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Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T18:09:34Z

Joshuakipper: /* Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener <math> \left (W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' \right ) </math>, então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontrar o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a energia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* <math> g = l = 1 </math>
* <math> k = 1.1 </math>

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_2 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Em todas as simulações o passo temporal é <math> dt = 10^{-3} </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. A análise da energia mecânica média revela um aumento linear ao longo do tempo, indicando que, em média, o ruído está efetivamente injetando energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:

 [[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|center|Simulação do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|350px]] 

Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. Observa-se, de maneira semelhante ao caso anterior, um aumento linear da energia mecânica média do sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{2} </math>.|700px]]

Embora essa situação pareça análoga ao caso 1, uma análise comparativa entre a energia adicionada em ambos os casos revela diferenças importantes:

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a introdução de ruído no primeiro pêndulo do sistema provoca um aumento mais significativo na energia mecânica média em comparação com a aplicação de ruído apenas no segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
* Adicionaremos o mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>;
* Adicionaremos ruídos diferentes em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.
A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :

[[Arquivo:energia_media_comparacao_ruidos.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica média do pêndulo quando há uma simetria no ruído e quando não há.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais
pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia. Apresentamos também como se comporta a energia mecânica média para diferentes intensidades de ruído:

 [[Arquivo:Iguais-energia_vs_ruido.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito ao mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.|700px]]

[[Arquivo:Diferentes-energia_vs_ruido.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math> e outro em <math> \theta_{2} </math>.|700px]] 

Essas simulações foram repetidas 50 vezes.

== Referências ==

# NASCIMENTO, Luciano. A dinâmica lagrangeana do pêndulo duplo. Educ.&Tecnol., Belo Horizonte, v. 22, n. 1, p. 64-71, jan./abr. 2017.

Arquivo:Diferentes-energia vs ruido.png

2024-08-22T18:05:37Z

Joshuakipper:

Arquivo:Iguais-energia vs ruido.png

2024-08-22T18:01:32Z

Joshuakipper:

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T17:53:20Z

Joshuakipper: /* Energia */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener <math> \left (W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' \right ) </math>, então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontrar o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a energia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* <math> g = l = 1 </math>
* <math> k = 1.1 </math>

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_2 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Em todas as simulações o passo temporal é <math> dt = 10^{-3} </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. A análise da energia mecânica média revela um aumento linear ao longo do tempo, indicando que, em média, o ruído está efetivamente injetando energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:

 [[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|center|Simulação do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|350px]] 

Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. Observa-se, de maneira semelhante ao caso anterior, um aumento linear da energia mecânica média do sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{2} </math>.|700px]]

Embora essa situação pareça análoga ao caso 1, uma análise comparativa entre a energia adicionada em ambos os casos revela diferenças importantes:

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a introdução de ruído no primeiro pêndulo do sistema provoca um aumento mais significativo na energia mecânica média em comparação com a aplicação de ruído apenas no segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
* Adicionaremos o mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>;
* Adicionaremos ruídos diferentes em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.
A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :

[[Arquivo:energia_media_comparacao_ruidos.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica média do pêndulo quando há uma simetria no ruído e quando não há.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais
pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia.

== Referências ==

# NASCIMENTO, Luciano. A dinâmica lagrangeana do pêndulo duplo. Educ.&Tecnol., Belo Horizonte, v. 22, n. 1, p. 64-71, jan./abr. 2017.

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T17:21:11Z

Joshuakipper: /* Caso 1 : Ruído em θ₁ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener <math> \left (W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' \right ) </math>, então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontrar o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a energia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* <math> g = l = 1 </math>
* <math> k = 1.1 </math>

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_2 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. A análise da energia mecânica média revela um aumento linear ao longo do tempo, indicando que, em média, o ruído está efetivamente injetando energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:

 [[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|center|Simulação do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|350px]] 

Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. Observa-se, de maneira semelhante ao caso anterior, um aumento linear da energia mecânica média do sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{2} </math>.|700px]]

Embora essa situação pareça análoga ao caso 1, uma análise comparativa entre a energia adicionada em ambos os casos revela diferenças importantes:

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a introdução de ruído no primeiro pêndulo do sistema provoca um aumento mais significativo na energia mecânica média em comparação com a aplicação de ruído apenas no segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
* Adicionaremos o mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>;
* Adicionaremos ruídos diferentes em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.
A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :

[[Arquivo:energia_media_comparacao_ruidos.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica média do pêndulo quando há uma simetria no ruído e quando não há.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais
pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia.

== Referências ==

# NASCIMENTO, Luciano. A dinâmica lagrangeana do pêndulo duplo. Educ.&Tecnol., Belo Horizonte, v. 22, n. 1, p. 64-71, jan./abr. 2017.

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T05:20:54Z

Joshuakipper: /* Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. A análise da energia mecânica média revela um aumento linear ao longo do tempo, indicando que, em média, o ruído está efetivamente injetando energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Simulação do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|350px]]

Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. Observa-se, de maneira semelhante ao caso anterior, um aumento linear da energia mecânica média do sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{2} </math>.|700px]]

Embora essa situação pareça análoga ao caso 1, uma análise comparativa entre a energia adicionada em ambos os casos revela diferenças importantes:

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a introdução de ruído no primeiro pêndulo do sistema provoca um aumento mais significativo na energia mecânica média em comparação com a aplicação de ruído apenas no segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
* Adicionaremos o mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>;
* Adicionaremos ruídos diferentes em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.
A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :

[[Arquivo:energia_media_comparacao_ruidos.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica média do pêndulo quando há uma simetria no ruído e quando não há.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais
pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia.

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T05:19:43Z

Joshuakipper: /* Caso 2 : Ruído em θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. A análise da energia mecânica média revela um aumento linear ao longo do tempo, indicando que, em média, o ruído está efetivamente injetando energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Simulação do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|350px]]

Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. Observa-se, de maneira semelhante ao caso anterior, um aumento linear da energia mecânica média do sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{2} </math>.|700px]]

Embora essa situação pareça análoga ao caso 1, uma análise comparativa entre a energia adicionada em ambos os casos revela diferenças importantes:

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a introdução de ruído no primeiro pêndulo do sistema provoca um aumento mais significativo na energia mecânica média em comparação com a aplicação de ruído apenas no segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
* Adicionaremos o mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>;
* Adicionaremos ruídos diferentes em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.
A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :

[[Arquivo:energia_media_comparacao_ruidos.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais
pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia.

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T05:18:50Z

Joshuakipper: /* Caso 1 : Ruído em θ₁ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. A análise da energia mecânica média revela um aumento linear ao longo do tempo, indicando que, em média, o ruído está efetivamente injetando energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Simulação do pêndulo duplo sujeito a um ruído em <math> \theta_{1} </math>.|350px]]

Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. Observa-se, de maneira semelhante ao caso anterior, um aumento linear da energia mecânica média do sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do média.|700px]]

Embora essa situação pareça análoga ao caso 1, uma análise comparativa entre a energia adicionada em ambos os casos revela diferenças importantes:

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a introdução de ruído no primeiro pêndulo do sistema provoca um aumento mais significativo na energia mecânica média em comparação com a aplicação de ruído apenas no segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
* Adicionaremos o mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>;
* Adicionaremos ruídos diferentes em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.
A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :

[[Arquivo:energia_media_comparacao_ruidos.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais
pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia.

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T05:17:04Z

Joshuakipper: /* Caso 1 : Ruído em θ₁ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. A análise da energia mecânica média revela um aumento linear ao longo do tempo, indicando que, em média, o ruído está efetivamente injetando energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=0.0|center|Energia média em função tempo.|700px]]

No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|350px]]

Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. Observa-se, de maneira semelhante ao caso anterior, um aumento linear da energia mecânica média do sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do média.|700px]]

Embora essa situação pareça análoga ao caso 1, uma análise comparativa entre a energia adicionada em ambos os casos revela diferenças importantes:

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a introdução de ruído no primeiro pêndulo do sistema provoca um aumento mais significativo na energia mecânica média em comparação com a aplicação de ruído apenas no segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
* Adicionaremos o mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>;
* Adicionaremos ruídos diferentes em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.
A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :

[[Arquivo:energia_media_comparacao_ruidos.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais
pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia.

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T05:14:25Z

Joshuakipper: /* Caso 2 : Ruído em θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|350px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. Observa-se, de maneira semelhante ao caso anterior, um aumento linear da energia mecânica média do sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do média.|700px]]

Embora essa situação pareça análoga ao caso 1, uma análise comparativa entre a energia adicionada em ambos os casos revela diferenças importantes:

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a introdução de ruído no primeiro pêndulo do sistema provoca um aumento mais significativo na energia mecânica média em comparação com a aplicação de ruído apenas no segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
* Adicionaremos o mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>;
* Adicionaremos ruídos diferentes em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.
A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :

[[Arquivo:energia_media_comparacao_ruidos.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais
pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia.

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T05:12:31Z

Joshuakipper: /* Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|350px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. De maneira semelhante nota-se um aumento linear da energia mecânica média do sistema,

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do média.|700px]]

de fato, a situação parece completamente análoga ao caso 1, entretanto realizando um comparativo entre a energia adicionada no caso 1 com a energia adicionada no caso 2, nota-se :

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Assim, na média, adicionar ruído ao primeiro pêndulo do sistema causa um aumento maior na energia média quando comparado ao caso de adicionar ruído somente ao segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
* Adicionaremos o mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>;
* Adicionaremos ruídos diferentes em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.
A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :

[[Arquivo:energia_media_comparacao_ruidos.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math> leva a um aumento mais
pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia.

Arquivo:Energia media comparacao ruidos.png

2024-08-22T05:06:25Z

Joshuakipper:

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T05:05:43Z

Joshuakipper: /* Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|350px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. De maneira semelhante nota-se um aumento linear da energia mecânica média do sistema,

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do média.|700px]]

de fato, a situação parece completamente análoga ao caso 1, entretanto realizando um comparativo entre a energia adicionada no caso 1 com a energia adicionada no caso 2, nota-se :

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Assim, na média, adicionar ruído ao primeiro pêndulo do sistema causa um aumento maior na energia média quando comparado ao caso de adicionar ruído somente ao segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
* Adicionaremos o mesmo ruído em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>;
* Adicionaremos ruídos diferentes em <math> \theta_{1} </math> e <math> \theta_{2} </math>.
Vamos então comparar a energia mecânica média para as duas situações :

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T05:02:17Z

Joshuakipper: /* Caso 2 : Ruído em θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|350px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. De maneira semelhante nota-se um aumento linear da energia mecânica média do sistema,

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do média.|700px]]

de fato, a situação parece completamente análoga ao caso 1, entretanto realizando um comparativo entre a energia adicionada no caso 1 com a energia adicionada no caso 2, nota-se :

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Assim, na média, adicionar ruído ao primeiro pêndulo do sistema causa um aumento maior na energia média quando comparado ao caso de adicionar ruído somente ao segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T05:00:19Z

Joshuakipper: /* Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|350px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. De maneira semelhante nota-se um aumento linear da energia mecânica média do sistema,

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do média.|700px]]

de fato, a situação parece completamente análoga ao caso 1, entretanto realizando um comparativo entre a energia adicionada no caso 1 com a energia adicionada no caso 2, nota-se :

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Assim, na média, adicionar ruído ao primeiro pêndulo do sistema causa um aumento maior quando comparado ao caso do segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:59:53Z

Joshuakipper: /* Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|350px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. De maneira semelhante nota-se um aumento linear da energia mecânica média do sistema,

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do média.|700px]]

de fato, a situação parece completamente análoga ao caso 1, entretanto realizando um comparativo entre a energia adicionada no caso 1 com a energia adicionada no caso 2, nota-se :

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Assim, na média, adicionar ruído ao primeiro pêndulo do sistema causa um aumento maior quando comparado ao caso do segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:55:58Z

Joshuakipper: /* Caso 1 : Ruído em θ₁ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|350px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. De maneira semelhante nota-se um aumento linear da energia mecânica média do sistema,

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do média.|700px]]

de fato, a situação parece completamente análoga ao caso 1, entretanto realizando um comparativo entre a energia adicionada no caso 1 com a energia adicionada no caso 2, nota-se :

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Assim, na média, adicionar ruído ao primeiro pêndulo do sistema causa um aumento maior quando comparado ao caso do segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:55:10Z

Joshuakipper: /* Caso 2 : Ruído em θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|340px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. De maneira semelhante nota-se um aumento linear da energia mecânica média do sistema,

[[Arquivo:energia_media_theta2.png|thumb|upright=0.0|center|Energia mecânica do média.|700px]]

de fato, a situação parece completamente análoga ao caso 1, entretanto realizando um comparativo entre a energia adicionada no caso 1 com a energia adicionada no caso 2, nota-se :

[[Arquivo:energia_media_comparacao.png|thumb|upright=0.0|center|Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.|700px]]

Assim, na média, adicionar ruído ao primeiro pêndulo do sistema causa um aumento maior quando comparado ao caso do segundo pêndulo.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Arquivo:Energia media comparacao.png

2024-08-22T04:51:41Z

Joshuakipper:

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:49:06Z

Joshuakipper: /* Caso 2 : Ruído em θ₂ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|340px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{2} </math>. De maneira semelhante nota-se um aumento linear da energia mecânica média do sistema,

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Arquivo:Energia media theta2.png

2024-08-22T04:48:55Z

Joshuakipper:

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:45:06Z

Joshuakipper: /* Caso 1 : Ruído em θ₁ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} </math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|340px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:43:02Z

Joshuakipper: /* Caso 1 : Ruído em θ₁ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} <\math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia mecânica do pêndulo.|700px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Pêndulo duplo.|340px]]

Observe que em torno dos 30 segundos de simulação há uma ressonância destrutiva, causada por uma combinação entre ruído e inércia.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:37:57Z

Joshuakipper: /* Caso 1 : Ruído em θ₁ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} <\math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

Note que o desvio padrão é extremamente alto, de tal maneira que por alguma vezes a energia injeta é quase nula. Ilustraremos esse fenômeno com o seguinte exemplo :

[[Arquivo:exemplo_energia_destrutiva.png|thumb|upright=0.0|left|Energia média em função tempo.|550px]]

[[Arquivo:exemplo_destrutiva_theta1.gif|thumb|upright=0.0|right|Energia média em função tempo.|350px]]

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Arquivo:Exemplo energia destrutiva.png

2024-08-22T04:28:23Z

Joshuakipper:

Arquivo:Exemplo destrutiva theta1.gif

2024-08-22T04:23:35Z

Joshuakipper:

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:19:26Z

Joshuakipper: /* Caso 1 : Ruído em θ₁ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} <\math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

[[Arquivo:energia_media_theta1.png|thumb|upright=1.8|center|Energia média em função tempo.]]

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Arquivo:Energia media theta1.png

2024-08-22T04:17:21Z

Joshuakipper:

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:14:38Z

Joshuakipper: /* Caso 1 : Ruído em θ₁ */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====
Nessa simulação adicionamos uma força ruidosa somente na equação dinâmica para <math> \theta_{1} <\math>. Realizando a analise da energia mecânica média, nota-se que ela aumenta de maneira linear, logo, na média, o ruído injeta energia no sistema.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:10:32Z

Joshuakipper: /* Energia */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:05:37Z

Joshuakipper: /* Energia */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T04:03:35Z

Joshuakipper: /* Energia */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
- Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = 1 ;
- Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T03:58:19Z

Joshuakipper: /* Método de integração */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

novamente, <math> R_{G} </math> é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===
Vamos analisar a como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com diferentes sistemas com ruído aditivo. Nas simulações sempre utilizamos <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math> como unitários, além disso note que nas equações dinâmicas foram definidos dois ruídos distintos assim como duas intensidade distintas, foi feito assim pois os termos que estão sendo agrupados junto da intensidade do ruído não são iguais para as duas equações, então em geral, essas intensidades são distintas.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T03:56:21Z

Joshuakipper: /* Método de integração */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

é completamente análogo para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math>. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de <math> 10^{-4} </math>, o que se espera de um método de quarta ordem.

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===
Vamos analisar a como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com diferentes sistemas com ruído aditivo. Nas simulações sempre utilizamos <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math> como unitários, além disso note que nas equações dinâmicas foram definidos dois ruídos distintos assim como duas intensidade distintas, foi feito assim pois os termos que estão sendo agrupados junto da intensidade do ruído não são iguais para as duas equações, então em geral, essas intensidades são distintas.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-22T03:49:07Z

Joshuakipper: /* Pêndulo Duplo Estocástico */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== Pêndulo Simples ==
===Equação de movimento===
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento <math>l</math>, sem massa e rígida que contém uma massa <math>m</math> pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

<center>
[[Arquivo:Pendulo_simples.png|thumb|upright=2|center|Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.]]
</center>

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é <math>-2b\vec v</math>, a equação de movimento é dada por:

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) </math>
</center>

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em <math>m</math>, tal que sua componente tangencial (<math>F_{r}(t)</math>) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano <math>\xi(t)</math> da seguinte forma

<center>
<math>
F_r(t) = m \alpha \xi(t)
</math>
</center>

em que <math>\alpha</math> é a intensidade do ruído. <math>\xi(t)</math> é caracterizado pelas seguintes propriedades:

<center>
<math>
\langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1)
</math>
</center>

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) </math>
</center>

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que <math>g = l = 1 </math>, então

<center>
<math>
\ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) </math>
</center>

===Método de integração===
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta </math>, então ficamos com o seguinte sistema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

que pode ser escrito na forma diferencial

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então

<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>

<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>

em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

* Calcular um theta intermediário:
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>

* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.

* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
<math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>

* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
<math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

===Energia (Sem amortecimento)===
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (<math>E</math>), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando <math>\beta = 0</math>. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (<math>\theta(0) = 0,~ \omega(0)=0</math>) com <math>\alpha = 0.1</math>

[[Arquivo:Energy_demo.gif|frame|center|Pêndulo partindo do repouso com ruído.]]

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de <math> \alpha </math>:
* Utilizando <math>\Delta t = 0.01</math>, integrar o sistema até <math>t_f = 100</math>, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado <math> \alpha </math> utilizado

<center>
[[Arquivo:Energy_example.png|thumb|upright=2|center|Energia média em função tempo.]]
</center>

:O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

* Realizar um ajuste linear nos dados <math>\langle E \rangle_t \times t</math> para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (<math>\bar P</math>).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico <math>\bar P \times \alpha</math>. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência <math>\bar P = ae^{b \alpha}</math>, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente <math>b</math>, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

[[Arquivo:Power.png|frame|center|Potência em função do ruído (<math>\alpha</math>). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.]]

Portanto, <math>\bar P</math> aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com <math>\alpha</math>. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para <math> \alpha</math> muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com <math>\alpha=5\cdot10^{-4}</math> e os resultados foram comparados com <math> \alpha = 0</math>

[[Arquivo:Test_low_alpha.png|frame|center|Energia média para <math>\alpha</math> muito pequeno comparado com <math>\alpha</math> nulo.]]

===Energia (Com amortecimento)===
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando <math>\beta =0.1</math> e <math>\alpha = 0.485</math> foi obtido o seguinte resultado

[[Arquivo:Energy_beta_example.png|frame|center|Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.]]

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de <math>\beta = 0.01, 0.1, 0.2 </math>:

* Para diversos valores de <math>\alpha</math>, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
* Para cada conjunto de dados gerados por um determinado <math>\alpha</math>, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (<math>\langle E \rangle</math>).

Produzindo o gráfico de <math>\langle E \rangle \times \alpha</math> obtemos

[[Arquivo:Power_beta_mosaic.png|frame|center|Energia estabilizada média em função de <math>\alpha</math> para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.]]

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma <math>\langle E \rangle = a \alpha^b </math>. Para <math>\beta=0.1</math> os dados utilizados no ajuste foram apenas até <math>\alpha = 0.6</math> (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de <math>\beta</math>, serem aproximadamente 2.

== Pêndulo invertido ==
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é <math>\frac{k}{2}\theta^2 </math>, sendo que agora <math>\theta</math> é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

<center>
[[Arquivo:Pendulo_invertido.png|thumb|upright=2|center|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]
</center>

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

<center> <math>
\ddot \theta = \frac{-2b}{m}\dot \theta + \frac{1}{l}(g + \ddot u)sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta
</math> </center>

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

<center> <math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (\frac{-2b}{m}\omega + \frac{g}{l}sen(\theta) - \frac{k}{m}\theta )dt + sen(\theta) \frac{\alpha}{l}\overbrace{dW(t)}^{\xi(t)dt}
\end{aligned}
</math> </center>

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um <math>\theta</math> médio no argumento do seno que multiplica <math>dW</math>

<center> <math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_j + \omega_j \Delta t \\
\bar \theta_j &= (\theta_{j+1} + \theta_{j} ) / 2 \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + (\frac{-2b}{m}\omega_j + \frac{g}{l}sen(\bar \theta_j) - \frac{k}{m} \bar \theta_j ) \Delta t + sen(\bar \theta_j) \frac{\alpha}{l} {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math> </center>

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração <math>\theta_0 = \omega_0 = 0 </math> quando é adicionado ruído e amortecimento. Se <math>k</math> é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial <math>\theta_0 = 10^{-4}, \omega_0 = 0 </math>, com valores de <math>\alpha</math> muito próximos:

[[Arquivo:Inverted_no_exploded.png|upright=2|left|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]] [[Arquivo:Inverted_exploded.png|upright=2|right|Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.]]

os seguintes valores foram utilzados

* g = l = 1
* k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com <math>\alpha=1</math> para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

[[Arquivo:Inverted_going_crazy.gif|frame|center|Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.]]

== Pêndulo Duplo ==

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

[[Arquivo:Pendulo.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo Duplo não estocástico.]]

=== Equação de movimento ===

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> como as variáveis generalizadas e são dadas por:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>
<center>
<math>
\ddot \theta_2 = \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

Mantendo <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math>, e <math> g </math> fixos, defina :

<center>
<math>
f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{-g(2m_1 + m_2)\sin{\theta_1} - m_2 g(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)}m_2(\dot {\theta_2}^2 l_2 + \dot {\theta_1}^2 l_1 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

<center>
<math>
f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) := \frac{2 \sin{(\theta_1 - \theta_2)} (\dot {\theta_1}^2 l_1 (m_1 + m_2) + g (m_1 + m_2) \cos{\theta_1} + \dot {\theta_2}^2 l_2 m_2 \cos{(\theta_1 - \theta_2)})}{l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos{(2 \theta_1 - 2 \theta_2)})}
</math>
</center>

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}})
</math>
</center>

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre <math> m_1 </math> tal que, <math> F^{r}_{1} = \sigma_1 \xi_1 (t) </math>, onde <math> \sigma_1 </math> além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para <math> m_1 </math>. Assim as equações de movimento se tornam:

<center>
<math>
\ddot \theta_1 = f_{1}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t)
</math>
</center>

<center>
<math>
\ddot \theta_2 = f_{2}(\theta_{1}, \dot {\theta_{1}}, \theta_{2}, \dot {\theta_{1}}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
</math>
</center>

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

=== Método de integração ===

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja <math> \omega_{i} = \dot{\theta_{i}} </math>, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1} &= \dot{\theta_{1}} \\
\dot \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{1} \xi_{1} (t) \\
\omega_{2} &= \dot{\theta_{2}}\\
\dot \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2}) + \sigma_{2} \xi_{2} (t)
\end{aligned}
</math>
</center>

na forma diferencial:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\omega_{1}dt &= d{\theta_{1}} \\
d \omega_1 &= f_{1}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{1} dW_{1}(t)\\
\omega_{2}dt &= d{\theta_{2}}\\
d \omega_2 &= f_{2}(\theta_{1}, \omega_{1}, \theta_{2}, \omega_{2})dt + \sigma_{2} dW_{2}(t)
\end{aligned}
</math>
</center>

onde <math> dW_{i}(t) = \xi_{i}(t)dt </math> é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

<center>
<math>
\begin{aligned}
k_1^{\theta_1} &= dt \cdot \omega_1^n \\
k_1^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n, \omega_1^n, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_2^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2) \\
k_2^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_1^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_1^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_3^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2) \\
k_3^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_2^{\theta_1} / 2, \omega_1^n + k_2^{\omega_1} / 2, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
k_4^{\theta_1} &= dt \cdot (\omega_1^n + k_3^{\omega_1}) \\
k_4^{\omega_1} &= dt \cdot f_1(\theta_1^n + k_3^{\theta_1}, \omega_1^n + k_3^{\omega_1}, \theta_2^n, \omega_2^n) \\
\theta_1^{n+1} &= \theta_1^n + (k_1^{\theta_1} + 2k_2^{\theta_1} + 2k_3^{\theta_1} + k_4^{\theta_1}) / 6 \\
\omega_1^{n+1} &= \omega_1^n + (k_1^{\omega_1} + 2k_2^{\omega_1} + 2k_3^{\omega_1} + k_4^{\omega_1}) / 6 + \sigma_1 R_{Gn} \sqrt{dt}
\end{aligned}
</math>
</center>

para <math> \omega_2 </math> e <math> \theta_2 </math> .

=== Retrato de fase ===

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo <math> \theta </math> e a velocidade angular <math> \omega </math> no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta1.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_1 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de <math> \theta_1 </math> e <math> \omega_1 </math>. O retrato de fase para <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> mostra uma dispersão maior em comparação com <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math>, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta2.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, <math> \theta_2 </math> e <math> \omega_2 </math> exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de <math> \theta_2 </math> para <math> \theta_1 </math>.

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12eq.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math> serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>.

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

[[Arquivo:Pendulo_fase_estocastico_theta12.gif|thumb|upright=2|center|Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em <math> \theta_1 </math> e <math> \theta_2 </math>, <math> \sigma = 0.5 </math> e <math> dt = 0.01 </math>.]]

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de <math> \theta_1 </math> versus <math> \omega_1 </math> e <math> \theta_2 </math> versus <math> \omega_2 </math> podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

=== Energia ===
Vamos analisar a como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com diferentes sistemas com ruído aditivo. Nas simulações sempre utilizamos <math> m_{1} </math>, <math> m_{2} </math>, <math> l </math> como unitários, além disso note que nas equações dinâmicas foram definidos dois ruídos distintos assim como duas intensidade distintas, foi feito assim pois os termos que estão sendo agrupados junto da intensidade do ruído não são iguais para as duas equações, então em geral, essas intensidades são distintas.

==== Caso 1 : Ruído em θ₁ ====

==== Caso 2 : Ruído em θ₂ ====

==== Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂ ====

==== Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂ ====

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T19:45:57Z

Joshuakipper: /* Energia */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T19:42:54Z

Joshuakipper: /* Energia */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T19:41:19Z

Joshuakipper: /* Energia */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T19:37:11Z

Joshuakipper: /* Energia */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T19:31:21Z

Joshuakipper: /* Energia */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T19:29:03Z

Joshuakipper: /* Retrato de fase */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T18:35:00Z

Joshuakipper: /* Método de integração */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T18:31:54Z

Joshuakipper: /* Método de integração */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T18:28:15Z

Joshuakipper: /* Método de integração */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T18:11:53Z

Joshuakipper: /* Método de integração */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T17:51:15Z

Joshuakipper: /* Equação de movimento */

Pêndulos Estocásticos

2024-08-21T17:38:36Z

Joshuakipper: /* Equação de movimento */

Corda Vibrante

2024-04-25T18:31:04Z

Joshuakipper: /* Método Explícito */

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== A equação da onda ==
No estudo das oscilações, é comum entre os físicos o emprego de modelos simples como representações "prototípicas" de certos padrões básicos observados na natureza. A eficácia desses modelos simples decorre de duas características fundamentais: a capacidade de serem compreendidos em detalhes minuciosos e a habilidade de reproduzir comportamentos semelhantes aos de situações reais e mais complexas, auxiliando na compreensão destas, pelo menos em termos qualitativos.

Quando se trata de comportamentos oscilatórios, o modelo mais comumente utilizado é o do sistema massa-mola. Por outro lado, para descrever comportamentos ondulatórios unidimensionais, o modelo simples mais difundido é o da corda vibrante.

=== Dedução ===
Consideremos uma corda esticada, como a corda de um violão, por exemplo. Suponhamos que esta corda tenha um comprimento <math> L </math> e que suas extremidades estejam fixas nos pontos <math> x = 0 </math> e <math> x = L </math>. Além disso, vamos supor que a corda tenha uma densidade linear uniforme representada por <math> \mu = \frac{\Delta{m}}{\Delta{x}} </math>, e que esteja sob uma tensão constante <math> T </math>.

Assumindo que a corda realize vibrações transversais apenas na direção <math> y </math> (embora possa ter vibrações transversais na direção <math> z </math>, as quais vamos ignorar aqui), podemos representar a configuração da corda em qualquer instante de tempo no plano <math> xy </math> por uma função <math> y(x,t) </math>.

Vamos considerar mais algumas suposições:

I) A tensão <math> T </math> que estica a corda é tão alta que podemos negligenciar a força gravitacional sobre ela;

II) A corda é perfeitamente elástica, ou seja, não oferece resistência a dobras;

III) Os deslocamentos da corda, que ocorrem apenas na direção <math> y </math>, são de pequena amplitude.

Com essas suposições em mente, estamos prontos para abordar o problema da corda vibrante. Em qualquer instante de tempo, um segmento arbitrário da corda estará na posição geral indicada pela figura abaixo:

[[Arquivo:posicao_generica.png|400px|thumb|center|Posição genérica de um pedaço qualquer da corda]]

A massa do pequeno segmento de corda de comprimento <math> \Delta{x} </math> é

<center>
<math>
\Delta{m} = \mu \Delta{x}.
</math>
</center>

As componentes horizontal e vertical da força resultante atuando sobre esse segmento são:

<center>
<math>
F_x = T \cos{(\theta + \Delta{\theta})} - T \cos{(\theta)}
</math>
</center>
e
<center>
<math>
F_y = T \sin{(\theta + \Delta{\theta})} - T \sin{(\theta)}.
</math>
</center>

Estamos assumindo que a corda não se move na direção <math> x </math> (apenas na direção <math> y </math>). Isso implica que a força resultante na direção <math> x </math> é nula (<math> F_x = 0 </math>). Substituindo essa condição na equação, obtemos:

<center>
<math>
\cos{(\theta + \Delta{\theta})} = \cos{(\theta)}.
</math>
</center>

E a força resultante na direção <math> y </math>, <math> F_y </math>, é dada de acordo com a segunda lei de Newton:

<center>
<math>
F_y = (\mu \Delta{x})a_y = (\mu \Delta{x}) \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}},
</math>
</center>
então:
<center>
<math>
T \sin{(\theta + \Delta{\theta})} - T \sin{(\theta)} = (\mu \Delta{x}) \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}},
</math>
</center>
ou
<center>
<math>
\sin{(\theta + \Delta{\theta})} - \sin{(\theta)} = \Delta{x} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}}.
</math>
</center>

Vamos prosseguir dividindo os dois lados da equação acima pelo termo <math> \cos{(\theta)} </math>, sabendo que <math> \cos{(\theta)} = \cos{(\theta + \Delta{\theta})} </math>:

<center>
<math>
\frac{\sin{(\theta + \Delta{\theta})}}{\cos{(\theta + \Delta{\theta})}} - \frac{\sin{(\theta)}}{\cos{(\theta)}} = \frac{\Delta{x}}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} \to \tan{(\theta + \Delta{\theta})} - \tan{(\theta)} = \frac{\Delta{x}}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}}.
</math>
</center>

Considerando que o coeficiente angular da reta tangente a uma função em um dado ponto do seu domínio é igual à derivada da função nesse ponto, temos:

<center>
<math>
\frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x + \Delta{x}, t) - \frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x, t) = \frac{\Delta{x}}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}}.
</math>
</center>

Dividindo ambos os lados por <math> \Delta{x} </math>, teremos do lado esquerdo:

<center>
<math>
\frac{\frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x + \Delta{x}, t) - \frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x, t)}{\Delta{x}}
</math>
</center>

e no limite que <math> \Delta{x} \to 0 </math>, a expressão se torna uma derivada parcial segunda <math> \frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} </math>, nos permitindo reescrever a equação como:

<center>
<math>
\frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t) = \frac{1}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t).
</math>
</center>

E, como última manipulação, vamos supor agora que os deslocamentos da corda são pequenos, o que implica que os ângulos associados a esses deslocamentos também são pequenos: <math> \theta << 1 </math>. Com essa condição, <math> \cos{(\theta)} \approx 1 </math> e chegamos em:

<center>
<math>
\frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t) = \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t)
</math>
</center>

onde o termo <math> \frac{\mu}{T} </math> tem dimensão de <math> \frac{1}{c^2} </math> e <math> c </math> é a velocidade de propagação de ondas na corda esticada:

<center>
<math>
\frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t) = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t) \Leftrightarrow \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t) =
c^2 \frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t) \Leftrightarrow y_{tt} = c^2 y_{xx}.
</math>
</center>

Chegando a conlusão de que essa é a expressão para a corda vibrante e que a velocidade de propagação aumenta com a tensão na corda e diminui com a sua inércia (massa por unidade de comprimento).

=== Solução Analítica ===
Começaremos tomando as condições de contorno da corda:

<center>
<math>
y(0,t) = 0
</math>
</center>

e

<center>
<math>
y(L,t) = 0
</math>,
</center>

indicando que as extremidades da corda permanecem fixas.

Além disso, tomaremos também as seguintes condições iniciais para a posição e velocidade da corda:

<center>
<math>
y(x,0) = f(x) </math>, <math> 0 \leq x \leq L
</math>
</center>

e

<center>
<math>
\frac{\partial{y}}{\partial{t}} (x,0) = y_t = g(x) </math>, <math> 0 \leq x \leq L
</math>,
</center>

onde <math> f(x) </math> e <math> g(x) </math> são funções tais que

<center>
<math>
f(0) = f(L) = 0
</math>
</center>

e

<center>
<math>
g(0) = g(L) = 0.
</math>
</center>

Iniciaremos o estudo das vibrações em uma corda elástica admitindo que a velocidade inicial da corda é nula, ou seja:

<center>
<math>
g(x) = 0 </math>, <math> \forall 0 \leq x \leq L.
</math>
</center>

Em outras palavras, estamos tratando do problema:

<center>
<math>
\begin{aligned}
\begin{cases}
y_{tt} = c^2 y_{xx},\\
y(0,t) = 0, \\
y(L,t) = 0,\\
y(x,0) = f(x), & 0\leq x \leq L,\\
y_t = g(x), & 0\leq x \leq L.\\
\end{cases}
\end{aligned}
</math>
</center>

Em que <math> f(0) = f(L) = 0 </math> descreve a configuração da corda no início.

Usaremos o método da separação de variáveis para resolver o problema admitindo que <math> y </math> pode ser escrita como

<center>
<math>
y(x,t) = X(x)T(t)
</math>
</center>

na qual <math> X </math> depende apenas de <math> x </math> e <math> T </math> depende apenas de <math> t </math>.

Aplicando na equação diferencial parcial, temos:
<center>
<math>
\frac{X''}{X} = \frac{1}{c^2} \frac{T''}{T} = - \lambda,
</math>
</center>

onde <math> \lambda </math> é uma constante de separação.

Logo, obtemos

<center>
<math>
X'' + \lambda X = 0
</math>
</center>

e

<center>
<math>
T'' + c^2 \lambda T = 0
</math>
</center>

Aplicando as condições de contorno, encontramos o problema

<center>
<math>
X'' + \lambda X = 0 </math>, <math> X(0) = X(L) = 0,
</math>
</center>

cuja solução é dada por

<center>
<math>
X_n (x) = \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)}, \ {\lambda}_n = \left(\frac{n \pi}{L} \right)^2, \ n = 1, 2, 3, ...
</math>
</center>

Com as constantes de separação acima, podemos obter a EDO

<center>
<math>
T'' + {\omega}^2 T = 0, \ \omega = \frac{n \pi c}{L},
</math>
</center>

cujas soluções são

<center>
<math>
T(t) = k_1 \cos{(\omega t)} + k_2 \sin{(\omega t)}.
</math>
</center>

Pelo fato da velocidade inicial da corda ser nula, deduzimos que

<center>
<math>
y_t (x,0) = X(x)T'(0) = 0, \ \forall 0 \leq x \leq L, \ \Rightarrow T'(0) = 0.
</math>
</center>

Como

<center>
<math>
T'(t) = - \omega k_1 \sin{(\omega t)} + \omega k_2 \cos{(\omega t)},
</math>
</center>

temos

<center>
<math>
T'(0) = 0 \ \Rightarrow k_2 = 0.
</math>
</center>

Assim, as soluções fundamentais da equação da onda, envolvendo as condições de contorno e a segunda condição inicial são dadas por:

<center>
<math>
y_n (x,t) = \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{(\omega t)} = \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{\left(\frac{n \pi c t}{L} \right)},
</math>
</center>

para <math> n = 1, 2, 3, ... </math> <ref name="y_periodica"/>.

Por fim, a superposição das soluções fundamentais nos fornece

<center>
<math>
y(x,t) = \sum^{\infty}_{n=1} c_n \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{\left(\frac{n \pi c t}{L} \right)}
</math>
</center>

e a condição inicial <math> y(x,0) = f(x) </math> fornece

<center>
<math>
y(x,0) = \sum^{\infty}_{n=1} c_n \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} = f(x).
</math>
</center>

Então, admitindo que <math> f(x) </math> é uma função ímpar com período <math> T = 2L </math>, concluímos que os coeficientes satisfazem

<center>
<math>
c_n = \frac{2}{L} \int^{L}_{0} f(x) \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} dx, \ n = 1, 2, 3, ...
</math>
</center>

Juntando as informações, temos que a solução do problema

<center>
<math>
\begin{aligned}
\begin{cases}
y_{tt} = c^2 y_{xx},\\
y(0,t) = 0, \\
y(L,t) = 0,\\
y(x,0) = f(x), & 0\leq x \leq L,\\
y_t = g(x), & 0\leq x \leq L.\\
\end{cases}
\end{aligned}
</math>
</center>

é dada por

<center>
<math>
y(x,t) = \sum^{\infty}_{n=1} c_n \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \cos{\left(\frac{n \pi c t}{L} \right)},
</math>
<ref name="freq_nat"/>
</center>

em que

<center>
<math>
c_n = \frac{2}{L} \int^{L}_{0} f(x) \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} dx, \ n = 1, 2, 3, ...
</math>
</center>

=== Adaptação da equação da onda para uma corda real ===
Até o presente momento, tudo que foi apresentado diz respeito a uma corda ideal. Como é de se esperar, cordas reais terão algumas perdas por atrito (amortecimento) e também uma rigidez. Para termos ideia de como se dá esse comportamento real, adicionaremos esses novos dois termos na composição da nossa equação da onda:

<center>
<math>
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2}\left ( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \epsilon L^{2}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right ) - 2b\frac{\partial y}{\partial t} \Leftrightarrow y_{tt} = c^2 (y_{xx} - \epsilon L^2 y_{xxxx}) - 2b y_t,
</math>
</center>

onde o termo da derivada de 4ª ordem vem da rigidez da corda, o qual é controlado por <math> \epsilon </math>, <math> L </math> é o comprimento da corda e <math> -2b y_t </math> é o amortecimento sofrido pela corda ao longo do tempo de propagação da onda.

Utilizaremos essa equação futuramente para compreensão visual do comportamento de uma corda mais próxima da realidade.

== Método FTCS ==

O método FTCS (Forward Time Central Space) é uma abordagem progressiva no tempo e centrada no espaço. Em outras palavras, ao lidarmos com uma função de duas variáveis, buscamos uma solução futura em termos do tempo, centrada em uma vizinhança espacial. Para a resolução numérica da equação diferencial unidimensional da onda, optamos por trabalhar exclusivamente com o método explícito.

=== Corda Ideal ===

==== Método Explícito ====

Para aplicar o método, é necessário inicialmente discretizar tanto as variáveis espaciais quanto as variáveis temporais. Seja a função <math> y(t,x): \mathbb{R}^{2} \mapsto \mathbb{R} </math>, sejam os intervalos <math> \left [ 0,X \right ], \left [ 0,T \right ]\subset \mathbb{R} </math> e <math> N,M\in \mathbb{N} </math>, discretizamos os intervalos em espaçamentos iguais <math> \Delta x = X/N </math>, <math> \Delta t = T/M </math> de tal maneira que obtemos as sequências crescentes monótonas <math>\left \{ x_{j} \right \}_{j=0}^{N} </math> e <math>\left \{ t_{i} \right \}_{i=0}^{M} </math> . Assim obtemos uma grade de malhas de pontos <math> (t_{n}, x_{j}) </math> onde a função <math> y(t,x) </math> tem seus valores aproximados por <math> y(t_{n}, x_{j}) </math> denotado <math> y_{j}^{n} </math>. Uma abordagem comum envolve a discretização da primeira derivada no tempo utilizando uma diferença finita progressiva baseada na expansão em séries de Taylor até a primeira ordem :

<center>
<math>
\frac{\partial y}{\partial t} \approx \frac{y(t+\Delta t, x) - y(t, x)}{\Delta t} = \frac{y_{j}^{n+1} - y_{j}^{n}}{\Delta t}
</math>
</center>

Discretizando a derivada temporal segunda utilizando um diferença finita regressiva :

<center>
<math>
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \approx \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{y_{j}^{n+1} - y_{j}^{n}}{\Delta t}\right) \approx \frac{1}{\Delta t}\left [\frac{y\left (t+\Delta t, x \right ) - y\left (\left (t + \Delta t \right )- \Delta t, x \right )}{\Delta t} - \frac{y\left (t,x \right ) - y\left (t - \Delta t, x \right )}{\Delta t } \right ] = \frac{y\left (t + \Delta t, x \right ) + y\left (t - \Delta t, x \right ) - 2y\left (t, x \right )}{(\Delta t)^{2}} = \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}}
</math>
</center>

note que o processo retorna uma derivada de diferenças finitas centrada, além disso obtemos um aproximação de segunda ordem. O mecanismo de discretização das derivadas espaciais é completamente análogo, a derivada segunda centrada :

<center>
<math>
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} \approx \frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}
</math>
</center>

Aplicando as expressões das diferenciais na equação da onda :

<center>
<math>
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \mapsto \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} = c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}
</math>
</center>

defina <math> a := c\Delta t / \Delta x </math> e explicite a variável no estado temporal futuro, obtemos :

<center>
<math>
y_{j}^{n+1} = 2\left(1 - a^{2}\right)y_{j}^{n} - y_{j}^{n-1} + a^{2}\left ( y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n}\right )
</math>
</center>

uma equação explicita no tempo <math> n+1 </math> dependendo somente de <math> n </math> e <math> n-1 </math>.

==== Estabilidade ====

Para analisar a estabilidade da solução numérica para a equação da onda, utilizaremos o método de Von Neumann. O procedimento consiste em utilizar a transformada de Fourier para determinar a estabilidade do esquema, a solução problema tem a forma :

<center>
<math>
y_{j}^{n+1}(\xi) = A(\xi \Delta x, \Delta x, \Delta t) y_{j}^{n}(\xi)
</math>
</center>

onde <math> \xi \in \left [ -\pi / \Delta x, \pi / \Delta x \right ] </math> e <math> A </math> é o fator de amplificação, observe que podemos estudar a estabilidade da aproximação somente analisando o fator de amplificação.

*'''Teorema''' : Se o fator de amplificação não depender de <math> \Delta x </math> nem <math> \Delta t </math>, então a aproximação é estável se <math> \left | A(\xi \Delta x) \right | \leq 1 </math>.

Vejamos a estabilidade da aproximação de diferenças finitas para a equação da onda, utilizando as componentes de Fourier <math >y_{j}^{n} \mapsto B^{n}e^{ikj\Delta x} </math>, obtemos :

<center>
<math>
B^{n+1}e^{ikj\Delta x} = 2\left ( 1-a^{2} \right )B^{n}e^{ikj\Delta x} - B^{n-1}e^{ikj\Delta x} + a^{2}\left ( B^{n}e^{ik(j+1)\Delta x} + B^{n}e^{ik(j-1)\Delta x} \right )
</math>
</center>

simplificando os termos em comum :

<center>
<math>
B^{n+1} + B^{n-1} = B^{n} \left [ 2\left ( 1-a^{2} \right ) + a^{2}\left (e^{ik\Delta x} + e^{-ik\Delta x}\right )\right ]
</math>
</center>

note que <math> e^{ik\Delta x} - e^{-ik\Delta x} = 2cos(k\Delta x) </math>,

<center>
<math>
\frac{B^{n+1} + B^{n-1}}{B^{n}} = 2\left ( 1-a^{2} \right ) + 2a^{2}cos(k\Delta x)
</math>
</center>

utilizando a identidade trigonométrica <math> cos(\theta) = cos^{2}(\theta /2) - sen^{2}(\theta /2) </math> e a identidade trigonométrica fundamental <math> 1 = cos^{2}(\theta) + sen^{2}(\theta) </math>, obtemos :

<center>
<math>
A + \frac{1}{A} = -2\left [ 2a^{2}sen^{2}\left ( \frac{k\Delta x}{2} \right ) -1 \right ]
</math>
</center>

onde <math> A = B^{n+1}/B^{n} </math> <ref name="fator_ampl"/> é o fator de amplificação. Defina <math> d := 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) -1 </math>. Portanto obtemos a equação quadrática com soluções :

<center>
<math>
A^{2} + 2dA + 1 = 0 \Rightarrow A_{1,2} = -d \pm \sqrt{d^{2}-1}
</math>
</center>

se <math> \left | d \right | > 1 </math>, então :

<center>
<math>
-1>d>1 \Rightarrow -1 > 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) -1 > 1 \Rightarrow 0 > 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) > 2 \Rightarrow 0 > \left( asen\left (k\Delta x / 2 \right ) \right)^{2} > 1
</math>
</center>

o que é um aburdo, pois <math> asen\left (k\Delta x / 2 \right )\in \mathbb{R} </math>. Se <math> \left | d \right | \leq 1 </math> , então :

<center>
<math>
-1\leq d \leq 1 \Rightarrow -1 \leq 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) -1 \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) \leq 2 \Rightarrow 0 \leq \left( asen\left (k\Delta x / 2 \right ) \right)^{2} \leq 1
</math>
</center>

note que <math> sen\left (k\Delta x / 2 \right ) \leq 1 </math>, logo <math> a \leq 1 </math>. Portanto para o método ser condicionalmente estável :

<center>
<math>
\frac{c \Delta t}{ \Delta x} \leq 1
</math>
</center>

Embora <math> a \leq 1 </math> garante a estabilidade do processo, <math> a = 1 </math> é a melhor escolha possível para a estabilidade do método, pelos seguintes motivos :
* Quando <math> a = 1 </math>, os termos de ordem superior que são descartados na discretização da equação da onda são amplamente cancelados. Essa compensação implica que o método numérico se torna mais estável e menos suscetível a erros numéricos significativos, ou seja, não ocorrerão variações abruptas devido aos termos de ordem maiores;
* Quando <math> a = 1 </math>, a perturbação na corda se propaga exatamente um passo espacial a cada passo de tempo. Esse comportamento assegura que a velocidade da perturbação seja adequadamente representada pelo algoritmo numérico. Isso ocorre devido a relação entre a velocidade física da corda <math> c </math> e a velocidade da perturbação <math> v = \Delta x / \Delta t </math>. A animação abaixo contém soluções da equação da onda ideal, obtidas utilizando o método FTCS com diferentes a's. Nela fica bem claro que a velocidade de propagação das ondas na solução para <math>a=0,5</math> é metade da solução para <math>a=1</math>

[[Arquivo:Different_ks.gif|frame|center|Soluções obtidas para a equação da onda ideal com diferentes a's.]]

<center>
<math>
\frac{c \Delta t}{ \Delta x} = \frac{c}{v}
</math>
</center>

Observe que além de obtermos o intervalo de estabilidade <math> a\in\left [ 0, 1 \right ] </math>, também obtemos uma restrição na discretização das malhas temporais e espaciais, limitando assim <math> N,M\in \mathbb{N} </math> a um subconjunto que satisfaça a condição de estabilidade.

=== Corda Não Ideal ===

==== Método Explícito ====
Optaremos novamente por realizar a análise utilizando um método explícito. Em geral, o desenvolvimento teórico para a discretização da equação diferencial da onda com amortecimento e rigidez é análogo ao caso ideal, portanto, não serão apresentados com detalhes os cálculos necessários para a implementação do método. A derivada quarta centrada é aproximada utilizando diferenças finitas :

<center>
<math>
\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \approx \frac{y_{j+2}^{n} + y_{j+1}^{n} + y_{j}^{n} + y_{j-1}^{n} + y_{j-2}^{n}}{\left ( \Delta x \right )^{4}}
</math>
</center>

transformando a EDP não homogênea para um espaço discretizado usando a aproximação de diferenças finitas centrada :

<center>
<math>
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2}\left ( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \epsilon L^{2}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right ) - 2b\frac{\partial y}{\partial t} \mapsto y_{j}^{n+1} = \left [ \left (2 - 2a^{2} - 6\epsilon a^{2}E^{2} - F \right )y_{j}^{n} - y_{j}^{n-1} + a^{2}\left ( 1 + 4\epsilon E^{2} \right ) \left ( y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} \right ) - \epsilon a^{2}E^{2} \left ( y_{j+2}^{n} + y_{j-2}^{n} \right ) \right ]\left (\frac{1}{1-F} \right )
</math>
</center>

onde <math> E := L/ \Delta x </math> e <math> F := b/ \Delta t </math>. Novamente obtemos um equação explicita no tempo <math> n+1 </math> que depende somente de <math> n </math> e <math> n-1 </math>;

==== Estabilidade ====

A abordagem que empregamos para demonstrar a estabilidade da equação da onda não homogênea é completamente análoga ao caso homogêneo. Em outras palavras, utilizamos o método de Von Neumann em conjunto com o teorema da estabilidade. Ao aplicar novamente as componentes de Fourier, representadas por <math >y_{j}^{n} \mapsto B^{n}e^{ikj\Delta x} </math>, obtemos uma equação quadrática que impõe a seguinte restrição :

<center>
<math>
a = \frac{c \Delta t}{ \Delta x} \leq \frac{1}{4}
</math>
</center>

logo, o método é condicionalmente estável no intervalo <math> a\in\left [ 0, 1/4 \right ] </math>.

=== Convergência, Consistência e Estabilidade ===

Até este ponto, ainda não discutimos o quão bem o esquema de diferenças finitas descreve a solução da equação diferencial. Vamos abordar isso agora. A propriedade mais essencial que um esquema deve possuir é que, à medida que os espaçamentos na malha discreta diminuem, a aproximação para a solução deve se aproximar da solução real do sistema. Portanto, um esquema é considerado uma boa aproximação se

<center>
<math>
\left ( \Delta t, \Delta x \right ) \rightarrow 0 \Rightarrow \left | y \left ( t_{n}, x_{j}\right ) - y_{j}^{n} \right |\rightarrow 0
</math>
</center>

onde <math> y \left ( t_{n}, x_{j}\right ) </math> é a solução exata e <math> y_{j}^{n} </math> a solução aproximada. Se tais condições são satisfeitas, dizemos que o esquema de equações diferenciais finitas é convergente. Entretanto, geralmente, provar a convergência não é uma tarefa trivial. No entanto, podemos demonstrá-la de maneira indireta, utilizando estabilidade e consistência. Se um esquema é estável e consistente, então a convergência do esquema é garantida. Dada uma equação diferencial <math> Dy = f </math>, dizemos que o esquema de diferenças finitas <math> D_{\Delta t \Delta x}y = f </math> é consistente com a equação diferencial se, para qualquer função suficientemente diferenciável <math> \phi(t, x) </math>,

<center>
<math>
\left ( \Delta t, \Delta x \right ) \rightarrow 0 \Rightarrow D \phi - D_{\Delta t \Delta x} \phi \rightarrow 0
</math>
</center>

Mostremos a consistência da aproximação de diferenças finitas para a equação da onda homogênea. Seja a EDP da onda

<center>
<math>
Dy\left ( t, x \right ) = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - c^{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
</math>
</center>

e seja a equação de diferenças finitas

<center>
<math>
D_{\left (\Delta t \Delta x \right )}y\left ( t, x \right ) = \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} - c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}
</math>
</center>

pela aproximação que demonstramos anteriormente, temos :

<center>
<math>
\begin{aligned}
&\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - c^{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} + O\left ( \Delta t^{2} \right )- c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}} + O\left ( \Delta x^{2} \right ) \\
&\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - c^{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \left (\frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} - c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}} \right ) = O\left ( \Delta t^{2} \right ) + O\left ( \Delta x^{2} \right ) \\
&Dy\left ( t, x \right ) - D_{\left (\Delta t \Delta x \right )}y\left ( t, x \right ) = O\left ( \Delta t^{2} \right ) + O\left ( \Delta x^{2} \right )
\end{aligned}
</math>
</center>

como estamos supondo que os termos de ordem 2 são desprezíveis, <math> O\left ( \Delta t^{2} \right ) \rightarrow 0 </math> e <math> O\left ( \Delta x^{2} \right ) \rightarrow 0 </math>. Logo :

<center>
<math>
Dy\left ( t, x \right ) - D_{\left (\Delta t \Delta x \right )}y\left ( t, x \right ) \rightarrow 0
</math>
</center>

portanto o esquema de diferenças finitas é consistente. Como na seção anterior já havíamos provado a estabilidade condicional do método, podemos concluir que o esquema é condicionalmente convergente (é consistente e condicionalmente estável) e portanto representa uma boa aproximação para a solução exata da equação diferencial.

== Análise espectral ==
Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear

=== Supremacia da álgebra linear ===
O seguinte conjunto <math> \mathbb{R}^{\mathbb{R}} = \{ f~|~f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} </math> é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base <math> B = \{sen(\omega t) / \sqrt{\pi}, cos(\omega t) / \sqrt{\pi} \}_{\omega \in \mathbb{R^+}} </math> <ref name="norm_const"/>, pois elementos de <math> B </math>, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor <math>f=\omega/(2\pi)</math>. Dessa forma, um sinal arbitrário <math>s(t)</math> pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam
<center>
<math>
s(t) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}[a(\omega)cos(\omega t) + b(\omega)sen(\omega t]d\omega
</math>
</center>

E podemos extrair suas coordenadas (conhecidas como transformada de Fourier do sinal) (<math>a(\omega)</math> e <math>b(\omega)</math>), fazendo o produto escalar com os elementos da base

<center>
<math>
\begin{aligned}
a(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(\omega t)dt \\
b(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(\omega t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

Se o domínio de <math>s(t)</math> é limitado, digamos <math>t \in [0, T]</math>, então uma base infinita com cardinalidade enumerável (em contraste com a base anterior, que possui cardinalidade não enumerável) é suficiente para representar <math>s(t)</math>, uma possível base ortonormal é a seguinte: <math>\bigg\{ \sqrt{\frac{1}{T}}, \sqrt{\frac{2}{T}}sen(\omega_n t), \sqrt{\frac{2}{T}}cos(\omega_n t) \bigg\}_{n \in \mathbb{N^*}}</math>, em que <math> \omega_n = \frac{n\pi}{T} </math>. Dessa forma, a representação e coordenadas de <math>s(t)</math> ficam

<center>
<math>
\begin{aligned}
s(t) &= a_0\sqrt{\frac{1}{T}} + \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{n=1}^{\infty}\bigg[a_n cos(\omega_n t) + b_n sen(\omega_n) \bigg] \\
a_0 &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{1}{T}}dt \\
a_n &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{2}{T}}cos(\omega_n t)dt \\
b_n &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{2}{T}}sen(\omega_n t)dt \\
\end{aligned}
</math>
</center>

É impossível falar sobre bases enumeráveis de um sub-espaço de <math> \mathbb{R}^{\mathbb{R}} </math> sem representar esse canhão matemático com uma animação. Abaixo segue uma visualização que calcula as primeiras <math>N</math> coordenadas (<math>a_0,\dots,a_N</math> e <math>b_1,\dots,b_N</math>) de um sinal qualquer e sobrepõem a série obtida, incrementando <math>N</math> até as duas curvas serem indistinguíveis a olho nu.

<center>
[[Arquivo:Serie_fourier_ana_julia.gif|frame|center|Animação de uma série de fourier. É interessante notar que a série converge muito bem com apenas uma dúzia de frequências.]]
</center>

=== Potência espectral ===
Adiante vamos ver que o sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da mesma, digamos em <math>x=x_o</math>, então a função que representa o sinal é <math>y(x_o, t)</math>. Como estamos interessados nas frequências que compõem o sinal, será calculado a transformada de fourier de <math>y(x_o, t)</math> e definido que a potência da frequência <math>f = \omega/(2\pi)</math> é <math>a_\omega^2 + b_\omega^2</math>. A potência em função da frequência é o resultado da análise espectral.

== Simulando uma corda de violão ==
Uma corda de violão geralmente é excitada por uma pancada dada por uma palheta ou pelo próprio dedo/unha do violonista. Essa pancada define uma condição inicial para a equação de onda. Uma suposição razoável da condição gerada é a seguinte

<math>
\begin{aligned}
y(x, t=0) &= \begin{cases}
\frac{h}{x_0}x &, ~ 0 \leq x \leq x_0\\
\frac{h}{L-x_0}(-x + L) &, ~ x_0 \leq x \leq L\\
\end{cases} \\
\frac{\partial}{\partial t} y(x, t=0) &= 0
\end{aligned}
</math>

supondo que a corda possui comprimento <math>L</math> e a pancado ocorreu em <math>x_o</math>, causando uma deslocamento máximo <math>h</math>. A imagem a seguir ilustra o estado da corda logo após a excitação

<center>
[[Arquivo:Init_cond_ana_julia.png|thumb|upright=2|center|Condição inicial de uma corda de violão.]]
</center>

Dado essa condição inicial, podemos evoluir temporalmente o estado da corda utilizando a equação da onda, mantendo as bordas fixas (<math>y(x=0, t) = y(x=L, t) = 0</math>), mas como extrair som dessa simulação? Para responder essa pergunta precisamos saber como um violão gera som. Ao contrário do que inicialmente pareça, as ondas sonoras não são diretamente geradas pela vibração das cordas, mas sim da caixa do violão, que está diretamente conectada com as cordas em uma peça chamada ponte. A vibração das cordas gera uma força dependente do tempo que atua na caixa através da ponte, assim vibrando a caixa e gerando o som que escutamos. Portanto, para gerar som de forma realista, precisaríamos fisicamente simular a caixa, levando em consideração a sua geometria e as propriedades física do seu material, e então determinar as ondas de pressão que seriam geradas por essa vibração, o que está fora do escopo do presente trabalho. Felizmente, as seguintes simplificações vão nos permitir calcular as ondas de pressão:

* A força que a ponte exerce na caixa é aproximadamente proporcional a sua velocidade (Dinâmica aristotélica).
* A onda de pressão produzida pela caixa é aproximadamente proporcional a sua velocidade.

A força que a ponte exerce na caixa (<math>F(t)</math>) é a força que a corda exerce na ponte (pois a ponte está firmemente conectada na caixa), e essa força é proporcional a inclinação da corda, ou seja

<center>
<math>
F(t) = T \frac{\partial}{\partial x}y(x=0, t) \approx T\frac{y(\Delta x, t) - \overbrace{y(0, t)}^{0}}{\Delta x} = \frac{T}{\Delta x} y(\Delta x, t)
</math>
</center>

em que <math>T</math> é a tensão na corda. Portando, o sinal da onda de pressão pode ser aproximado como o deslocamento de um ponto da corda próximo a ponte. Para gerar som com esse sinal, o tipo de arquivo [https://en.wikipedia.org/wiki/WAV#:~:text=Waveform%20Audio%20File%20Format%20(WAVE,1991%20by%20IBM%20and%20Microsoft. WAV]] é utilizado, pois o seu dado de entrada pode ser justante o sinal da onda de pressão.

Agora tudo está pronto para fazermos uma simulação, vamos tentar reproduzir a nota lá (<math>f = 440~Hz</math>). Primeiro precisamos descobrir qual deve ser a velocidade de propagação das ondas (<math>c</math>) para gerar a nota em questão. Resolvendo a equação da onda ideal, obtemos que as possíveis frequência que existem na solução são <math>f_n = \frac{nc}{2L} </math>, então não é possível fazer a corda vibrar apenas com uma frequência, mas quando músicos se referem a uma nota, eles realmente estão se referindo a <math>f_1</math>, a primeira frequência que compõem o sinal, portanto

<center>
<math> f_1 = \frac{c}{2L} = 440~Hz \Rightarrow c = L \cdot 880~Hz</math>
</center>

Assumindo <math>L=1~m</math>, temos que <math>c = 880~m/s</math>. Resolvendo a equação da onda realista pelo método FTCS com os seguinte parâmetros
{| class="wikitable"
|+ Parâmetros da condição inicial
|-
! Parâmetros !! Valor
|-
| <math>x_o</math> || <math>0,5~L</math>
|-
| h || 1 cm
|}

{| class="wikitable"
|+ Parâmetros da integração
|-
! Parâmetros !! Valor
|-
| k || 1/4
|-
| c || 880 m/s
|-
| <math>\Delta x</math> || 0,01 m
|-
| L || 1 m
|-
| b || 5 <math>s^{-1}</math>
|-
| <math>\epsilon</math> || <math>10^{-9}</math>
|}

obtemos o seguinte resultado

[[Arquivo:Corda_vibrando_ana_julia.gif|frame|center|Solução da equação de onda ideal e realista.]]

Na animação acima, por questão de comparação, também foi coloca a solução de uma simulação com os mesmos parâmetros, apenas com a modificação <math>b=\epsilon=0</math>, que seria o caso ideal (sem amortecimento e rigidez).

Realizando a análise espectral do deslocamento de um ponto próximo de <math>x=0</math>, obtemos o seguinte gráfico

<center>
[[Arquivo:La_power_ana_julia.png |thumb|upright=2|center|Espectro do deslocamento de um ponto próximo de <math>x=0</math>. Linhas pretas tracejadas representam os harmônicos.]]
</center>

As linhas verticais pretas e tracejadas representam as possíveis frequências da solução do caso ideal (também chamadas de harmônicos), ou seja, a primeira linha está em <math>f = 440 Hz </math> como era de se esperar, mas é notável que a segunda e quarta linhas possuem uma potência praticamente nula, isso ocorre porque a excitação inicial foi exatamente no meio, e as frequência correspondentes a essas linhas provém de ondas estacionário que possum um nodo em <math>x=L/2</math>, logo elas não foram excitadas pela condição inicial. Mudando o ponto de excitação inicial, podemos ver essas frequências aparecendo. Rodando a simulação novamente, mas com <math>x_o = 0,2~L</math>, obtemos o seguinte espectro

<center>
[[Arquivo:La_power_bridge_ana_julia.png |thumb|upright=2|center|Espectro para excitação inicial em <math>x_0 = 0,2~L</math>]]
</center>

Para observar a influência da rigidez, a simulação foi rodada com <math>\epsilon=10^{-8}</math> (10 vezes maior do que o valor anterior) resultando no seguinte espectro
<center>
[[Arquivo:La_power_high_stiff_ana_julia.png |thumb|upright=2|center|Espectro para <math>\epsilon=10^{-8}</math>]]
</center>

O efeito mais notável é o deslocamento para esquerda das frequência em relação as frequências que compõem o sinal no caso ideal.

Por fim, conforme descrito anteriormente, podemos gerar som com as dados da simulação, mas infelizmente essa wiki não nos permite upar arquivos de áudio. No entanto, áudio das simulações discutidas aqui podem ser encontrados no repositório do projeto [https://github.com/marcos1561/ana-julia ana-julia] dentro da pasta "sound". Em especial, o efeito de deslocamento de frequências causado pela rigidez é bastante evidente escutando os áudios.

=== Bônus ===
Apenas por diversão, segue uma animação de um pacote gaussiano como condição inicial

[[Arquivo:Gaussian_package_ana_julia.gif|frame|center|Animação da solução da equação da onda com um pacote gaussiano como condição inicial.]]

== Notas ==
<references>

<ref name="fator_ampl"> Perceba que não estamos operando expoentes, mas sim usando a relação entre os índices <math> B^{n-1}/B^{n} = B^{m}/B^{m+1} = A^{-1} </math>.</ref>

<ref name="norm_const">A constante <math> 1/\sqrt{\pi} </math> está presente por questão de normalização. Esse caso pode parecer um pouco estranho, dado que não é possível normalizar os cossenos e senos, pois sua integral em todo a reta não é definida, mas o que se deseja é a seguinte propriedade
<math>\int_{\mathbb{R}}A_{\omega}cos(\omega t) \cdot A_{\omega'}cos(\omega' t)dt = \delta(\omega-\omega') </math>
que é safisfeita quando <math> A_{\omega} = A_{\omega'} = 1/\sqrt{\pi}, ~ \forall \omega,\omega'</math>.
</ref>

<ref name="y_periodica"> Note que <math> y_n </math> é periódica no tempo com período <math> \frac{2L}{na} </math>.</ref>

<ref name="freq_nat"> As quantidades <math> \frac{n \pi a}{L} </math> são chamadas de frequências naturais da corda; o fator <math> \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} </math> é chamado modo natural de vibração e o período de modo natural de vibração <math> \frac{2L}{n} </math> é chamado de comprimento de onda.
</ref>

</references>

== Referências ==

# Giordano, Nicholas, Nakanishin Hisao. Computacional Physics, Sencond Edition - 2006.
# Strikwerda, John. Finite Diference Schemes and Partial Diferential Equations, Second Edition, SIAM - 2004.
# Moraes, Alciney das Neves. Critério de Estabilidade de um Esquema Explícito em Diferenças Finitas para o Modelo de Placas de Mindlin-Timoshenko, Universidade Federal do Pará — 2019.
# Grigoryan, Viktor. Finite differences for the wave equation. UC Santa Bárbara Mathematics - 2012.
# Boyce, E., W. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 11ª Edição - 2020.

Corda Vibrante

2024-04-23T14:00:36Z

Joshuakipper:

'''Grupo :''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== A equação da onda ==
No estudo das oscilações, é comum entre os físicos o emprego de modelos simples como representações "prototípicas" de certos padrões básicos observados na natureza. A eficácia desses modelos simples decorre de duas características fundamentais: a capacidade de serem compreendidos em detalhes minuciosos e a habilidade de reproduzir comportamentos semelhantes aos de situações reais e mais complexas, auxiliando na compreensão destas, pelo menos em termos qualitativos.

Quando se trata de comportamentos oscilatórios, o modelo mais comumente utilizado é o do sistema massa-mola. Por outro lado, para descrever comportamentos ondulatórios unidimensionais, o modelo simples mais difundido é o da corda vibrante.

=== Dedução ===
Consideremos uma corda esticada, como a corda de um violão, por exemplo. Suponhamos que esta corda tenha um comprimento <math> L </math> e que suas extremidades estejam fixas nos pontos <math> x = 0 </math> e <math> x = L </math>. Além disso, vamos supor que a corda tenha uma densidade linear uniforme representada por <math> \mu = \frac{dm}{dx} </math>, e que esteja sob uma tensão constante <math> T </math>.

Assumindo que a corda realize vibrações transversais apenas na direção <math> y </math> (embora possa ter vibrações transversais na direção <math> z </math>, as quais vamos ignorar aqui), podemos representar a configuração da corda em qualquer instante de tempo no plano <math> xy </math> por uma função <math> y(x,t) </math>.

Vamos considerar mais algumas suposições:

I) A tensão <math> T </math> que estica a corda é tão alta que podemos negligenciar a força gravitacional sobre ela;

II) A corda é perfeitamente elástica, ou seja, não oferece resistência a dobras;

III) Os deslocamentos da corda, que ocorrem apenas na direção <math> y </math>, são de pequena amplitude.

Com essas suposições em mente, estamos prontos para abordar o problema da corda vibrante. Em qualquer instante de tempo, um segmento arbitrário da corda estará na posição geral indicada pela figura abaixo:

[[Arquivo:posicao_generica.png|400px|thumb|center|Posição genérica de um pedaço qualquer da corda]]

A massa do pequeno segmento de corda de comprimento <math> \Delta{x} </math> é

<center>
<math>
\Delta{m} = \mu \Delta{x}.
</math>
</center>

As componentes horizontal e vertical da força resultante atuando sobre esse segmento são:

<center>
<math>
F_x = T \cos{(\theta + \Delta{\theta})} - T \cos{(\theta)}
</math>
</center>
e
<center>
<math>
F_y = T \sin{(\theta + \Delta{\theta})} - T \sin{(\theta)}.
</math>
</center>

Estamos assumindo que a corda não se move na direção <math> x </math> (apenas na direção <math> y </math>). Isso implica que a força resultante na direção <math> x </math> é nula (<math> F_x = 0 </math>). Substituindo essa condição na equação, obtemos:

<center>
<math>
\cos{(\theta + \Delta{\theta})} = \cos{(\theta)}.
</math>
</center>

E a força resultante na direção <math> y </math>, <math> F_y </math>, é dada de acordo com a segunda lei de Newton:

<center>
<math>
F_y = (\mu \Delta{x})a_y = (\mu \Delta{x}) \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}},
</math>
</center>
então:
<center>
<math>
T \sin{(\theta + \Delta{\theta})} - T \sin{(\theta)} = (\mu \Delta{x}) \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}},
</math>
</center>
ou
<center>
<math>
\sin{(\theta + \Delta{\theta})} - \sin{(\theta)} = \Delta{x} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}}.
</math>
</center>

Vamos prosseguir dividindo os dois lados da equação acima pelo termo <math> \cos{(\theta)} </math>, sabendo que <math> \cos{(\theta)} = \cos{(\theta + \Delta{\theta})} </math>:

<center>
<math>
\frac{\sin{(\theta + \Delta{\theta})}}{\cos{(\theta + \Delta{\theta})}} - \frac{\sin{(\theta)}}{\cos{(\theta)}} = \frac{\Delta{x}}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} \to \tan{(\theta + \Delta{\theta})} - \tan{(\theta)} = \frac{\Delta{x}}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}}.
</math>
</center>

Considerando que o coeficiente angular da reta tangente a uma função em um dado ponto do seu domínio é igual à derivada da função nesse ponto, temos:

<center>
<math>
\frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x + \Delta{x}, t) - \frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x, t) = \frac{\Delta{x}}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}}.
</math>
</center>

Dividindo ambos os lados por <math> \Delta{x} </math>, teremos do lado esquerdo:

<center>
<math>
\frac{\frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x + \Delta{x}, t) - \frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x, t)}{\Delta{x}}
</math>
</center>

e no limite que <math> \Delta{x} \to 0 </math>, a expressão se torna uma derivada parcial segunda <math> \frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} </math>, nos permitindo reescrever a equação como:

<center>
<math>
\frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t) = \frac{1}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t).
</math>
</center>

E, como última manipulação, vamos supor agora que os deslocamentos da corda são pequenos, o que implica que os ângulos associados a esses deslocamentos também são pequenos: <math> \theta << 1 </math>. Com essa condição, <math> \cos{(\theta)} \approx 1 </math> e chegamos em:

<center>
<math>
\frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t) = \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t)
</math>
</center>

onde o termo <math> \frac{\mu}{T} </math> tem dimensão de <math> \frac{1}{c^2} </math> e <math> c </math> é a velocidade de propagação de ondas na corda esticada:

<center>
<math>
\frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t) = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t) \Leftrightarrow \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t) =
c^2 \frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t).
</math>
</center>

Chegando a conlusão de que essa é a expressão para a corda vibrante e que a velocidade de propagação aumenta com a tensão na corda e diminui com a sua inércia (massa por unidade de comprimento).

=== Solução Analítica ===

== Método FTCS ==

O método FTCS (Forward Time Central Space) é uma abordagem progressiva no tempo e centrada no espaço. Em outras palavras, ao lidarmos com uma função de duas variáveis, buscamos uma solução futura em termos do tempo, centrada em uma vizinhança espacial. Para a resolução numérica da equação diferencial unidimensional da onda, optamos por trabalhar exclusivamente com o método explícito.

=== Corda Ideal ===

==== Método Explícito ====

Para aplicar o método, é necessário inicialmente discretizar tanto as variáveis espaciais quanto as variáveis temporais. Seja a função <math> y(t,x): \mathbb{R}^{2} \mapsto \mathbb{R} </math>, sejam os intervalos <math> \left [ 0,X \right ], \left [ 0,T \right ]\subset \mathbb{R} </math> e <math> N,M\in \mathbb{N} </math>, discretizamos os intervalos em espaçamentos iguais <math> \Delta x = X/N </math>, <math> \Delta t = T/M </math> de tal maneira que obtemos as sequências crescentes monótonas <math>\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{N} </math> e <math>\left \{ t_{i} \right \}_{j=0}^{M} </math> . Assim obtemos uma grade de malhas de pontos <math> (t_{i}, x_{i}) </math> onde a função <math> y(t,x) </math> tem seus valores aproximados por <math> y(t_{i}, x_{i}) </math> denotado <math> y_{j}^{n} </math>. Uma abordagem comum envolve a discretização da primeira derivada no tempo utilizando uma diferença finita progressiva baseada na expansão em séries de Taylor até a primeira ordem :

<center>
<math>
\frac{\partial y}{\partial t} \approx \frac{y(t+\Delta t, x) - y(t, x)}{\Delta t} = \frac{y_{j}^{n+1} - y_{j}^{n}}{\Delta t}
</math>
</center>

Discretizando a derivada temporal segunda utilizando um diferença finita regressiva :

<center>
<math>
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \approx \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{y_{j}^{n+1} - y_{j}^{n}}{\Delta t}\right) \approx \frac{1}{\Delta t}\left [\frac{y\left (t+\Delta t, x \right ) - y\left (\left (t + \Delta t \right )- \Delta t, x \right )}{\Delta t} - \frac{y\left (t,x \right ) - y\left (t - \Delta t, x \right )}{\Delta t } \right ] = \frac{y\left (t + \Delta t, x \right ) + y\left (t - \Delta t, x \right ) - 2y\left (t, x \right )}{(\Delta t)^{2}} = \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}}
</math>
</center>

note que o processo retorna uma derivada de diferenças finitas centrada, além disso obtemos um aproximação de segunda ordem. O mecanismo de discretização das derivadas espaciais é completamente análogo, a derivada segunda centrada :

<center>
<math>
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} \approx \frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}
</math>
</center>

Aplicando as expressões das diferenciais na equação da onda :

<center>
<math>
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \mapsto \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} = c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}
</math>
</center>

defina <math> a := c\Delta t / \Delta x </math> e explicite a variável no estado temporal futuro, obtemos :

<center>
<math>
y_{j}^{n+1} = 2\left(1 - a^{2}\right)y_{j}^{n} - y_{j}^{n-1} + a^{2}\left ( y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n}\right )
</math>
</center>

uma equação explicita no tempo <math> n+1 </math> dependendo somente de <math> n </math> e <math> n-1 </math>.

==== Estabilidade ====

Para analisar a estabilidade da solução numérica para a equação da onda, utilizaremos o método de Von Neumann. O procedimento consiste em utilizar a transformada de Fourier para determinar a estabilidade do esquema, a solução problema tem a forma :

<center>
<math>
y_{j}^{n+1}(\xi) = A(\xi \Delta x, \Delta x, \Delta t) y_{j}^{n}(\xi)
</math>
</center>

onde <math> \xi \in \left [ -\pi / \Delta x, \pi / \Delta x \right ] </math> e <math> A </math> é o fator de amplificação, observe que podemos estudar a estabilidade da aproximação somente analisando o fator de amplificação.

*'''Teorema''' : Se o fator de amplificação não depender de <math> \Delta x </math> nem <math> \Delta t </math>, então a aproximação é estável se <math> \left | A(\xi \Delta x) \right | \leq 1 </math>.

Vejamos a estabilidade da aproximação de diferenças finitas para a equação da onda, utilizando as componentes de Fourier <math >y_{j}^{n} \mapsto B^{n}e^{ikj\Delta x} </math>, obtemos :

<center>
<math>
B^{n+1}e^{ikj\Delta x} = 2\left ( 1-a^{2} \right )B^{n}e^{ikj\Delta x} - B^{n-1}e^{ikj\Delta x} + a^{2}\left ( B^{n}e^{ik(j+1)\Delta x} + B^{n}e^{ik(j-1)\Delta x} \right )
</math>
</center>

simplificando os termos em comum :

<center>
<math>
B^{n+1} + B^{n-1} = B^{n} \left [ 2\left ( 1-a^{2} \right ) + a^{2}\left (e^{ik\Delta x} + e^{-ik\Delta x}\right )\right ]
</math>
</center>

note que <math> e^{ik\Delta x} - e^{-ik\Delta x} = 2cos(k\Delta x) </math>,

<center>
<math>
\frac{B^{n+1} + B^{n-1}}{B^{n}} = 2\left ( 1-a^{2} \right ) + 2a^{2}cos(k\Delta x)
</math>
</center>

utilizando a identidade trigonométrica <math> cos(\theta) = cos^{2}(\theta /2) - sen^{2}(\theta /2) </math> e a identidade trigonométrica fundamental <math> 1 = cos^{2}(\theta) + sen^{2}(\theta) </math>, obtemos :

<center>
<math>
A + \frac{1}{A} = -2\left [ 2a^{2}sen^{2}\left ( \frac{k\Delta x}{2} \right ) -1 \right ]
</math>
</center>

onde <math> A = B^{n+1}/B^{n} </math> <ref name="fator_ampl"/> é o fator de amplificação. Defina <math> d := 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) -1 </math>. Portanto obtemos a equação quadrática com soluções :

<center>
<math>
A^{2} + 2dA + 1 = 0 \Rightarrow A_{1,2} = -d \pm \sqrt{d^{2}-1}
</math>
</center>

se <math> \left | d \right | > 1 </math>, então :

<center>
<math>
-1>d>1 \Rightarrow -1 > 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) -1 > 1 \Rightarrow 0 > 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) > 2 \Rightarrow 0 > \left( asen\left (k\Delta x / 2 \right ) \right)^{2} > 1
</math>
</center>

o que é um aburdo, pois <math> asen\left (k\Delta x / 2 \right )\in \mathbb{R} </math>. Se <math> \left | d \right | \leq 1 </math> , então :

<center>
<math>
-1\leq d \leq 1 \Rightarrow -1 \leq 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) -1 \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) \leq 2 \Rightarrow 0 \leq \left( asen\left (k\Delta x / 2 \right ) \right)^{2} \leq 1
</math>
</center>

note que <math> sen\left (k\Delta x / 2 \right ) \leq 1 </math>, logo <math> a \leq 1 </math>. Portanto para o método ser condicionalmente estável :

<center>
<math>
\frac{c \Delta t}{ \Delta x} \leq 1
</math>
</center>

Embora <math> a \leq 1 </math> garante a estabilidade do processo, <math> a = 1 </math> é a melhor escolha possível para a estabilidade do método, pelos seguintes motivos :
* Quando <math> a = 1 </math>, os termos de ordem superior que são descartados na discretização da equação da onda são amplamente cancelados. Essa compensação implica que o método numérico se torna mais estável e menos suscetível a erros numéricos significativos, ou seja, não ocorrerão variações abruptas devido aos termos de ordem maiores;
* Quando <math> a = 1 </math>, a perturbação na corda se propaga exatamente um passo espacial a cada passo de tempo. Esse comportamento assegura que a velocidade da perturbação seja adequadamente representada pelo algoritmo numérico. Isso ocorre devido a relação entre a velocidade física da corda <math> c </math> e a velocidade da perturbação <math> v = \Delta x / \Delta t </math>.

<center>
<math>
\frac{c \Delta t}{ \Delta x} = \frac{c}{v}
</math>
</center>

Observe que além de obtermos o intervalo de estabilidade <math> a\in\left [ 0, 1 \right ] </math>, também obtemos uma restrição na discretização das malhas temporais e espaciais, limitando assim <math> N,M\in \mathbb{N} </math> a um subconjunto que satisfaça a condição de estabilidade.

=== Corda Não Ideal ===

==== Método Explícito ====
Optaremos novamente por realizar a análise utilizando um método explícito. Em geral, o desenvolvimento teórico para a discretização da equação diferencial da onda com amortecimento e rigidez é análogo ao caso ideal, portanto, não serão apresentados com detalhes os cálculos necessários para a implementação do método. A derivada quarta centrada é aproximada utilizando diferenças finitas :

<center>
<math>
\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \approx \frac{y_{j+2}^{n} + y_{j+1}^{n} + y_{j}^{n} + y_{j-1}^{n} + y_{j-2}^{n}}{\left ( \Delta x \right )^{4}}
</math>
</center>

transformando a EDP não homogênea para um espaço discretizado usando a aproximação de diferenças finitas centrada :

<center>
<math>
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2}\left ( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \epsilon L^{2}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right ) - b\frac{\partial y}{\partial t} \mapsto y_{j}^{n+1} = \left [ \left (2 - 2a^{2} - 6\epsilon a^{2}E^{2} - F \right )y_{j}^{n} - y_{j}^{n-1} + a^{2}\left ( 1 + 4\epsilon E^{2} \right ) \left ( y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} \right ) - \epsilon a^{2}E^{2} \left ( y_{j+2}^{n} + y_{j-2}^{n} \right ) \right ]\left (\frac{1}{1-F} \right )
</math>
</center>

onde <math> E := L/ \Delta x </math> e <math> F := b/ \Delta t </math>. Novamente obtemos um equação explicita no tempo <math> n+1 </math> que depende somente de <math> n </math> e <math> n-1 </math>;

==== Estabilidade ====

A abordagem que empregamos para demonstrar a estabilidade da equação da onda não homogênea é completamente análoga ao caso homogêneo. Em outras palavras, utilizamos o método de Von Neumann em conjunto com o teorema da estabilidade. Ao aplicar novamente as componentes de Fourier, representadas por <math >y_{j}^{n} \mapsto B^{n}e^{ikj\Delta x} </math>, obtemos uma equação quadrática que impõe a seguinte restrição :

<center>
<math>
a = \frac{c \Delta t}{ \Delta x} \leq \frac{1}{4}
</math>
</center>

logo, o método é condicionalmente estável no intervalo <math> a\in\left [ 0, 1/4 \right ] </math>.

=== Convergência, Consistência e Estabilidade ===

Até este ponto, ainda não discutimos o quão bem o esquema de diferenças finitas descreve a solução da equação diferencial. Vamos abordar isso agora. A propriedade mais essencial que um esquema deve possuir é que, à medida que os espaçamentos na malha discreta diminuem, a aproximação para a solução deve se aproximar da solução real do sistema. Portanto, um esquema é considerado uma boa aproximação se

<center>
<math>
\left ( \Delta t, \Delta x \right ) \rightarrow 0 \Rightarrow \left | y \left ( t_{n}, x_{j}\right ) - y_{j}^{n} \right |\rightarrow 0
</math>
</center>

onde <math> y \left ( t_{n}, x_{j}\right ) </math> é a solução exata e <math> y_{j}^{n} </math> a solução aproximada. Se tais condições são satisfeitas, dizemos que o esquema de equações diferenciais finitas é convergente. Entretanto, geralmente, provar a convergência não é uma tarefa trivial. No entanto, podemos demonstrá-la de maneira indireta, utilizando estabilidade e consistência. Se um esquema é estável e consistente, então a convergência do esquema é garantida. Dada uma equação diferencial <math> Dy = f </math>, dizemos que o esquema de diferenças finitas <math> D_{\Delta t \Delta x}y = f </math> é consistente com a equação diferencial se, para qualquer função suficientemente diferenciável <math> \phi(t, x) </math>,

<center>
<math>
\left ( \Delta t, \Delta x \right ) \rightarrow 0 \Rightarrow D \phi - D_{\Delta t \Delta x} \phi \rightarrow 0
</math>
</center>

Mostremos a consistência da aproximação de diferenças finitas para a equação da onda homogênea. Seja a EDP da onda

<center>
<math>
Dy\left ( t, x \right ) = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - c^{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
</math>
</center>

e seja a equação de diferenças finitas

<center>
<math>
D_{\left (\Delta t \Delta x \right )}y\left ( t, x \right ) = \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} - c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}
</math>
</center>

pela aproximação que demonstramos anteriormente, temos :

<center>
<math>
\begin{aligned}
&\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - c^{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} + O\left ( \Delta t^{2} \right )- c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}} + O\left ( \Delta x^{2} \right ) \\
&\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - c^{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \left (\frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} - c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}} \right ) = O\left ( \Delta t^{2} \right ) + O\left ( \Delta x^{2} \right ) \\
&Dy\left ( t, x \right ) - D_{\left (\Delta t \Delta x \right )}y\left ( t, x \right ) = O\left ( \Delta t^{2} \right ) + O\left ( \Delta x^{2} \right )
\end{aligned}
</math>
</center>

como estamos supondo que os termos de ordem 2 são desprezíveis, <math> O\left ( \Delta t^{2} \right ) \rightarrow 0 </math> e <math> O\left ( \Delta x^{2} \right ) \rightarrow 0 </math>. Logo :

<center>
<math>
Dy\left ( t, x \right ) - D_{\left (\Delta t \Delta x \right )}y\left ( t, x \right ) \rightarrow 0
</math>
</center>

portanto o esquema de diferenças finitas é consistente. Como na seção anterior já havíamos provado a estabilidade condicional do método, podemos concluir que o esquema é condicionalmente convergente (é consistente e condicionalmente estável) e portanto representa uma boa aproximação para a solução exata da equação diferencial.

== Análise espectral ==
Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear

=== Supremacia da álgebra linear ===
O seguinte conjunto <math> \mathbb{R}^{\mathbb{R}} = \{ f~|~f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} </math> é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base <math> B = \{sen(\omega t) / \sqrt{\pi}, cos(\omega t) / \sqrt{\pi} \}_{\omega \in \mathbb{R^+}} </math> <ref name="norm_const"/>, pois elementos de <math> B </math>, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor <math>f=\omega/(2\pi)</math>. Dessa forma, um sinal arbitrário <math>s(t)</math> pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam
<center>
<math>
s(t) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}[a(\omega)cos(\omega t) + b(\omega)sen(\omega t]d\omega
</math>
</center>

E podemos extrair suas coordenadas (conhecidas como transformada de Fourier do sinal) (<math>a(\omega)</math> e <math>b(\omega)</math>), fazendo o produto escalar com os elementos da base

<center>
<math>
\begin{aligned}
a(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(\omega t)dt \\
b(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(\omega t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

Se o domínio de <math>s(t)</math> é limitado, digamos <math>t \in [0, T]</math>, então uma base infinita com cardinalidade enumerável (em contraste com a base anterior, que possui cardinalidade não enumerável) é suficiente para representar <math>s(t)</math>, uma possível base ortonormal é a seguinte: <math>\bigg\{ \sqrt{\frac{1}{T}}, \sqrt{\frac{2}{T}}sen(\omega_n t), \sqrt{\frac{2}{T}}cos(\omega_n t) \bigg\}_{n \in \mathbb{N^*}}</math>, em que <math> \omega_n = \frac{n\pi}{T} </math>. Dessa forma, a representação e coordenadas de <math>s(t)</math> ficam

<center>
<math>
\begin{aligned}
s(t) &= a_0\sqrt{\frac{1}{T}} + \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{n=1}^{\infty}\bigg[a_n cos(\omega_n t) + b_n sen(\omega_n) \bigg] \\
a_0 &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{1}{T}}dt \\
a_n &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{2}{T}}cos(\omega_n t)dt \\
b_n &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{2}{T}}sen(\omega_n t)dt \\
\end{aligned}
</math>
</center>

É impossível falar sobre bases enumeráveis de um sub-espaço de <math> \mathbb{R}^{\mathbb{R}} </math> sem representar esse canhão matemático com uma animação. Abaixo segue uma visualização que calcula as primeiras <math>N</math> coordenadas (<math>a_0,\dots,a_N</math> e <math>b_1,\dots,b_N</math>) de um sinal qualquer e sobrepõem a série obtida, incrementando <math>N</math> até as duas curvas serem indistinguíveis a olho nu.

<center>
[[Arquivo:Serie_fourier_ana_julia.gif|frame|center|Animação de uma série de fourier. É interessante notar que a série converge muito bem com apenas uma dúzia de frequências.]]
</center>

=== Potência espectral ===
Adiante vamos ver que o sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da mesma, digamos em <math>x=x_o</math>, então a função que representa esse sinal é <math>y(x_o, t)</math>. Como estamos interessados nas frequências que compõem o sinal, será calculado a transformada de fourier de <math>y(x_o, t)</math> e definido que a potência da frequência <math>f = \omega/(2\pi)</math> é <math>a_\omega^2 + b_\omega^2</math>. A potência em função da frequência é o resultado da análise espectral.

== Simulando uma corda de violão ==
Uma corda de violão geralmente é excitada por uma pancada dada por uma palheta ou pelo próprio dedo/unha do violonista. Essa pancada define uma condição inicial para a equação de onda. Uma suposição razoável da condição gerada é a seguinte

<math>
\begin{aligned}
y(x, t=0) &= \begin{cases}
\frac{h}{x_0}x &, ~ 0 \leq x \leq x_0\\
\frac{h}{L-x_0}(-x + L) &, ~ x_0 \leq x \leq L\\
\end{cases} \\
\frac{\partial}{\partial t} y(x, t=0) &= 0
\end{aligned}
</math>

supondo que a corda possui comprimento <math>L</math> e a pancado ocorreu em <math>x_o</math>, causando uma deslocamento máximo <math>h</math>. A imagem a seguir ilustra o estado da corda logo após a excitação

<center>
[[Arquivo:Init_cond_ana_julia.png|thumb|upright=2|center|Condição inicial de uma corda de violão.]]
</center>

Dado essa condição inicial, podemos evoluir temporalmente o estado da corda utilizando a equação da onda, mantendo as bordas fixas (<math>y(x=0, t) = y(x=L, t) = 0</math>), mas como extrair som dessa simulação? Para responder essa pergunta precisamos saber como um violão gera som. Ao contrário do que inicialmente pareça, as ondas sonoras não são diretamente geradas pela vibração das cordas, mas sim da caixa do violão, que está diretamente conectada com as cordas em uma peça chamada ponte. A vibração das cordas gera uma força dependente do tempo que atua na caixa através da ponte, assim vibrando a caixa e gerando o som que escutamos. Portanto, para gerar som de forma realista, precisaríamos fisicamente simular a caixa, levando em consideração a sua geometria e as propriedades física do seu material, e então determinar as ondas de pressão que seriam geradas por essa vibração, o que está fora do escopo do presente trabalho. Felizmente, as seguintes simplificações vão nos permitir calcular as ondas de pressão:

* A força que a ponte exerce na caixa é aproximadamente proporcional a sua velocidade (Dinâmica aristotélica).
* A onda de pressão produzida pela caixa é aproximadamente proporcional a sua velocidade.

A força que a ponte exerce na caixa (<math>F(t)</math>) é a força que a corda exerce na ponte (pois a ponte está firmemente conectada na caixa), e essa força é proporcional a inclinação da corda, ou seja

<center>
<math>
F(t) = T \frac{\partial}{\partial x}y(x=0, t) \approx T\frac{y(\Delta x, t) - \overbrace{y(0, t)}^{0}}{\Delta x} = \frac{T}{\Delta x} y(\Delta x, t)
</math>
</center>

em que <math>T</math> é a tensão na corda. Portando, o sinal da onda de pressão pode ser aproximado como o deslocamento de um ponto da corda próximo a ponte. Para gerar som com esse sinal, o tipo de arquivo [https://en.wikipedia.org/wiki/WAV#:~:text=Waveform%20Audio%20File%20Format%20(WAVE,1991%20by%20IBM%20and%20Microsoft. WAV]] é utilizado, pois o seu dado de entrada pode ser justante o sinal da onda de pressão.

Agora tudo está pronto para fazermos uma simulação, vamos tentar reproduzir a nota lá (<math>f = 440~Hz</math>). Primeiro precisamos descobrir qual deve ser a velocidade de propagação das ondas (<math>c</math>) para gerar a nota em questão. Resolvendo a equação da onda ideal, obtemos que as possíveis frequência que existem na solução são <math>f_n = \frac{nc}{2L} </math>, então não é possível fazer a corda vibrar apenas com uma frequência, mas quando músicos se referem a uma nota, eles realmente estão se referindo a <math>f_1</math>, a primeira frequência que compõem o sinal, portanto

<center>
<math> f_1 = \frac{c}{2L} = 440~Hz \Rightarrow c = L \cdot 880~Hz</math>
</center>

Assumindo <math>L=1~m</math>, temos que <math>c = 880~m/s</math>. Resolvendo a equação da onda realista pelo método FTCS com os seguinte parâmetros
{| class="wikitable"
|+ Parâmetros da condição inicial
|-
! Parâmetros !! Valor
|-
| <math>x_o</math> || <math>0,5~L</math>
|-
| h || 1 cm
|}

{| class="wikitable"
|+ Parâmetros da integração
|-
! Parâmetros !! Valor
|-
| k || 1/4
|-
| c || 880 m/s
|-
| <math>\Delta x</math> || 0,01 m
|-
| L || 1 m
|-
| b || 5 <math>s^{-1}</math>
|-
| <math>\epsilon</math> || <math>10^{-9}</math>
|}

obtemos o seguinte resultado

[[Arquivo:Corda_vibrando_ana_julia.gif|frame|center|Solução da equação de onda ideal e realista.]]

Na animação acima, por questão de comparação, também foi coloca a solução de uma simulação com os mesmos parâmetros, apenas com a modificação <math>b=\epsilon=0</math>, que seria o caso ideal (sem amortecimento e rigidez).

Realizando a análise espectral do deslocamento de um ponto próximo de <math>x=0</math>, obtemos o seguinte gráfico

<center>
[[Arquivo:La_power_ana_julia.png |thumb|upright=2|center|Espectro do deslocamento de um ponto próximo de <math>x=0</math>. Linhas pretas tracejadas representam os harmônicos.]]
</center>

As linhas verticais pretas e tracejadas representam as possíveis frequências da solução do caso ideal (também chamadas de harmônicos), ou seja, a primeira linha está em <math>f = 440 Hz </math> como era de se esperar, mas é notável que a segunda e quarta linhas possuem uma potência praticamente nula, isso ocorre porque a excitação inicial foi exatamente no meio, e as frequência correspondentes a essas linhas provém de ondas estacionário que possum um nodo em <math>x=L/2</math>, logo elas não foram excitadas pela condição inicial. Mudando o ponto de excitação inicial, podemos ver essas frequências aparecendo. Rodando a simulação novamente, mas com <math>x_o = 0,2~L</math>, obtemos o seguinte espectro

<center>
[[Arquivo:La_power_bridge_ana_julia.png |thumb|upright=2|center|Espectro para excitação inicial em <math>x_0 = 0,2~L</math>]]
</center>

Para observar a influência da rigidez, a simulação foi rodada com <math>\epsilon=10^{-8}</math> (10 vezes maior do que o valor anterior) resultando no seguinte espectro
<center>
[[Arquivo:La_power_high_stiff_ana_julia.png |thumb|upright=2|center|Espectro para <math>\epsilon=10^{-8}</math>]]
</center>

O efeito mais notável é o deslocamento para esquerda das frequência em relação as frequências que compõem o sinal no caso ideal.

Por fim, conforme descrito anteriormente, podemos gerar som com as dados da simulação, mas infelizmente essa wiki não nos permite upar arquivos de áudio. No entanto, áudio das simulações discutidas aqui podem ser encontrados no repositório do projeto [https://github.com/marcos1561/ana-julia ana-julia] dentro da pasta "sound". Em especial, o efeito de deslocamento de frequências causado pela rigidez é bastante evidente escutando os áudios.

=== Bônus ===
Apenas por diversão, segue uma animação de um pacote gaussiano como condição inicial

[[Arquivo:Gaussian_package_ana_julia.gif|frame|center|Animação da solução da equação da onda com um pacote gaussiano como condição inicial.]]

== Notas ==
<references>
<ref name="fator_ampl"> Perceba que não estamos operando expoentes, mas sim usando a relação entre os índices <math> B^{n-1}/B^{n} = B^{m}/B^{m+1} = A^{-1} </math>.</ref>
<ref name="norm_const">A constante <math> 1/\sqrt{\pi} </math> está presente por questão de normalização. Esse caso pode parecer um pouco estranho, dado que não é possível normalizar os cossenos e senos, pois sua integral em todo a reta não é definida, mas o que se deseja é a seguinte propriedade
<math>\int_{\mathbb{R}}A_{\omega}cos(\omega t) \cdot A_{\omega'}cos(\omega' t)dt = \delta(\omega-\omega') </math>
que é safisfeita quando <math> A_{\omega} = A_{\omega'} = 1/\sqrt{\pi}, ~ \forall \omega,\omega'</math>
</ref>
</references>

== Referências ==

# Giordano, Nicholas, Nakanishin Hisao. Computacional Physics, Sencond Edition - 2006.
# Strikwerda, John. Finite Diference Schemes and Partial Diferential Equations, Second Edition, SIAM - 2004.
# Moraes, Alciney das Neves. Critério de Estabilidade de um Esquema Explícito em Diferenças Finitas para o Modelo de Placas de Mindlin-Timoshenko, Universidade Federal do Pará — 2019.
# Grigoryan, Viktor. Finite differences for the wave equation. UC Santa Bárbara Mathematics - 2012.

Corda Vibrante

2024-04-23T13:59:53Z

Joshuakipper: /* Convergência */

'''Grupo:''' Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

== A equação da onda ==
No estudo das oscilações, é comum entre os físicos o emprego de modelos simples como representações "prototípicas" de certos padrões básicos observados na natureza. A eficácia desses modelos simples decorre de duas características fundamentais: a capacidade de serem compreendidos em detalhes minuciosos e a habilidade de reproduzir comportamentos semelhantes aos de situações reais e mais complexas, auxiliando na compreensão destas, pelo menos em termos qualitativos.

Quando se trata de comportamentos oscilatórios, o modelo mais comumente utilizado é o do sistema massa-mola. Por outro lado, para descrever comportamentos ondulatórios unidimensionais, o modelo simples mais difundido é o da corda vibrante.

=== Dedução ===
Consideremos uma corda esticada, como a corda de um violão, por exemplo. Suponhamos que esta corda tenha um comprimento <math> L </math> e que suas extremidades estejam fixas nos pontos <math> x = 0 </math> e <math> x = L </math>. Além disso, vamos supor que a corda tenha uma densidade linear uniforme representada por <math> \mu = \frac{dm}{dx} </math>, e que esteja sob uma tensão constante <math> T </math>.

Assumindo que a corda realize vibrações transversais apenas na direção <math> y </math> (embora possa ter vibrações transversais na direção <math> z </math>, as quais vamos ignorar aqui), podemos representar a configuração da corda em qualquer instante de tempo no plano <math> xy </math> por uma função <math> y(x,t) </math>.

Vamos considerar mais algumas suposições:

I) A tensão <math> T </math> que estica a corda é tão alta que podemos negligenciar a força gravitacional sobre ela;

II) A corda é perfeitamente elástica, ou seja, não oferece resistência a dobras;

III) Os deslocamentos da corda, que ocorrem apenas na direção <math> y </math>, são de pequena amplitude.

Com essas suposições em mente, estamos prontos para abordar o problema da corda vibrante. Em qualquer instante de tempo, um segmento arbitrário da corda estará na posição geral indicada pela figura abaixo:

[[Arquivo:posicao_generica.png|400px|thumb|center|Posição genérica de um pedaço qualquer da corda]]

A massa do pequeno segmento de corda de comprimento <math> \Delta{x} </math> é

<center>
<math>
\Delta{m} = \mu \Delta{x}.
</math>
</center>

As componentes horizontal e vertical da força resultante atuando sobre esse segmento são:

<center>
<math>
F_x = T \cos{(\theta + \Delta{\theta})} - T \cos{(\theta)}
</math>
</center>
e
<center>
<math>
F_y = T \sin{(\theta + \Delta{\theta})} - T \sin{(\theta)}.
</math>
</center>

Estamos assumindo que a corda não se move na direção <math> x </math> (apenas na direção <math> y </math>). Isso implica que a força resultante na direção <math> x </math> é nula (<math> F_x = 0 </math>). Substituindo essa condição na equação, obtemos:

<center>
<math>
\cos{(\theta + \Delta{\theta})} = \cos{(\theta)}.
</math>
</center>

E a força resultante na direção <math> y </math>, <math> F_y </math>, é dada de acordo com a segunda lei de Newton:

<center>
<math>
F_y = (\mu \Delta{x})a_y = (\mu \Delta{x}) \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}},
</math>
</center>
então:
<center>
<math>
T \sin{(\theta + \Delta{\theta})} - T \sin{(\theta)} = (\mu \Delta{x}) \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}},
</math>
</center>
ou
<center>
<math>
\sin{(\theta + \Delta{\theta})} - \sin{(\theta)} = \Delta{x} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}}.
</math>
</center>

Vamos prosseguir dividindo os dois lados da equação acima pelo termo <math> \cos{(\theta)} </math>, sabendo que <math> \cos{(\theta)} = \cos{(\theta + \Delta{\theta})} </math>:

<center>
<math>
\frac{\sin{(\theta + \Delta{\theta})}}{\cos{(\theta + \Delta{\theta})}} - \frac{\sin{(\theta)}}{\cos{(\theta)}} = \frac{\Delta{x}}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} \to \tan{(\theta + \Delta{\theta})} - \tan{(\theta)} = \frac{\Delta{x}}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}}.
</math>
</center>

Considerando que o coeficiente angular da reta tangente a uma função em um dado ponto do seu domínio é igual à derivada da função nesse ponto, temos:

<center>
<math>
\frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x + \Delta{x}, t) - \frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x, t) = \frac{\Delta{x}}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}}.
</math>
</center>

Dividindo ambos os lados por <math> \Delta{x} </math>, teremos do lado esquerdo:

<center>
<math>
\frac{\frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x + \Delta{x}, t) - \frac{\partial{y}}{\partial{x}} (x, t)}{\Delta{x}}
</math>
</center>

e no limite que <math> \Delta{x} \to 0 </math>, a expressão se torna uma derivada parcial segunda <math> \frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} </math>, nos permitindo reescrever a equação como:

<center>
<math>
\frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t) = \frac{1}{\cos{(\theta)}} \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t).
</math>
</center>

E, como última manipulação, vamos supor agora que os deslocamentos da corda são pequenos, o que implica que os ângulos associados a esses deslocamentos também são pequenos: <math> \theta << 1 </math>. Com essa condição, <math> \cos{(\theta)} \approx 1 </math> e chegamos em:

<center>
<math>
\frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t) = \frac{\mu}{T} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t)
</math>
</center>

onde o termo <math> \frac{\mu}{T} </math> tem dimensão de <math> \frac{1}{c^2} </math> e <math> c </math> é a velocidade de propagação de ondas na corda esticada:

<center>
<math>
\frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t) = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t) \Leftrightarrow \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} (x, t) =
c^2 \frac{\partial^2{y}}{\partial{x^2}} (x, t).
</math>
</center>

Chegando a conlusão de que essa é a expressão para a corda vibrante e que a velocidade de propagação aumenta com a tensão na corda e diminui com a sua inércia (massa por unidade de comprimento).

=== Solução Analítica ===

== Método FTCS ==

O método FTCS (Forward Time Central Space) é uma abordagem progressiva no tempo e centrada no espaço. Em outras palavras, ao lidarmos com uma função de duas variáveis, buscamos uma solução futura em termos do tempo, centrada em uma vizinhança espacial. Para a resolução numérica da equação diferencial unidimensional da onda, optamos por trabalhar exclusivamente com o método explícito.

=== Corda Ideal ===

==== Método Explícito ====

Para aplicar o método, é necessário inicialmente discretizar tanto as variáveis espaciais quanto as variáveis temporais. Seja a função <math> y(t,x): \mathbb{R}^{2} \mapsto \mathbb{R} </math>, sejam os intervalos <math> \left [ 0,X \right ], \left [ 0,T \right ]\subset \mathbb{R} </math> e <math> N,M\in \mathbb{N} </math>, discretizamos os intervalos em espaçamentos iguais <math> \Delta x = X/N </math>, <math> \Delta t = T/M </math> de tal maneira que obtemos as sequências crescentes monótonas <math>\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{N} </math> e <math>\left \{ t_{i} \right \}_{j=0}^{M} </math> . Assim obtemos uma grade de malhas de pontos <math> (t_{i}, x_{i}) </math> onde a função <math> y(t,x) </math> tem seus valores aproximados por <math> y(t_{i}, x_{i}) </math> denotado <math> y_{j}^{n} </math>. Uma abordagem comum envolve a discretização da primeira derivada no tempo utilizando uma diferença finita progressiva baseada na expansão em séries de Taylor até a primeira ordem :

<center>
<math>
\frac{\partial y}{\partial t} \approx \frac{y(t+\Delta t, x) - y(t, x)}{\Delta t} = \frac{y_{j}^{n+1} - y_{j}^{n}}{\Delta t}
</math>
</center>

Discretizando a derivada temporal segunda utilizando um diferença finita regressiva :

<center>
<math>
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \approx \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{y_{j}^{n+1} - y_{j}^{n}}{\Delta t}\right) \approx \frac{1}{\Delta t}\left [\frac{y\left (t+\Delta t, x \right ) - y\left (\left (t + \Delta t \right )- \Delta t, x \right )}{\Delta t} - \frac{y\left (t,x \right ) - y\left (t - \Delta t, x \right )}{\Delta t } \right ] = \frac{y\left (t + \Delta t, x \right ) + y\left (t - \Delta t, x \right ) - 2y\left (t, x \right )}{(\Delta t)^{2}} = \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}}
</math>
</center>

note que o processo retorna uma derivada de diferenças finitas centrada, além disso obtemos um aproximação de segunda ordem. O mecanismo de discretização das derivadas espaciais é completamente análogo, a derivada segunda centrada :

<center>
<math>
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} \approx \frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}
</math>
</center>

Aplicando as expressões das diferenciais na equação da onda :

<center>
<math>
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \mapsto \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} = c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}
</math>
</center>

defina <math> a := c\Delta t / \Delta x </math> e explicite a variável no estado temporal futuro, obtemos :

<center>
<math>
y_{j}^{n+1} = 2\left(1 - a^{2}\right)y_{j}^{n} - y_{j}^{n-1} + a^{2}\left ( y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n}\right )
</math>
</center>

uma equação explicita no tempo <math> n+1 </math> dependendo somente de <math> n </math> e <math> n-1 </math>.

==== Estabilidade ====

Para analisar a estabilidade da solução numérica para a equação da onda, utilizaremos o método de Von Neumann. O procedimento consiste em utilizar a transformada de Fourier para determinar a estabilidade do esquema, a solução problema tem a forma :

<center>
<math>
y_{j}^{n+1}(\xi) = A(\xi \Delta x, \Delta x, \Delta t) y_{j}^{n}(\xi)
</math>
</center>

onde <math> \xi \in \left [ -\pi / \Delta x, \pi / \Delta x \right ] </math> e <math> A </math> é o fator de amplificação, observe que podemos estudar a estabilidade da aproximação somente analisando o fator de amplificação.

*'''Teorema''' : Se o fator de amplificação não depender de <math> \Delta x </math> nem <math> \Delta t </math>, então a aproximação é estável se <math> \left | A(\xi \Delta x) \right | \leq 1 </math>.

Vejamos a estabilidade da aproximação de diferenças finitas para a equação da onda, utilizando as componentes de Fourier <math >y_{j}^{n} \mapsto B^{n}e^{ikj\Delta x} </math>, obtemos :

<center>
<math>
B^{n+1}e^{ikj\Delta x} = 2\left ( 1-a^{2} \right )B^{n}e^{ikj\Delta x} - B^{n-1}e^{ikj\Delta x} + a^{2}\left ( B^{n}e^{ik(j+1)\Delta x} + B^{n}e^{ik(j-1)\Delta x} \right )
</math>
</center>

simplificando os termos em comum :

<center>
<math>
B^{n+1} + B^{n-1} = B^{n} \left [ 2\left ( 1-a^{2} \right ) + a^{2}\left (e^{ik\Delta x} + e^{-ik\Delta x}\right )\right ]
</math>
</center>

note que <math> e^{ik\Delta x} - e^{-ik\Delta x} = 2cos(k\Delta x) </math>,

<center>
<math>
\frac{B^{n+1} + B^{n-1}}{B^{n}} = 2\left ( 1-a^{2} \right ) + 2a^{2}cos(k\Delta x)
</math>
</center>

utilizando a identidade trigonométrica <math> cos(\theta) = cos^{2}(\theta /2) - sen^{2}(\theta /2) </math> e a identidade trigonométrica fundamental <math> 1 = cos^{2}(\theta) + sen^{2}(\theta) </math>, obtemos :

<center>
<math>
A + \frac{1}{A} = -2\left [ 2a^{2}sen^{2}\left ( \frac{k\Delta x}{2} \right ) -1 \right ]
</math>
</center>

onde <math> A = B^{n+1}/B^{n} </math> <ref name="fator_ampl"/> é o fator de amplificação. Defina <math> d := 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) -1 </math>. Portanto obtemos a equação quadrática com soluções :

<center>
<math>
A^{2} + 2dA + 1 = 0 \Rightarrow A_{1,2} = -d \pm \sqrt{d^{2}-1}
</math>
</center>

se <math> \left | d \right | > 1 </math>, então :

<center>
<math>
-1>d>1 \Rightarrow -1 > 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) -1 > 1 \Rightarrow 0 > 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) > 2 \Rightarrow 0 > \left( asen\left (k\Delta x / 2 \right ) \right)^{2} > 1
</math>
</center>

o que é um aburdo, pois <math> asen\left (k\Delta x / 2 \right )\in \mathbb{R} </math>. Se <math> \left | d \right | \leq 1 </math> , então :

<center>
<math>
-1\leq d \leq 1 \Rightarrow -1 \leq 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) -1 \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 2a^{2}sen^{2}\left (k\Delta x / 2 \right ) \leq 2 \Rightarrow 0 \leq \left( asen\left (k\Delta x / 2 \right ) \right)^{2} \leq 1
</math>
</center>

note que <math> sen\left (k\Delta x / 2 \right ) \leq 1 </math>, logo <math> a \leq 1 </math>. Portanto para o método ser condicionalmente estável :

<center>
<math>
\frac{c \Delta t}{ \Delta x} \leq 1
</math>
</center>

Embora <math> a \leq 1 </math> garante a estabilidade do processo, <math> a = 1 </math> é a melhor escolha possível para a estabilidade do método, pelos seguintes motivos :
* Quando <math> a = 1 </math>, os termos de ordem superior que são descartados na discretização da equação da onda são amplamente cancelados. Essa compensação implica que o método numérico se torna mais estável e menos suscetível a erros numéricos significativos, ou seja, não ocorrerão variações abruptas devido aos termos de ordem maiores;
* Quando <math> a = 1 </math>, a perturbação na corda se propaga exatamente um passo espacial a cada passo de tempo. Esse comportamento assegura que a velocidade da perturbação seja adequadamente representada pelo algoritmo numérico. Isso ocorre devido a relação entre a velocidade física da corda <math> c </math> e a velocidade da perturbação <math> v = \Delta x / \Delta t </math>.

<center>
<math>
\frac{c \Delta t}{ \Delta x} = \frac{c}{v}
</math>
</center>

Observe que além de obtermos o intervalo de estabilidade <math> a\in\left [ 0, 1 \right ] </math>, também obtemos uma restrição na discretização das malhas temporais e espaciais, limitando assim <math> N,M\in \mathbb{N} </math> a um subconjunto que satisfaça a condição de estabilidade.

=== Corda Não Ideal ===

==== Método Explícito ====
Optaremos novamente por realizar a análise utilizando um método explícito. Em geral, o desenvolvimento teórico para a discretização da equação diferencial da onda com amortecimento e rigidez é análogo ao caso ideal, portanto, não serão apresentados com detalhes os cálculos necessários para a implementação do método. A derivada quarta centrada é aproximada utilizando diferenças finitas :

<center>
<math>
\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \approx \frac{y_{j+2}^{n} + y_{j+1}^{n} + y_{j}^{n} + y_{j-1}^{n} + y_{j-2}^{n}}{\left ( \Delta x \right )^{4}}
</math>
</center>

transformando a EDP não homogênea para um espaço discretizado usando a aproximação de diferenças finitas centrada :

<center>
<math>
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^{2}\left ( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \epsilon L^{2}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right ) - b\frac{\partial y}{\partial t} \mapsto y_{j}^{n+1} = \left [ \left (2 - 2a^{2} - 6\epsilon a^{2}E^{2} - F \right )y_{j}^{n} - y_{j}^{n-1} + a^{2}\left ( 1 + 4\epsilon E^{2} \right ) \left ( y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} \right ) - \epsilon a^{2}E^{2} \left ( y_{j+2}^{n} + y_{j-2}^{n} \right ) \right ]\left (\frac{1}{1-F} \right )
</math>
</center>

onde <math> E := L/ \Delta x </math> e <math> F := b/ \Delta t </math>. Novamente obtemos um equação explicita no tempo <math> n+1 </math> que depende somente de <math> n </math> e <math> n-1 </math>;

==== Estabilidade ====

A abordagem que empregamos para demonstrar a estabilidade da equação da onda não homogênea é completamente análoga ao caso homogêneo. Em outras palavras, utilizamos o método de Von Neumann em conjunto com o teorema da estabilidade. Ao aplicar novamente as componentes de Fourier, representadas por <math >y_{j}^{n} \mapsto B^{n}e^{ikj\Delta x} </math>, obtemos uma equação quadrática que impõe a seguinte restrição :

<center>
<math>
a = \frac{c \Delta t}{ \Delta x} \leq \frac{1}{4}
</math>
</center>

logo, o método é condicionalmente estável no intervalo <math> a\in\left [ 0, 1/4 \right ] </math>.

=== Convergência, Consistência e Estabilidade ===

Até este ponto, ainda não discutimos o quão bem o esquema de diferenças finitas descreve a solução da equação diferencial. Vamos abordar isso agora. A propriedade mais essencial que um esquema deve possuir é que, à medida que os espaçamentos na malha discreta diminuem, a aproximação para a solução deve se aproximar da solução real do sistema. Portanto, um esquema é considerado uma boa aproximação se

<center>
<math>
\left ( \Delta t, \Delta x \right ) \rightarrow 0 \Rightarrow \left | y \left ( t_{n}, x_{j}\right ) - y_{j}^{n} \right |\rightarrow 0
</math>
</center>

onde <math> y \left ( t_{n}, x_{j}\right ) </math> é a solução exata e <math> y_{j}^{n} </math> a solução aproximada. Se tais condições são satisfeitas, dizemos que o esquema de equações diferenciais finitas é convergente. Entretanto, geralmente, provar a convergência não é uma tarefa trivial. No entanto, podemos demonstrá-la de maneira indireta, utilizando estabilidade e consistência. Se um esquema é estável e consistente, então a convergência do esquema é garantida. Dada uma equação diferencial <math> Dy = f </math>, dizemos que o esquema de diferenças finitas <math> D_{\Delta t \Delta x}y = f </math> é consistente com a equação diferencial se, para qualquer função suficientemente diferenciável <math> \phi(t, x) </math>,

<center>
<math>
\left ( \Delta t, \Delta x \right ) \rightarrow 0 \Rightarrow D \phi - D_{\Delta t \Delta x} \phi \rightarrow 0
</math>
</center>

Mostremos a consistência da aproximação de diferenças finitas para a equação da onda homogênea. Seja a EDP da onda

<center>
<math>
Dy\left ( t, x \right ) = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - c^{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
</math>
</center>

e seja a equação de diferenças finitas

<center>
<math>
D_{\left (\Delta t \Delta x \right )}y\left ( t, x \right ) = \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} - c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}
</math>
</center>

pela aproximação que demonstramos anteriormente, temos :

<center>
<math>
\begin{aligned}
&\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - c^{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} + O\left ( \Delta t^{2} \right )- c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}} + O\left ( \Delta x^{2} \right ) \\
&\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - c^{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \left (\frac{y_{j}^{n+1} + y_{j}^{n-1} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta t)^{2}} - c^{2}\frac{y_{j+1}^{n} + y_{j-1}^{n} - 2y_{j}^{n}}{(\Delta x)^{2}} \right ) = O\left ( \Delta t^{2} \right ) + O\left ( \Delta x^{2} \right ) \\
&Dy\left ( t, x \right ) - D_{\left (\Delta t \Delta x \right )}y\left ( t, x \right ) = O\left ( \Delta t^{2} \right ) + O\left ( \Delta x^{2} \right )
\end{aligned}
</math>
</center>

como estamos supondo que os termos de ordem 2 são desprezíveis, <math> O\left ( \Delta t^{2} \right ) \rightarrow 0 </math> e <math> O\left ( \Delta x^{2} \right ) \rightarrow 0 </math>. Logo :

<center>
<math>
Dy\left ( t, x \right ) - D_{\left (\Delta t \Delta x \right )}y\left ( t, x \right ) \rightarrow 0
</math>
</center>

portanto o esquema de diferenças finitas é consistente. Como na seção anterior já havíamos provado a estabilidade condicional do método, podemos concluir que o esquema é condicionalmente convergente (é consistente e condicionalmente estável) e portanto representa uma boa aproximação para a solução exata da equação diferencial.

== Análise espectral ==
Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear

=== Supremacia da álgebra linear ===
O seguinte conjunto <math> \mathbb{R}^{\mathbb{R}} = \{ f~|~f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} </math> é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base <math> B = \{sen(\omega t) / \sqrt{\pi}, cos(\omega t) / \sqrt{\pi} \}_{\omega \in \mathbb{R^+}} </math> <ref name="norm_const"/>, pois elementos de <math> B </math>, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor <math>f=\omega/(2\pi)</math>. Dessa forma, um sinal arbitrário <math>s(t)</math> pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam
<center>
<math>
s(t) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}[a(\omega)cos(\omega t) + b(\omega)sen(\omega t]d\omega
</math>
</center>

E podemos extrair suas coordenadas (conhecidas como transformada de Fourier do sinal) (<math>a(\omega)</math> e <math>b(\omega)</math>), fazendo o produto escalar com os elementos da base

<center>
<math>
\begin{aligned}
a(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(\omega t)dt \\
b(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(\omega t)dt
\end{aligned}
</math>
</center>

Se o domínio de <math>s(t)</math> é limitado, digamos <math>t \in [0, T]</math>, então uma base infinita com cardinalidade enumerável (em contraste com a base anterior, que possui cardinalidade não enumerável) é suficiente para representar <math>s(t)</math>, uma possível base ortonormal é a seguinte: <math>\bigg\{ \sqrt{\frac{1}{T}}, \sqrt{\frac{2}{T}}sen(\omega_n t), \sqrt{\frac{2}{T}}cos(\omega_n t) \bigg\}_{n \in \mathbb{N^*}}</math>, em que <math> \omega_n = \frac{n\pi}{T} </math>. Dessa forma, a representação e coordenadas de <math>s(t)</math> ficam

<center>
<math>
\begin{aligned}
s(t) &= a_0\sqrt{\frac{1}{T}} + \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{n=1}^{\infty}\bigg[a_n cos(\omega_n t) + b_n sen(\omega_n) \bigg] \\
a_0 &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{1}{T}}dt \\
a_n &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{2}{T}}cos(\omega_n t)dt \\
b_n &= \int_0^T s(t) \sqrt{\frac{2}{T}}sen(\omega_n t)dt \\
\end{aligned}
</math>
</center>

É impossível falar sobre bases enumeráveis de um sub-espaço de <math> \mathbb{R}^{\mathbb{R}} </math> sem representar esse canhão matemático com uma animação. Abaixo segue uma visualização que calcula as primeiras <math>N</math> coordenadas (<math>a_0,\dots,a_N</math> e <math>b_1,\dots,b_N</math>) de um sinal qualquer e sobrepõem a série obtida, incrementando <math>N</math> até as duas curvas serem indistinguíveis a olho nu.

<center>
[[Arquivo:Serie_fourier_ana_julia.gif|frame|center|Animação de uma série de fourier. É interessante notar que a série converge muito bem com apenas uma dúzia de frequências.]]
</center>

=== Potência espectral ===
Adiante vamos ver que o sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da mesma, digamos em <math>x=x_o</math>, então a função que representa esse sinal é <math>y(x_o, t)</math>. Como estamos interessados nas frequências que compõem o sinal, será calculado a transformada de fourier de <math>y(x_o, t)</math> e definido que a potência da frequência <math>f = \omega/(2\pi)</math> é <math>a_\omega^2 + b_\omega^2</math>. A potência em função da frequência é o resultado da análise espectral.

== Simulando uma corda de violão ==
Uma corda de violão geralmente é excitada por uma pancada dada por uma palheta ou pelo próprio dedo/unha do violonista. Essa pancada define uma condição inicial para a equação de onda. Uma suposição razoável da condição gerada é a seguinte

<math>
\begin{aligned}
y(x, t=0) &= \begin{cases}
\frac{h}{x_0}x &, ~ 0 \leq x \leq x_0\\
\frac{h}{L-x_0}(-x + L) &, ~ x_0 \leq x \leq L\\
\end{cases} \\
\frac{\partial}{\partial t} y(x, t=0) &= 0
\end{aligned}
</math>

supondo que a corda possui comprimento <math>L</math> e a pancado ocorreu em <math>x_o</math>, causando uma deslocamento máximo <math>h</math>. A imagem a seguir ilustra o estado da corda logo após a excitação

<center>
[[Arquivo:Init_cond_ana_julia.png|thumb|upright=2|center|Condição inicial de uma corda de violão.]]
</center>

Dado essa condição inicial, podemos evoluir temporalmente o estado da corda utilizando a equação da onda, mantendo as bordas fixas (<math>y(x=0, t) = y(x=L, t) = 0</math>), mas como extrair som dessa simulação? Para responder essa pergunta precisamos saber como um violão gera som. Ao contrário do que inicialmente pareça, as ondas sonoras não são diretamente geradas pela vibração das cordas, mas sim da caixa do violão, que está diretamente conectada com as cordas em uma peça chamada ponte. A vibração das cordas gera uma força dependente do tempo que atua na caixa através da ponte, assim vibrando a caixa e gerando o som que escutamos. Portanto, para gerar som de forma realista, precisaríamos fisicamente simular a caixa, levando em consideração a sua geometria e as propriedades física do seu material, e então determinar as ondas de pressão que seriam geradas por essa vibração, o que está fora do escopo do presente trabalho. Felizmente, as seguintes simplificações vão nos permitir calcular as ondas de pressão:

* A força que a ponte exerce na caixa é aproximadamente proporcional a sua velocidade (Dinâmica aristotélica).
* A onda de pressão produzida pela caixa é aproximadamente proporcional a sua velocidade.

A força que a ponte exerce na caixa (<math>F(t)</math>) é a força que a corda exerce na ponte (pois a ponte está firmemente conectada na caixa), e essa força é proporcional a inclinação da corda, ou seja

<center>
<math>
F(t) = T \frac{\partial}{\partial x}y(x=0, t) \approx T\frac{y(\Delta x, t) - \overbrace{y(0, t)}^{0}}{\Delta x} = \frac{T}{\Delta x} y(\Delta x, t)
</math>
</center>

em que <math>T</math> é a tensão na corda. Portando, o sinal da onda de pressão pode ser aproximado como o deslocamento de um ponto da corda próximo a ponte. Para gerar som com esse sinal, o tipo de arquivo [https://en.wikipedia.org/wiki/WAV#:~:text=Waveform%20Audio%20File%20Format%20(WAVE,1991%20by%20IBM%20and%20Microsoft. WAV]] é utilizado, pois o seu dado de entrada pode ser justante o sinal da onda de pressão.

Agora tudo está pronto para fazermos uma simulação, vamos tentar reproduzir a nota lá (<math>f = 440~Hz</math>). Primeiro precisamos descobrir qual deve ser a velocidade de propagação das ondas (<math>c</math>) para gerar a nota em questão. Resolvendo a equação da onda ideal, obtemos que as possíveis frequência que existem na solução são <math>f_n = \frac{nc}{2L} </math>, então não é possível fazer a corda vibrar apenas com uma frequência, mas quando músicos se referem a uma nota, eles realmente estão se referindo a <math>f_1</math>, a primeira frequência que compõem o sinal, portanto

<center>
<math> f_1 = \frac{c}{2L} = 440~Hz \Rightarrow c = L \cdot 880~Hz</math>
</center>

Assumindo <math>L=1~m</math>, temos que <math>c = 880~m/s</math>. Resolvendo a equação da onda realista pelo método FTCS com os seguinte parâmetros
{| class="wikitable"
|+ Parâmetros da condição inicial
|-
! Parâmetros !! Valor
|-
| <math>x_o</math> || <math>0,5~L</math>
|-
| h || 1 cm
|}

{| class="wikitable"
|+ Parâmetros da integração
|-
! Parâmetros !! Valor
|-
| k || 1/4
|-
| c || 880 m/s
|-
| <math>\Delta x</math> || 0,01 m
|-
| L || 1 m
|-
| b || 5 <math>s^{-1}</math>
|-
| <math>\epsilon</math> || <math>10^{-9}</math>
|}

obtemos o seguinte resultado

[[Arquivo:Corda_vibrando_ana_julia.gif|frame|center|Solução da equação de onda ideal e realista.]]

Na animação acima, por questão de comparação, também foi coloca a solução de uma simulação com os mesmos parâmetros, apenas com a modificação <math>b=\epsilon=0</math>, que seria o caso ideal (sem amortecimento e rigidez).

Realizando a análise espectral do deslocamento de um ponto próximo de <math>x=0</math>, obtemos o seguinte gráfico

<center>
[[Arquivo:La_power_ana_julia.png |thumb|upright=2|center|Espectro do deslocamento de um ponto próximo de <math>x=0</math>. Linhas pretas tracejadas representam os harmônicos.]]
</center>

As linhas verticais pretas e tracejadas representam as possíveis frequências da solução do caso ideal (também chamadas de harmônicos), ou seja, a primeira linha está em <math>f = 440 Hz </math> como era de se esperar, mas é notável que a segunda e quarta linhas possuem uma potência praticamente nula, isso ocorre porque a excitação inicial foi exatamente no meio, e as frequência correspondentes a essas linhas provém de ondas estacionário que possum um nodo em <math>x=L/2</math>, logo elas não foram excitadas pela condição inicial. Mudando o ponto de excitação inicial, podemos ver essas frequências aparecendo. Rodando a simulação novamente, mas com <math>x_o = 0,2~L</math>, obtemos o seguinte espectro

<center>
[[Arquivo:La_power_bridge_ana_julia.png |thumb|upright=2|center|Espectro para excitação inicial em <math>x_0 = 0,2~L</math>]]
</center>

Para observar a influência da rigidez, a simulação foi rodada com <math>\epsilon=10^{-8}</math> (10 vezes maior do que o valor anterior) resultando no seguinte espectro
<center>
[[Arquivo:La_power_high_stiff_ana_julia.png |thumb|upright=2|center|Espectro para <math>\epsilon=10^{-8}</math>]]
</center>

O efeito mais notável é o deslocamento para esquerda das frequência em relação as frequências que compõem o sinal no caso ideal.

Por fim, conforme descrito anteriormente, podemos gerar som com as dados da simulação, mas infelizmente essa wiki não nos permite upar arquivos de áudio. No entanto, áudio das simulações discutidas aqui podem ser encontrados no repositório do projeto [https://github.com/marcos1561/ana-julia ana-julia] dentro da pasta "sound". Em especial, o efeito de deslocamento de frequências causado pela rigidez é bastante evidente escutando os áudios.

=== Bônus ===
Apenas por diversão, segue uma animação de um pacote gaussiano como condição inicial

[[Arquivo:Gaussian_package_ana_julia.gif|frame|center|Animação da solução da equação da onda com um pacote gaussiano como condição inicial.]]

== Notas ==
<references>
<ref name="fator_ampl"> Perceba que não estamos operando expoentes, mas sim usando a relação entre os índices <math> B^{n-1}/B^{n} = B^{m}/B^{m+1} = A^{-1} </math>.</ref>
<ref name="norm_const">A constante <math> 1/\sqrt{\pi} </math> está presente por questão de normalização. Esse caso pode parecer um pouco estranho, dado que não é possível normalizar os cossenos e senos, pois sua integral em todo a reta não é definida, mas o que se deseja é a seguinte propriedade
<math>\int_{\mathbb{R}}A_{\omega}cos(\omega t) \cdot A_{\omega'}cos(\omega' t)dt = \delta(\omega-\omega') </math>
que é safisfeita quando <math> A_{\omega} = A_{\omega'} = 1/\sqrt{\pi}, ~ \forall \omega,\omega'</math>
</ref>
</references>

== Referências ==

# Giordano, Nicholas, Nakanishin Hisao. Computacional Physics, Sencond Edition - 2006.
# Strikwerda, John. Finite Diference Schemes and Partial Diferential Equations, Second Edition, SIAM - 2004.
# Moraes, Alciney das Neves. Critério de Estabilidade de um Esquema Explícito em Diferenças Finitas para o Modelo de Placas de Mindlin-Timoshenko, Universidade Federal do Pará — 2019.
# Grigoryan, Viktor. Finite differences for the wave equation. UC Santa Bárbara Mathematics - 2012.