Física Computacional - Contribuições do usuário [pt-br]

Métodos computacionais

2024-03-26T14:06:46Z

Leon: /* Métodos Computacionais C */

Física computacional é uma abordagem da '''física teórica''' com o auxílio do computador essencialmente
quando a complexidade do problema impossibilita o avanço pela via analítica e/ou porque os cálculos
numéricos são longos demais para serem feitos sem automação.
Alguns consideram a '''física computacional''' um terceiro (e mais recente) vértice do triângulo da maneira de se fazer física, onde os outros dois vértices são a '''física teórica''' e a '''física experimental'''.

'''Métodos computacionais''' é a disciplina onde estudamos ferramentas, métodos e algoritmos numéricos para a resolução de problemas de física onde uma abordagem analítica é extremamente complexa ou impossível.

Alguns exemplos de aplicação são: a solução numérica de equações diferenciais ordinárias, integração numérica via métodos de aproximação ou estatísticos como método de Monte Carlo, equações diferencias parciais como as equações de Maxwell e de Schroedinger, métodos matriciais para a solução de problemas de autovalor e autovetor como os encontrados na Mecânica Quântica.

==Breve Historia da Computação==

De Conrad Zuse (1941) ao IBM Blue/Gene (2006)

==Arquitectura==

[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Personal_computer%2C_exploded_5.svg Diagrama de PC]

== Ferramentas ==
===== [[Comandos Unix/Linux]] =====
===== [[Gnuplot]] e [[xmgrace]] =====
===== [[LaTex]] =====
===== [[FORTRAN]] =====
===== [[C]] =====
===== [[Julia]] =====

== Métodos Computacionais A ==
===== [[Derivada Numérica]] =====
===== [[Integração Numérica]] =====
===== [[Interpolação e extrapolação]] =====
====== [[Fórmula de Lagrange]]======
====== [[Spline cúbico]]======

===== [[Zeros de Funções]]=====
===== [[Mínimos Quadrados]] =====
===== [[Listas de exercícios]] =====
====== [[Área 1]] ======
====== [[Área 2]] ======
====== [[Área 3]] ======

== Métodos Computacionais B ==

===== [[Integração numérica de equações diferenciais ordinárias]] =====
* [[Método de Euler | Método de Euler explícito e implícito]]
* [[Método de Euler-Cromer]]
* [[Método de Verlet |Método de Verlet e Velocidade Verlet]]
* [[Método de Leapfrog]]
* [[Método de Runge-Kutta 2ª e 4ª ordem]]

===== [[Métodos multipassos]]=====

===== [[Métodos de passo variável]]=====

===== [[Aplicações (Mapas)]]=====

===== [[Números Aleatórios]]=====

===== [[Histogramas e Densidade de Probabilidade ]] =====

===== [[Método de Monte Carlo e transformações]]=====

== Métodos Computacionais C ==

=== [[Equações Diferenciais Parciais]] ===

===[[ Movimento Coletivo ]] ===

=== [[ Trabalhos 2017/2 ]] ===

=== [[ Trabalhos 2019 ]] ===

=== [[ Trabalhos 2020/1 ]] ===

=== [[ Trabalhos 2020/2 ]] ===

=== [[ Trabalhos 2021/1 ]] ===

=== [[ Trabalhos 2021/2 ]] ===

=== [[ Trabalhos 2022/1 ]] ===

=== [[ Trabalhos 2022/2 ]] ===

=== [[ Trabalhos 2023/2 ]] ===

=== [[ Trabalhos 2024/1 ]] ===

Métodos computacionais

2019-12-17T18:52:50Z

Leon: /* Métodos Computacionais C */

Física computacional é uma abordagem da '''física teórica''' com o auxílio do computador essencialmente
quando a complexidade do problema impossibilita o avanço pela via analítica e/ou porque os cálculos
numéricos são longos demais para serem feitos sem automação.
Alguns consideram a '''física computacional''' um terceiro (e mais recente) vértice do triângulo da maneira de se fazer física, onde os outros dois vértices são a '''física teórica''' e a '''física experimental'''.

'''Métodos computacionais''' é a disciplina onde estudamos ferramentas, métodos e algoritmos numéricos para a resolução de problemas de física onde uma abordagem analítica é extremamente complexa ou impossível.

Alguns exemplos de aplicação são: a solução numérica de equações diferenciais ordinárias, integração numérica via métodos de aproximação ou estatísticos como método de Monte Carlo, equações diferencias parciais como as equações de Maxwell e de Schroedinger, métodos matriciais para a solução de problemas de autovalor e autovetor como os encontrados na Mecânica Quântica.

==Breve Historia da Computação==

De Conrad Zuse (1941) ao IBM Blue/Gene (2006)

==Arquitectura==

[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Personal_computer%2C_exploded_5.svg Diagrama de PC]

== Ferramentas ==
===== [[Comandos Unix/Linux]] =====
===== [[Gnuplot]] e [[xmgrace]] =====
===== [[LaTex]] =====
===== [[FORTRAN]] =====
===== [[C]] =====

== Métodos Computacionais A ==
===== [[Derivada Numérica]] =====
===== [[Integração Numérica]] =====
===== [[Interpolação e extrapolação]] =====
====== [[Fórmula de Lagrange]]======
====== [[Spline cúbico]]======

===== [[Zeros de Funções]]=====
===== [[Mínimos Quadrados]] =====
===== [[Listas de exercícios]] =====
====== [[Área 1]] ======
====== [[Área 2]] ======
====== [[Área 3]] ======

== Métodos Computacionais B ==

===== [[Integração numérica de equações diferenciais ordinárias]] =====

===== [[Métodos multipassos]]=====

===== [[Métodos de passo variável]]=====

===== [[Aplicações (Mapas)]]=====

===== [[Números Aleatórios]]=====

===== [[Histogramas e Densidade de Probabilidade ]] =====

===== [[Método de Monte Carlo (integração numérica)]]=====

== Métodos Computacionais C ==

===== [[Equações Diferenciais Parciais]] =====

=====[[Grupo1 - Dif em 2D]] =====

=====[[Grupo2 - Ondas1]]=====

=====[[Grupo3 - Ondas2]]=====

=====[[Grupo4 - FFT]]=====

=====[[Grupo5 - Eq. Schroedinger]]=====

=====[[Grupo - Ising 2D]]=====

===== [[Monte Carlo]] =====

=====[[Grupo - Lennard Jones]]=====

=====[[Grupo - BOIDS]]=====

=====[[Grupo - Tráfego]]=====

===== [[Teste_conv]] =====

===== [[Teste2]] =====

===== [[Grupo - Dilema Do Prisioneiro]] =====

===== [[Grupo - Modelo Sznajd]] =====

=====[[Grupo - Modelo de Potts]]=====

=====[[Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem]]=====

=====[[ Ressonância Estocástica ]] =====

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2019-10-24T18:12:39Z

Leon:

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

1. Resolva os problemas
4.33 -> 4.37
(No problema 4.37 corrija <math> -A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math> para <math> A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math>)
6.1 -> 6.10, 6.12 -> 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42
7.6, 7.8
8.1, -> 8.6, 8.8, 8.11 -> 8.13, 8.19 -> 8.22,
10.1 -> 10.3
do livro texto do curso (II edição).

2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Comandos Unix/Linux

2019-08-09T14:09:07Z

Leon: /* Os primeiros */

'''SUGESTÃO''': a melhor maneira de aprender é testar cada um no terminal de comandos.

A '''esquerda''' de '''<-''' o comando, a '''direita''' de '''<-''' o que ele faz. Entre aspas indicamos o argumento
(são comandos que precisam dele), mas as aspas devem ser omitidas na prática.

== Os primeiros ==

<pre>
date <- dá data e hora
who <- responde quem está logado
finger "nome" <- dá informações do usuário "nome"
ping "máquina" <- informa se "máquina" está acessível na rede
clear <- limpa a tela
locate "file" <- mostra todos os arquivos do disco que tem "file" como parte do nome
which "comando" <- responde onde (em que diretório) se encontra "comando"
du -h "dir" <- lista o espaço ocupado pelos diretórios abaixo do "dir".
O -h é uma opção para mostrar o resultado em unidades humanas(bytes)
</pre>

Exemplos com argumentos (alguns argumentos só funcionam no lief):
{| style="background:paleturquoise"
| finger || alex
|-
| ping || pequim
|-
| locate || firefox
|-
|| which || gnuplot
|-
| du -h || /home
|}

== Básicos ==

<pre>
ls <- listagem do diretório
ls -l <- idem com mais informação
ls --color <- idem com esquema de cores
ls -a <- mostra arquivos ocultos do sistema (os .*)
</pre>

A seguir se o comando precisa de argumento colocamos um nome genérico (ex: ''dir, file,'' etc) e sem aspas
<pre>
mkdir dir <- cria o diretório dir
cd dir <- troca para o diretório dir
pwd <- responde onde você está (qual diretório)
cd .. <- volta ao diretório que está em cima
cd ~ <- vai para o nosso diretório de partida: /home/eu
rmdir dir <- apaga o diretório (se ele estiver vazio) dir

cp file1 file2 <- copia o arquivo file1 no file2
rm file <- apaga o file
rm * <- PERIGO! Apaga tudo o que está no diretório,
rm *.dat <- que apaga só os .dat
rm -i * <- apaga tudo no diretório atual, mas perguntando antes
cp file1 dir/file2 <- copia file1 no file2 no diretório dir
mv file1 file2 <- troca o nome de file1 para file2
mv file dir/ <- coloca o file no subdiretório dir

cat file <- mostra o conteúdo de file
more file <- também, mas página por página
</pre>

O '''more''' pode ser usado para mostrar qualquer coisa na tela, uma página por vez.

Exemplo: se ls -l dá muita informação, pode-se usar more. Aí aparece a

primeira página e espera por mais (dar <space> para continuar, <enter>

avança uma linha, <q> para sair ou <ctrl>+<c> para interromper).

ls -l | more <- dá o diretório atual página x página

== Sobre arquivos ==

<pre>
sort file <- ordena alfabeticamente o arquivo file
wc file <- conta as linhas, palavras e bytes do arquivo file
tail file <- mostra as últimas 10 linhas de file
head file <- mostra as primeiras 10 linhas de file
diff file file1 <- compara e mostra as diferenças entre file1 e file2

split file <- separa file em pedaços iguais
lpr file <- imprime file
</pre>

== Editores ==

O '''emacs''' fornece um ambiente de edição adequado ao tipo de arquivo (manual mínimo em html ou nos formatos pdf
e ps em ftp://lief.if.ufrgs.br/ftp/pub/emacs/).

Existem editores mais simples como '''jed,''' versão reduzida do emacs
Ou o '''gedit''', editor gráfico do desktop ''gnome''. Isso significa que, navegando nos arquivos, ao clicar em um,
o mesmo será editado com o '''gedit'''. Desktop é o nome do sistema gerenciador de janelas, que faz a interface gráfica
amigável do sistema operacional.

O '''vi''' pode resultar pouco amigável, porém é o único que não falta em nenhum sistema que rode Linux ou Unix
<pre>
vi <- chama o vi e depois ...
a <- para inserir texto
<esc> <- para desativar a função
No vi você não pode começar a digitar sem antes digitar "a"
/palavra <enter> <- para procurar palavra
x <- para apagar por letra
dd <- apaga uma linha
:w <- para salvar
:q <- para sair
:q! <- para sair sem salvar
:wq <- para sair salvando
</pre>

Um dos principais problemas encontrados por usuários do '''vi''' é descobrir como se faz para
substituir palavras no texto. Isto é feito com as mesmas '''expressões regulares''' válidas
no editor '''sed'''. Assim para substituir a palavra ''word1'' por ''word2'' se faz

<pre>
:s/word1/word2/g <- substitui word1 por word2 (uma por vez)
:%s/word1/word2/g <- substitui todas as ocorrencias de word1 por word2
</pre>

== Mais comandos ==

<pre>
write colega <- estabelece comunicação on-line com o colega, se estiver logado na mesma máquina
man comando <- dá informação a respeito do comando
import nome_arq1.jpg <- importa da tela uma imagem selecionada (com o mouse) e gera um arquivo com nome "nome_arq1" e extensão jpg
import nome_arq2.ps <- importa da tela uma imagem selecionada (com o mouse) e gera um arquivo com nome "nome_arq2" e extensão ps
convert arq.jpg arq.ps <- converte o arquivo "arq" do formato "jpg" para "ps"
</pre>

== Comandos especiais ==
=== grep ===
<pre>
grep kk file
</pre>
verifica se a palvra '''''kk''''' está no arquivo '''''file''''' <br>
Muito útil quando se procura um arquivo perdido com um determinado assunto.<br>
Exemplo: você não sabe qual o arquivo com o relatório sobre "decaimento".<br>
Então digita:
<pre>
grep decai *
</pre>
e vai mostrar os arquivos (se tiver algum), contendo a palavra '''''decai'''''.<br>
Se você procura duas palavras juntas deve usar aspas. Por exemplo:

<pre>
grep "pi =" *.tex
</pre>

mostra os arquivos '''''tex''''' contendo '''''pi ='''''

=== sed ===
<pre>
sed 's/word1/word2/g' file
</pre>
troca '''word1''' por '''word2''' no arquivo '''file'''. O resultado vai para a tela

<pre>
sed 's/word1/word2/g' file > file2
</pre>
faz o mesmo salvando o resultado no arquivo '''file2'''camante

=== awk ===
awk é um processador de linhas de arquivo com muita funcionalidade.
Ele opera assim: lei uma a uma as linhas de um arquivo (pp por exemplo)
e dessas linhas podemos decidir o que imprimir e quando imprimir ouate imprimir as linhas modificadas
(por uma opração matemática ou por substituição de palavras)
A melhor forma de entender como funciona como sempre é através de exemplos:
<pre>
awk '{print $1, $4}' notas
</pre>
neste exemplo o awk imprime a '''primeira''' ($1) e '''quarta'''($4) colunas de cada linha do arquivo ''notas''
Se o conteúdo desse arquivo são as notas de uma turma:
<pre>
juan 4 8 6
pedro 7 4 10
mateus 7 8 5
felipe 8 3 7
</pre>

depois de executar a linha da awk acima teremos
<pre>
juan 6
pedro 10
mateus 5
felipe 7
</pre>

Aparece aqui um conceito importante da linguagem de comandos: as variáveis, neste caso $1, $2
indicam a primeira, segunda, etc palavras (podem ser números ou combinações dos dois).
Como sabe o ''awk'' onde termina uma e começa a outra? Pelo espaço em branco (pode ser um ou mais espaços)
que definem o fim de uma e começo da seguinte.

Outro detalhe, compare as duas linhas quase idênticas:

<pre>
awk '{print $1, $3, $4}' notas
awk '{print $1, $3 $4}' notas
</pre>

A vírgula (,) entre as variáveis ($3 e $4) faz toda a diferença!

Mas este, se bem é muito prático é apenas uma amostra do que ''awk'' pode fazer
Ele pode filtrar de acordo a critérios. Por exemplo para imprimir as notas dos alunos
que tiraram mais de 7 na primeira:
<pre>
awk '{ if ($2 >= 7) print $1, $2, $3, $4}' notas
</pre>

== Vários ==

<pre>
echo alo, alo <- é um eco mesmo, devolve o que se manda para ele
cal <- mostra um calendário, teste agora e verá
cal 2000 <- aqui terá o ano inteiro
</pre>

== Sessões remotas e transferência de arquivos ==
<pre>
ssh usuario@maquina.dominio <- programa para entrar em máquina e fazer sessão remota
scp usuario@máquina.dominio:arquivo-remoto arquivo-local <- comunicação para troca de arquivos
</pre>

== Monitoramento de processos ==
<pre>
ps x <- mostra seus processos, incluindo ssh, etc
ps aux <- o mesmo do sistema todo
top <- o mesmo com mais informação
kill -9 <- mata o processo que não está dando certo
</pre>

== Compactado e armazenado de arquivos ==
<pre>
gzip file <- comprime os arquivos
tar cvf todos_meus_dados.tar *.dat <- arquiva um conjunto de arquivos (no exemplo todos os .dat)
tar cvfz todos_meus_dados.tgz *.dat <- faz o mesmo criando um arquivo ja comprimido
tar xvf todos_meus_dados.tar <- desarquiva (explode) o conjunto de dados
tar xvfz todos_meus_dados.tgz <- faz o mesmo de um arquivo comprimido
</pre>

Mais
<pre>
chmod +x file <- dá a file permissão para ser executado
ln -s file dir/ <- cria um atalho (link) de file no diretório dir/
alias <- mostra os alias que estão definidos
alias dir='ls -l --color' <- define um alias
</pre>

== Caracteres de significado especial no UNIX ==

{| style="background:paleturquoise"
|<tt>></tt>||redirecionando a saída padrão (tela)
|-
|<tt><</tt>||redirecionando a entrada padrão (teclado)
|-
|<tt>>></tt>||adicionando a saída padrão à um arquivo existente
|-
|<tt><pre>|</pre></tt>||pipe (duto) passa a saída padrão de um comando para o próximo
|-
|<tt>&</tt>||coloca o programa em "background" devolvendo controle do terminal
|-
|<tt>$</tt>||para referir-se a variáveis
|-
|<tt>*</tt>||é o curinga para referência de nomes de arquivos
|}

== Programas de uso corrente ==

(requerem de sessão gráfica)
<pre>
xterm <- abre um terminal de comandos
gv exemplo.ps <- visualiza um arquivo postscript (ex: exemplo.ps)

evince ou okular <- visualizador de arquivos gráficos: tif, gif, jpg, etc
xfig <- programa para fazer desenhos simples (tipo paintbrush do win)
gimp <- programa para tratamento de imagens

iceweasel, firefox ou chrome <- navegadorores de páginas web
</pre>

== Discutidos em capítulos separados ==

* [[gnuplot]], [[xmgrace]]: para fazer gráficos
* [[LaTex]]: para processar texto com qualidade de publicação
* '''gcc, f77 ou f90''': compiladores C e [[FORTRAN]]

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2015-08-12T19:51:38Z

Leon: /* Administração */

''A Wiki is a collaboratively edited Web site designed to promote the accumulation and refining of data with the least possible hassle. Any user viewing a Wiki can edit anything they see quickly and easily''

Bem vindos a '''ComplexWiki''', ambiente de trabalho cooperativo para [[#Pesquisa]], [[#Ensino]] e dicas sobre [[#Linux]].
É preciso se cadastrar para fazer contribuições.
ComplexWiki está dentro do [http://www.if.ufrgs.br Instituto de Física].
-- ''Sebastián Gonçalves''


Consulte [http://meta.wikipedia.org/wiki/MediaWiki_User%27s_Guide User's Guide] para informações de como usar o software wiki (em inglês) e [[ComplexWiki:Sobre]] sobre o estilo local.

== Pesquisa ==

* [[Atrito]]

* [[Econofísica]]

* [[Epidemias]]

* [[Laboratório de Estruturas Celulares]]

[[Instituições de pesquisa]] sobre complexidade no mundo

[[Conferencias]]

== Ensino ==

===[[Métodos computacionais]]===

===[[FIP20706 Tópicos em Física Estatística: redes e dinâmica de epidemias]]===

===[[Introdução a Sistemas Dinâmicos]]===

===[[Dinâmica Molecular]]===

===Texto de Apoio ao Ensino de Física===

* [[Ondas]]

* [[Raio X]]

===[[Applets]]===

===[[Dicas para apresentações]]===

==Linux Forum==

====Hardware====

* [[Touchpad (Synaptic/ALPS)]]

* [[Impressoras multifuncionais]]: instalando o scanner

* [[linux & vaio sz]]

====Software====

* [[instalação de linux basica pela rede]]: procedimento

* [[Reinstalando todos os pacotes de instalação antiga]]

* [[sources.list]]: configurando automaticamente

* [[kubuntu]]: como configurar senha de root

* f90 da Intel: [[upgrade para Edgy]]

* [[32 bits rodando em 64]]: como configurar

* [[thunderbird & firefox]]: como escolher o navegador que abre os links do thunderbird

* [[thunderbird]]: instalando dicionários

* [[XFig]]: truques

* [[pdf]]

* [[latex, emacs, UTF-8 e acentos]]

* [[c cedilha no Ubuntu]]

* [[sincronizar estação]]

* [[colocar legendas num video]]

== Mix ==

[[Distribuição Docente 2007]]

== Consulta (wiki) ==
* [[mysql]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Setting_user_rights_in_MediaWiki Dando privilégio de Administrador (sysop ou OpSys) para um usuário]
* [[Mudando o titulo da página principal (mainpage)]]
* [[Modificando a barra de navegação (navigation bar)]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Page_access_restriction_with_MediaWiki#Get_the_patch Restringindo páginas]
* [[Fórmulas]] e [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Table tabelas]
* [http://isaacnewton.princeton.edu/index.php/MediaWiki:Color_Names As cores do mediawiki]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Extended_image_syntax#Location Imágens (avanzado)]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Layout_customization Customization]
* [[Backup de servidor wiki]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Upgrading_MediaWiki Upgrade do mediawiki]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Help:Configuration_settings Configuration settings list]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Help:FAQ MediaWiki FAQ]
* [http://mail.wikipedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce MediaWiki release mailing list]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Gnuplot Extensão para Gnuplot]
* [[Moodle]]
* [[mediawiki: dicas]]

== Novidades ==

Adicionado suporte para Gnuplot (veja [[Espaço dos alunos]] )



<analytics uacct="UA-379257-2"></analytics>

<--'''MediaWiki instalado com sucesso.'''

Consulte o [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Manual de Usuário] para informações de como usar o software wiki.

== Começando ==

* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Lista de opções de configuração]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ FAQ do MediaWiki]
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Lista de discussão com avisos de novas versões do MediaWiki]
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-- ''Sebastián Gonçalves''


Consulte [http://meta.wikipedia.org/wiki/MediaWiki_User%27s_Guide User's Guide] para informações de como usar o software wiki (em inglês) e [[ComplexWiki:Sobre]] sobre o estilo local.

== Pesquisa ==

* [[Atrito]]

* [[Econofísica]]

* [[Epidemias]]

* [[Laboratório de Estruturas Celulares]]

[[Instituições de pesquisa]] sobre complexidade no mundo

[[Conferencias]]

== Administração ==

* [[Planejamento Estratégico IF-UFRGS]]

== Ensino ==

===[[Métodos computacionais]]===

===[[FIP20706 Tópicos em Física Estatística: redes e dinâmica de epidemias]]===

===[[Introdução a Sistemas Dinâmicos]]===

===Texto de Apoio ao Ensino de Física===

* [[Ondas]]

* [[Raio X]]

===[[Applets]]===

===[[Dicas para apresentações]]===

==Linux Forum==

====Hardware====

* [[Touchpad (Synaptic/ALPS)]]

* [[Impressoras multifuncionais]]: instalando o scanner

* [[linux & vaio sz]]

====Software====

* [[instalação de linux basica pela rede]]: procedimento

* [[Reinstalando todos os pacotes de instalação antiga]]

* [[sources.list]]: configurando automaticamente

* [[kubuntu]]: como configurar senha de root

* f90 da Intel: [[upgrade para Edgy]]

* [[32 bits rodando em 64]]: como configurar

* [[thunderbird & firefox]]: como escolher o navegador que abre os links do thunderbird

* [[thunderbird]]: instalando dicionários

* [[XFig]]: truques

* [[pdf]]

* [[latex, emacs, UTF-8 e acentos]]

* [[c cedilha no Ubuntu]]

* [[sincronizar estação]]

* [[colocar legendas num video]]

== Mix ==

[[Distribuição Docente 2007]]

== Consulta (wiki) ==
* [[mysql]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Setting_user_rights_in_MediaWiki Dando privilégio de Administrador (sysop ou OpSys) para um usuário]
* [[Mudando o titulo da página principal (mainpage)]]
* [[Modificando a barra de navegação (navigation bar)]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Page_access_restriction_with_MediaWiki#Get_the_patch Restringindo páginas]
* [[Fórmulas]] e [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Table tabelas]
* [http://isaacnewton.princeton.edu/index.php/MediaWiki:Color_Names As cores do mediawiki]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Extended_image_syntax#Location Imágens (avanzado)]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Layout_customization Customization]
* [[Backup de servidor wiki]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Upgrading_MediaWiki Upgrade do mediawiki]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Help:Configuration_settings Configuration settings list]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Help:FAQ MediaWiki FAQ]
* [http://mail.wikipedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce MediaWiki release mailing list]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Gnuplot Extensão para Gnuplot]
* [[Moodle]]
* [[mediawiki: dicas]]

== Novidades ==

Adicionado suporte para Gnuplot (veja [[Espaço dos alunos]] )



<analytics uacct="UA-379257-2"></analytics>

<--'''MediaWiki instalado com sucesso.'''

Consulte o [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Manual de Usuário] para informações de como usar o software wiki.

== Começando ==

* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Lista de opções de configuração]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ FAQ do MediaWiki]
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Lista de discussão com avisos de novas versões do MediaWiki]
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ComplexWiki está dentro do [http://www.if.ufrgs.br Instituto de Física].
-- ''Sebastián Gonçalves''


Consulte [http://meta.wikipedia.org/wiki/MediaWiki_User%27s_Guide User's Guide] para informações de como usar o software wiki (em inglês) e [[ComplexWiki:Sobre]] sobre o estilo local.

== Pesquisa ==

* [[Atrito]]

* [[Econofísica]]

* [[Epidemias]]

* [[Laboratório de Estruturas Celulares]]

[[Instituições de pesquisa]] sobre complexidade no mundo

[[Conferencias]]

== Administração ==

== Ensino ==

===[[Métodos computacionais]]===

===[[FIP20706 Tópicos em Física Estatística: redes e dinâmica de epidemias]]===

===[[Introdução a Sistemas Dinâmicos]]===

===Texto de Apoio ao Ensino de Física===

* [[Ondas]]

* [[Raio X]]

===[[Applets]]===

===[[Dicas para apresentações]]===

==Linux Forum==

====Hardware====

* [[Touchpad (Synaptic/ALPS)]]

* [[Impressoras multifuncionais]]: instalando o scanner

* [[linux & vaio sz]]

====Software====

* [[instalação de linux basica pela rede]]: procedimento

* [[Reinstalando todos os pacotes de instalação antiga]]

* [[sources.list]]: configurando automaticamente

* [[kubuntu]]: como configurar senha de root

* f90 da Intel: [[upgrade para Edgy]]

* [[32 bits rodando em 64]]: como configurar

* [[thunderbird & firefox]]: como escolher o navegador que abre os links do thunderbird

* [[thunderbird]]: instalando dicionários

* [[XFig]]: truques

* [[pdf]]

* [[latex, emacs, UTF-8 e acentos]]

* [[c cedilha no Ubuntu]]

* [[sincronizar estação]]

* [[colocar legendas num video]]

== Mix ==

[[Distribuição Docente 2007]]

== Consulta (wiki) ==
* [[mysql]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Setting_user_rights_in_MediaWiki Dando privilégio de Administrador (sysop ou OpSys) para um usuário]
* [[Mudando o titulo da página principal (mainpage)]]
* [[Modificando a barra de navegação (navigation bar)]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Page_access_restriction_with_MediaWiki#Get_the_patch Restringindo páginas]
* [[Fórmulas]] e [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Table tabelas]
* [http://isaacnewton.princeton.edu/index.php/MediaWiki:Color_Names As cores do mediawiki]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Extended_image_syntax#Location Imágens (avanzado)]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Layout_customization Customization]
* [[Backup de servidor wiki]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Upgrading_MediaWiki Upgrade do mediawiki]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Help:Configuration_settings Configuration settings list]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Help:FAQ MediaWiki FAQ]
* [http://mail.wikipedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce MediaWiki release mailing list]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Gnuplot Extensão para Gnuplot]
* [[Moodle]]
* [[mediawiki: dicas]]

== Novidades ==

Adicionado suporte para Gnuplot (veja [[Espaço dos alunos]] )



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<--'''MediaWiki instalado com sucesso.'''

Consulte o [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Manual de Usuário] para informações de como usar o software wiki.

== Começando ==

* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Lista de opções de configuração]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ FAQ do MediaWiki]
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Lista de discussão com avisos de novas versões do MediaWiki]
-->

Métodos computacionais

2014-03-06T20:43:54Z

Leon: /* Toto */

Métodos computacionais

2014-03-06T20:43:26Z

Leon: /* Integração numérica de equações diferenciais ordinárias */

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2014-02-25T22:01:29Z

Leon:

''A Wiki is a collaboratively edited Web site designed to promote the accumulation and refining of data with the least possible hassle. Any user viewing a Wiki can edit anything they see quickly and easily''

Bem vindos a '''ComplexWiki''', ambiente de trabalho cooperativo para [[#Pesquisa]], [[#Ensino]] e dicas sobre [[#Linux]].
É preciso se cadastrar para fazer contribuições.
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-- ''Sebastián Gonçalves''


Consulte [http://meta.wikipedia.org/wiki/MediaWiki_User%27s_Guide User's Guide] para informações de como usar o software wiki (em inglês) e [[ComplexWiki:Sobre]] sobre o estilo local.

== Pesquisa ==

* [[Atrito]]

* [[Econofísica]]

* [[Epidemias]]

* [[Laboratório de Estruturas Celulares]]

[[Instituições de pesquisa]] sobre complexidade no mundo

[[Conferencias]]

== Ensino ==

===[[Métodos computacionais]]===

===[[FIP20706 Tópicos em Física Estatística: redes e dinâmica de epidemias]]===

===[[Introdução a Sistemas Dinâmicos]]===

===Texto de Apoio ao Ensino de Física===

* [[Ondas]]

* [[Raio X]]

===[[Applets]]===

===[[Dicas para apresentações]]===

==Linux Forum==

====Hardware====

* [[Touchpad (Synaptic/ALPS)]]

* [[Impressoras multifuncionais]]: instalando o scanner

* [[linux & vaio sz]]

====Software====

* [[instalação de linux basica pela rede]]: procedimento

* [[Reinstalando todos os pacotes de instalação antiga]]

* [[sources.list]]: configurando automaticamente

* [[kubuntu]]: como configurar senha de root

* f90 da Intel: [[upgrade para Edgy]]

* [[32 bits rodando em 64]]: como configurar

* [[thunderbird & firefox]]: como escolher o navegador que abre os links do thunderbird

* [[thunderbird]]: instalando dicionários

* [[XFig]]: truques

* [[pdf]]

* [[latex, emacs, UTF-8 e acentos]]

* [[c cedilha no Ubuntu]]

* [[sincronizar estação]]

* [[colocar legendas num video]]

== Mix ==

[[Distribuição Docente 2007]]

== Consulta (wiki) ==
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== Novidades ==

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== Começando ==

* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Lista de opções de configuração]
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2014-02-25T22:01:05Z

Leon:

''A Wiki is a collaboratively edited Web site designed to promote the accumulation and refining of data with the least possible hassle. Any user viewing a Wiki can edit anything they see quickly and easily''

Bem vindos a '''ComplexWiki''', ambiente de trabalho cooperativo para [[#Pesquisa]], [[#Ensino]] e dicas sobre [[#Linux]].
É preciso se cadastrar para fazer contribuições.
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-- ''Sebastián Gonçalves''


Consulte [http://meta.wikipedia.org/wiki/MediaWiki_User%27s_Guide User's Guide] para informações de como usar o software wiki (em inglês) e [[ComplexWiki:Sobre]] sobre o estilo local.

== Pesquisa ==

* [[Atrito]]

* [[Econofísica]]

* [[Epidemias]]

* [[Laboratório de Estruturas Celulares]]

[[Instituições de pesquisa]] sobre complexidade no mundo

[[Conferencias]]

[[Toto]]

== Ensino ==

===[[Métodos computacionais]]===

===[[FIP20706 Tópicos em Física Estatística: redes e dinâmica de epidemias]]===

===[[Introdução a Sistemas Dinâmicos]]===

===Texto de Apoio ao Ensino de Física===

* [[Ondas]]

* [[Raio X]]

===[[Applets]]===

===[[Dicas para apresentações]]===

==Linux Forum==

====Hardware====

* [[Touchpad (Synaptic/ALPS)]]

* [[Impressoras multifuncionais]]: instalando o scanner

* [[linux & vaio sz]]

====Software====

* [[instalação de linux basica pela rede]]: procedimento

* [[Reinstalando todos os pacotes de instalação antiga]]

* [[sources.list]]: configurando automaticamente

* [[kubuntu]]: como configurar senha de root

* f90 da Intel: [[upgrade para Edgy]]

* [[32 bits rodando em 64]]: como configurar

* [[thunderbird & firefox]]: como escolher o navegador que abre os links do thunderbird

* [[thunderbird]]: instalando dicionários

* [[XFig]]: truques

* [[pdf]]

* [[latex, emacs, UTF-8 e acentos]]

* [[c cedilha no Ubuntu]]

* [[sincronizar estação]]

* [[colocar legendas num video]]

== Mix ==

[[Distribuição Docente 2007]]

== Consulta (wiki) ==
* [[mysql]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Setting_user_rights_in_MediaWiki Dando privilégio de Administrador (sysop ou OpSys) para um usuário]
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* [http://isaacnewton.princeton.edu/index.php/MediaWiki:Color_Names As cores do mediawiki]
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* [[Backup de servidor wiki]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Upgrading_MediaWiki Upgrade do mediawiki]
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* [http://www.mediawiki.org/wiki/Help:FAQ MediaWiki FAQ]
* [http://mail.wikipedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce MediaWiki release mailing list]
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* [[Moodle]]
* [[mediawiki: dicas]]

== Novidades ==

Adicionado suporte para Gnuplot (veja [[Espaço dos alunos]] )



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<--'''MediaWiki instalado com sucesso.'''

Consulte o [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Manual de Usuário] para informações de como usar o software wiki.

== Começando ==

* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Lista de opções de configuração]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ FAQ do MediaWiki]
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Lista de discussão com avisos de novas versões do MediaWiki]
-->

Histogramas e Densidade de Probabilidade

2013-05-16T15:48:15Z

Leon:

Geradores aleatórios tem amplo uso em simulações físicas, em particular
nas simulações da área de Mecânica Estatística onde
são usados para imitar o efeito da temperatura. Como mencionado nas
seções anteriores, as linguagens de programação usualmente apresentam
um gerador de números aleatórios (congruente) intrínseco, supostamente
uniforme, ou seja, um gerador que produz com igual probabilidade os números
aleatórios dentro do intervalo de definição do gerador. (De fato, há uma segunda
condição importante para um bom gerador que é mais difícil de ser obtida
em geradores congruentes: '''a descorrelação''', mas não vamos tratar dela agora.)

A primeira condição pode ser testada na prática fazendo-se um histograma
dos números aleatórios gerados. Este é o objetivo inicial desta seção.

1) Faça um programa que gere <math>N</math> números aleatórios inteiros
no intervalo <math>0<x<L</math>. Divida esse intervalo em <math>M</math> partes
e conte o número de números aleatórios, <math>h(i)</math>, gerados em cada divisão,<math> i</math>
deste intervalo. Use, por exemplo, <math>L=100</math> e teste diferentes valores
de <math>N=100, 1000, 10000</math>. Faça um gráfico (histograma) de <math>h(i)\times i</math>.

2) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio de <math>h</math> para os três casos
anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>. Note
que se pode calcular esses valores de duas formas equivalentes (prove!):
<math>\sigma^2=\frac{1}{M}\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\frac{1}{M}\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>

'''Densidade de Probabilidade'''

Os resultados do item 1 do exercício acima sugerem a forma de calcular a probabilidade <math>P(x)</math>
de que um número aleatório <math>x</math> seja gerado dentro do intervalo <math>0\leq x \leq i</math>:

<math>P(x_i)=\frac{1}N{\sum_{j=1}^{j<i+1} h(x_j)}</math>.

Pode-se generalizar o cálculo de P(x) para um intervalo <math>\Delta x</math> qualquer usando
o conceito de densidade de probabilidade:

<math> P(x)=\int_0^x\rho(x)dx</math>

assim, <math>\rho(x)</math>, é a densidade de probabilidade e <math>\rho(x)dx</math> é a probabilidade que <math>x</math> seja sorteado no intervalo <math>[x,x+dx]</math>.

A probabilidade de que um número aleatório seja sorteado dentro do intervalo de definição do gerador
deve ser unitária, portanto,

<math>P(L)=\int_0^L \rho(x)dx =1</math>.

que é o que se chama de normalização.
Um gerador uniforme deve apresentar os números aleatórios com igual probabilidade
em qualquer região de seu intervalo de definição, ou seja, a densidade de probabilidade
deve ser constante.

<math>\rho(x)=A \;\;\;\;\;\; \{0<x<L\}</math>

Podemos encontrar <math>A</math> normalizando-se a expressão acima:

<math>\int_0^L \rho(x)dx = \int_0^L A dx = 1 \;\;\;\;\ \Rightarrow A=\frac{1}{L}</math>.

'''Valores Médios de Distribuições Aleatórias'''

O cálculo dos valores médios de variáveis aleatórias ou potências dessas variáveis é, por
definição,

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{i=N} x^k</math>,

mas, lembrando o histograma que fizemos no início desta seção, podemos equivalentemente usar a contagem
de números que caem em cada intervalo multiplicada por <math>x^k</math> e somar sobre os <math>M</math> valores
em que partimos o intervalo <math>L</math>.

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{M} h(i) x(i)^k</math>,

lembre que <math>\frac{h(i)}N</math> é a probabilidade que um número aleatório caia no intervalo entre
i e i+1. Podemos estender esse cálculo para limite em que o intervalo passa a ser infinitesimal <math>dx</math>. A
probabilidade de que um número aleatório aí caia é dada por <math>\rho(x)dx</math> e a soma passa a uma integral,

<math>\bar{x^k}=\int_0^L \rho(x) x^k dx</math>.

O valores médios, <math>\bar{x^k} </math>, são chamados de '''momentos''' da distribuição e o conjunto desse
valores (para <math>1<k<\infty</math>) define-a univocamente.

'''Exercícios'''

1- Mostre que o k-ésimo momento de uma distribuição uniforme definida em um intervalo L é dada por

<math>\bar{x^k} =\frac{L^k}{k+1}</math>.

2- Faça um programa que calcule numericamente o resultado obtido no ítem anterior.

Histogramas e Densidade de Probabilidade

2013-05-16T15:47:36Z

Leon:

Geradores aleatórios tem amplo uso em simulações físicas, em particular
nas simulações da área de Mecânica Estatística onde
são usados para imitar o efeito da temperatura. Como mencionado nas
seções anteriores, as linguagens de programação usualmente apresentam
um gerador de números aleatórios (congruente) intrínseco, supostamente
uniforme, ou seja, um gerador que produz com igual probabilidade os números
aleatórios dentro do intervalo de definição do gerador. (De fato, há uma segunda
condição importante para um bom gerador que é mais difícil de ser obtida
em geradores congruentes: '''a descorrelação''', mas não vamos tratar dela agora.)

A primeira condição pode ser testada na prática fazendo-se um histograma
dos números aleatórios gerados. Este é o objetivo inicial desta seção.

1) Faça um programa que gere <math>N</math> números aleatórios inteiros
no intervalo <math>0<x<L</math>. Divida esse intervalo em <math>M</math> partes
e conte o número de números aleatórios, <math>h(i)</math>, gerados em cada divisão,<math> i</math>
deste intervalo. Use, por exemplo, <math>L=100</math> e teste diferentes valores
de <math>N=100, 1000, 10000</math>. Faça um gráfico (histograma) de <math>h(i)\times i</math>.

2) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio de <math>h</math> para os três casos
anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>. Note
que se pode calcular esses valores de duas formas equivalentes:
<math>\sigma^2=\frac{1}{M}\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\frac{1}{M}\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>

'''Densidade de Probabilidade'''

Os resultados do item 1 do exercício acima sugerem a forma de calcular a probabilidade <math>P(x)</math>
de que um número aleatório <math>x</math> seja gerado dentro do intervalo <math>0\leq x \leq i</math>:

<math>P(x_i)=\frac{1}N{\sum_{j=1}^{j<i+1} h(x_j)}</math>.

Pode-se generalizar o cálculo de P(x) para um intervalo <math>\Delta x</math> qualquer usando
o conceito de densidade de probabilidade:

<math> P(x)=\int_0^x\rho(x)dx</math>

assim, <math>\rho(x)</math>, é a densidade de probabilidade e <math>\rho(x)dx</math> é a probabilidade que <math>x</math> seja sorteado no intervalo <math>[x,x+dx]</math>.

A probabilidade de que um número aleatório seja sorteado dentro do intervalo de definição do gerador
deve ser unitária, portanto,

<math>P(L)=\int_0^L \rho(x)dx =1</math>.

que é o que se chama de normalização.
Um gerador uniforme deve apresentar os números aleatórios com igual probabilidade
em qualquer região de seu intervalo de definição, ou seja, a densidade de probabilidade
deve ser constante.

<math>\rho(x)=A \;\;\;\;\;\; \{0<x<L\}</math>

Podemos encontrar <math>A</math> normalizando-se a expressão acima:

<math>\int_0^L \rho(x)dx = \int_0^L A dx = 1 \;\;\;\;\ \Rightarrow A=\frac{1}{L}</math>.

'''Valores Médios de Distribuições Aleatórias'''

O cálculo dos valores médios de variáveis aleatórias ou potências dessas variáveis é, por
definição,

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{i=N} x^k</math>,

mas, lembrando o histograma que fizemos no início desta seção, podemos equivalentemente usar a contagem
de números que caem em cada intervalo multiplicada por <math>x^k</math> e somar sobre os <math>M</math> valores
em que partimos o intervalo <math>L</math>.

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{M} h(i) x(i)^k</math>,

lembre que <math>\frac{h(i)}N</math> é a probabilidade que um número aleatório caia no intervalo entre
i e i+1. Podemos estender esse cálculo para limite em que o intervalo passa a ser infinitesimal <math>dx</math>. A
probabilidade de que um número aleatório aí caia é dada por <math>\rho(x)dx</math> e a soma passa a uma integral,

<math>\bar{x^k}=\int_0^L \rho(x) x^k dx</math>.

O valores médios, <math>\bar{x^k} </math>, são chamados de '''momentos''' da distribuição e o conjunto desse
valores (para <math>1<k<\infty</math>) define-a univocamente.

'''Exercícios'''

1- Mostre que o k-ésimo momento de uma distribuição uniforme definida em um intervalo L é dada por

<math>\bar{x^k} =\frac{L^k}{k+1}</math>.

2- Faça um programa que calcule numericamente o resultado obtido no ítem anterior.

Histogramas e Densidade de Probabilidade

2013-05-16T15:46:27Z

Leon:

Geradores aleatórios tem amplo uso em simulações físicas, em particular
nas simulações da área de Mecânica Estatística onde
são usados para imitar o efeito da temperatura. Como mencionado nas
seções anteriores, as linguagens de programação usualmente apresentam
um gerador de números aleatórios (congruente) intrínseco, supostamente
uniforme, ou seja, um gerador que produz com igual probabilidade os números
aleatórios dentro do intervalo de definição do gerador. (De fato, há uma segunda
condição importante para um bom gerador que é mais difícil de ser obtida
em geradores congruentes: '''a descorrelação''', mas não vamos tratar dela agora.)

A primeira condição pode ser testada na prática fazendo-se um histograma
dos números aleatórios gerados. Este é o objetivo inicial desta seção.

1) Faça um programa que gere <math>N</math> números aleatórios inteiros
no intervalo <math>0<x<L</math>. Divida esse intervalo em <math>M</math> partes
e conte o número de números aleatórios, <math>h(i)</math>, gerados em cada divisão,<math> i</math>
deste intervalo. Use, por exemplo, <math>L=100</math> e teste diferentes valores
de <math>N=100, 1000, 10000</math>. Faça um gráfico (histograma) de <math>h(i)\times i</math>.

2) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio de <math>h</math> para os três casos
anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>. Note
que se pode calcular esses valores de duas formas equivalentes:
<math>\sigma^2=\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>

'''Densidade de Probabilidade'''

Os resultados do item 1 do exercício acima sugerem a forma de calcular a probabilidade <math>P(x)</math>
de que um número aleatório <math>x</math> seja gerado dentro do intervalo <math>0\leq x \leq i</math>:

<math>P(x_i)=\frac{1}N{\sum_{j=1}^{j<i+1} h(x_j)}</math>.

Pode-se generalizar o cálculo de P(x) para um intervalo <math>\Delta x</math> qualquer usando
o conceito de densidade de probabilidade:

<math> P(x)=\int_0^x\rho(x)dx</math>

assim, <math>\rho(x)</math>, é a densidade de probabilidade e <math>\rho(x)dx</math> é a probabilidade que <math>x</math> seja sorteado no intervalo <math>[x,x+dx]</math>.

A probabilidade de que um número aleatório seja sorteado dentro do intervalo de definição do gerador
deve ser unitária, portanto,

<math>P(L)=\int_0^L \rho(x)dx =1</math>.

que é o que se chama de normalização.
Um gerador uniforme deve apresentar os números aleatórios com igual probabilidade
em qualquer região de seu intervalo de definição, ou seja, a densidade de probabilidade
deve ser constante.

<math>\rho(x)=A \;\;\;\;\;\; \{0<x<L\}</math>

Podemos encontrar <math>A</math> normalizando-se a expressão acima:

<math>\int_0^L \rho(x)dx = \int_0^L A dx = 1 \;\;\;\;\ \Rightarrow A=\frac{1}{L}</math>.

'''Valores Médios de Distribuições Aleatórias'''

O cálculo dos valores médios de variáveis aleatórias ou potências dessas variáveis é, por
definição,

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{i=N} x^k</math>,

mas, lembrando o histograma que fizemos no início desta seção, podemos equivalentemente usar a contagem
de números que caem em cada intervalo multiplicada por <math>x^k</math> e somar sobre os <math>M</math> valores
em que partimos o intervalo <math>L</math>.

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{M} h(i) x(i)^k</math>,

lembre que <math>\frac{h(i)}N</math> é a probabilidade que um número aleatório caia no intervalo entre
i e i+1. Podemos estender esse cálculo para limite em que o intervalo passa a ser infinitesimal <math>dx</math>. A
probabilidade de que um número aleatório aí caia é dada por <math>\rho(x)dx</math> e a soma passa a uma integral,

<math>\bar{x^k}=\int_0^L \rho(x) x^k dx</math>.

O valores médios, <math>\bar{x^k} </math>, são chamados de '''momentos''' da distribuição e o conjunto desse
valores (para <math>1<k<\infty</math>) define-a univocamente.

'''Exercícios'''

1- Mostre que o k-ésimo momento de uma distribuição uniforme definida em um intervalo L é dada por

<math>\bar{x^k} =\frac{L^k}{k+1}</math>.

2- Faça um programa que calcule numericamente o resultado obtido no ítem anterior.

Histogramas e Densidade de Probabilidade

2013-05-16T13:09:28Z

Leon:

Geradores aleatórios tem amplo uso em simulações físicas, em particular
nas simulações da área de Mecânica Estatística onde
são usados para imitar o efeito da temperatura. Como mencionado nas
seções anteriores, as linguagens de programação usualmente apresentam
um gerador de números aleatórios (congruente) intrínseco, supostamente
uniforme, ou seja, um gerador que produz com igual probabilidade os números
aleatórios dentro do intervalo de definição do gerador. (De fato, há uma segunda
condição importante para um bom gerador que é mais difícil de ser obtida
em geradores congruentes: '''a descorrelação''', mas não vamos tratar dela agora.)

A primeira condição pode ser testada na prática fazendo-se um histograma
dos números aleatórios gerados. Este é o objetivo inicial desta seção.

1) Faça um programa que gere <math>N</math> números aleatórios inteiros
no intervalo <math>0<x<L</math>. Divida esse intervalo em <math>M</math> partes
e conte o número de números aleatórios, <math>h(i)</math>, gerados em cada divisão,<math> i</math>
deste intervalo. Use, por exemplo, <math>L=100</math> e teste diferentes valores
de <math>N=100, 1000, 10000</math>. Faça um gráfico (histograma) de <math>h(i)\times i</math>.

2) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio de <math>h</math> para os três casos
anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>.

3) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio dos números aleatórios gerados. Note
que pode-se calcular esses valores de duas formas equivalentes:
<math>\sigma^2=\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\sum_i h_i^2)-{\bar h}^2</math>

'''Densidade de Probabilidade'''

Os resultados do item 1 do exercício acima sugerem a forma de calcular a probabilidade <math>P(x)</math>
de que um número aleatório <math>x</math> seja gerado dentro do intervalo <math>0\leq x \leq i</math>:

<math>P(x_i)=\frac{1}N{\sum_{j=1}^{j<i+1} h(x_j)}</math>.

Pode-se generalizar o cálculo de P(x) para um intervalo <math>\Delta x</math> qualquer usando
o conceito de densidade de probabilidade:

<math> P(x)=\int_0^x\rho(x)dx</math>

assim, <math>\rho(x)</math>, é a densidade de probabilidade e <math>\rho(x)dx</math> é a probabilidade que <math>x</math> seja sorteado no intervalo <math>[x,x+dx]</math>.

A probabilidade de que um número aleatório seja sorteado dentro do intervalo de definição do gerador
deve ser unitária, portanto,

<math>P(L)=\int_0^L \rho(x)dx =1</math>.

que é o que se chama de normalização.
Um gerador uniforme deve apresentar os números aleatórios com igual probabilidade
em qualquer região de seu intervalo de definição, ou seja, a densidade de probabilidade
deve ser constante.

<math>\rho(x)=A \;\;\;\;\;\; \{0<x<L\}</math>

Podemos encontrar <math>A</math> normalizando-se a expressão acima:

<math>\int_0^L \rho(x)dx = \int_0^L A dx = 1 \;\;\;\;\ \Rightarrow A=\frac{1}{L}</math>.

'''Valores Médios de Distribuições Aleatórias'''

O cálculo dos valores médios de variáveis aleatórias ou potências dessas variáveis é, por
definição,

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{i=N} x^k</math>,

mas, lembrando o histograma que fizemos no início desta seção, podemos equivalentemente usar a contagem
de números que caem em cada intervalo multiplicada por <math>x^k</math> e somar sobre os <math>M</math> valores
em que partimos o intervalo <math>L</math>.

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{M} h(i) x(i)^k</math>,

lembre que <math>\frac{h(i)}N</math> é a probabilidade que um número aleatório caia no intervalo entre
i e i+1. Podemos estender esse cálculo para limite em que o intervalo passa a ser infinitesimal <math>dx</math>. A
probabilidade de que um número aleatório aí caia é dada por <math>\rho(x)dx</math> e a soma passa a uma integral,

<math>\bar{x^k}=\int_0^L \rho(x) x^k dx</math>.

O valores médios, <math>\bar{x^k} </math>, são chamados de '''momentos''' da distribuição e o conjunto desse
valores (para <math>1<k<\infty</math>) define-a univocamente.

'''Exercícios'''

1- Mostre que o k-ésimo momento de uma distribuição uniforme definida em um intervalo L é dada por

<math>\bar{x^k} =\frac{L^k}{k+1}</math>.

2- Faça um programa que calcule numericamente o resultado obtido no ítem anterior.

Histogramas e Densidade de Probabilidade

2013-05-16T13:08:08Z

Leon:

Geradores aleatórios tem amplo uso em simulações físicas, em particular
nas simulações da área de Mecânica Estatística onde
são usados para imitar o efeito da temperatura. Como mencionado nas
seções anteriores, as linguagens de programação usualmente apresentam
um gerador de números aleatórios (congruente) intrínseco, supostamente
uniforme, ou seja, um gerador que produz com igual probabilidade os números
aleatórios dentro do intervalo de definição do gerador. (De fato, há uma segunda
condição importante para um bom gerador que é mais difícil de ser obtida
em geradores congruentes: '''a descorrelação''', mas não vamos tratar dela agora.)

A primeira condição pode ser testada na prática fazendo-se um histograma
dos números aleatórios gerados. Este é o objetivo inicial desta seção.

1) Faça um programa que gere <math>N</math> números aleatórios inteiros
no intervalo <math>0<x<L</math>. Divida esse intervalo em <math>M</math> partes
e conte o número de números aleatórios, <math>h(i)</math>, gerados em cada divisão,<math> i</math>
deste intervalo. Use, por exemplo, <math>L=100</math> e teste diferentes valores
de <math>N=100, 1000, 10000</math>. Faça um gráfico (histograma) de <math>h(i)\times i</math>.

2) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio de <math>h</math> para os três casos
anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de <math>L</math>.

3) Calcule o valor médio e o desvio quadrático médio dos números aleatórios gerados. Note
que pode-se calcular esses valores de duas formas equivalentes:
<math>\sigma^2=\sum_i (h_i-\bar h)^2=(\sum_i h_i^2)-\bar h^2</math>

'''Densidade de Probabilidade'''

Os resultados do item 1 do exercício acima sugerem a forma de calcular a probabilidade <math>P(x)</math>
de que um número aleatório <math>x</math> seja gerado dentro do intervalo <math>0\leq x \leq i</math>:

<math>P(x_i)=\frac{1}N{\sum_{j=1}^{j<i+1} h(x_j)}</math>.

Pode-se generalizar o cálculo de P(x) para um intervalo <math>\Delta x</math> qualquer usando
o conceito de densidade de probabilidade:

<math> P(x)=\int_0^x\rho(x)dx</math>

assim, <math>\rho(x)</math>, é a densidade de probabilidade e <math>\rho(x)dx</math> é a probabilidade que <math>x</math> seja sorteado no intervalo <math>[x,x+dx]</math>.

A probabilidade de que um número aleatório seja sorteado dentro do intervalo de definição do gerador
deve ser unitária, portanto,

<math>P(L)=\int_0^L \rho(x)dx =1</math>.

que é o que se chama de normalização.
Um gerador uniforme deve apresentar os números aleatórios com igual probabilidade
em qualquer região de seu intervalo de definição, ou seja, a densidade de probabilidade
deve ser constante.

<math>\rho(x)=A \;\;\;\;\;\; \{0<x<L\}</math>

Podemos encontrar <math>A</math> normalizando-se a expressão acima:

<math>\int_0^L \rho(x)dx = \int_0^L A dx = 1 \;\;\;\;\ \Rightarrow A=\frac{1}{L}</math>.

'''Valores Médios de Distribuições Aleatórias'''

O cálculo dos valores médios de variáveis aleatórias ou potências dessas variáveis é, por
definição,

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{i=N} x^k</math>,

mas, lembrando o histograma que fizemos no início desta seção, podemos equivalentemente usar a contagem
de números que caem em cada intervalo multiplicada por <math>x^k</math> e somar sobre os <math>M</math> valores
em que partimos o intervalo <math>L</math>.

<math>\bar{x^k} = \frac{1}N\sum_{i=1}^{M} h(i) x(i)^k</math>,

lembre que <math>\frac{h(i)}N</math> é a probabilidade que um número aleatório caia no intervalo entre
i e i+1. Podemos estender esse cálculo para limite em que o intervalo passa a ser infinitesimal <math>dx</math>. A
probabilidade de que um número aleatório aí caia é dada por <math>\rho(x)dx</math> e a soma passa a uma integral,

<math>\bar{x^k}=\int_0^L \rho(x) x^k dx</math>.

O valores médios, <math>\bar{x^k} </math>, são chamados de '''momentos''' da distribuição e o conjunto desse
valores (para <math>1<k<\infty</math>) define-a univocamente.

'''Exercícios'''

1- Mostre que o k-ésimo momento de uma distribuição uniforme definida em um intervalo L é dada por

<math>\bar{x^k} =\frac{L^k}{k+1}</math>.

2- Faça um programa que calcule numericamente o resultado obtido no ítem anterior.

Métodos computacionais

2012-03-08T20:02:42Z

Leon: /* Método de Monte Carlo (integraçào numérica) */

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-12-20T20:13:54Z

Leon:

'''Introdução a sistemas dinâmicos 2011/2- Notas'''

{| width=400pt border="1" cellpadding="10" cellspacing="2"
|-
!Nome
!Aval1
!Aval2
!Sem.+part.
!Rec
!Média
!Conc. Fin.
|-
|Eder||9.1 ||9.0 ||7.4 ||-||8.5 || B
|-
|Viviane|| 7.5||4.5 || 7.0 ||-||6.3 || C
|-
| Matheus Girotto ||7.0||5.0 ||7.4 ||-||6.5 || C
|-
|Ingrid||9.0 ||10.0 ||9.0 ||-||9.3 || A
|-
|Laura ||4.5 ||3.7 ||8.0 || 1.0 || 5.4 || D
|-
|Luiz Felipe ||8.0 ||8.0 ||7.5 ||-|| 7.8 || B
|-
|Guilherme ||8.6 ||7.3 ||8.0 ||-|| 8.0 || B
|-
|Gabriela ||9.8 ||2.0 ||7.4 || 3.8 || 7.0 || C
|-
|Rafael ||4.0 || - ||- || - ||-|| E
|-
|Everton ||8.5 ||2.8 ||6.0 ||2.0 || 5.8 || D
|-
|Bruna ||9.1 ||6.0 ||8.9 ||-|| 8.0 || B
|-
|Mateus B. ||8.8 ||7.5 ||7.0 ||-||7.8 || B
|-
|Cássio ||6.5 ||6.8 ||8.5 ||-||7.4 || C
|-
|Amanda ||5.7 ||4.2 || 6.0 || 3.0 || 5.3 || D
|}

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

1. Resolva os problemas
4.33 -> 4.37
(No problema 4.37 corrija <math> -A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math> para <math> A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math>)
6.1 -> 6.10, 6.12 -> 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42
7.6, 7.8
8.1, -> 8.6, 8.8, 8.11 -> 8.13, 8.19 -> 8.22,
10.1 -> 10.3
do livro texto do curso (II edição).

2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-12-20T20:07:50Z

Leon:

'''Introdução a sistemas dinâmicos 2011/2- Notas'''

{| width=400pt border="1" cellpadding="10" cellspacing="2"
|-
!Nome
!Aval1
!Aval2
!Sem.+part.
!Rec
!Média
!Conc. Fin.
|-
|Eder||9.1 ||9.0 ||7.4 ||-||8.5 || B ||
|-
|Viviane|| 7.5||4.5 || 7.0 ||-||6.3 || C ||
|-
| Matheus Girotto ||7.0||5.0 ||7.4 ||-||6.5 || C ||
|-
|Ingrid||9.0 ||10.0 ||9.0 ||-||9.3 || A ||
|-
|Laura ||4.5 ||3.7 ||8.0 || 1.0 || 5.4 || D ||
|-
|Luiz Felipe ||8.0 ||8.0 ||7.5 ||-|| 7.8 || B ||
|-
|Guilherme ||8.6 ||7.3 ||8.0 ||-|| 8.0 || B ||
|-
|Gabriela ||9.8 ||2.0 ||7.4 || 3.8 || 7.0 || C ||
|-
|Rafael ||4.0 || - ||- || - ||-|| E ||
|-
|Everton ||8.5 ||2.8 ||6.0 ||2.0 || 5.8 || D ||
|-
|Bruna ||9.1 ||6.0 ||8.9 ||-|| 8.0 || B ||
|-
|Mateus B. ||8.8 ||7.5 ||7.0 ||-||7.8 || B ||
|-
|Cássio ||6.5 ||6.8 ||8.5 ||-||7.4 || C ||
|-
|Amanda ||5.7 ||4.2 || 6.0 || 3.0 || 5.3 || D||
|}

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

1. Resolva os problemas
4.33 -> 4.37
(No problema 4.37 corrija <math> -A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math> para <math> A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math>)
6.1 -> 6.10, 6.12 -> 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42
7.6, 7.8
8.1, -> 8.6, 8.8, 8.11 -> 8.13, 8.19 -> 8.22,
10.1 -> 10.3
do livro texto do curso (II edição).

2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-12-20T20:06:34Z

Leon:

'''Introdução a sistemas dinâmicos 2011/2- Notas'''

{| width=400pt border="1" cellpadding="10" cellspacing="2"
|-
!Nome
!aval1
!aval2
!seminário+participaçao
!Rec
!média
!Conc. Fin.
|-
|Eder||9.1 ||9.0 ||7.4 ||-||8.5 || B ||
|-
|Viviane|| 7.5||4.5 || 7.0 ||-||6.3 || C ||
|-
| Matheus Girotto ||7.0||5.0 ||7.4 ||-||6.5 || C ||
|-
|Ingrid||9.0 ||10.0 ||9.0 ||-||9.3 || A ||
|-
|Laura ||4.5 ||3.7 ||8.0 || 1.0 || 5.4 || D ||
|-
|Luiz Felipe ||8.0 ||8.0 ||7.5 ||-|| 7.8 || B ||
|-
|Guilherme ||8.6 ||7.3 ||8.0 ||-|| 8.0 || B ||
|-
|Gabriela ||9.8 ||2.0 ||7.4 || 3.8 || 7.0 || C ||
|-
|Rafael ||4.0 || - ||- || - ||-|| E ||
|-
|Everton ||8.5 ||2.8 ||6.0 ||2.0 || 5.8 || D ||
|-
|Bruna ||9.1 ||6.0 ||8.9 ||-|| 8.0 || B ||
|-
|Mateus B. ||8.8 ||7.5 ||7.0 ||-||7.8 || B ||
|-
|Cássio ||6.5 ||6.8 ||8.5 ||-||7.4 || C ||
|-
|Amanda ||5.7 ||4.2 || 6.0 || 3.0 || 5.3 || D||
|}

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

1. Resolva os problemas
4.33 -> 4.37
(No problema 4.37 corrija <math> -A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math> para <math> A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math>)
6.1 -> 6.10, 6.12 -> 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42
7.6, 7.8
8.1, -> 8.6, 8.8, 8.11 -> 8.13, 8.19 -> 8.22,
10.1 -> 10.3
do livro texto do curso (II edição).

2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-12-08T18:40:28Z

Leon:

'''Introdução a sistemas dinâmicos 2011/2- Notas'''

{| width=400pt border="1" cellpadding="10" cellspacing="2"
|-
!Nome
!aval1
!aval2
!sem.+part.
!Rec
!média
|-
|Éder||9.1 ||9.0 ||7.4 || ||
|-
|Viviane|| 7.5||4.5 || 7.0 || ||
|-
| Matheus Girotto ||7.0||5.0 ||7.4 || ||
|-
|Ingrid||9.0 ||10.0 ||9.0 || ||
|-
|Laura ||4.5 ||3.7 ||8.0 || R2* ||
|-
|Luiz Felipe ||8.0 ||8.0 ||7.5 || ||
|-
|Guilherme ||8.6 ||7.3 ||8.0 || ||
|-
|Gabriela ||9.8 ||2.0 ||7.4 ||R2* ||
|-
|Rafael ||4.0 || - ||- || ||
|-
|Everton ||8.5 ||2.8 ||6.0 ||R2* ||
|-
|Bruna ||9.1 ||6.0 ||8.9 || ||
|-
|Mateus B. ||8.8 ||7.5 ||7.0 || ||
|-
|Cássio ||6.5 ||6.8 || || ||
|-
|Amanda ||5.7 ||4.2 || || R2* ||
|}

* R2 - Deve recuperar a segunda prova.

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

1. Resolva os problemas
4.33 -> 4.37
(No problema 4.37 corrija <math> -A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math> para <math> A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math>)
6.1 -> 6.10, 6.12 -> 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42
7.6, 7.8
8.1, -> 8.6, 8.8, 8.11 -> 8.13, 8.19 -> 8.22,
10.1 -> 10.3
do livro texto do curso (II edição).

2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-12-08T18:37:10Z

Leon:

'''Introdução a sistemas dinâmicos 2011/2- Notas'''

{| width=400pt border="1" cellpadding="10" cellspacing="2"
|-
!Nome
!aval1
!aval2
!sem.+part.
!Rec
!média
|-
|Éder||9.1 ||9.0 ||7.4 || ||
|-
|Viviane|| 7.5||4.5 || 7.0 || ||
|-
| Matheus Girotto ||7.0||5.0 ||7.4 || ||
|-
|Ingrid||9.0 ||10.0 ||9.0 || ||
|-
|Laura ||4.5 ||3.7 ||8.0 || R2* ||
|-
|Luiz Felipe ||8.0 ||8.0 ||7.5 || ||
|-
|Guilherme ||8.6 ||7.3 ||8.0 || ||
|-
|Gabriela ||9.8 ||2.0 ||7.4 ||R2* ||
|-
|Rafael ||4.0 || - ||- || ||
|-
|Everton ||8.5 ||2.8 ||6.0 ||R2* ||
|-
|Bruna ||9.1 ||6.0 ||8.9 || ||
|-
|Mateus B. ||8.8 ||7.5 ||7.0 || ||
|-
|Cássio ||6.5 ||6.8 || || ||
|-
|Amanda ||5.7 ||4.2 || || ||
|}

* R2 - Deve recuperar a segunda prova.

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

1. Resolva os problemas
4.33 -> 4.37
(No problema 4.37 corrija <math> -A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math> para <math> A\vec{q} = -\beta \vec{p} + \alpha \vec{q}</math>)
6.1 -> 6.10, 6.12 -> 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42
7.6, 7.8
8.1, -> 8.6, 8.8, 8.11 -> 8.13, 8.19 -> 8.22,
10.1 -> 10.3
do livro texto do curso (II edição).

2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-11-16T17:15:07Z

Leon:

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-11-16T16:37:57Z

Leon:

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

1. Resolva os problemas
4.35 -> 4.37
6.1 -> 6.10, 6.12 -> 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42
7.6, 7.8
8.1, -> 8.6, 8.8, 8.11 -> 8.13, 8.19 -> 8.22,
10.1 -> 10.3
do livro texto do curso (II edição).

2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-11-16T16:30:14Z

Leon:

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

1. Resolva os problemas
4.35 -> 4.38
6.1 -> 6.10, 6.12 -> 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42
7.6, 7.8
8.1, -> 8.6, 8.8, 8.11 -> 8.13, 8.19 -> 8.22,
10.1 -> 10.3
do livro texto do curso (II edição).

2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Zeros de Funções

2011-11-06T23:38:40Z

Leon:

Calcular o zero de uma função significa encontrar os valores da variável independente <math>x_i</math> que fazem com que a função <math>f(x_i)</math>
tenha o valor zero.

Matematicamente pode ser formalizado assim:

:<math>x : f(x) = 0\,</math>

Os ''zeros'' da função ''f'' são também chamados de ''raízes''.

Um exemplo simples é achar as raízes da função <math>1/(x + 1) - 2</math>.
A simplicidade vem do fato dessa função ter inversa, com o qual a solução pode ser encontrada isolando o x: <math>x = -1/2</math>
que é o zero dessa função ou equação.

Outro exemplo clássico são as raízes de uma parábola:

:<math>f(x)=ax^2+bx+c \,</math>

da qual existe uma expressão para as raízes (cuja programação é um dos exercícios):

:<math>x = (-b +- \sqrt{b^2 - 4ac})/2a</math>

Porém, quando a função é mais complicada, o problema de achar os zeros pode não ter (é o mais comum)
solução analítica.

Vale notar que ao tratar dos ''zeros'' podemos generalizar o conceito para qualquer outro valor.
Por exemplo, achar ''x'' tal que <math>f(x) = d</math> é equivalente a achar os zeros de <math>f(x)-d</math>.
De outra forma podemos dizer que trata-se do problema '''inverso:''' dado o valor da função queremos saber a qual valor da variável independente ele corresponde.

Numericamente, temos três métodos usuais que serão descritos aqui, os métodos da Iteração Simples, Newton-Raphson e Método da Bisecção.

== Iteração Simples ==

Para o método da iteração simples, utiliza-se uma nova função <math>F(x)</math> para encontrar o zero da função original <math>f(x)</math>, de modo que se define

:<math> F(x) = f(x) + x,</math>
assim
:<math> F(x) = x \,\; para \,\; f(x) = 0.</math>

Utilizamos a própria função para definir o valor de <math>x</math> nas iterações, tendo que existir um "chute" inicial para o valor <math>x_0</math>. Assim, a iteração pode ser definida como

:<math> x_{n+1} = F(x_n) </math>.

Itera-se a equação até atingir-se um valor fixo, ou seja, <math>x_{n+1} = x_n </math>.

As duas principais destavantagens deste método devem-se ao fato de ele ser mais lento que demais métodos e por existir funções que apresentam raízes "instáveis" de iteração. Ou seja, são raízes que este método não é capaz de encontrar.
Para descobrir se haverá raízes instáveis de convergência, utilizamos a condição de convergência do método, perturbando a solução <math>x_{n+1} = x_n = x^*</math> e expandindo em série de Taylor:

:<math>x^*+\delta = F(x^*+\delta) = F(x^*) + \frac{dF(x^*)}{dx}\delta+ ...</math>

Note que para

:<math>\|\frac{dF(x^*)}{dx}\| \leqslant 1</math>

o efeito da perturbação decai, indicando que a raíz <math>x^*</math> é estável por este método. Ao contrário, se expressão acima for maior do 1, isto implica que uma pequena perturbação faria com que os valores da função se afastassem do valor de <math> F(x^*) </math> mesmo se estivéssemos calculando um valor da função em
<math>x^*+\delta</math> com <math>\delta</math> muito pequeno. Se este for o caso, então o método de iteração simples não consegue encontrar a raiz
<math>x^*</math>.

== Newton-Raphson ==

O método de '''Newton-Raphson''' é um procedimento para encontrar zeros de funções de maneira iterativa, assim como o método da iteração simples. Partindo de um ponto qualquer da função vamos ao próximo ponto com deslocamento dado pela derivada no ponto inicial:

[[Image:newton.png|right|frame|Método de Newton-Raphson com <math>x_0</math> e <math>x_1</math>.]]

:<math>f'(x_{n}) = \frac{ f( x_{n} ) - 0 }{ x_{n} - x_{n+1} } = \frac{0 - f(x_{n})}{(x_{n+1} - x_{n})}\,\!</math>

Desta forma o próximo ponto está dado por:

:<math>x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\,\!</math>.

e o processo é repetido até a precisão desejada.
Note que numericamente não temos garantia de achar exatamente a raiz. Devemos fixar um <math>\epsilon</math>
que determina a tolerância com que vamos a aceitar o zero. Ou seja quando <math>|f(x)| < \epsilon</math> paramos a procura.

Por outra parte o método não garante a convergência, isto é, pode acontecer que o processo entre num ciclo infinito
pipocando de uma lado para outro da raiz, sem poder encontrar uma solução.

Geometricamente, como mostrado na figura ao lado, tendo sido escolhido o ponto <math>x_0</math>, queremos que o ponto <math>x_1</math> seja o encontro da reta tangente (ou da derivada) da função no ponto <math>x_0</math> com a reta das abcissas. Sendo

:<math>f'(x_0)=tan(\theta)</math>,

temos que

:<math>x_0 - x_1 = \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}</math>.

A figura abaixo mostra as iterações do método de Newton-Raphson (retirado da Wikipedia [http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_method])

[[Imagem:newtoniteration.gif|500px|]]

== Bissecção ==

O método da bissecção consiste em utilizar um intervalo de valores de <math>x</math> que é sabido que contenha uma raíz. Note que temos que ter uma noção prévia da função para utilizar este método. Definindo um intervalo

:<math> a \leqslant x \leqslant b </math>,

temos a condição <math>f(a)f(b) < 0 </math>, indicando que há pelo menos um zero contido neste intervalo, ou seja, que a função "corta" o eixo das abcissas, de modo que um valor da função seja maior que zero e outro menor.

Definindo o intervalo inicial <math>[a,b]</math>, dividimos este por dois, encontrando o valor médio <math>x_m</math>, dado por

:<math> x_m = a + \frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2}.</math>

Note que estamos com dois intervalos de <math>x</math>, primeiro <math>[a,x_m]</math> e segundo <math>[x_m,b]</math>. Agora precisamos descobrir em qual desses dois intervalos há uma raíz. Para isso calculamos o produto das funções nos pontos específicos. Se <math>f(a)f(x_m)<0</math> e <math>f(x_m)f(b)>0</math>, continuamos com o primeiro intervalo (que contém um raíz), caso contrário com o segundo. Prosseguindo com o algoritmo, dividimos o novo intervalo que contém a raiz novamente

:<math> x_{m2} = \frac{x_m+a}{2}.</math>

Repetimos o processo anterior, verificando em qual dos dois novos intervalos, <math>[a,x_{m2}]</math> ou <math>[x_{m2},x_m]</math> está a raiz.

O algoritmo é repetido até encontrarmos a raíz, com a precisão <math>\eta</math> ou seja, até que <math>-\eta^2 \leqslant f(a)f(b) \leqslant 0</math>. O ideal é ao final ficar com o valor intermediário das funções.

Abaixo há uma figura com duas iterações do método da bissecção, assim como descrito acima.

[[Imagem:bisseccao.png|800px|]]

== Programação ==
Para programá-lo em FORTRAN o mais prático é definir como funções tanto a própria função como a sua derivada.
Sejam elas f(x) e g(x) respectivamente, o trecho de código com a implementação do método fica:

<pre>
...
x = x0
Do
if (g(x)==0) then
print*, "em x=", x, "a derivada é zero"
else
x = x - f(x)/g(x)
if (abs(f(x)) < eps) then
print*, "raiz em x=", x, "f(x)=", f(x)
exit
endif
endif
endo
...
</pre>

== Plano Complexo ==
O método pode ser estendido a funções f(z) onde z, e f(z) pertencem a C (domínio dos números complexos).
Dessa forma todas as raízes de um polinômio podem em princípio ser encontradas.
O método tem a mesma formulação teórica. Só muda o programa pois precisamos usar complexos.

<pre>
Complex f, z
Real x,y
Read*, x,y

z = CMPLX(x,y) ! função FORTRAN intrínseca para converter un par x,y de variáveis reais numa variável complexa
...

if (abs(f(z)<eps) print*, z

...
</pre>

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-10-26T17:17:45Z

Leon:

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

1. Resolva os problemas
6.8, 6.9, 6.10, 6.12, 6.13 6.14, 6.15, 6.17, 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42
7.6, 7.8, 8.1,
8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.8, 8.11, 8.11, 8.12, 8.13, 8.19, 8.20, 8.21, 8.22,
10.1, 10.2, 10.3
do livro texto do curso (II edição).

2. Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-10-26T17:15:24Z

Leon:

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

#Resolva os problemas 6.8, 6.9, 6.10, 6.12, 6.13 6.14, 6.15, 6.17, 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.36, 6.39, 6.42, 7.6, 7.8, 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.8, 8.11, 8.11, 8.12, 8.13, 8.19, 8.20, 8.21, 8.22, 10.1, 10.2, 103 do livro texto do curso (II edição).
#Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-10-26T17:05:53Z

Leon:

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para :<math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

#Resolva os problemas 6.8, 6.9, 6.10, 6.12, 6.13 6.14, 6.15, 6.17, 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.39, 7.6, 7.8, 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.8, 8.11, 8.11, 8.12, 8.13, 8.19, 8.20, 8.21, 8.22, 10.1, 10.2, 103 do livro texto do curso (II edição).
#Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

Introdução a Sistemas Dinâmicos

2011-09-19T20:26:19Z

Leon: Criou página com ''''Lista I''' #Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição). #Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição). #Encontre a solução para <math>\frac...'

'''Lista I'''

#Resolva os problemas 3.1 a 3.9 do livro texto (II edição).
#Resolva os problemas 4.16-4.21 do livro texto (II edição).
#Encontre a solução para <math>\frac{dx}{dt}=t(x-1) \;\;; x(0)=x_0</math>
#Mostre que <math>H=x^4+2cos(t)+t^2</math> é solução para a equação <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2(sen(t)-t)}{4x^3}</math>.
#Uma bola de massa m cai sem atrito no campo gravitacional a partir do repouso em linha reta de uma altura h.
#:Ao atingir o solo ela inverte instantaneamente sua velocidade, sem qualquer perda.
##Partindo da segunda Lei de Newton, escreva um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que descreva a primeira queda.
##Faça um gráfico do espaço de fases desse sistema incluindo agora a reflexão no solo e a volta a posição inicial.
#O modelo de Hindmarsh-rose descreve o potencial de membrana (<math>x</math>) de um neurônio excitado por uma corrente I. <math>\frac{d x}{d t} = y+ax^2-bx^3-z+I,\;\; \frac{d y}{d t} = 1-bx^2-y, \;\; \frac{d z}{d t} = r[s(x-x_R)-z].</math> Classifique esse sistema quando a conservação ou não do volume no espaço de fases.
#Encontre as soluções de equilíbrio para a equação, <math>\frac{dx}{dt}=-(x^2-4)</math>. Mostre que se aplica o teorema da unicidade e aplique-o para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
#Discuta a estabilidade dos pontos fixos do pêndulo.
#No caso do pêndulo com dissipação, explique o cruzamento de linhas na origem do espaço de fases.
#Resolva os problemas 4.17,4.18, 4.19, 4.21, 4.25, 4.27 da segunda edição do livro texto da disciplina.
#Encontre a matriz de Jordan para o sistema:<math>\frac{dx}{dt}=x-y,\;\;\frac{dy}{dt}=-z,\;\;\frac{dz}{dt}=y.\;\;</math> Escreva a solução para <math>x(0)=0;y(0)=1;z(0)=2.</math>

'''Lista II'''

#Resolva os problemas 6.8, 6.9, 6.10, 6.12, 6.14, 6.15, 6.17, 6.18, 6.20, 6.23, 6.33, 6.39, 7.6, 7.8, 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.8, 8.11, 8.11, 8.12, 8.13, 8.19, 8.20, 8.21, 8.22, 10.1, 10.2, 103 do livro texto do curso (II edição).
#Estude a resolução dos exemplos 10.1, 10.2, 10.3, 10.4.

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2011-09-19T20:10:40Z

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