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Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T16:15:27Z

Juliaremus2: /* Próximos Passos */

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_loc_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_sir_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Como é utilizado que os indivíduos em quarentena não posuem nenhuma chance de se infectar e é necessário um vizinho infectado para passar a doença adiante, nota-se a formação de ilhas de suscetíveis na animação à direita.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores.

[[Arquivo:comparacao_quarentenados_inicial.png|thumb|950px|center|Comparação da evolução dos indivíduos suscetíveis variando a porcentagem inicial de pessoas em quarentena]]

Mesmo os valores abaixo possuírem essa evolução tipo degrau mais acentuada para os suscetíveis, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é conclusiva, como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.

[[Arquivo:evolucao_infectados_quarentenados.png|thumb|950px|center|Evolução da população infectada e em quarentena para 60% dos indivíduos inicialmente isolados]]

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Automatizar os testes com parâmetros
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T16:11:52Z

Juliaremus2: /* Códigos */

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_loc_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_sir_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Como é utilizado que os indivíduos em quarentena não posuem nenhuma chance de se infectar e é necessário um vizinho infectado para passar a doença adiante, nota-se a formação de ilhas de suscetíveis na animação à direita.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores.

[[Arquivo:comparacao_quarentenados_inicial.png|thumb|950px|center|Comparação da evolução dos indivíduos suscetíveis variando a porcentagem inicial de pessoas em quarentena]]

Mesmo os valores abaixo possuírem essa evolução tipo degrau mais acentuada para os suscetíveis, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é conclusiva, como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.

[[Arquivo:evolucao_infectados_quarentenados.png|thumb|950px|center|Evolução da população infectada e em quarentena para 60% dos indivíduos inicialmente isolados]]

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T16:10:46Z

Juliaremus2:

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_loc_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_sir_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Como é utilizado que os indivíduos em quarentena não posuem nenhuma chance de se infectar e é necessário um vizinho infectado para passar a doença adiante, nota-se a formação de ilhas de suscetíveis na animação à direita.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores.

[[Arquivo:comparacao_quarentenados_inicial.png|thumb|950px|center|Comparação da evolução dos indivíduos suscetíveis variando a porcentagem inicial de pessoas em quarentena]]

Mesmo os valores abaixo possuírem essa evolução tipo degrau mais acentuada para os suscetíveis, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é conclusiva, como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.

[[Arquivo:evolucao_infectados_quarentenados.png|thumb|950px|center|Evolução da população infectada e em quarentena para 60% dos indivíduos inicialmente isolados]]

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Códigos ==

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T16:09:50Z

Juliaremus2:

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_loc_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_sir_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Como é utilizado que os indivíduos em quarentena não posuem nenhuma chance de se infectar e é necessário um vizinho infectado para passar a doença adiante, nota-se a formação de ilhas de suscetíveis na animação à direita.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores.

[[Arquivo:comparacao_quarentenados_inicial.png|thumb|950px|center|Comparação da evolução dos indivíduos suscetíveis variando a porcentagem inicial de pessoas em quarentena]]

Mesmo os valores abaixo possuírem essa evolução tipo degrau mais acentuada para os suscetíveis, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é conclusiva, como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.

[[Arquivo:evolucao_infectados_quarentenados.png|thumb|950px|center|Evolução da população infectada e em quarentena para 60% dos indivíduos inicialmente isolados]]

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T16:09:25Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_loc_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_sir_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Como é utilizado que os indivíduos em quarentena não posuem nenhuma chance de se infectar e é necessário um vizinho infectado para passar a doença adiante, nota-se a formação de ilhas de suscetíveis na animação à direita.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores.

[[Arquivo:comparacao_quarentenados_inicial.png|thumb|950px|center|Comparação da evolução dos indivíduos suscetíveis variando a porcentagem inicial de pessoas em quarentena]]

Mesmo os valores abaixo possuírem essa evolução tipo degrau mais acentuada para os suscetíveis, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é conclusiva, como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.

[[Arquivo:evolucao_infectados_quarentenados.png|thumb|950px|center|Evolução da população infectada e em quarentena para 60% dos indivíduos inicialmente isolados]]

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T16:09:03Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_loc_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_sir_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Como é utilizado que os indivíduos em quarentena não posuem nenhuma chance de se infectar e é necessário um vizinho infectado para passar a doença adiante, nota-se a formação de ilhas de suscetíveis na animação à direita.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores.

[[Arquivo:comparacao_quarentenados_inicial.png|thumb|650px|center|Comparação da evolução dos indivíduos suscetíveis variando a porcentagem inicial de pessoas em quarentena]]

Mesmo os valores abaixo possuírem essa evolução tipo degrau mais acentuada para os suscetíveis, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é conclusiva, como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.

[[Arquivo:evolucao_infectados_quarentenados.png|thumb|650px|center|Evolução da população infectada e em quarentena para 60% dos indivíduos inicialmente isolados]]

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T16:08:25Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_loc_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_sir_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Como é utilizado que os indivíduos em quarentena não posuem nenhuma chance de se infectar e é necessário um vizinho infectado para passar a doença adiante, nota-se a formação de ilhas de suscetíveis na animação à direita.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores.

[[Arquivo:comparacao_quarentenados_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução dos indivíduos suscetíveis variando a porcentagem inicial de pessoas em quarentena]]

Mesmo os valores abaixo possuírem essa evolução tipo degrau mais acentuada para os suscetíveis, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é conclusiva, como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.

[[Arquivo:evolucao_infectados_quarentenados.png|thumb|450px|center|Evolução da população infectada e em quarentena para 60% dos indivíduos inicialmente isolados]]

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Arquivo:Evolucao infectados quarentenados.png

2021-12-30T16:04:17Z

Juliaremus2:

Arquivo:Comparacao quarentenados inicial.png

2021-12-30T16:02:45Z

Juliaremus2:

Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T13:24:43Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_loc_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_sir_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Como é utilizado que os indivíduos em quarentena não posuem nenhuma chance de se infectar e é necessário um vizinho infectado para passar a doença adiante, nota-se a formação de ilhas de suscetíveis na animação à direita.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores. Mesmo assim, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é clara como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.

G R A F I C O S

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Arquivo:Gif sir 50 dez.gif

2021-12-30T13:19:14Z

Juliaremus2:

Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T13:17:25Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_loc_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores. Mesmo assim, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é clara como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.

G R A F I C O S

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Arquivo:Gif loc 50 dez.gif

2021-12-30T13:16:18Z

Juliaremus2:

Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T13:08:28Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores. Mesmo assim, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é clara como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.

G R A F I C O S

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-30T12:48:26Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores. Além disso, no gráfico que mostra a evolução dos infectados e a de pessoas em quarentena XXXXX

G R A F I C O S

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'' RESULTADOS ERRADOS ''

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-29T18:41:37Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

'' RESULTADOS NOVOS ''

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. São modificados os parâmetros X

G R A F I C O S

----

----

----
'' RESULTADOS ERRADOS ''

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-29T18:25:42Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

'' RESULTADOS NOVOS ''

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Como os parâmetros do dilema da quarentena e da dinâmica SIR foram modificados e não atingiram melhores resultados buscou-se modificar efeito do estado inicial de isolamento no modelo. Desta forma, abaixo são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados.

G R A F I C O S

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'' RESULTADOS ERRADOS ''

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-29T18:22:23Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

'' RESULTADOS NOVOS ''

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados.

G R A F I C O S

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'' RESULTADOS ERRADOS ''

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Arquivo:Comparacao comsem quarentena inicial recuperados.png

2021-12-29T18:21:12Z

Juliaremus2:

Arquivo:Comparacao comsem quarentena inicial infectados.png

2021-12-29T18:20:50Z

Juliaremus2:

Arquivo:Comparacao comsem quarentena inicial.png

2021-12-29T18:20:38Z

Juliaremus2:

Modelos Epidemiológicos

2021-12-28T17:19:03Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

'' RESULTADOS NOVOS ''

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.25
| style="padding:10px" | 0.08
| style="padding:10px" | 1.01
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.005
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

G R A F I C O S

Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados.

G R A F I C O S

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'' RESULTADOS ERRADOS ''

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-12-28T17:12:04Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.

[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.

[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

'' RESULTADOS NOVOS ''

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----

----
'' RESULTADOS ERRADOS ''

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T01:27:08Z

Juliaremus2:

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T01:26:24Z

Juliaremus2:

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T01:22:08Z

Juliaremus2: /* Introdução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T01:21:48Z

Juliaremus2: /* Introdução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>
Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T01:16:12Z

Juliaremus2: /* Introdução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-29T01:05:00Z

Juliaremus2: /* Modelo SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T20:01:46Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T20:00:20Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:58:27Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Arquivo:Diagrama jogo certo.png

2021-11-27T19:58:03Z

Juliaremus2: Juliaremus2 enviou uma nova versão de "Arquivo:Diagrama jogo certo.png"

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:55:35Z

Juliaremus2: /* Modelo SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:52:06Z

Juliaremus2: /* Modelo SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:51:31Z

Juliaremus2: /* Modelo SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), ''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde'''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:50:22Z

Juliaremus2: /* Modelo SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), ''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde'''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:49:02Z

Juliaremus2: /* Modelo SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), ''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde'''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:47:04Z

Juliaremus2: /* Modelo SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), o caso contrário onde '''A''' não coopera e '''B''' coopera e '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:44:10Z

Juliaremus2: /* Modelo SIR */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), o caso contrário onde '''A''' não coopera e '''B''' coopera e '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:41:49Z

Juliaremus2: /* Introdução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), o caso contrário onde '''A''' não coopera e '''B''' coopera e '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:41:24Z

Juliaremus2: /* Introdução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|left|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|right|400px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), o caso contrário onde '''A''' não coopera e '''B''' coopera e '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:39:46Z

Juliaremus2: /* Introdução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

[[File:evolucao-marco-infectados.png|left|400px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]
[[File:coronavirus-data-explorer.png|right|400px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), o caso contrário onde '''A''' não coopera e '''B''' coopera e '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Arquivo:Evolucao-marco-infectados.png

2021-11-27T19:38:01Z

Juliaremus2:

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:31:33Z

Juliaremus2: /* Introdução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

[[File:coronavirus-data-explorer.png|right|400px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), o caso contrário onde '''A''' não coopera e '''B''' coopera e '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:30:54Z

Juliaremus2: /* Introdução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

[[File:coronavirus-data-explorer.png|right|400px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida em <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), o caso contrário onde '''A''' não coopera e '''B''' coopera e '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:29:15Z

Juliaremus2: /* Introdução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

Coronavirus-data-explorer.png

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida em <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), o caso contrário onde '''A''' não coopera e '''B''' coopera e '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Arquivo:Coronavirus-data-explorer.png

2021-11-27T19:27:21Z

Juliaremus2:

Modelos Epidemiológicos

2021-11-27T19:24:26Z

Juliaremus2: /* Introdução */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

FIG

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), o caso contrário onde '''A''' não coopera e '''B''' coopera e '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />

Modelos Epidemiológicos

2021-11-26T20:53:22Z

Juliaremus2: /* Resultados SIR com quarentena voluntária */

'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas tomadas por governos, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a simulação, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===

[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
\frac{dS}{dt} = - \beta IS \qquad (1)
</math>

<math>
\frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
\frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

<math> i(S) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s N) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0 N) -s +i_0 +s_0 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>S = \beta/\gamma</math>. Nas situações em que temos <math>s < \beta/\gamma</math> e <math>s > \beta/\gamma</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(S)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(S)</math> para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial <math> s_0 </math> está à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor que <math>S</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está à esquerda da reta <math>S = \gamma/\beta</math> a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>S</math>.

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===

[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), o caso contrário onde '''A''' não coopera e '''B''' coopera e '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"|
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}

Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for maior que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].

=== Implementação modelo SIR ===

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

colocar aqui o I(s) tambem

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="2" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 60
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

----

Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados.

É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Fazer a evolução da doença SIR olhando a infecção dos vizinhos
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />