{1i}, \quad \alpha_2 = \alpha_{2r} + i \alpha_{2i}
</math>

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de <math>A = R e^{i\phi}</math>

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\phi} = \omega_0 + \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de <math>\phi = \varphi + \omega_0 t</math>. As novas equações obtidas são

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar <math>\dot{R} = 0</math> na equação, o que resulta na solução trivial <math>R^{(est)} = 0</math> e <math>R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}</math>. Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de <math>\alpha_{1r}</math> e de <math>\alpha_{2r}</math> devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso <math>\alpha_{1r} < 0</math> e <math>\alpha_{2r} > 0</math>, pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se <math>\alpha_{1r} = \mu \sigma_1</math> para <math>\sigma_1 > 0</math>, <math>\alpha_{2i} = \mu \omega_1</math>, <math>\alpha_{2r} = -g_r</math> com <math>g_r > 0</math> e <math>\alpha_{2i} = - g_i</math>. Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

<math>
\dot{A} = \mu (\sigma_1 + \omega_1) A - (g_r + ig_i)|A|^2 A
</math>

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, <math>(d_r + i d_i)\nabla^2 A</math>, cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de <math>A</math> no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

== Método FTCS ==

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual.
A partir da CGLE em duas dimensões:
<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = \alpha(\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}) + A - \beta A|A|^2.
</math>

para

<math>
\alpha = (1+ib); \beta = (1+ic)
</math>

Aplicamos o método da seguinte maneira:
<math>
\frac{A(x,y,t+\Delta t) - A(x,y,t)}{\Delta t} = \alpha(\frac{A(x+\Delta x,y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^2}+\frac{A(x,y+\Delta y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^2}) + A(x,y,t) - \beta A(x,y,t)|A(x,y,t)|^2.
</math>

<math>
\frac{A_{i,j}^{N+1} - A_{i,j}^{N}}{\Delta t} = \alpha(\frac{A_{i+1,j}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i-1,j}^{N}}{\Delta x^2}+\frac{A_{i,j+1}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i,j-1}^{N}}{\Delta y^2}) + A_{i,j}^{N} - \beta A_{i,j}^{N}|A_{i,j}^{N}|^2.
</math>

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (<math>\Delta y = \Delta x</math>), chegamos em :
<math>
A_{i,j}^{N+1} = A_{i,j}(1+\Delta t(1-\beta|A_{i,j}|^2))+\frac{\Delta t \alpha}{\Delta x^2}(A_{i+1,j}+A_{i-1,j}+A_{i,j+1}+A_{i,j-1} - 4*A_{i,j})
</math>
[[File:newplot.png|thumb|120px|right|Figura 2 - Condições de contorno periódicas em duas dimensões.]]
Para as condições de contorno foram utilizados condições periódicas tal que na região de x usamos que quando

i=L+1 estaremos em i=1.

e para y, da mesma forma,

j=L+1 temos que j=1.

A figura 2 é a representação gráfica dessas condições.

== Soluções ==
[[File:diagrama_de_fase.png|thumb|320px|upright|Figura 3 - Diagrama de fase para soluções da CGLE [3].]]
A partir da variação dos parâmetros <math>b</math> e <math>c</math> temos regiões que implicam em diferentes soluções para a CGLE, nossa ideia principal foi começar com condição inicial de onda plana e criar alguma perturbação na onda, dependendo da região em que estamos no diagrama de fase a perturbação nos levara para diferentes tipos de solução sendo elas:
*Solução de onda plana
*Líquido de vórtices
*Vidro de vórtices
*Turbulência na amplitude ou Turbulência de defeitos

A estabilidade da onda plana é delimitada pela condição de Benjamin-Feir-Newell, descrito pela linha teórica BFN no diagrama de fase, a condição para instabilidade é descrita por <math>1 + bc < 0</math>, ou seja, a esquerda da linha podemos encontrar soluções estáveis e a direita mesmo sem perturbações na condição inicial não é possível encontrar soluções de onda plana. É importante enfatizar que o teste para estabilidade de onda plana e para geração das soluções líquido de vórtices e vidro de vórtices se difere pela amplitude da perturbação na condição inicial, para perturbação suficientemente pequena nessa região a onda plana tende a se estabilizar e continuar como onda plana, por outro lado para perturbações de alta amplitude podemos chegar em outro tipo de solução.

As duas linhas EI e AI são linhas computacionais-experimentais e representam respectivamente, o critério generalizado de Eckhaus que descreve a instabilidade convectiva de onda plana, e o critério de instabilidade absoluta da onda plana. Esses dois critérios são critérios de "ajuste" para a condição de BFN, a linha EI delimita a condição que ao perturbarmos uma região à esquerda dela teremos estabilidade da onda plana, enquanto a linha AI define a região onda é possível encontrar espirais, a direita dela as espirais não conseguem se manter pela alta oscilação de <math>|A|</math>.

Existem dois tipos de soluções para perturbações suficientemente grandes que ocorrem na região de estabilidade da onda plana, líquido de vórtices e vidro de vórtices, a linha teórica OR regida por <math>(c - b)/(1 +c*b) = 0.845</math>, demarca a região onde podemos encontrar cada tipo de solução que podem ser diferenciadas pelo comportamento das espirais, nas duas regiões temos decaimento exponencial das interações entre os vórtices porém a direita da linha OR esse decaimento apenas módula as interações, de forma que temos espirais paradas no espaço, já a esquerda temos essas espirais se movendo no espaço.

O regimes turbulência de defeito se diferencia por não existir a formação de defeitos, como comentado anteriormente a direita de AI não é possível encontrar espirais pelo regime ser altamente caótico, a linha T caracteriza a transição do estado de vidro de vórtice para dinâmico turbulento.

L é uma linha proposta anteriormente que não é mais valida, demarcava a existência de outra dinâmica do sistema, também não mais valida, turbulência de fase, onde não era visto formação de defeitos na amplitude porém para sistemas grandes(L = 10000) foi visto que após um certo tempo o sistema colapsava e começava a gerar defeitos na solução.

Quando definimos as condições iniciais de onda plana e perturbamos a região <math>x=[40,60]</math>, <math>y=[40,60]</math> diminuindo o seu valor em 0,3% ,
a onda plana se mantem estavel nas regioens de Liquido de Vortice <math>b=0.5</math>, <math>c=-0.5</math> e Vidro de vortice <math>b=-2.5</math>, <math>c=-0.1</math>.
Dependendo dos parametors de c e b o valor maximo de perturbação pode aleterar, por exemplo, em <math>b=-1</math>, <math>c=-0.5</math> uma perturbação de 4% gerava regiões
de defeitos que rapidamente se anulavam e o sistema retorava para estabilidade.

[[File:EstavelLiquido.gif|810px|Figura 1 - Estabilidade Liquidos de Vortices]]

[[File:EstavelVidro.gif|810px|Figura 2 - Estabilidade Vidro de Vortices]]

Ja na região de Turbulência de Amplitude <math>b=-2</math>, <math>c=1.5</math> a perturbação de 0,3% ja é suficiente para tornar a onda plana instaval resultando no comportamento caótico da (figura 3).
Mesmo perturbações menores que 0,3% também resultam em turbulência .

[[File:InstavelTurbu.gif|810px|Figura 3 - Instabilidade Turbulencia]]

Para analizar o surgimento de espirais e suas caracteristicas utilizamos uma perturbação maior na mesma região (Liquido de Vórtices), o sistema apresenta simetria entre as espirais no gráfico da parte real e também
percebemos a presença de defeitos no módulo de <math>A(x, y, t)</math> (figura 4). Os defeitos, caracterizados pela presença de um ponto nulo ou muito próximo de zero na amplitude, não se anulam mesmo após longos períodos de tempo

[[File:LiquidoVortices.gif|400px|Figura 4 - Liquidos de Vortices]][[File:LiquidoVorticesAbs.gif|400px|Figura 5 - Modulo para Liquidos de Vortices]]

Partindo das mesmas condições iniciais anteriores porém na região Vidro de Vórtices, o padrão de
espirais muda, a simetria é perdida e em certas regioens podem se expandir formando frozen states. Outra característica é a presença de maior número de
células de defeitos. É interessante ressaltar que os pontos defeitos se anulam somente aos pares.

[[File:VidroVortices.gif|400px|Figura 6 - Vidro de Vortices]][[File:VidroVorticesAbs.gif|400px|Figura 7 - Modulo para Vidro de Vortices]]

Por fim, na região chamada de Turbulência de Amplitude <math>b=-2</math>, <math>c=1.5</math> à direita da linha AI não encontramos espirais, as células de
defeitos não se formam e temos apenas um comportamento caótico no módulo e na fase da Amplitude.

[[File:TurbAmplitude.gif|400px|Figura 8 - Turbulencia de Amplitude]][[File:TurbAmplitudeAbs.gif|400px|Figura 9 - Modulo para Turbulencia de Amplitude]]

Estados congelados são a solução entre as linhas OR e T representam os vidro de vórtice, a lenta convergência para essa solução é dada pela proximidade da linha T, parâmetros b=-2.0 e c=0.6.
[[File:Frozen_states.gif|800px|center|Figura 10 - Estados congelados]]

== Referências ==
[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation

[4] Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press.

[5] Hugues Chaté, Paul Manneville (1996). Phase diagram of the two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications

Equação de Ginzburg-Landau complexa

2024-05-15T17:26:24Z

Lucasmm: /* Soluções */

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) é uma das equações não lineares mais estudadas da física. Ela oferece uma descrição geral de sistemas com uma fraca dependência não linear. Quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

Em especial, para <math>b = 0</math> e <math>c = 0</math>, ela se reduz para a equação de Ginzburg-Landau real. E, para <math>b \rightarrow + \infty </math> e <math>c \rightarrow + \infty</math>, ela se reduz à equação de Schrödinger não linear. Ela descreve uma variedade enorme de fenômenos, como:

* Ondas não lineares;
* Transições de fase de segunda ordem;
* Supercondutividade;
* Superfluidez;
* Condensado de Bose-Einstein.

== Dedução ==

[[File:Phase_space_circle.png|thumb|right|Figura 1 - Espaço de fase do oscilador harmônico. Fonte - Cross, M., & Greenside, H. (2009)]]

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde <math>E</math> é a energia, <math>q</math> e <math>p</math> a coordenada e seu respectivo momento, <math>m</math> é a massa e <math>\omega_0</math> a frequência angular

<math>
E = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_0^2 q^2.
</math>

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, <math>q \rightarrow q/m^{1/2}</math> e <math>p \rightarrow p m^{1/2}</math>, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de <math>\omega_0 q</math> e <math>p</math>

<math>
E = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega_0^2 q^2.
</math>

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde <math>R</math> é a amplitude e <math>\phi</math> a fase

<math>
\dot{R} = 0, \quad \dot{\phi} = \omega_0.
</math>

Define-se, então, a variável complexa <math>A = R e^{i \phi}</math>, portanto a equação acima pode ser reescrita como

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A.
</math>

Ao realizar a transformação de variável <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math>, com <math>\chi \in \mathbb{R}</math>, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear <math>f(A, A^*)</math> tal que

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A + f(A, A^*)
</math>

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math> e <math>A^* \rightarrow A^* e^{-i \chi}</math>, a função <math>f(A, A^*)</math> deve satisfazer

<math>
f(A e^{i \chi}, A^* e^{-i \chi}) = f(A, A^*) e^{i \chi},
</math>

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir <math>f(A, A^*)</math> em potências de <math>A</math> e <math>A^*</math> até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

<math>
f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 = \alpha_{1r} + i \alpha_{1i}, \quad \alpha_2 = \alpha_{2r} + i \alpha_{2i}
</math>

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de <math>A = R e^{i\phi}</math>

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\phi} = \omega_0 + \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de <math>\phi = \varphi + \omega_0 t</math>. As novas equações obtidas são

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar <math>\dot{R} = 0</math> na equação, o que resulta na solução trivial <math>R^{(est)} = 0</math> e <math>R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}</math>. Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de <math>\alpha_{1r}</math> e de <math>\alpha_{2r}</math> devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso <math>\alpha_{1r} < 0</math> e <math>\alpha_{2r} > 0</math>, pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se <math>\alpha_{1r} = \mu \sigma_1</math> para <math>\sigma_1 > 0</math>, <math>\alpha_{2i} = \mu \omega_1</math>, <math>\alpha_{2r} = -g_r</math> com <math>g_r > 0</math> e <math>\alpha_{2i} = - g_i</math>. Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

<math>
\dot{A} = \mu (\sigma_1 + \omega_1) A - (g_r + ig_i)|A|^2 A
</math>

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, <math>(d_r + i d_i)\nabla^2 A</math>, cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de <math>A</math> no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

== Método FTCS ==

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual.
A partir da CGLE em duas dimensões:
<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = \alpha(\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}) + A - \beta A|A|^2.
</math>

para

<math>
\alpha = (1+ib); \beta = (1+ic)
</math>

Aplicamos o método da seguinte maneira:
<math>
\frac{A(x,y,t+\Delta t) - A(x,y,t)}{\Delta t} = \alpha(\frac{A(x+\Delta x,y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^2}+\frac{A(x,y+\Delta y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^2}) + A(x,y,t) - \beta A(x,y,t)|A(x,y,t)|^2.
</math>

<math>
\frac{A_{i,j}^{N+1} - A_{i,j}^{N}}{\Delta t} = \alpha(\frac{A_{i+1,j}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i-1,j}^{N}}{\Delta x^2}+\frac{A_{i,j+1}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i,j-1}^{N}}{\Delta y^2}) + A_{i,j}^{N} - \beta A_{i,j}^{N}|A_{i,j}^{N}|^2.
</math>

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (<math>\Delta y = \Delta x</math>), chegamos em :
<math>
A_{i,j}^{N+1} = A_{i,j}(1+\Delta t(1-\beta|A_{i,j}|^2))+\frac{\Delta t \alpha}{\Delta x^2}(A_{i+1,j}+A_{i-1,j}+A_{i,j+1}+A_{i,j-1} - 4*A_{i,j})
</math>
[[File:newplot.png|thumb|120px|right|Figura 2 - Condições de contorno periódicas em duas dimensões.]]
Para as condições de contorno foram utilizados condições periódicas tal que na região de x usamos que quando

i=L+1 estaremos em i=1.

e para y, da mesma forma,

j=L+1 temos que j=1.

A figura 2 é a representação gráfica dessas condições.

== Soluções ==
[[File:diagrama_de_fase.png|thumb|320px|upright|Figura 3 - Diagrama de fase para soluções da CGLE [3].]]
A partir da variação dos parâmetros <math>b</math> e <math>c</math> temos regiões que implicam em diferentes soluções para a CGLE, nossa ideia principal foi começar com condição inicial de onda plana e criar alguma perturbação na onda, dependendo da região em que estamos no diagrama de fase a perturbação nos levara para diferentes tipos de solução sendo elas:
*Solução de onda plana
*Líquido de vórtices
*Vidro de vórtices
*Turbulência na amplitude ou Turbulência de defeitos

A estabilidade da onda plana é delimitada pela condição de Benjamin-Feir-Newell, descrito pela linha teórica BFN no diagrama de fase, a condição para instabilidade é descrita por <math>1 + bc < 0</math>, ou seja, a esquerda da linha podemos encontrar soluções estáveis e a direita mesmo sem perturbações na condição inicial não é possível encontrar soluções de onda plana. É importante enfatizar que o teste para estabilidade de onda plana e para geração das soluções líquido de vórtices e vidro de vórtices se difere pela amplitude da perturbação na condição inicial, para perturbação suficientemente pequena nessa região a onda plana tende a se estabilizar e continuar como onda plana, por outro lado para perturbações de alta amplitude podemos chegar em outro tipo de solução.

As duas linhas EI e AI são linhas computacionais-experimentais e representam respectivamente, o critério generalizado de Eckhaus que descreve a instabilidade convectiva de onda plana, e o critério de instabilidade absoluta da onda plana. Esses dois critérios são critérios de "ajuste" para a condição de BFN, a linha EI delimita a condição que ao perturbarmos uma região à esquerda dela teremos estabilidade da onda plana, enquanto a linha AI define a região onda é possível encontrar espirais, a direita dela as espirais não conseguem se manter pela alta oscilação de <math>|A|</math>.

Existem dois tipos de soluções para perturbações suficientemente grandes que ocorrem na região de estabilidade da onda plana, líquido de vórtices e vidro de vórtices, a linha teórica OR regida por <math>(c - b)/(1 +c*b) = 0.845</math>, demarca a região onde podemos encontrar cada tipo de solução que podem ser diferenciadas pelo comportamento das espirais, nas duas regiões temos decaimento exponencial das interações entre os vórtices porém a direita da linha OR esse decaimento apenas módula as interações, de forma que temos espirais paradas no espaço, já a esquerda temos essas espirais se movendo no espaço.

O regimes turbulência de defeito se diferencia por não existir a formação de defeitos, como comentado anteriormente a direita de AI não é possível encontrar espirais pelo regime ser altamente caótico, a linha T caracteriza a transição do estado de vidro de vórtice para dinâmico turbulento.

L é uma linha proposta anteriormente que não é mais valida, demarcava a existência de outra dinâmica do sistema, também não mais valida, turbulência de fase, onde não era visto formação de defeitos na amplitude porém para sistemas grandes(L = 10000) foi visto que após um certo tempo o sistema colapsava e começava a gerar defeitos na solução.

Quando definimos as condições iniciais de onda plana e perturbamos a região <math>x=[40,60]</math>, <math>y=[40,60]</math> diminuindo o seu valor em 0,3% ,
a onda plana se mantem estavel nas regioens de Liquido de Vortice <math>b=0.5</math>, <math>c=-0.5</math> e Vidro de vortice <math>b=-2.5</math>, <math>c=-0.1</math>.
Dependendo dos parametors de c e b o valor maximo de perturbação pode aleterar, por exemplo, em <math>b=-1</math>, <math>c=-0.5</math> uma perturbação de 4% gerava regiões
de defeitos que rapidamente se anulavam e o sistema retorava para estabilidade.

[[File:EstavelLiquido.gif|810px|Figura 11 -Estabilidade Liquidos de Vortices]]

[[File:EstavelVidro.gif|810px|Figura 12 -Estabilidade Vidro de Vortices]]

Ja na região de Turbulência de Amplitude <math>b=-2</math>, <math>c=1.5</math> a perturbação de 0,3% ja é suficiente para tornar a onda plana instaval resultando no comportamento caótico da (figura 3).
Mesmo perturbações menores que 0,3% também resultam em turbulência .

[[File:InstavelTurbu.gif|810px|Figura 12 -Instabilidade Turbulencia]]

Para analizar o surgimento de espirais e suas caracteristicas utilizamos uma perturbação maior na mesma região (Liquido de Vórtices), o sistema apresenta simetria entre as espirais no gráfico da parte real e também
percebemos a presença de defeitos no módulo de <math>A(x, y, t)</math> (figura 4). Os defeitos, caracterizados pela presença de um ponto nulo ou muito proximo de zero
na amplitude, não se anulam.

[[File:LiquidoVortices.gif|400px|Figura 4 -.Liquidos de Vortices]][[File:LiquidoVorticesAbs.gif|400px|Figura 5 -.Modulo para Liquidos de Vortices]]

Partindo das mesmas condições iniciais anteriores porém na região Vidro de Vórtices, o padrão de
espirais muda, a simetria é perdida e algumas se expandem. Outra característica é a presença de maior número de
células de defeitos. É interessante ressaltar que os pontos defeitos se anulam somente aos pares.

[[File:VidroVortices.gif|400px|Figura 6 -.Vidro de Vortices]][[File:VidroVorticesAbs.gif|400px|Figura 7 -.Modulo para Vidro de Vortices]]

Por fim, na região chamada de Turbulência de Amplitude <math>b=-2</math>, <math>c=1.5</math> à direita da linha AI não encontramos espirais, as células de
defeitos não se formam e temos apenas um comportamento caótico no módulo e na fase da Amplitude.

[[File:TurbAmplitude.gif|400px|Figura 8 -.Turbulencia de Amplitude]][[File:TurbAmplitudeAbs.gif|400px|Figura 9 -.Modulo para Turbulencia de Amplitude]]

Estados congelados são a solução entre as linhas OR e T representam os vidro de vórtice, a lenta convergência para essa solução é dada pela proximidade da linha T, parâmetros b=-2.0 e c=0.6.
[[File:Frozen_states.gif|800px|center|Figura 10 -.Estados congelados]]

== Referências ==
[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation

[4] Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press.

[5] Hugues Chaté, Paul Manneville (1996). Phase diagram of the two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications

Equação de Ginzburg-Landau complexa

2024-05-15T17:00:00Z

Lucasmm: /* Soluções */

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) é uma das equações não lineares mais estudadas da física. Ela oferece uma descrição geral de sistemas com uma fraca dependência não linear. Quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

Em especial, para <math>b = 0</math> e <math>c = 0</math>, ela se reduz para a equação de Ginzburg-Landau real. E, para <math>b \rightarrow + \infty </math> e <math>c \rightarrow + \infty</math>, ela se reduz à equação de Schrödinger não linear. Ela descreve uma variedade enorme de fenômenos, como:

* Ondas não lineares;
* Transições de fase de segunda ordem;
* Supercondutividade;
* Superfluidez;
* Condensado de Bose-Einstein.

== Dedução ==

[[File:Phase_space_circle.png|thumb|right|Figura 1 - Espaço de fase do oscilador harmônico. Fonte - Cross, M., & Greenside, H. (2009)]]

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde <math>E</math> é a energia, <math>q</math> e <math>p</math> a coordenada e seu respectivo momento, <math>m</math> é a massa e <math>\omega_0</math> a frequência angular

<math>
E = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_0^2 q^2.
</math>

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, <math>q \rightarrow q/m^{1/2}</math> e <math>p \rightarrow p m^{1/2}</math>, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de <math>\omega_0 q</math> e <math>p</math>

<math>
E = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega_0^2 q^2.
</math>

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde <math>R</math> é a amplitude e <math>\phi</math> a fase

<math>
\dot{R} = 0, \quad \dot{\phi} = \omega_0.
</math>

Define-se, então, a variável complexa <math>A = R e^{i \phi}</math>, portanto a equação acima pode ser reescrita como

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A.
</math>

Ao realizar a transformação de variável <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math>, com <math>\chi \in \mathbb{R}</math>, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear <math>f(A, A^*)</math> tal que

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A + f(A, A^*)
</math>

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math> e <math>A^* \rightarrow A^* e^{-i \chi}</math>, a função <math>f(A, A^*)</math> deve satisfazer

<math>
f(A e^{i \chi}, A^* e^{-i \chi}) = f(A, A^*) e^{i \chi},
</math>

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir <math>f(A, A^*)</math> em potências de <math>A</math> e <math>A^*</math> até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

<math>
f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 = \alpha_{1r} + i \alpha_{1i}, \quad \alpha_2 = \alpha_{2r} + i \alpha_{2i}
</math>

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de <math>A = R e^{i\phi}</math>

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\phi} = \omega_0 + \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de <math>\phi = \varphi + \omega_0 t</math>. As novas equações obtidas são

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar <math>\dot{R} = 0</math> na equação, o que resulta na solução trivial <math>R^{(est)} = 0</math> e <math>R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}</math>. Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de <math>\alpha_{1r}</math> e de <math>\alpha_{2r}</math> devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso <math>\alpha_{1r} < 0</math> e <math>\alpha_{2r} > 0</math>, pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se <math>\alpha_{1r} = \mu \sigma_1</math> para <math>\sigma_1 > 0</math>, <math>\alpha_{2i} = \mu \omega_1</math>, <math>\alpha_{2r} = -g_r</math> com <math>g_r > 0</math> e <math>\alpha_{2i} = - g_i</math>. Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

<math>
\dot{A} = \mu (\sigma_1 + \omega_1) A - (g_r + ig_i)|A|^2 A
</math>

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, <math>(d_r + i d_i)\nabla^2 A</math>, cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de <math>A</math> no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

== Método FTCS ==

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual.
A partir da CGLE em duas dimensões:
<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = \alpha(\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}) + A - \beta A|A|^2.
</math>

para

<math>
\alpha = (1+ib); \beta = (1+ic)
</math>

Aplicamos o método da seguinte maneira:
<math>
\frac{A(x,y,t+\Delta t) - A(x,y,t)}{\Delta t} = \alpha(\frac{A(x+\Delta x,y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^2}+\frac{A(x,y+\Delta y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^2}) + A(x,y,t) - \beta A(x,y,t)|A(x,y,t)|^2.
</math>

<math>
\frac{A_{i,j}^{N+1} - A_{i,j}^{N}}{\Delta t} = \alpha(\frac{A_{i+1,j}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i-1,j}^{N}}{\Delta x^2}+\frac{A_{i,j+1}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i,j-1}^{N}}{\Delta y^2}) + A_{i,j}^{N} - \beta A_{i,j}^{N}|A_{i,j}^{N}|^2.
</math>

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (<math>\Delta y = \Delta x</math>), chegamos em :
<math>
A_{i,j}^{N+1} = A_{i,j}(1+\Delta t(1-\beta|A_{i,j}|^2))+\frac{\Delta t \alpha}{\Delta x^2}(A_{i+1,j}+A_{i-1,j}+A_{i,j+1}+A_{i,j-1} - 4*A_{i,j})
</math>
[[File:newplot.png|thumb|120px|right|Figura 2 - Condições de contorno periódicas em duas dimensões.]]
Para as condições de contorno foram utilizados condições periódicas tal que na região de x usamos que quando

i=L+1 estaremos em i=1.

e para y, da mesma forma,

j=L+1 temos que j=1.

A figura 2 é a representação gráfica dessas condições.

== Soluções ==
[[File:diagrama_de_fase.png|thumb|320px|upright|Figura 3 - Diagrama de fase para soluções da CGLE [3].]]
A partir da variação dos parâmetros <math>b</math> e <math>c</math> temos regiões que implicam em diferentes soluções para a CGLE, nossa ideia principal foi começar com condição inicial de onda plana e criar alguma perturbação na onda, dependendo da região em que estamos no diagrama de fase a perturbação nos levara para diferentes tipos de solução sendo elas:
*Solução de onda plana
*Líquido de vórtices
*Vidro de vórtices
*Turbulência na amplitude ou Turbulência de defeitos

A estabilidade da onda plana é delimitada pela condição de Benjamin-Feir-Newell, descrito pela linha teórica BFN no diagrama de fase, a condição para instabilidade é descrita por <math>1 + bc < 0</math>, ou seja, a esquerda da linha podemos encontrar soluções estáveis e a direita mesmo sem perturbações na condição inicial não é possível encontrar soluções de onda plana. É importante enfatizar que o teste para estabilidade de onda plana e para geração das soluções líquido de vórtices e vidro de vórtices se difere pela amplitude da perturbação na condição inicial, para perturbação suficientemente pequena nessa região a onda plana tende a se estabilizar e continuar como onda plana, por outro lado para perturbações de alta amplitude podemos chegar em outro tipo de solução.

As duas linhas EI e AI são linhas computacionais-experimentais e representam respectivamente, o critério generalizado de Eckhaus que descreve a instabilidade convectiva de onda plana, e o critério de instabilidade absoluta da onda plana. Esses dois critérios são critérios de "ajuste" para a condição de BFN, a linha EI delimita a condição que ao perturbarmos uma região à esquerda dela teremos estabilidade da onda plana, enquanto a linha AI define a região onda é possível encontrar espirais, a direita dela as espirais não conseguem se manter pela alta oscilação de <math>|A|</math>.

Existem dois tipos de soluções para perturbações suficientemente grandes que ocorrem na região de estabilidade da onda plana, líquido de vórtices e vidro de vórtices, a linha teórica OR regida por <math>(c - b)/(1 +c*b) = 0.845</math>, demarca a região onde podemos encontrar cada tipo de solução que podem ser diferenciadas pelo comportamento das espirais, nas duas regiões temos decaimento exponencial das interações entre os vórtices porém a direita da linha OR esse decaimento apenas módula as interações, de forma que temos espirais paradas no espaço, já a esquerda temos essas espirais se movendo no espaço.

O regimes turbulência de defeito se diferencia por não existir a formação de defeitos, como comentado anteriormente a direita de AI não é possível encontrar espirais pelo regime ser altamente caótico, a linha T caracteriza a transição do estado de vidro de vórtice para dinâmico turbulento.

L é uma linha proposta anteriormente que não é mais valida, demarcava a existência de outra dinâmica do sistema, também não mais valida, turbulência de fase, onde não era visto formação de defeitos na amplitude porém para sistemas grandes(L = 10000) foi visto que após um certo tempo o sistema colapsava e começava a gerar defeitos na solução.

Quando definimos as condições iniciais de onda plana e perturbamos a região <math>x=[40,60]</math>, <math>y=[40,60]</math> diminuindo o seu valor em 0,3% ,
a onda plana se mantem estavel nas regioens de Liquido de Vortice <math>b=0.5</math>, <math>c=-0.5</math> e Vidro de vortice <math>b=-2.5</math>, <math>c=-0.1</math>.
Dependendo dos parametors de c e b o valor maximo de perturbação pode aleterar, por exemplo, em <math>b=-1</math>, <math>c=-0.5</math> uma perturbação de 4% gerava regioes
de defeitos que rapidamente se anulavam.

[[File:EstavelLiquido.gif|810px|Figura 11 -Estabilidade Liquidos de Vortices]]

[[File:EstavelVidro.gif|810px|Figura 12 -Estabilidade Vidro de Vortices]]

Ja na região de Turbulência de Amplitude <math>b=-2</math>, <math>c=1.5</math> a perturbação de 0,3% ja é suficiente para tornar a onda plana instaval resultando no comportamento caótico da (figura 3).
Mesmo perturbações menores que 0,3% também resultam em turbulência .

[[File:InstavelTurbu.gif|810px|Figura 12 -Instabilidade Turbulencia]]

Para analizar o surgimento de espirais e suas caracteristicas utilizamos uma perturm aior na mesma reg
o sistema apresenta simetria entre as espirais no gráfico da parte real e também
percebemos a presença de defeitos no módulo de <math>A(x, y, t)</math> (figura 4). Os defeitos, caracterizados pela presença de um ponto nulo ou muito proximo de zero
na amplitude, nao se anularam pois os parametros <math>b</math> e <math>c</math> encontram-se em uma região de instabilidade convectiva (formação de espirais bem definidas).

[[File:LiquidoVortices.gif|400px|Figura 4 -.Liquidos de Vortices]][[File:LiquidoVorticesAbs.gif|400px|Figura 5 -.Modulo para Liquidos de Vortices]]

Partindo das mesmas condições iniciais anteriores porém em uma região onde <math>b=-2.5</math>, <math>c=-0.1</math>, denominada Vidro de Vórtices, o padrão de
espirais muda, a simetria é perdida e algumas apresentam comportamento "dominante?". Outra característica é a presença de maior número de
células de defeitos que são "empurradas" pelas células maiores provenientes das grandes espirais. É interessante ressaltar que os pontos defeitos se anulam
somente aos pares.

[[File:VidroVortices.gif|400px|Figura 6 -.Vidro de Vortices]][[File:VidroVorticesAbs.gif|400px|Figura 7 -.Modulo para Vidro de Vortices]]

Por fim, na região chamada de Turbulência de Amplitude <math>b=-2</math>, <math>c=1.5</math> à direita da linha AI não encontramos espirais, as células de
defeitos não se formam e temos apenas um comportamento caótico no módulo e na fase da Amplitude.

[[File:TurbAmplitude.gif|400px|Figura 8 -.Turbulencia de Amplitude]][[File:TurbAmplitudeAbs.gif|400px|Figura 9 -.Modulo para Turbulencia de Amplitude]]

Estados congelados são a solução entre as linhas OR e T representam os vidro de vórtice, a lenta convergência para essa solução é dada pela proximidade da linha T, parâmetros b=-2.0 e c=0.6.
[[File:Frozen_states.gif|800px|center|Figura 10 -.Estados congelados]]

== Referências ==
[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation

[4] Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press.

[5] Hugues Chaté, Paul Manneville (1996). Phase diagram of the two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications

Equação de Ginzburg-Landau complexa

2024-05-15T14:42:22Z

Lucasmm: /* Soluções */

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) é uma das equações não lineares mais estudadas da física. Ela oferece uma descrição geral de sistemas com uma fraca dependência não linear. Quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

Em especial, para <math>b = 0</math> e <math>c = 0</math>, ela se reduz para a equação de Ginzburg-Landau real. E, para <math>b \rightarrow + \infty </math> e <math>c \rightarrow + \infty</math>, ela se reduz à equação de Schrödinger não linear. Ela descreve uma variedade enorme de fenômenos, como:

* Ondas não lineares;
* Transições de fase de segunda ordem;
* Supercondutividade;
* Superfluidez;
* Condensado de Bose-Einstein.

== Dedução ==

[[File:Phase_space_circle.png|thumb|right|Figura 1 - Espaço de fase do oscilador harmônico. Fonte - Cross, M., & Greenside, H. (2009)]]

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde <math>E</math> é a energia, <math>q</math> e <math>p</math> a coordenada e seu respectivo momento, <math>m</math> é a massa e <math>\omega_0</math> a frequência angular

<math>
E = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_0^2 q^2.
</math>

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, <math>q \rightarrow q/m^{1/2}</math> e <math>p \rightarrow p m^{1/2}</math>, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de <math>\omega_0 q</math> e <math>p</math>

<math>
E = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega_0^2 q^2.
</math>

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde <math>R</math> é a amplitude e <math>\phi</math> a fase

<math>
\dot{R} = 0, \quad \dot{\phi} = \omega_0.
</math>

Define-se, então, a variável complexa <math>A = R e^{i \phi}</math>, portanto a equação acima pode ser reescrita como

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A.
</math>

Ao realizar a transformação de variável <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math>, com <math>\chi \in \mathbb{R}</math>, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear <math>f(A, A^*)</math> tal que

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A + f(A, A^*)
</math>

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math> e <math>A^* \rightarrow A^* e^{-i \chi}</math>, a função <math>f(A, A^*)</math> deve satisfazer

<math>
f(A e^{i \chi}, A^* e^{-i \chi}) = f(A, A^*) e^{i \chi},
</math>

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir <math>f(A, A^*)</math> em potências de <math>A</math> e <math>A^*</math> até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

<math>
f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 = \alpha_{1r} + i \alpha_{1i}, \quad \alpha_2 = \alpha_{2r} + i \alpha_{2i}
</math>

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de <math>A = R e^{i\phi}</math>

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\phi} = \omega_0 + \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de <math>\phi = \varphi + \omega_0 t</math>. As novas equações obtidas são

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar <math>\dot{R} = 0</math> na equação, o que resulta na solução trivial <math>R^{(est)} = 0</math> e <math>R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}</math>. Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de <math>\alpha_{1r}</math> e de <math>\alpha_{2r}</math> devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso <math>\alpha_{1r} < 0</math> e <math>\alpha_{2r} > 0</math>, pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se <math>\alpha_{1r} = \mu \sigma_1</math> para <math>\sigma_1 > 0</math>, <math>\alpha_{2i} = \mu \omega_1</math>, <math>\alpha_{2r} = -g_r</math> com <math>g_r > 0</math> e <math>\alpha_{2i} = - g_i</math>. Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

<math>
\dot{A} = \mu (\sigma_1 + \omega_1) A - (g_r + ig_i)|A|^2 A
</math>

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, <math>(d_r + i d_i)\nabla^2 A</math>, cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de <math>A</math> no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

== Método FTCS ==

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual.
A partir da CGLE em duas dimensões:
<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = \alpha(\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}) + A - \beta A|A|^2.
</math>

para

<math>
\alpha = (1+ib); \beta = (1+ic)
</math>

Aplicamos o método da seguinte maneira:
<math>
\frac{A(x,y,t+\Delta t) - A(x,y,t)}{\Delta t} = \alpha(\frac{A(x+\Delta x,y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^2}+\frac{A(x,y+\Delta y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^2}) + A(x,y,t) - \beta A(x,y,t)|A(x,y,t)|^2.
</math>

<math>
\frac{A_{i,j}^{N+1} - A_{i,j}^{N}}{\Delta t} = \alpha(\frac{A_{i+1,j}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i-1,j}^{N}}{\Delta x^2}+\frac{A_{i,j+1}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i,j-1}^{N}}{\Delta y^2}) + A_{i,j}^{N} - \beta A_{i,j}^{N}|A_{i,j}^{N}|^2.
</math>

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (<math>\Delta y = \Delta x</math>), chegamos em :
<math>
A_{i,j}^{N+1} = A_{i,j}(1+\Delta t(1-\beta|A_{i,j}|^2))+\frac{\Delta t \alpha}{\Delta x^2}(A_{i+1,j}+A_{i-1,j}+A_{i,j+1}+A_{i,j-1} - 4*A_{i,j})
</math>
[[File:newplot.png|thumb|120px|right|Figura 2 - Condições de contorno periódicas em duas dimensões.]]
Para as condições de contorno foram utilizados condições periódicas tal que na região de x usamos que quando

i=L+1 estaremos em i=1.

e para y, da mesma forma,

j=L+1 temos que j=1.

A figura 2 é a representação gráfica dessas condições.

== Soluções ==
[[File:diagrama_de_fase.png|thumb|320px|upright|Figura 3 - Diagrama de fase para soluções da CGLE [3].]]
A partir da variação dos parâmetros <math>b</math> e <math>c</math> temos regiões que implicam em diferentes soluções para a CGLE, nossa ideia principal foi começar com condição inicial de onda plana e criar alguma perturbação na onda, dependendo da região em que estamos no diagrama de fase a perturbação nos levara para diferentes tipos de solução sendo elas:
*Solução de onda plana
*Líquido de vórtices
*Vidro de vórtices
*Turbulência na amplitude ou Turbulência de defeitos

A estabilidade da onda plana é delimitada pela condição de Benjamin-Feir-Newell, descrito pela linha teórica BFN no diagrama de fase, a condição para instabilidade é descrita por <math>1 + bc < 0</math>, ou seja, a esquerda da linha podemos encontrar soluções estáveis e a direita mesmo sem perturbações na condição inicial não é possível encontrar soluções de onda plana. É importante enfatizar que o teste para estabilidade de onda plana e para geração das soluções líquido de vórtices e vidro de vórtices se difere pela amplitude da perturbação na condição inicial, para perturbação suficientemente pequena nessa região a onda plana tende a se estabilizar e continuar como onda plana, por outro lado para perturbações de alta amplitude podemos chegar em outro tipo de solução.

[[File:EstavelLiquido.gif|810px|Figura 11 -Estabilidade Liquidos de Vortices]]

[[File:EstavelVidro.gif|810px|Figura 12 -Estabilidade Vidro de Vortices]]

[[File:InstavelTurbu.gif|810px|Figura 12 -Instabilidade Turbulencia]]

As duas linhas EI e AI são linhas computacionais-experimentais e representam respectivamente, o critério generalizado de Eckhaus que descreve a instabilidade convectiva de onda plana, e o critério de instabilidade absoluta da onda plana. Esses dois critérios são critérios de "ajuste" para a condição de BFN, a linha EI delimita a condição que ao perturbarmos uma região à esquerda dela teremos estabilidade da onda plana, enquanto a linha AI define a região onda é possível encontrar espirais, a direita dela as espirais não conseguem se manter pela alta oscilação de <math>|A|</math>.

Existem dois tipos de soluções para perturbações suficientemente grandes que ocorrem na região de estabilidade da onda plana, líquido de vórtices e vidro de vórtices, a linha teórica OR regida por <math>(c - b)/(1 +c*b) = 0.845</math>, demarca a região onde podemos encontrar cada tipo de solução que podem ser diferenciadas pelo comportamento das espirais, nas duas regiões temos decaimento exponencial das interações entre os vórtices porém a direita da linha OR esse decaimento apenas módula as interações, de forma que temos espirais paradas no espaço, já a esquerda temos essas espirais se movendo no espaço.

O regimes turbulência de defeito se diferencia por não existir a formação de defeitos, como comentado anteriormente a direita de AI não é possível encontrar espirais pelo regime ser altamente caótico, a linha T caracteriza a transição do estado de vidro de vórtice para dinâmico turbulento.

L é uma linha proposta anteriormente que não é mais valida, demarcava a existência de outra dinâmica do sistema, também não mais valida, turbulência de fase, onde não era visto formação de defeitos na amplitude porém para sistemas grandes(L = 10000) foi visto que após um certo tempo o sistema colapsava e começava a gerar defeitos na solução.

Quando definimos as condições iniciais de onda plana e perturbamos a amplitude em <math>x=[40,60]</math>, <math>y=[40,60]</math>
com <math>b=0.5</math>, <math>c=-0.5</math> (Liquido de Vortices) do diagrama de fase em (figura 3) o sistema apresenta simetria entre as espirais no gráfico da parte real e também
percebemos a presença de defeitos no módulo de <math>A(x, y, t)</math> (figura 4). Os defeitos, caracterizados pela presença de um ponto nulo ou muito proximo de zero
na amplitude, nao se anularam pois os parametros <math>b</math> e <math>c</math> encontram-se em uma região de instabilidade convectiva (formação de espirais bem definidas).

[[File:LiquidoVortices.gif|400px|Figura 4 -.Liquidos de Vortices]][[File:LiquidoVorticesAbs.gif|400px|Figura 5 -.Modulo para Liquidos de Vortices]]

Partindo das mesmas condições iniciais anteriores porém em uma região onde <math>b=-2.5</math>, <math>c=-0.1</math>, denominada Vidro de Vórtices, o padrão de
espirais muda, a simetria é perdida e algumas apresentam comportamento "dominante?". Outra característica é a presença de maior número de
células de defeitos que são "empurradas" pelas células maiores provenientes das grandes espirais. É interessante ressaltar que os pontos defeitos se anulam
somente aos pares.

[[File:VidroVortices.gif|400px|Figura 6 -.Vidro de Vortices]][[File:VidroVorticesAbs.gif|400px|Figura 7 -.Modulo para Vidro de Vortices]]

Por fim, na região chamada de Turbulência de Amplitude <math>b=-2</math>, <math>c=1.5</math> à direita da linha AI não encontramos espirais, as células de
defeitos não se formam e temos apenas um comportamento caótico no módulo e na fase da Amplitude.

[[File:TurbAmplitude.gif|400px|Figura 8 -.Turbulencia de Amplitude]][[File:TurbAmplitudeAbs.gif|400px|Figura 9 -.Modulo para Turbulencia de Amplitude]]

Estados congelados são a solução entre as linhas OR e T representam os vidro de vórtice, a lenta convergência para essa solução é dada pela proximidade da linha T, parâmetros b=-2.0 e c=0.6.
[[File:Frozen_states.gif|800px|center|Figura 10 -.Estados congelados]]

== Referências ==
[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation

[4] Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press.

[5] Hugues Chaté, Paul Manneville (1996). Phase diagram of the two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications

Arquivo:InstavelTurbu.gif

2024-05-15T14:41:30Z

Lucasmm:

Arquivo:EstavelVidro.gif

2024-05-15T14:39:03Z

Lucasmm:

Arquivo:EstavelLiquido.gif

2024-05-15T14:33:25Z

Lucasmm:

Equação de Ginzburg-Landau complexa

2024-05-15T13:55:38Z

Lucasmm: /* Soluções */

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) é uma das equações não lineares mais estudadas da física. Ela oferece uma descrição geral de sistemas com uma fraca dependência não linear. Quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

Em especial, para <math>b = 0</math> e <math>c = 0</math>, ela se reduz para a equação de Ginzburg-Landau real. E, para <math>b \rightarrow + \infty </math> e <math>c \rightarrow + \infty</math>, ela se reduz à equação de Schrödinger não linear. Ela descreve uma variedade enorme de fenômenos, como:

* Ondas não lineares;
* Transições de fase de segunda ordem;
* Supercondutividade;
* Superfluidez;
* Condensado de Bose-Einstein.

== Dedução ==

[[File:Phase_space_circle.png|thumb|right|Figura 1 - Espaço de fase do oscilador harmônico. Fonte - Cross, M., & Greenside, H. (2009)]]

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde <math>E</math> é a energia, <math>q</math> e <math>p</math> a coordenada e seu respectivo momento, <math>m</math> é a massa e <math>\omega_0</math> a frequência angular

<math>
E = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_0^2 q^2.
</math>

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, <math>q \rightarrow q/m^{1/2}</math> e <math>p \rightarrow p m^{1/2}</math>, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de <math>\omega_0 q</math> e <math>p</math>

<math>
E = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega_0^2 q^2.
</math>

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde <math>R</math> é a amplitude e <math>\phi</math> a fase

<math>
\dot{R} = 0, \quad \dot{\phi} = \omega_0.
</math>

Define-se, então, a variável complexa <math>A = R e^{i \phi}</math>, portanto a equação acima pode ser reescrita como

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A.
</math>

Ao realizar a transformação de variável <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math>, com <math>\chi \in \mathbb{R}</math>, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear <math>f(A, A^*)</math> tal que

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A + f(A, A^*)
</math>

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math> e <math>A^* \rightarrow A^* e^{-i \chi}</math>, a função <math>f(A, A^*)</math> deve satisfazer

<math>
f(A e^{i \chi}, A^* e^{-i \chi}) = f(A, A^*) e^{i \chi},
</math>

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir <math>f(A, A^*)</math> em potências de <math>A</math> e <math>A^*</math> até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

<math>
f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 = \alpha_{1r} + i \alpha_{1i}, \quad \alpha_2 = \alpha_{2r} + i \alpha_{2i}
</math>

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de <math>A = R e^{i\phi}</math>

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\phi} = \omega_0 + \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de <math>\phi = \varphi + \omega_0 t</math>. As novas equações obtidas são

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar <math>\dot{R} = 0</math> na equação, o que resulta na solução trivial <math>R^{(est)} = 0</math> e <math>R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}</math>. Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de <math>\alpha_{1r}</math> e de <math>\alpha_{2r}</math> devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso <math>\alpha_{1r} < 0</math> e <math>\alpha_{2r} > 0</math>, pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se <math>\alpha_{1r} = \mu \sigma_1</math> para <math>\sigma_1 > 0</math>, <math>\alpha_{2i} = \mu \omega_1</math>, <math>\alpha_{2r} = -g_r</math> com <math>g_r > 0</math> e <math>\alpha_{2i} = - g_i</math>. Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

<math>
\dot{A} = \mu (\sigma_1 + \omega_1) A - (g_r + ig_i)|A|^2 A
</math>

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, <math>(d_r + i d_i)\nabla^2 A</math>, cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de <math>A</math> no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

== Método FTCS ==

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual.
A partir da CGLE em duas dimensões:
<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = \alpha(\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}) + A - \beta A|A|^2.
</math>

para

<math>
\alpha = (1+ib); \beta = (1+ic)
</math>

Aplicamos o método da seguinte maneira:
<math>
\frac{A(x,y,t+\Delta t) - A(x,y,t)}{\Delta t} = \alpha(\frac{A(x+\Delta x,y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^2}+\frac{A(x,y+\Delta y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^2}) + A(x,y,t) - \beta A(x,y,t)|A(x,y,t)|^2.
</math>

<math>
\frac{A_{i,j}^{N+1} - A_{i,j}^{N}}{\Delta t} = \alpha(\frac{A_{i+1,j}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i-1,j}^{N}}{\Delta x^2}+\frac{A_{i,j+1}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i,j-1}^{N}}{\Delta y^2}) + A_{i,j}^{N} - \beta A_{i,j}^{N}|A_{i,j}^{N}|^2.
</math>

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (<math>\Delta y = \Delta x</math>), chegamos em :
<math>
A_{i,j}^{N+1} = A_{i,j}(1+\Delta t(1-\beta|A_{i,j}|^2))+\frac{\Delta t \alpha}{\Delta x^2}(A_{i+1,j}+A_{i-1,j}+A_{i,j+1}+A_{i,j-1} - 4*A_{i,j})
</math>
[[File:newplot.png|thumb|120px|right|Figura 2 - Condições de contorno periódicas em duas dimensões.]]
Para as condições de contorno foram utilizados condições periódicas tal que na região de x usamos que quando

i=L+1 estaremos em i=1.

e para y, da mesma forma,

j=L+1 temos que j=1.

A figura 2 é a representação gráfica dessas condições.

== Soluções ==
[[File:diagrama_de_fase.png|thumb|320px|upright|Figura 3 - Diagrama de fase para soluções da CGLE [3].]]
A partir da variação dos parâmetros <math>b</math> e <math>c</math> temos regiões que implicam em diferentes soluções para a CGLE, nossa ideia principal foi começar com condição inicial de onda plana e criar alguma perturbação na onda, dependendo da região em que estamos no diagrama de fase a perturbação nos levara para diferentes tipos de solução sendo elas:
*Solução de onda plana
*Líquido de vórtices
*Vidro de vórtices
*Turbulência na amplitude ou Turbulência de defeitos

A estabilidade da onda plana é delimitada pela condição de Benjamin-Feir-Newell, descrito pela linha teórica BFN no diagrama de fase, a condição para instabilidade é descrita por <math>1 + bc < 0</math>, ou seja, a esquerda da linha podemos encontrar soluções estáveis e a direita mesmo sem perturbações na condição inicial não é possível encontrar soluções de onda plana. É importante enfatizar que o teste para estabilidade de onda plana e para geração das soluções líquido de vórtices e vidro de vórtices se difere pela amplitude da perturbação na condição inicial, para perturbação suficientemente pequena nessa região a onda plana tende a se estabilizar e continuar como onda plana, por outro lado para perturbações de alta amplitude podemos chegar em outro tipo de solução.

As duas linhas EI e AI são linhas computacionais-experimentais e representam respectivamente, o critério generalizado de Eckhaus que descreve a instabilidade convectiva de onda plana, e o critério de instabilidade absoluta da onda plana. Esses dois critérios são critérios de "ajuste" para a condição de BFN, a linha EI delimita a condição que ao perturbarmos uma região à esquerda dela teremos estabilidade da onda plana, enquanto a linha AI define a região onda é possível encontrar espirais, a direita dela as espirais não conseguem se manter pela alta oscilação de <math>|A|</math>.

Existem dois tipos de soluções para perturbações suficientemente grandes que ocorrem na região de estabilidade da onda plana, líquido de vórtices e vidro de vórtices, a linha teórica OR regida por <math>(c - b)/(1 +c*b) = 0.845</math>, demarca a região onde podemos encontrar cada tipo de solução que podem ser diferenciadas pelo comportamento das espirais, nas duas regiões temos decaimento exponencial das interações entre os vórtices porém a direita da linha OR esse decaimento apenas módula as interações, de forma que temos espirais paradas no espaço, já a esquerda temos essas espirais se movendo no espaço.

O regimes turbulência de defeito se diferencia por não existir a formação de defeitos, como comentado anteriormente a direita de AI não é possível encontrar espirais pelo regime ser altamente caótico, a linha T caracteriza a transição do estado de vidro de vórtice para dinâmico turbulento.

L é uma linha proposta anteriormente que não é mais valida, demarcava a existência de outra dinâmica do sistema, também não mais valida, turbulência de fase, onde não era visto formação de defeitos na amplitude porém para sistemas grandes(L = 10000) foi visto que após um certo tempo o sistema colapsava e começava a gerar defeitos na solução.

Quando definimos as condições iniciais de onda plana e região perturbando a amplitude em <math>x=[40,60]</math>, <math>y=[40,60]</math>
com <math>b=0.5</math>, <math>c=-0.5</math> (Liquido de Vortices) do diagrama de fase em (figura 3) o sistema apresenta simetria entre as espirais no gráfico da parte real e também
percebemos a presença de defeitos no módulo de <math>A(x, y, t)</math> (figura 4). Os defeitos, caracterizados pela presença de um ponto nulo no módulo ou muito proximo de zero
na amplitude, nao se anularam pois os parametros <math>b</math> e <math>c</math> encontram-se em uma região de instabilidade convectiva (formação de espirais bem definidas).

[[File:LiquidoVortices.gif|400px|Figura 4 -.Liquidos de Vortices]][[File:LiquidoVorticesAbs.gif|400px|Figura 5 -.Modulo para Liquidos de Vortices]]

Partindo das mesmas condições iniciais anteriores porém em uma região onde <math>b=-2.5</math>, <math>c=-0.1</math>, denominada Vidro de Vórtices, o padrão de
espirais muda, a simetria é perdida e algumas apresentam comportamento "dominante?". Outra característica é a presença de maior número de
células de defeitos que são "empurradas" pelas células maiores provenientes das grandes espirais. É interessante ressaltar que os pontos defeitos se anulam
somente aos pares.

[[File:VidroVortices.gif|400px|Figura 6 -.Vidro de Vortices]][[File:VidroVorticesAbs.gif|400px|Figura 7 -.Modulo para Vidro de Vortices]]

Por fim, na região chamada de Turbulência de Amplitude <math>b=-2</math>, <math>c=1.5</math> à direita da linha AI não encontramos espirais, as células de
defeitos não se formam e temos apenas um comportamento caótico no módulo e na fase da Amplitude.

[[File:TurbAmplitude.gif|400px|Figura 8 -.Turbulencia de Amplitude]][[File:TurbAmplitudeAbs.gif|400px|Figura 9 -.Modulo para Turbulencia de Amplitude]]

Estados congelados são a solução entre as linhas OR e T representam os vidro de vórtice, a lenta convergência para essa solução é dada pela proximidade da linha T, parâmetros b=-2.0 e c=0.6.
[[File:Frozen_states.gif|800px|center|Figura 9 -.Estados congelados]]

== Referências ==
[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation

[4] Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press.

[5] Hugues Chaté, Paul Manneville (1996). Phase diagram of the two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications

Equação de Ginzburg-Landau complexa

2024-05-08T12:53:56Z

Lucasmm: /* Soluções */

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) é uma das equações não lineares mais estudadas da física. Ela oferece uma descrição geral de sistemas com uma fraca dependência não linear. Quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

Em especial, para <math>b = 0</math> e <math>c = 0</math>, ela se reduz para a equação de Ginzburg-Landau real. E, para <math>b \rightarrow + \infty </math> e <math>c \rightarrow + \infty</math>, ela se reduz à equação de Schrödinger não linear. Ela descreve uma variedade enorme de fenômenos, como:

* Ondas não lineares;
* Transições de fase de segunda ordem;
* Supercondutividade;
* Superfluidez;
* Condensado de Bose-Einstein.

== Dedução ==

[[File:Phase_space_circle.png|thumb|right|Figura 1 - Espaço de fase do oscilador harmônico. Fonte - Cross, M., & Greenside, H. (2009)]]

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde <math>E</math> é a energia, <math>q</math> e <math>p</math> a coordenada e seu respectivo momento, <math>m</math> é a massa e <math>\omega_0</math> a frequência angular

<math>
E = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_0^2 q^2.
</math>

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, <math>q \rightarrow q/m^{1/2}</math> e <math>p \rightarrow p m^{1/2}</math>, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de <math>\omega_0 q</math> e <math>p</math>

<math>
E = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega_0^2 q^2.
</math>

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde <math>R</math> é a amplitude e <math>\phi</math> a fase

<math>
\dot{R} = 0, \quad \dot{\phi} = \omega_0.
</math>

Define-se, então, a variável complexa <math>A = R e^{i \phi}</math>, portanto a equação acima pode ser reescrita como

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A.
</math>

Ao realizar a transformação de variável <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math>, com <math>\chi \in \mathbb{R}</math>, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear <math>f(A, A^*)</math> tal que

<math>
\dot{A} = i \omega_0 A + f(A, A^*)
</math>

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math> e <math>A^* \rightarrow A^* e^{-i \chi}</math>, a função <math>f(A, A^*)</math> deve satisfazer

<math>
f(A e^{i \chi}, A^* e^{-i \chi}) = f(A, A^*) e^{i \chi},
</math>

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir <math>f(A, A^*)</math> em potências de <math>A</math> e <math>A^*</math> até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

<math>
f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 = \alpha_{1r} + i \alpha_{1i}, \quad \alpha_2 = \alpha_{2r} + i \alpha_{2i}
</math>

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de <math>A = R e^{i\phi}</math>

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\phi} = \omega_0 + \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de <math>\phi = \varphi + \omega_0 t</math>. As novas equações obtidas são

<math>
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
</math>

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar <math>\dot{R} = 0</math> na equação, o que resulta na solução trivial <math>R^{(est)} = 0</math> e <math>R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}</math>. Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de <math>\alpha_{1r}</math> e de <math>\alpha_{2r}</math> devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso <math>\alpha_{1r} < 0</math> e <math>\alpha_{2r} > 0</math>, pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se <math>\alpha_{1r} = \mu \sigma_1</math> para <math>\sigma_1 > 0</math>, <math>\alpha_{2i} = \mu \omega_1</math>, <math>\alpha_{2r} = -g_r</math> com <math>g_r > 0</math> e <math>\alpha_{2i} = - g_i</math>. Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

<math>
\dot{A} = \mu (\sigma_1 + \omega_1) A - (g_r + ig_i)|A|^2 A
</math>

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, <math>(d_r + i d_i)\nabla^2 A</math>, cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de <math>A</math> no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ib)\nabla^2 A + A - (1+ic) A|A|^2.
</math>

== Método FTCS ==

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual.
A partir da CGLE em duas dimensões:
<math>
\frac{\partial A}{\partial t} = \alpha(\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}) + A - \beta A|A|^2.
</math>

para

<math>
\alpha = (1+ib); \beta = (1+ic)
</math>

Aplicamos o método da seguinte maneira:
<math>
\frac{A(x,y,t+\Delta t) - A(x,y,t)}{\Delta t} = \alpha(\frac{A(x+\Delta x,y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^2}+\frac{A(x,y+\Delta y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^2}) + A(x,y,t) - \beta A(x,y,t)|A(x,y,t)|^2.
</math>

<math>
\frac{A_{i,j}^{N+1} - A_{i,j}^{N}}{\Delta t} = \alpha(\frac{A_{i+1,j}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i-1,j}^{N}}{\Delta x^2}+\frac{A_{i,j+1}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i,j-1}^{N}}{\Delta y^2}) + A_{i,j}^{N} - \beta A_{i,j}^{N}|A_{i,j}^{N}|^2.
</math>

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (<math>\Delta y = \Delta x</math>), chegamos em :
<math>
A_{i,j}^{N+1} = A_{i,j}(1+\Delta t(1-\beta|A_{i,j}|^2))+\frac{\Delta t \alpha}{\Delta x^2}(A_{i+1,j}+A_{i-1,j}+A_{i,j+1}+A_{i,j-1} - 4*A_{i,j})
</math>
[[File:newplot.png|thumb|120px|right|Figura 2 - Condições de contorno periódicas em duas dimensões.]]
Para as condições de contorno foram utilizados condições periódicas tal que na região de x usamos que quando

i=L+1 estaremos em i=1.

e para y, da mesma forma,

j=L+1 temos que j=1.

A figura 2 é a representação gráfica dessas condições.

== Soluções ==
[[File:diagrama_de_fase.png|thumb|240px|upright|Figura 3 - Diagrama de fase para soluções da CGLE [3].]]
A partir da variação dos parâmetros <math>b</math> e <math>c</math> temos regiões que implicam em diferentes soluções para a CGLE, nossa ideia central foi começar com condição inicial de onda plana, que em teoria tende a se manter como onda plana, e perturbar essa solução, dependendo da região em que estamos no diagrama de fase a perturbação nos levara para diferentes tipos de solução sendo as principais:
*Soluções de onda plana estável
*Soluções de onda plana instável
que são delimitadas pela condição de Benjamin-Feir-Newell, que descreve a linha BFN no diagrama de fase, a condição para instabilidade é descrita por <math>1 + bc < 0</math>, ou seja, acima da linha temos soluções estáveis e abaixo soluções instáveis.
Outras soluções que podem ser encontradas são soluções de turbulência, para fase e para a amplitude,

condição tipos de espirais <math>-(c3 + c1)/(1 -c1*c3) = 0.845</math> Linha OR, interação entre espirais.

esquerda de T dinâmico turbulento, direita "congelado".

L limite da turbulência de fase

Eckhaus-stability boundary EI

boundary of
absolute stability AI

Quando definimos as condições iniciais de onda plana como um seno e um termo perturbando as oscilações em <math>x=[40,60]</math>, <math>y=[40,60]</math>
com <math>b=0.5</math>, <math>c=-0.5</math> do diagrama de fase em (figura 3) o sistema apresenta simetria entre as espirais no gráfico da parte real e também
percebemos a presença de defeitos no módulo de <math>A(\chi,t)</math> (figura 4). Os defeitos, caracterizados pela presença de um ponto nulo no módulo
da amplitude, nao se anularam pois os parametros <math>b</math> e <math>c</math> encontram-se em uma região de instabilidade convectiva (formação de espirais bem definidas).

[[File:LiquidoVortices.gif|400px|Figura 4 -.Liquidos de Vortices]][[File:LiquidoVorticesAbs.gif|400px|Figura 5 -.Modulo para Liquidos de Vortices]]

Partindo das mesmas condições iniciais anteriores porém em uma região onde <math>b=-2.5</math>, <math>c=-0.1</math>, denominada Vidro de Vórtices, o padrão de
espirais muda, a simetria é perdida e algumas apresentam comportamento "dominante?". Outra característica é a presença de maior número de
células de defeitos que são "empurradas" pelas células maiores provenientes das grandes espirais. É interessante ressaltar que os pontos defeitos se anulam
somente aos pares.

[[File:VidroVortices.gif|400px|Figura 6 -.Vidro de Vortices]][[File:VidroVorticesAbs.gif|400px|Figura 7 -.Modulo para Vidro de Vortices]]

Por fim, na região chamada de Turbulência de Amplitude <math>b=-2</math>, <math>c=1.5</math> à direita da linha AI nao encontramos espirais, as células de
defeitos não se formam e temos apenas um comportamento caótico no módulo e na fase da Amplitude.

[[File:TurbAmplitude.gif|400px|Figura 8 -.Turbulencia de Amplitude]][[File:TurbAmplitudeAbs.gif|400px|Figura 9 -.Modulo para Turbulencia de Amplitude]]

== Referências ==
[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation

[4] Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press.

[5] Hugues Chaté, Paul Manneville (1996). Phase diagram of the two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications

Equação de Ginzburg-Landau complexa