Física Computacional - Contribuições do usuário [pt-br]

Integração Numérica

2013-10-21T12:14:10Z

Glt: /* Cálculo Numérico */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

:<math> \text{erro} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>,

onde ''ξ'' é um número no intervalo entre ''a'' e ''b''.

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

Integração Numérica

2013-10-21T12:13:19Z

Glt: /* Notes */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>,

onde ''ξ'' é um número no intervalo entre ''a'' e ''b'', such that<ref>{{harvtxt|Atkinson|1989|loc=equation (5.1.7)}}</ref>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

Integração Numérica

2013-10-21T12:13:01Z

Glt: /* Referencias */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>,

onde ''ξ'' é um número no intervalo entre ''a'' e ''b'', such that<ref>{{harvtxt|Atkinson|1989|loc=equation (5.1.7)}}</ref>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

==Notes==
<referencias/>

Integração Numérica

2013-10-21T12:06:28Z

Glt: /* Referencias */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>,

onde ''ξ'' é um número no intervalo entre ''a'' e ''b'', such that<ref>{{harvtxt|Atkinson|1989|loc=equation (5.1.7)}}</ref>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

==Notes==
<referencias/>

==Referencias==
{{wikibooks|A-level Mathematics|C2/Integration#Trapezium Rule|Trapezium Rule}}
{{refbegin}}
* {{Citation | last1=Atkinson | first1=Kendall E. | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-471-50023-0 | year=1989}}.
{{refend}}
<div class="refbegin" style="">
<ul>
<li>Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: <a href="/wiki/John_Wiley_%26_Sons" title="John Wiley & Sons">John Wiley & Sons</a>, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:BookSources/978-0-471-50023-0" title="Special:BookSources/978-0-471-50023-0">978-0-471-50023-0</a></span</ul>
</div>

Integração Numérica

2013-10-21T11:54:39Z

Glt: /* Notes */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>,

onde ''ξ'' é um número no intervalo entre ''a'' e ''b'', such that<ref>{{harvtxt|Atkinson|1989|loc=equation (5.1.7)}}</ref>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

==Notes==
<referencias/>

==Referencias==
{{wikibooks|A-level Mathematics|C2/Integration#Trapezium Rule|Trapezium Rule}}
{{refbegin}}
* {{Citation | last1=Atkinson | first1=Kendall E. | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-471-50023-0 | year=1989}}.
{{refend}}

Integração Numérica

2013-10-21T11:53:47Z

Glt: /* References */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>,

onde ''ξ'' é um número no intervalo entre ''a'' e ''b'', such that<ref>{{harvtxt|Atkinson|1989|loc=equation (5.1.7)}}</ref>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

==Notes==
<references/>

==Referencias==
{{wikibooks|A-level Mathematics|C2/Integration#Trapezium Rule|Trapezium Rule}}
{{refbegin}}
* {{Citation | last1=Atkinson | first1=Kendall E. | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-471-50023-0 | year=1989}}.
{{refend}}

Integração Numérica

2013-10-21T11:50:48Z

Glt: /* Erro associado ao método numérico */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>,

onde ''ξ'' é um número no intervalo entre ''a'' e ''b'', such that<ref>{{harvtxt|Atkinson|1989|loc=equation (5.1.7)}}</ref>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

==Notes==
<references/>

==Referencias==
{{refbegin}}
* {{Citation | last1=Atkinson | first1=Kendall E. | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-471-50023-0 | year=1989}}.
{{refend}}

Integração Numérica

2013-10-21T11:49:33Z

Glt: /* References */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>,

onde ''ξ'' é um número no intervalo entre ''a'' e ''b'', such that<ref>{{harvtxt|Atkinson|1989|loc=equation (5.1.7)}}</ref>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

==Referencias==
{{refbegin}}
* {{Citation | last1=Atkinson | first1=Kendall E. | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-471-50023-0 | year=1989}}.
{{refend}}

Integração Numérica

2013-10-21T11:47:37Z

Glt: /* Erro associado ao método numérico */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>,

onde ''ξ'' é um número no intervalo entre ''a'' e ''b'', such that<ref>{{harvtxt|Atkinson|1989|loc=equation (5.1.7)}}</ref>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

==References==
{{refbegin}}
* {{Citation | last1=Atkinson | first1=Kendall E. | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-471-50023-0 | year=1989}}.
{{refend}}

Integração Numérica

2013-10-21T11:40:04Z

Glt: /* Cálculo Numérico */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

O erro de cálculo na Regra do Trapézio é dado por:

:<math> \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)</math>,

onde ''ξ'' é um número no intervalo entre ''a'' e ''b'', such that<ref>{{harvtxt|Atkinson|1989|loc=equation (5.1.7)}}</ref>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

Integração Numérica

2013-10-21T11:35:25Z

Glt: /* Cálculo Numérico */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

'''Regra do Trapézio''':
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

'''Regra de Simpson''':

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{0} , x_{2}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \frac{x_2-x_0}{6}\left[f(x_0) + 4f\left(\frac{x_0+x_2}{2}\right)+f(x_2)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande (e par!). Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivos e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{0} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_0}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{0} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

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2013-10-16T19:03:34Z

Glt: /* Ensino */

''A Wiki is a collaboratively edited Web site designed to promote the accumulation and refining of data with the least possible hassle. Any user viewing a Wiki can edit anything they see quickly and easily''

Bem vindos a '''ComplexWiki''', ambiente de trabalho cooperativo para [[#Pesquisa]], [[#Ensino]] e dicas sobre [[#Linux]].
É preciso se cadastrar para fazer contribuições.
ComplexWiki está dentro do [http://www.if.ufrgs.br Instituto de Física].
-- ''Sebastián Gonçalves''


Consulte [http://meta.wikipedia.org/wiki/MediaWiki_User%27s_Guide User's Guide] para informações de como usar o software wiki (em inglês) e [[ComplexWiki:Sobre]] sobre o estilo local.

== Pesquisa ==

* [[Atrito]]

* [[Econofísica]]

* [[Epidemias]]

* [[Laboratório de Estruturas Celulares]]

[[Instituições de pesquisa]] sobre complexidade no mundo

[[Conferencias]]

== Ensino ==

===[[Métodos computacionais]]===

===[[FIP20706 Tópicos em Física Estatística: redes e dinâmica de epidemias]]===

===[[Introdução a Sistemas Dinâmicos]]===

===Texto de Apoio ao Ensino de Física===

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===[[Applets]]===

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==Linux Forum==

====Hardware====

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====Software====

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* [[kubuntu]]: como configurar senha de root

* f90 da Intel: [[upgrade para Edgy]]

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* [[thunderbird]]: instalando dicionários

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== Mix ==

[[Distribuição Docente 2007]]

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== Novidades ==

Adicionado suporte para Gnuplot (veja [[Espaço dos alunos]] )



<analytics uacct="UA-379257-2"></analytics>

<--'''MediaWiki instalado com sucesso.'''

Consulte o [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Manual de Usuário] para informações de como usar o software wiki.

== Começando ==

* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Lista de opções de configuração]
* [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ FAQ do MediaWiki]
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Lista de discussão com avisos de novas versões do MediaWiki]
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-- ''Sebastián Gonçalves''


Consulte [http://meta.wikipedia.org/wiki/MediaWiki_User%27s_Guide User's Guide] para informações de como usar o software wiki (em inglês) e [[ComplexWiki:Sobre]] sobre o estilo local.

== Pesquisa ==

* [[Atrito]]

* [[Econofísica]]

* [[Epidemias]]

* [[Laboratório de Estruturas Celulares]]

[[Instituições de pesquisa]] sobre complexidade no mundo

[[Conferencias]]

== Ensino ==

== Ensino ==

===[[Métodos computacionais]]===

===[[FIP20706 Tópicos em Física Estatística: redes e dinâmica de epidemias]]===

===[[Introdução a Sistemas Dinâmicos]]===

===Texto de Apoio ao Ensino de Física===

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===[[Dicas para apresentações]]===

==Linux Forum==

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* f90 da Intel: [[upgrade para Edgy]]

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[[Distribuição Docente 2007]]

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== Novidades ==

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== Começando ==

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